Continuité et valeurs intermédiaires en maths sup (MPSI) : cours et méthodes

Soit \(a\) réel et \(\ell\) réel. On dit que \(f\) tend vers \(\ell\) en \(a\) lorsque

\[\forall \varepsilon>0,\ \exists \delta>0,\ \forall x\in D,\ |x-a|\leqslant\delta \Rightarrow |f(x)-\ell|\leqslant\varepsilon.\]

De même, \(f\) tend vers \(+\infty\) en \(a\) lorsque \(\forall A\in\mathbb{R},\ \exists \delta>0,\ \forall x\in D,\ |x-a|\leqslant\delta\Rightarrow f(x)\geqslant A\). Enfin, \(f\) tend vers \(\ell\) en \(+\infty\) lorsque \(\forall\varepsilon>0,\ \exists B\in\mathbb{R},\ \forall x\in D,\ x\geqslant B\Rightarrow |f(x)-\ell|\leqslant\varepsilon\).

Si \(a\in D\) et si \(f\) admet une limite \(\ell\) en \(a\), alors \(\ell=f(a)\). En effet, \(x=a\) vérifie \(|x-a|\leqslant\delta\) pour tout \(\delta\), donc \(|f(a)-\ell|\leqslant\varepsilon\) pour tout \(\varepsilon>0\).

Nous établissons que \(\frac1x\) tend vers \(\frac14\) quand \(x\) tend vers \(4\). D’abord, on réduit au même dénominateur : \(\left|\frac1x-\frac14\right|=\frac{|x-4|}{4|x|}\). Ensuite, on se limite à \(|x-4|\leqslant 2\). Dans ce cas, \(x\geqslant2\), donc \(4|x|\geqslant8\).

Fixons alors \(\varepsilon>0\) et prenons \(\delta=\min(2,8\varepsilon)\). Pour \(|x-4|\leqslant\delta\), il vient \(\left|\frac1x-\frac14\right|\leqslant\frac{\delta}{8}\leqslant\varepsilon\). Le minimum garantit donc que la minoration du dénominateur reste vraie.

On suppose que \(D\) contient des points à gauche et à droite de \(a\), aussi proches que l’on veut.

• Cas \(a\notin D\) : la limite en \(a\) existe et vaut \(\ell\) exactement quand les deux limites latérales existent et valent toutes deux \(\ell\).
• Cas \(a\in D\) : on exige en outre que cette valeur commune coïncide avec \(f(a)\).

Soit \(\ell\in\overline{\mathbb{R}}\). Les deux assertions suivantes sont équivalentes.

• (i) On a \(\lim_a f=\ell\).
• (ii) Dès que \((u_n)\) est à valeurs dans \(D\) et converge vers \(a\), la suite image \((f(u_n))\) a pour limite \(\ell\).

Nous traitons \(a\) et \(\ell\) réels ; les autres cas se rédigent de la même façon.

De (i) vers (ii). Fixons \(\varepsilon>0\) et prenons le \(\delta\) fourni par (i). La convergence de \((u_n)\) vers \(a\) procure un entier \(N\) à partir duquel \(|u_n-a|\leqslant\delta\). Pour ces indices, on a donc \(|f(u_n)-\ell|\leqslant\varepsilon\).

De (ii) vers (i), par contraposée. Si (i) est fausse, on dispose d’un \(\varepsilon_0>0\) mis en défaut par chaque \(\delta>0\) : un certain \(x\in D\) est à distance au plus \(\delta\) de \(a\) et vérifie pourtant \(|f(x)-\ell|>\varepsilon_0\). Avec \(\delta=1/(n+1)\), on nomme \(u_n\) un tel \(x\). Alors \(u_n\to a\), mais \(|f(u_n)-\ell|>\varepsilon_0\) pour tout \(n\). Ainsi, \((f(u_n))\) ne tend pas vers \(\ell\).

Objectif : établir l’absence de limite en \(a\).

1. repérer deux familles de points proches de \(a\) où \(f\) prend des valeurs très différentes ;
2. en extraire deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) de \(D\), toutes deux de limite \(a\) ;
3. calculer \(\lim f(u_n)\) et \(\lim f(v_n)\), puis constater qu’elles diffèrent ;
4. conclure : si \(f\) avait une limite \(\ell\), les deux suites images tendraient vers \(\ell\).

Une variante consiste à exhiber une seule suite \((u_n)\) de limite \(a\) telle que \((f(u_n))\) diverge.

Étudions \(f(x)=\sin(\ln x)\) quand \(x\) tend vers \(0^+\). D’abord, \(\ln x\) parcourt tout \(]-\infty,0[\), donc le sinus oscille sans fin. Ensuite, on vise les points où \(\ln x\) vaut \(-2n\pi\) puis \(-2n\pi+\frac{\pi}{2}\).

