Fonction logarithme népérien : contrôle de maths en terminale

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Ce qu’évalue le contrôle : fonction logarithme népérien

Le sujet du contrôle : fonction logarithme népérien

Exercice 1 – Calculs avec les propriétés de ln (4 points)

Dans cet exercice, donne des valeurs exactes : la calculatrice ne sert qu’à vérifier.

1. Simplifie d’abord \(A = \ln(12) + \ln(3) – 2\ln(6)\). (1 point)
2. Calcule ensuite \(B = \ln\left(\mathrm{e}^{3}\right) – \ln\left(\dfrac{1}{\mathrm{e}^{2}}\right) + \ln\left(\sqrt{\mathrm{e}}\right)\). (1 point)
3. Écris \(C = 3\ln(2) + \ln(5) – \ln(4)\) sous la forme \(\ln(a)\), où \(a\) est un entier. (1 point)
4. Enfin, exprime \(\ln(72)\) en fonction de \(\ln(2)\) et de \(\ln(3)\). (1 point)

Exercice 2 – Équations et inéquations (5 points)

Pour chaque question, précise d’abord l’ensemble sur lequel on résout, puis donne l’ensemble des solutions.

1. Résous dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(\ln(2x – 1) = \ln(x + 3)\). (1 point)
2. Résous dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation \(\mathrm{e}^{2x – 1} > 3\), puis donne une valeur approchée de la borne au centième. (1,5 point)
3. Trouve les solutions de l’équation \(\ln(x) + \ln(x – 2) = \ln(8)\). (1,5 point)
4. Détermine enfin l’ensemble des solutions de l’inéquation \(\ln(3 – x) \leq 0\). (1 point)

Exercice 3 – Deux courbes symétriques (3 points)

Dans le repère orthonormé ci-dessous, on a tracé les courbes \(\mathcal{C}_1\) et \(\mathcal{C}_2\) des fonctions exponentielle et logarithme népérien, ainsi que la droite \(\Delta\) d’équation \(y = x\). Les points \(A(0\,;\,1)\) et \(B(1\,;\,0)\) sont marqués.

1. Associe chaque courbe à sa fonction, en justifiant à l’aide des points \(A\) et \(B\). (1 point)
2. Le point \(M\left(\mathrm{e}^{2}\,;\,2\right)\) appartient à \(\mathcal{C}_2\). Explique pourquoi le point \(N\left(2\,;\,\mathrm{e}^{2}\right)\) appartient alors à \(\mathcal{C}_1\), puis précise la transformation qui envoie \(M\) sur \(N\). (1 point)

Le graphique suivant représente la courbe de la fonction ln, ainsi que les droites d’équations \(y = 1{,}5\) et \(y = -1\).

3. Lis graphiquement la solution de l’équation \(\ln(x) = 1{,}5\), puis donne sa valeur exacte. (0,5 point)
4. Par lecture graphique, résous aussi l’inéquation \(\ln(x) < -1\), et confirme le résultat par le calcul. (0,5 point)

Exercice 4 – Dérivées et limites (4 points)

1. Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0\,;\,+\infty[\) par \(f(x) = x^2 \ln(x)\). Calcule \(f^{\prime}(x)\), puis factorise le résultat. (1 point)
2. Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = \ln\left(x^2 + 4\right)\). Justifie que \(g\) est bien définie sur \(\mathbb{R}\), calcule \(g^{\prime}(x)\) et déduis-en les variations de \(g\). (1,5 point)
3. Détermine \(\lim_{x \to +\infty} \left(x – 3\ln(x)\right)\) en levant l’indétermination. (1 point)
4. Quelle est la limite de \(2x\ln(x) + 5\) quand \(x\) tend vers 0 par valeurs positives ? (0,5 point)

Exercice 5 – La dépollution du lac (4 points)

Au 1er janvier 2026, un lac de montagne contient 500 kg d’un polluant. Une station de traitement est alors installée : chaque année, elle élimine 20 % de la quantité de polluant présente au début de l’année, et on suppose qu’aucun nouveau rejet n’a lieu. On note \(q_n\) la quantité de polluant, en kg, au 1er janvier de l’année \(2026 + n\). Ainsi, \(q_0 = 500\).

1. Justifie que \((q_n)\) est une suite géométrique, puis exprime \(q_n\) en fonction de \(n\). (1 point)
2. Calcule la quantité de polluant restant au 1er janvier 2029. (0,5 point)
3. Détermine, à l’aide du logarithme, le plus petit entier naturel \(n\) tel que \(0{,}8^n < 0{,}01\). (1,5 point)
4. Les autorités autorisent de nouveau la baignade quand il reste moins de 1 % de la quantité initiale. Donne l’année correspondante, en justifiant le lien avec la question précédente. (0,5 point)
5. Recopie et complète la fonction Python ci-dessous, afin qu’elle renvoie cette année. (0,5 point)

Réviser fonction logarithme népérien avant le contrôle

Si un exercice t’a bloqué, relis la leçon fonction logarithme népérien ; entraîne-toi sur la fiche logarithme népérien avant de retenter le sujet.

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