Fonction logarithme népérien : corrigé du contrôle de maths en terminale
Voici le corrigé du contrôle de maths en terminale sur le thème « fonction logarithme népérien », question par question.
Cette correction rédige chaque réponse comme on l’attend au bac. Pour les simplifications, elle décompose d’abord les nombres en produits de facteurs premiers, puis applique une seule propriété par ligne. Dans les équations, l’ensemble de résolution est toujours écrit avant le calcul, ce qui permet d’écarter une fausse solution.
La figure corrigée de l’exercice 3 montre ensuite les solutions lues sur la courbe de ln, avec leurs valeurs exactes. Pour les limites, chaque croissance comparée est citée. Enfin, le problème détaille le changement de sens de l’inégalité quand on divise par un logarithme négatif, ainsi que le programme Python complété. Compare ta copie avec le barème de chaque question.
L’énoncé complet se trouve ici : Fonction logarithme népérien : contrôle de maths en terminale.
Barème du contrôle corrigé : fonction logarithme népérien
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Calculs avec les propriétés de ln | 4 points |
| 2. Équations et inéquations | 5 points |
| 3. Deux courbes symétriques | 3 points |
| 4. Dérivées et limites | 4 points |
| 5. La dépollution du lac | 4 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : fonction logarithme népérien
Exercice 1 – Calculs avec les propriétés de ln (4 points)
- On regroupe d’abord les deux premiers termes, puis on écrit \(2\ln(6)\) comme le logarithme d’une puissance :
\(A = \ln(12 \times 3) – \ln\left(6^2\right)\)
\(A = \ln(36) – \ln(36)\)
Donc \(A = 0\). - Pour tout réel \(a\), \(\ln\left(\mathrm{e}^{a}\right) = a\). Or \(\dfrac{1}{\mathrm{e}^{2}} = \mathrm{e}^{-2}\) et \(\sqrt{\mathrm{e}} = \mathrm{e}^{\frac{1}{2}}\). Par conséquent :
\(B = 3 – (-2) + \dfrac{1}{2}\)
Ainsi, \(B = \dfrac{11}{2} = 5{,}5\). - On transforme \(3\ln(2)\) en \(\ln\left(2^3\right) = \ln(8)\), puis on utilise les formules du produit et du quotient :
\(C = \ln(8) + \ln(5) – \ln(4) = \ln\left(\dfrac{8 \times 5}{4}\right)\)
On obtient donc \(C = \ln(10)\). - On décompose d’abord 72 en facteurs premiers : \(72 = 8 \times 9 = 2^3 \times 3^2\). Ensuite :
\(\ln(72) = \ln\left(2^3\right) + \ln\left(3^2\right)\)
Finalement, \(\ln(72) = 3\ln(2) + 2\ln(3)\).
Piège classique : écrire \(\ln(12) + \ln(3) = \ln(15)\). Le logarithme transforme un produit en somme, mais jamais une somme en somme.
Exercice 2 – Équations et inéquations (5 points)
- Les deux logarithmes existent quand \(2x – 1 > 0\) et \(x + 3 > 0\), c’est-à-dire quand \(x > \dfrac{1}{2}\). On résout donc sur \(I = \left]\dfrac{1}{2}\,;\,+\infty\right[\).
Sur \(I\), comme ln est strictement croissante, l’équation équivaut à \(2x – 1 = x + 3\), donc à \(x = 4\).
Or \(4 \in I\), alors \(S = \{4\}\). - L’exponentielle est définie sur \(\mathbb{R}\), donc on résout sur \(\mathbb{R}\). La fonction ln est strictement croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\), et les deux membres sont strictement positifs :
\(\mathrm{e}^{2x – 1} > 3 \iff 2x – 1 > \ln(3) \iff x > \dfrac{1 + \ln(3)}{2}\).
Ainsi, \(S = \left]\dfrac{1 + \ln(3)}{2}\,;\,+\infty\right[\), avec \(\dfrac{1 + \ln(3)}{2} \approx 1{,}05\). - Il faut \(x > 0\) et \(x – 2 > 0\) : on résout donc sur \(I = ]2\,;\,+\infty[\).