On pose donc \(u_n=\mathrm{e}^{-2n\pi}\) et \(v_n=\mathrm{e}^{-2n\pi+\pi/2}\). Ces deux suites tendent vers \(0\) par valeurs positives. Cependant, \(f(u_n)=0\) et \(f(v_n)=1\) pour tout \(n\geqslant 1\). Deux limites distinctes apparaissent : la fonction ne converge donc pas à droite de \(0\).

Si \(f\to\ell\) et \(g\to\ell^{\prime}\) en \(a\), avec \(\ell,\ell^{\prime}\) réels, alors \(f+g\to\ell+\ell^{\prime}\), \(fg\to\ell\ell^{\prime}\) et, lorsque \(\ell^{\prime}\neq0\), \(f/g\to\ell/\ell^{\prime}\). Les règles avec \(\pm\infty\) sont celles des suites. Les formes indéterminées restent \(\infty-\infty\), \(0\times\infty\), \(\frac{0}{0}\) et \(\frac{\infty}{\infty}\).

Soit \(f:D\to\mathbb{R}\) et \(g\) définie sur une partie contenant \(f(D)\). Si \(f(x)\to b\) quand \(x\to a\) et si \(g(y)\to\ell\) quand \(y\to b\), alors \(g(f(x))\to\ell\) quand \(x\to a\).

Supposons \(g\leqslant f\leqslant h\) au voisinage de \(a\).

• Lorsque \(g\) et \(h\) ont en \(a\) une limite réelle commune \(\ell\), la fonction \(f\), coincée entre elles, converge elle aussi vers \(\ell\).
• Si \(g\to+\infty\), alors \(f\to+\infty\) ; si \(h\to-\infty\), alors \(f\to-\infty\).

Cherchons la limite en \(+\infty\) de \(f(x)=\frac{2x+\sin(x^3)}{x+1}\). Le terme \(\sin(x^3)\) n’a pas de limite, mais il est coincé entre \(-1\) et \(1\). Donc, pour \(x>0\) :

\[\frac{2x-1}{x+1}\leqslant f(x)\leqslant\frac{2x+1}{x+1}.\]

Les deux bornes tendent vers \(2\). Par encadrement, on en déduit que \(f(x)\to2\).

Soit \(f\) croissante sur \(]a,b[\), avec \(-\infty\leqslant a<b\leqslant+\infty\).

• Si \(f\) est majorée, \(f\) tend en \(b\) vers \(\sup_{]a,b[}f\) ; sinon, \(f\) tend vers \(+\infty\) en \(b\).
• Si \(f\) est minorée, \(f\) tend en \(a\) vers \(\inf_{]a,b[}f\) ; sinon, \(f\) tend vers \(-\infty\) en \(a\).

On obtient l’énoncé décroissant en appliquant celui-ci à \(-f\).

Traitons \(b\) réel et \(f\) majorée. On note \(M=\sup_{]a,b[}f\), qui existe par la propriété de la borne supérieure. Soit \(\varepsilon>0\). Le réel \(M-\varepsilon\) n’est pas un majorant de \(f\) : un point \(x_0\) de \(]a,b[\) dépasse donc ce seuil, au sens où \(f(x_0)>M-\varepsilon\).

Prenons maintenant \(x\) entre \(x_0\) et \(b\). Puisque \(f\) croît, \(f(x)\) est au moins égal à \(f(x_0)\), et il reste majoré par \(M\) : \(f(x)\in\,]M-\varepsilon,M]\). On pose \(\delta=b-x_0\). Alors \(|f(x)-M|\leqslant\varepsilon\) dès que \(x\in\,]a,b[\) et \(|x-b|\leqslant\delta\). Finalement, \(f\to M\) en \(b\).

Soit \(c\) un point intérieur de l’intervalle \(I\) sur lequel \(f\) croît. Alors les limites \(f(c^-)\) et \(f(c^+)\) existent, sont finies et vérifient \(f(c^-)\leqslant f(c)\leqslant f(c^+)\).

Soit \(a\in D\). La fonction \(f\) est continue en \(a\) lorsque \(f\) admet une limite en \(a\) ; cette limite vaut alors \(f(a)\). Elle est continue à droite en \(a\) lorsque sa restriction à \(D\cap[a,+\infty[\) est continue en \(a\). Enfin, \(f\) est continue sur \(D\) lorsqu’elle l’est en chaque point de \(D\).

Si \(f\) est continue en \(a\) et si \(u_n\to a\) avec \(u_n\in D\), alors \(f(u_n)\to f(a)\). Application aux récurrences \(u_{n+1}=g(u_n)\) : on passe à la limite des deux côtés. Lorsque \(u_n\to\ell\) et que \(g\) est continue au point \(\ell\), on trouve \(\ell=g(\ell)\). Seuls les points fixes de \(g\) peuvent donc servir de limite.

