Variables aléatoires finies en maths sup (MPSI) : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Loi et espérance de X au carré moins X

Une variable \(X\) prend les valeurs \(-2\), \(-1\), \(0\), \(1\) et \(2\) avec les probabilités respectives \(0{,}1\), \(0{,}2\), \(0{,}3\), \(0{,}25\) et \(0{,}15\). On pose \(Y=X^2-X\).

1. Calculer \(E(X)\).
2. Déterminer la loi de \(Y\), puis calculer \(E(Y)\) à partir de cette loi.
3. Retrouver \(E(Y)\) par la formule de transfert.

Exercice 2 – Un questionnaire rempli au hasard

Un questionnaire comporte 8 questions, chacune avec 3 réponses proposées dont une seule est juste. Un candidat répond à chaque question au hasard, indépendamment des autres. On note \(X\) le nombre de bonnes réponses.

1. Justifier soigneusement la loi de \(X\).
2. Calculer la probabilité que le candidat obtienne au moins deux bonnes réponses.
3. Une bonne réponse rapporte 3 points, une mauvaise en retire 1. Exprimer la note \(S\) en fonction de \(X\), puis calculer \(E(S)\) et \(V(S)\).

Exercice 3 – König-Huygens sur une loi à trois valeurs

Une variable \(Z\) vaut \(1\), \(2\) ou \(5\) avec les probabilités \(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{3}\) et \(\frac{1}{6}\).

1. Calculer \(E(Z)\) et \(E(Z^2)\), puis \(V(Z)\) et \(\sigma(Z)\).
2. En déduire \(E(3-2Z)\) et \(V(3-2Z)\).

Exercice 4 – Lire une loi conjointe et tester l’indépendance

Le couple \((X,Y)\) a pour loi conjointe : \(P(X=0,Y=-1)=0{,}08\), \(P(X=0,Y=1)=0{,}12\), \(P(X=1,Y=-1)=0{,}2\), \(P(X=1,Y=1)=0{,}3\), \(P(X=2,Y=-1)=0{,}12\) et \(P(X=2,Y=1)=0{,}18\).

1. Déterminer les lois marginales de \(X\) et de \(Y\).
2. Montrer que \(X\) et \(Y\) sont indépendantes.
3. Calculer \(E(XY)\) de deux façons.

La figure représente cette loi conjointe sous forme de tableau coloré.

Exercice 5 – L’inégalité de Markov peut être une égalité

Soit \(X\) une variable positive d’espérance \(3\).

1. Majorer \(P(X\geqslant10)\).
2. Trouver une variable positive d’espérance \(3\) pour laquelle la majoration est une égalité.
3. Peut-on avoir \(P(X\geqslant2)=1\) ? Et \(P(X\geqslant4)=0{,}8\) ?

Exercice 6 – Covariance de deux indicatrices

Soit \(A\) et \(B\) deux événements.

1. Montrer que \(\operatorname{Cov}(\mathbf{1}_A,\mathbf{1}_B)=P(A\cap B)-P(A)P(B)\).
2. En déduire que \(\mathbf{1}_A\) et \(\mathbf{1}_B\) sont indépendantes si et seulement si leur covariance est nulle.
3. On lance un dé équilibré à six faces. Calculer la covariance des indicatrices de « résultat pair » et de « résultat au moins égal à 4 ».

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Somme et maximum de deux dés à quatre faces

Deux dés tétraédriques non truqués, aux faces marquées 1, 2, 3, 4, sont jetés ensemble ; leurs résultats \(D_1\) et \(D_2\) sont indépendants. On pose \(S=D_1+D_2\) et \(M=\max(D_1,D_2)\).

1. Calculer \(E(D_1)\) et \(V(D_1)\).
2. Déterminer la loi de \(S\). En déduire \(E(S)\) et \(V(S)\) par deux méthodes.
3. Calculer \(P(M\leqslant k)\) pour \(k\in[\![1,4]\!]\), puis la loi de \(M\) et \(E(M)\).

Exercice 8 – Variance du nombre de boîtes vides

On place \(k\) boules dans \(n\geqslant2\) boîtes, chaque boule choisissant sa boîte uniformément, indépendamment des autres. On note \(N\) le nombre de boîtes vides et \(A_i\) l’événement « la boîte \(i\) est vide ».