Sur \(I\), \(\ln(x) + \ln(x – 2) = \ln\left(x(x – 2)\right)\). L’équation devient \(x(x – 2) = 8\), soit \(x^2 – 2x – 8 = 0\).
Le discriminant vaut \(\Delta = (-2)^2 – 4 \times 1 \times (-8) = 36\), donc les racines sont \(x_1 = \dfrac{2 – 6}{2} = -2\) et \(x_2 = \dfrac{2 + 6}{2} = 4\).
Cependant, \(-2\) n’appartient pas à \(I\) : on le rejette. Vérification : \(\ln(4) + \ln(2) = \ln(8)\). Donc \(S = \{4\}\). - Le logarithme existe quand \(3 – x > 0\), c’est-à-dire sur \(]-\infty\,;\,3[\). De plus, \(0 = \ln(1)\), alors :
\(\ln(3 – x) \leq \ln(1) \iff 3 – x \leq 1 \iff x \geq 2\).
En tenant compte de la condition d’existence, \(S = [2\,;\,3[\).
Piège classique : garder \(x = -2\) dans la question 3. L’équation du second degré a deux racines, mais seule celle de l’ensemble de résolution convient.
Exercice 3 – Deux courbes symétriques (3 points)
- Comme \(\mathrm{e}^{0} = 1\), la courbe de l’exponentielle passe par \(A(0\,;\,1)\) : c’est donc \(\mathcal{C}_1\). De même, \(\ln(1) = 0\), ainsi la courbe de ln passe par \(B(1\,;\,0)\). \(\mathcal{C}_1\) représente exp et \(\mathcal{C}_2\) représente ln.
- On a bien \(\ln\left(\mathrm{e}^{2}\right) = 2\), donc \(M\) est sur \(\mathcal{C}_2\). Par définition de ln, \(y = \ln(x)\) équivaut à \(x = \mathrm{e}^{y}\) : ici, \(\mathrm{e}^{2}\) est bien l’image de 2 par exp, donc \(N\left(2\,;\,\mathrm{e}^{2}\right)\) est sur \(\mathcal{C}_1\). On passe de \(M\) à \(N\) en échangeant les coordonnées : \(N\) est le symétrique de \(M\) par rapport à la droite \(\Delta\) d’équation \(y = x\).
- La droite \(y = 1{,}5\) coupe la courbe au point d’abscisse environ 4,5. En effet, \(\ln(x) = 1{,}5 \iff x = \mathrm{e}^{1{,}5}\). La solution exacte est donc \(x = \mathrm{e}^{1{,}5} \approx 4{,}48\).
- La courbe est sous la droite \(y = -1\) pour les abscisses comprises entre 0 et environ 0,4. Par le calcul, sur \(]0\,;\,+\infty[\) : \(\ln(x) < -1 \iff \ln(x) < \ln\left(\mathrm{e}^{-1}\right) \iff x < \mathrm{e}^{-1}\). Donc \(S = \left]0\,;\,\mathrm{e}^{-1}\right[\), avec \(\mathrm{e}^{-1} \approx 0{,}37\).
Exercice 4 – Dérivées et limites (4 points)
- La fonction \(f\) est le produit de \(u(x) = x^2\) et \(v(x) = \ln(x)\), avec \(u^{\prime}(x) = 2x\) et \(v^{\prime}(x) = \dfrac{1}{x}\). Ainsi :
\(f^{\prime}(x) = 2x\ln(x) + x^2 \times \dfrac{1}{x} = 2x\ln(x) + x\)
Après factorisation, \(f^{\prime}(x) = x\left(2\ln(x) + 1\right)\). - Pour tout réel \(x\), \(x^2 \geq 0\), donc \(x^2 + 4 \geq 4 > 0\) : \(g\) est bien définie sur \(\mathbb{R}\). On pose \(u(x) = x^2 + 4\), alors \(u^{\prime}(x) = 2x\) et \(g^{\prime} = \dfrac{u^{\prime}}{u}\) :
\(g^{\prime}(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 4}\).