Soit \(a\) un point extérieur à \(D\) mais limite de points de \(D\). Supposons que \(f\) ait en \(a\) une limite réelle \(\ell\). On fabrique \(\tilde f\) sur \(D\cup\{a\}\) : elle recopie \(f\) sur \(D\) et prend la valeur \(\ell\) en \(a\). Cette nouvelle fonction est continue en \(a\) ; c’est le prolongement par continuité de \(f\).

1. Vérifier que \(a\) n’est pas dans le domaine, mais qu’on peut s’en approcher.
2. Calculer la limite en \(a\), au besoin à droite et à gauche séparément.
3. S’assurer que la limite est finie et, si les deux côtés existent, qu’ils coïncident.
4. Définir explicitement \(\tilde f\) par deux lignes, en précisant son domaine.

Soit \(f(x)=\frac{\mathrm{e}^{3x}-1}{\sin(2x)}\) sur \(]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[\setminus\{0\}\). Pour \(x\neq0\) assez petit, on écrit :

\[f(x)=\frac{\mathrm{e}^{3x}-1}{3x}\times\frac{2x}{\sin(2x)}\times\frac{3}{2}.\]

Or \(\frac{\mathrm{e}^{u}-1}{u}\to1\) et \(\frac{\sin u}{u}\to1\) quand \(u\to0\). Par composition, les deux premiers facteurs tendent vers \(1\). Donc \(f(x)\to\frac{3}{2}\). On prolonge alors \(f\) en posant \(\tilde f(0)=\frac{3}{2}\).

Soit \(f\) continue sur un intervalle \(I\), et soient \(a<b\) dans \(I\). Alors tout réel \(y\) situé entre \(f(a)\) et \(f(b)\) possède au moins un antécédent \(c\) dans \([a,b]\).

Quitte à remplacer \(f\) par \(f-y\), puis éventuellement par \(y-f\), on se ramène au cas \(y=0\), \(f(a)\leqslant0\leqslant f(b)\).

Partons de \([a_0,b_0]=[a,b]\) et coupons l’intervalle en deux à chaque étape. Avec le milieu \(m_n\) de \([a_n,b_n]\), on garde la moitié gauche quand \(f(m_n)>0\), c’est-à-dire \([a_n,m_n]\). Dans le cas contraire, on garde la moitié droite \([m_n,b_n]\).

Une récurrence immédiate montre que \(f(a_n)\leqslant 0\leqslant f(b_n)\) reste vrai. En outre, \(a_n\) ne fait que monter, \(b_n\) que descendre, et l’écart \(\frac{b-a}{2^n}\) tend vers \(0\). Par le théorème des suites adjacentes, \(a_n\) et \(b_n\) ont une limite commune \(c\), forcément dans \([a,b]\).

Enfin, la continuité de \(f\) en \(c\) donne \(f(a_n)\to f(c)\) et \(f(b_n)\to f(c)\). En passant à la limite dans les inégalités, on obtient \(f(c)\leqslant0\) et \(f(c)\geqslant0\). Finalement, \(f(c)=0\).

Dès que \(f\) est continue sur l’intervalle \(I\), l’ensemble \(f(I)\) est encore un intervalle. En effet, il contient tout réel situé entre deux de ses éléments.

1. Mettre l’équation sous la forme \(g(x)=0\), ou \(g(x)=y\) avec \(y\) fixé.
2. Choisir un intervalle et y justifier la continuité de \(g\).
3. Trouver deux points, ou deux limites, où \(g\) prend des signes opposés.
4. Conclure par le TVI ; puis, si l’énoncé le demande, prouver l’unicité par la stricte monotonie.

L’équation \(\ln x+x^2=0\) possède-t-elle une racine entre \(0\) et \(1\) ? Et une seule ? On pose \(g(x)=\ln x+x^2\), continue sur \(]0,1]\). D’une part, \(g(x)\to-\infty\) en \(0^+\), donc il existe \(x_1\in\,]0,1[\) tel que \(g(x_1)<0\). D’autre part, \(g(1)=1>0\).

Le TVI sur \([x_1,1]\) fournit donc une solution \(c\in\,]0,1[\). De plus, \(\ln\) et \(x\mapsto x^2\) croissent strictement sur \(]0,1]\), et leur somme \(g\) aussi. Par conséquent, la solution est unique.

Soit \(f\) continue sur \([a,b]\), où \(a<b\) sont réels. Alors \(f\) est bornée, et deux points \(x_m\) et \(x_M\) de \([a,b]\) vérifient \(f(x_m)\leqslant f(x)\leqslant f(x_M)\) pour tout \(x\in[a,b]\). Avec le TVI, on en déduit que \(f([a,b])\) est le segment \([f(x_m),f(x_M)]\).