1. Rappeler \(E(N)\).
2. Pour \(i\neq j\), calculer \(P(A_i\cap A_j)\).
3. En déduire \(V(N)\) en fonction de \(n\) et \(k\).
4. Faire l’application numérique pour \(n=3\) et \(k=4\).

Exercice 9 – Tirages sans remise et indicatrices

Une urne contient 5 boules rouges et 7 boules bleues. On tire successivement 4 boules sans remise. On note \(R_i\) l’événement « la \(i\)-ème boule est rouge » et \(X\) le nombre de boules rouges tirées.

1. Calculer \(P(R_i)\) pour \(i\in[\![1,4]\!]\), puis \(E(X)\).
2. Calculer \(P(R_i\cap R_j)\) pour \(i\neq j\), puis \(\operatorname{Cov}(\mathbf{1}_{R_i},\mathbf{1}_{R_j})\).
3. En déduire \(V(X)\). Comparer avec la variance obtenue pour des tirages avec remise.

Exercice 10 – Covariance et variance d’une somme sur un tableau

Le couple \((X,Y)\), à valeurs dans \(\{0,1\}\times\{0,1,2\}\), a pour loi : \(P(0,0)=0{,}1\), \(P(0,1)=0{,}2\), \(P(0,2)=0{,}1\), \(P(1,0)=0{,}05\), \(P(1,1)=0{,}15\) et \(P(1,2)=0{,}4\), où \(P(x,y)\) désigne \(P(X=x,Y=y)\).

1. Déterminer les lois marginales, puis \(E(X)\), \(E(Y)\), \(V(X)\) et \(V(Y)\).
2. Calculer \(\operatorname{Cov}(X,Y)\). Les variables sont-elles indépendantes ?
3. En déduire \(V(X+Y)\) et \(V(X-Y)\).

Exercice 11 – Combien de lancers pour estimer la fréquence du six

On lance \(n\) fois un dé équilibré à six faces, et l’on note \(F_n\) la fréquence des six obtenus.

1. Calculer \(E(F_n)\) et \(V(F_n)\).
2. À l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, majorer \(P\big(|F_n-\frac{1}{6}|\geqslant0{,}05\big)\).
3. Déterminer un entier \(n\) qui garantit \(P\big(|F_n-\frac{1}{6}|<0{,}05\big)\geqslant0{,}9\).

La figure montre comment cette majoration décroît lorsque \(n\) augmente.

Exercice 12 – Coalitions de variables de Bernoulli

Soit \(X_1,X_2,X_3,X_4\) des variables mutuellement indépendantes de loi \(\mathcal{B}(p)\), avec \(0<p<1\).

1. Justifier que \(U=X_1+X_2\) et \(W=X_3X_4\) sont indépendantes. Donner leurs lois.
2. Calculer \(P(U=1,W=1)\).
3. Calculer \(\operatorname{Cov}(X_1+X_2,X_2+X_3)\). Ces deux variables sont-elles indépendantes ?

Exercice 13 – Covariance nulle et indépendance

Cet exercice précise le lien entre covariance et indépendance.

1. Soit \(X\) uniforme sur \(\{-1,0,1\}\) et \(Y=\mathbf{1}_{(X=0)}\). Calculer \(\operatorname{Cov}(X,Y)\) et montrer que \(X\) et \(Y\) ne sont pas indépendantes.
2. Soit \(U\) et \(W\) deux variables à valeurs dans \(\{0,1\}\). Montrer que \(U\) et \(W\) sont indépendantes si et seulement si \(\operatorname{Cov}(U,W)=0\).
3. Soit \(U\) et \(W\) à valeurs dans \(\{a,b\}\) et \(\{c,d\}\), avec \(a\neq b\) et \(c\neq d\). Étendre le résultat précédent.

Exercice 14 – Variance nulle et meilleure approximation constante

Soit \(X\) une variable aléatoire réelle sur un espace probabilisé fini.

1. Pour \(a\in\mathbb{R}\), développer \(g(a)=E\big((X-a)^2\big)\) et montrer que \(g\) atteint son minimum en \(a=E(X)\). Quel est ce minimum ?
2. Montrer que \(V(X)=0\) si et seulement si \(P(X=E(X))=1\).
3. Montrer que \(E(X)^2\leqslant E(X^2)\), avec égalité si et seulement si \(X\) est presque sûrement constante.

