Produit scalaire et Gram-Schmidt en maths sup (MPSI) : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Deux formes bilinéaires sur le plan

Pour \(x=(x_1,x_2)\) et \(y=(y_1,y_2)\) dans \(\mathbb{R}^2\), on pose \(\varphi(x,y)=x_1y_1-x_1y_2-x_2y_1+4x_2y_2\) et \(\psi(x,y)=x_1y_1+3x_1y_2+3x_2y_1+4x_2y_2\).

1. Montrer que \(\varphi\) est un produit scalaire sur \(\mathbb{R}^2\).
2. Montrer que \(\psi\) n’est pas un produit scalaire.
3. Déterminer un vecteur de norme \(1\) pour \(\varphi\), orthogonal à \((1,0)\) pour \(\varphi\).

Exercice 2 – Un produit scalaire défini par trois évaluations

Sur \(\mathbb{R}_2[X]\), on pose \(\langle P,Q\rangle=P(0)Q(0)+P(1)Q(1)+P(3)Q(3)\).

1. Montrer que l’on définit ainsi un produit scalaire.
2. La même formule définit-elle un produit scalaire sur \(\mathbb{R}_3[X]\) ?
3. Calculer \(\|X\|\), puis vérifier que \(1\) et \(X-\frac{4}{3}\) sont orthogonaux.

Exercice 3 – Polarisation et calculs de normes

Dans un espace préhilbertien réel, soit \(x\) et \(y\) tels que \(\|x\|=2\), \(\|y\|=3\) et \(\|x+y\|=4\).

1. Calculer \(\langle x,y\rangle\), puis \(\|x-y\|\) et \(\|2x+y\|\).
2. Vérifier sur cet exemple l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
3. Peut-on avoir \(\|x\|=2\), \(\|y\|=3\) et \(\|x+y\|=6\) ? Justifier.

Exercice 4 – Orthogonal d’une partie en dimension quatre

Dans \(\mathbb{R}^4\) muni du produit scalaire canonique, on considère \(A=\{(1,0,1,0),(0,1,1,1)\}\).

1. Écrire \(A^{\perp}\) comme l’ensemble des solutions d’un système linéaire.
2. En donner une base et la dimension.
3. Vérifier que \(\dim\mathrm{Vect}(A)+\dim A^{\perp}=4\).

Exercice 5 – Une famille orthonormée de fonctions trigonométriques

Sur \(E=\mathcal{C}([0,2\pi],\mathbb{R})\), on pose \(\langle f,g\rangle=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}f(t)g(t)\,\mathrm{d}t\). On note \(c_1(t)=\cos t\), \(s_1(t)=\sin t\) et \(c_2(t)=\cos 2t\).

1. Justifier que \(\langle\cdot,\cdot\rangle\) est un produit scalaire sur \(E\).
2. Montrer que \((c_1,s_1,c_2)\) est une famille orthonormée.
3. En déduire, sans intégrer, la valeur de \(\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}\big(2\cos t-3\sin t+\cos 2t\big)^2\,\mathrm{d}t\).

Exercice 6 – Maximum d’une forme linéaire sur la sphère unité

Déterminer le maximum et le minimum de \(3x-4y+12z\) lorsque \((x,y,z)\) décrit l’ensemble des réels vérifiant \(x^2+y^2+z^2=1\). Préciser en quels points ils sont atteints.

Exercice 7 – Coordonnées dans une base orthonormée du plan

Le plan \(\mathbb{R}^2\) est muni de son produit usuel. Les vecteurs étudiés sont \(e_1=\big(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\big)\) et \(e_2=\big(-\frac{4}{5},\frac{3}{5}\big)\).

1. Justifier que \((e_1,e_2)\) forme une base orthonormée du plan.
2. Déterminer les coordonnées de \(x=(2,1)\) et de \(y=(0,5)\) dans cette base.
3. Retrouver \(\langle x,y\rangle\) à partir de ces coordonnées.

Pour s’entraîner

Exercice 8 – Gram-Schmidt dans l’espace

L’espace \(\mathbb{R}^3\) est muni de son produit usuel. On considère les trois vecteurs \(u_1=(1,0,1)\), \(u_2=(1,1,1)\) et \(u_3=(0,1,2)\).

1. Vérifier, par un déterminant, que ces trois vecteurs forment une base.
2. Appliquer le procédé de Gram-Schmidt à cette base.
3. Déterminer les coordonnées de \(w=(1,2,3)\) dans la base orthonormée obtenue.

Exercice 9 – Gram-Schmidt pour un produit scalaire discret sur les polynômes

Sur \(\mathbb{R}_2[X]\), on considère le produit scalaire \(\langle P,Q\rangle=P(0)Q(0)+P(1)Q(1)+P(2)Q(2)\).

1. Orthonormaliser la base \((1,X,X^2)\).
2. En déduire le projeté orthogonal de \(X^2\) sur \(\mathbb{R}_1[X]\), puis la distance de \(X^2\) à \(\mathbb{R}_1[X]\).

Exercice 10 – Propriétés de l’orthogonal

Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\), et \(F\), \(G\) deux sous-espaces de \(E\).