Raisonnons par l’absurde en supposant \(f\) sans majorant. Chaque entier \(n\) est alors dépassé par une valeur \(f(x_n)\), avec \(x_n\in[a,b]\). Comme \((x_n)\) reste dans \([a,b]\), le théorème de Bolzano-Weierstrass en extrait une sous-suite \((x_{\varphi(n)})\) qui converge vers un \(c\in[a,b]\). Par continuité, \(f(x_{\varphi(n)})\to f(c)\). C’est absurde, car \(f(x_{\varphi(n)})\geqslant\varphi(n)\to+\infty\).

Ainsi, \(f\) est majorée ; on note \(M=\sup f\). Pour chaque \(n\), le réel \(M-\frac1{n+1}\) ne majore pas \(f\) : on choisit \(y_n\in[a,b]\) avec \(M-\frac1{n+1}<f(y_n)\leqslant M\). On extrait de nouveau une sous-suite convergente, de limite \(d\in[a,b]\). Par continuité et par encadrement, \(f(d)=M\). Le minimum se traite avec \(-f\).

Sur un intervalle \(I\), continuité et injectivité réunies entraînent la stricte monotonie : \(f\) est alors strictement croissante ou strictement décroissante.

Soient \(x_1<y_1\) et \(x_2<y_2\) dans \(I\). Pour \(t\in[0,1]\), on pose \(x(t)=(1-t)x_1+tx_2\) et \(y(t)=(1-t)y_1+ty_2\). Ces points restent dans \(I\), qui est convexe, et \(x(t)<y(t)\) pour tout \(t\).

Considérons \(\psi(t)=f(y(t))-f(x(t))\). Elle est continue sur \([0,1]\) par composition. De plus, elle ne s’annule jamais, car \(f\) est injective et \(x(t)\neq y(t)\). D’après le TVI, \(\psi\) garde donc un signe constant. En comparant \(t=0\) et \(t=1\), on voit que \(f(y_1)-f(x_1)\) et \(f(y_2)-f(x_2)\) ont le même signe. Autrement dit, \(f\) est strictement croissante ou strictement décroissante.

Sans continuité, le résultat tombe. Soit \(f\) définie sur \([0,2]\) par \(f(x)=x\) si \(x<1\) et \(f(x)=3-x\) si \(x\geqslant1\). Elle prend les valeurs de \([0,1[\) sur \([0,1[\) et celles de \([1,2]\) sur \([1,2]\). Elle est donc injective, mais elle n’est pas monotone, car \(f(0)<f(1)\) et \(f(1)>f(2)\).

On suppose \(f\) continue sur l’intervalle \(I\), et strictement croissante ou strictement décroissante. On note \(J=f(I)\).

• L’ensemble \(J\) est un intervalle ; ses bornes s’obtiennent en calculant les limites de \(f\) aux bornes de \(I\).
• Chaque élément de \(J\) a exactement un antécédent dans \(I\) : \(f\) est bijective de \(I\) vers \(J\).
• L’application \(f^{-1}:J\to I\) hérite de la continuité, et elle varie strictement dans le même sens que \(f\).

Soit \(f(x)=x+\ln x\) sur \(]0,+\infty[\). Les deux termes \(x\) et \(\ln x\) sont continus et croissent strictement ; leur somme hérite de ces propriétés. Aux bornes, \(f\to-\infty\) en \(0^+\) et \(f\to+\infty\) en \(+\infty\). Donc \(f\) est une bijection de \(]0,+\infty[\) sur \(\mathbb{R}\).

Ainsi, pour tout réel \(y\), l’équation \(x+\ln x=y\) a une unique solution \(f^{-1}(y)\). Par exemple, \(f(1)=1\), donc \(f^{-1}(1)=1\). En outre, \(f^{-1}\) est continue et croissante, alors qu’on ne sait pas l’écrire avec les fonctions usuelles.

Pour compter les solutions de \(g(x)=0\), on découpe le domaine en intervalles où \(g\) est continue et strictement monotone. Sur chacun, le théorème de la bijection dit s’il y a zéro ou une solution : il suffit de regarder si \(0\) est entre les limites aux bornes.

• S’exercer : exercices corrigés de maths sup (MPSI) sur continuité et valeurs intermédiaires
• Bases utiles : Convergence des suites réelles et complexes
• Chapitre d’avant : Suites définies par u(n+1) = f(u(n)) et points fixes
• Chapitre d’après : Dérivabilité, Rolle et accroissements finis
• Vérifier ses acquis : QCM de maths sup (MPSI) sur continuité et valeurs intermédiaires
• Contrôle corrigé en temps limité : Existence de solutions par continuité : contrôle de maths en MPSI
• Tous les chapitres : le sommaire de maths sup (MPSI)
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