Exercice 15 – Somme de deux binomiales indépendantes

Soit \(X\) de loi \(\mathcal{B}(m,p)\) et \(Y\) de loi \(\mathcal{B}(n,p)\), indépendantes.

1. Pour \(k\in[\![0,m+n]\!]\), écrire \(P(X+Y=k)\) comme une somme.
2. En utilisant la formule de Vandermonde, montrer que \(X+Y\) suit la loi \(\mathcal{B}(m+n,p)\).
3. Retrouver \(E(X+Y)\) et \(V(X+Y)\) sans utiliser la loi de \(X+Y\).
4. Construire un exemple où \(X\) et \(Y\) ont des paramètres de succès distincts et où \(X+Y\) n’est pas binomiale.

Pour approfondir

Exercice 16 – Doublets consécutifs dans une suite de lancers

On lance \(n\geqslant3\) fois un dé équilibré à six faces ; on note \(R_1,\dots,R_n\) les résultats. Pour \(i\in[\![1,n-1]\!]\), on pose \(I_i=\mathbf{1}_{(R_i=R_{i+1})}\) et \(D=\sum_{i=1}^{n-1}I_i\), nombre de doublets consécutifs.

1. Calculer \(E(D)\).
2. Montrer que \(I_i\) et \(I_{i+1}\) sont indépendantes, puis que \(I_i\) et \(I_j\) le sont pour \(|i-j|\geqslant2\).
3. En déduire \(V(D)\).
4. Montrer que \(I_1\), \(I_2\) et \(\mathbf{1}_{(R_1=R_3)}\) sont deux à deux indépendantes, mais pas mutuellement indépendantes.
5. Pour \(n=1001\), majorer la probabilité que \(D\) s’écarte de son espérance d’au moins \(50\).

Exercice 17 – Problème sur une marche aléatoire de n pas

Un pion part de \(0\) sur un axe. À chaque étape, il avance de \(+1\) avec probabilité \(p\in\,]0,1[\) et recule de \(1\) sinon, indépendamment des étapes précédentes. On note \(\varepsilon_i\in\{-1,1\}\) le \(i\)-ème pas et \(S_n=\varepsilon_1+\dots+\varepsilon_n\) la position après \(n\) pas.

1. On pose \(B_i=\frac{\varepsilon_i+1}{2}\). Donner la loi de \(B_i\), puis celle de \(T_n=B_1+\dots+B_n\). Exprimer \(S_n\) en fonction de \(T_n\).
2. En déduire \(S_n(\Omega)\) et \(P(S_n=k)\) pour \(k\in S_n(\Omega)\).
3. Calculer \(E(S_n)\) et \(V(S_n)\).
4. Pour \(n=4\) et \(p=\frac{1}{2}\), donner la loi de \(S_4\) et la probabilité de revenir en \(0\).
5. On suppose \(p=\frac{1}{2}\). Calculer \(E(S_n^2)\), puis montrer que \(P(|S_n|\geqslant a)\leqslant\frac{n}{a^2}\) pour \(a>0\). Application : \(n=100\), \(a=30\).

Exercice 18 – Problème sur les tests groupés

Pour dépister une infection dans une population de \(N=nk\) personnes, on forme \(n\) groupes de \(k\) personnes. On mélange les prélèvements de chaque groupe et on teste le mélange. S’il est négatif, le groupe est déclaré sain avec ce seul test. Sinon, on teste ensuite les \(k\) personnes une à une. Chaque personne est infectée avec probabilité \(p\in\,]0,1[\), indépendamment des autres, et l’on note \(q=1-p\). Soit \(T\) le nombre total de tests.

1. Montrer qu’un groupe donné est positif avec probabilité \(r=1-q^k\).
2. Soit \(G\) le nombre de groupes positifs. Justifier que \(G\) suit la loi \(\mathcal{B}(n,r)\), en citant le lemme des coalitions.
3. Exprimer \(T\) en fonction de \(G\). En déduire \(E(T)\) et \(V(T)\).
4. Montrer que le nombre moyen de tests par personne vaut \(c(k)=\frac{1}{k}+1-q^k\). Le calculer pour \(p=0{,}01\) et \(k\in\{5,10,11,12\}\).
5. Pour \(p=0{,}01\), \(k=10\) et \(N=1000\), donner \(E(T)\) et majorer \(P(T\geqslant300)\) par Bienaymé-Tchebychev.

Pour aller plus loin

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