Le dénominateur est strictement positif, donc \(g^{\prime}(x)\) a le signe de \(2x\). Par conséquent, \(g\) est décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\) et croissante sur \([0\,;\,+\infty[\), avec un minimum \(g(0) = \ln(4)\). - On a \(\lim x = +\infty\) et \(\lim 3\ln(x) = +\infty\) : c’est une forme indéterminée. On factorise par \(x\) :
\(x – 3\ln(x) = x\left(1 – 3 \times \dfrac{\ln(x)}{x}\right)\)
Par croissances comparées, \(\dfrac{\ln(x)}{x}\) tend vers 0 en \(+\infty\), donc la parenthèse tend vers 1. Par produit, \(\lim_{x \to +\infty} \left(x – 3\ln(x)\right) = +\infty\). - Par croissances comparées, \(x\ln(x)\) tend vers 0 quand \(x\) tend vers 0 par valeurs positives. Donc \(2x\ln(x)\) tend aussi vers 0 et, par somme, la limite vaut 5.
Piège classique : conclure « \(+\infty – \infty = 0\) » à la question 3. Il faut au contraire factoriser par le terme qui l’emporte, ici \(x\).
Exercice 5 – La dépollution du lac (4 points)
- Éliminer 20 % d’une quantité revient à la multiplier par \(1 – \dfrac{20}{100} = 0{,}8\). Ainsi, pour tout entier naturel \(n\), \(q_{n+1} = 0{,}8\,q_n\) : la suite \((q_n)\) est donc géométrique de raison 0,8 et de premier terme \(q_0 = 500\). Par conséquent, \(q_n = 500 \times 0{,}8^n\).
- L’année 2029 correspond à \(n = 3\) :
\(q_3 = 500 \times 0{,}8^3 = 500 \times 0{,}512 = 256\)
Au 1er janvier 2029, il reste 256 kg de polluant. - Les deux membres sont strictement positifs et ln est strictement croissante, donc :
\(0{,}8^n < 0{,}01 \iff n\ln(0{,}8) < \ln(0{,}01)\).
Or \(0 < 0{,}8 < 1\), alors \(\ln(0{,}8) < 0\) : en divisant, on change le sens de l’inégalité.
\(n > \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}8)} \approx 20{,}64\)
Vérification : \(0{,}8^{20} \approx 0{,}0115\) et \(0{,}8^{21} \approx 0{,}0092\). Le plus petit entier cherché est donc \(n = 21\). - Il reste moins de 1 % de la quantité initiale quand \(q_n < 0{,}01 \times 500\), c’est-à-dire quand \(500 \times 0{,}8^n < 5\). En divisant par 500, on retrouve \(0{,}8^n < 0{,}01\), donc \(n \geq 21\). Comme \(2026 + 21 = 2047\), la baignade est de nouveau autorisée à partir du 1er janvier 2047.
- La boucle doit continuer tant que la quantité vaut au moins 5 kg, puis chaque passage multiplie \(q\) par 0,8. On complète donc la ligne 4 par while q >= 5 : et la ligne 6 par q = 0.8 * q. La fonction renvoie alors 2047.
Piège classique : oublier que \(\ln(0{,}8)\) est négatif et trouver \(n < 20{,}64\). Un contrôle rapide à la calculatrice avec \(0{,}8^{21}\) évite cette erreur.
À retenir de ce contrôle
- Pour tous réels a et b strictement positifs, ln(ab) = ln a + ln b, ln(a/b) = ln a − ln b et ln(a^n) = n ln a.
- Avant de résoudre une équation avec ln, on détermine l’ensemble où chaque logarithme existe, puis on vérifie que les solutions y appartiennent.
- Comme ln est strictement croissante, ln a < ln b équivaut à a < b pour a et b strictement positifs.
- Si 0 < q < 1, alors ln q est négatif : en divisant par ln q, on change le sens de l’inégalité.
- La dérivée de ln(u) est u′/u lorsque u est dérivable et strictement positive sur l’intervalle étudié.
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