1. Montrer que \(F\subset(F^{\perp})^{\perp}\), puis que \((F^{\perp})^{\perp}=F\).
2. Montrer que \((F+G)^{\perp}=F^{\perp}\cap G^{\perp}\).
3. En déduire que \((F\cap G)^{\perp}=F^{\perp}+G^{\perp}\).

Exercice 11 – Projection orthogonale sur un plan de l’espace

Dans \(\mathbb{R}^3\) canonique, on note \(\Pi\) le plan d’équation \(x+2y+2z=0\).

1. Donner un vecteur \(n\) qui dirige \(\Pi^{\perp}\).
2. Déterminer la matrice \(P\) de la projection orthogonale sur \(\Pi\) dans la base canonique.
3. Calculer le projeté de \(v=(1,1,1)\) sur \(\Pi\) et la distance de \(v\) à \(\Pi\).
4. En déduire la matrice de la symétrie orthogonale par rapport à \(\Pi\).

Exercice 12 – Projeté orthogonal par les équations normales

Dans \(\mathbb{R}^4\) canonique, soit \(F=\mathrm{Vect}(f_1,f_2)\) avec \(f_1=(1,1,0,0)\) et \(f_2=(0,1,1,1)\), et soit \(x=(1,0,0,3)\).

1. Écrire le système vérifié par les coefficients \(\lambda_1,\lambda_2\) du projeté \(p_F(x)=\lambda_1f_1+\lambda_2f_2\).
2. Résoudre ce système et en déduire \(p_F(x)\).
3. Vérifier que \(x-p_F(x)\) est orthogonal à \(F\), puis calculer \(d(x,F)\).

Exercice 13 – Deux inégalités de Cauchy-Schwarz sur les sommes

Soit \(n\geqslant 1\) et \(a_1,\dots,a_n\) des réels.

1. Montrer que \(\Big(\sum_{k=1}^{n}a_k\Big)^2\leqslant n\sum_{k=1}^{n}a_k^2\) et préciser le cas d’égalité.
2. Montrer que \(\Big(\sum_{k=1}^{n}k\,a_k\Big)^2\leqslant\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\sum_{k=1}^{n}a_k^2\) et préciser le cas d’égalité.
3. Application : déterminer le maximum de \(a_1+2a_2+3a_3\) lorsque \(a_1^2+a_2^2+a_3^2=1\).

Exercice 14 – Une inégalité intégrale par Cauchy-Schwarz

Soit \(f\in\mathcal{C}^1([0,1],\mathbb{R})\) telle que \(f(0)=0\).

1. Montrer que, pour tout \(x\in[0,1]\), \(f(x)^2\leqslant x\int_0^1f^{\prime}(t)^2\,\mathrm{d}t\).
2. En déduire que \(\int_0^1f(x)^2\,\mathrm{d}x\leqslant\frac{1}{2}\int_0^1f^{\prime}(t)^2\,\mathrm{d}t\).
3. Vérifier cette inégalité pour \(f(x)=x\) et pour \(f(x)=\sin\frac{\pi x}{2}\).

Exercice 15 – Polynômes de moyenne nulle

Sur \(E=\mathbb{R}_2[X]\), on considère le produit scalaire \(\langle P,Q\rangle=\int_0^1P(t)Q(t)\,\mathrm{d}t\), et \(F=\mathbb{R}_0[X]\), l’ensemble des polynômes constants.

1. Montrer que \(F^{\perp}=\{P\in E\mid\int_0^1P(t)\,\mathrm{d}t=0\}\) et en donner une base.
2. Déterminer le projeté orthogonal de \(X^2\) sur \(F\), puis sur \(F^{\perp}\).
3. Calculer la distance de \(X^2\) à \(F\).

Exercice 16 – Droite des moindres carrés

On dispose de quatre points \((0,1)\), \((1,2)\), \((2,4)\) et \((3,4)\). On cherche les réels \(a,b\) qui minimisent \(S(a,b)=\sum_{k=0}^{3}\big(y_k-a-bx_k\big)^2\), où \((x_k,y_k)\) désigne le \(k\)-ième point.

1. Interpréter \(S(a,b)\) comme le carré d’une distance dans \(\mathbb{R}^4\), à un plan \(F\) que l’on précisera.
2. Déterminer \(a\) et \(b\) réalisant le minimum.
3. Calculer le minimum de \(S\).

Exercice 17 – Meilleure approximation affine du sinus

On cherche le minimum de \(J(a,b)=\int_0^{\pi}\big(\sin t-a-bt\big)^2\,\mathrm{d}t\) pour \((a,b)\in\mathbb{R}^2\).

1. Préciser l’espace, le produit scalaire et le sous-espace qui permettent d’interpréter \(J\) comme le carré d’une distance.
2. Calculer les produits scalaires utiles et résoudre le système obtenu.
3. En déduire le minimum de \(J\) et vérifier qu’il est strictement positif.

Pour approfondir

Exercice 18 – Matrice de Gram et liberté

Soit \(E\) un espace préhilbertien réel et \((u_1,\dots,u_p)\) une famille de \(E\). Sa matrice de Gram est \(G=\big(\langle u_i,u_j\rangle\big)_{1\leqslant i,j\leqslant p}\).

1. Pour \(X={}^{\mathsf{t}}(x_1,\dots,x_p)\in\mathbb{R}^p\), montrer que \(X^{\mathsf{T}}GX=\big\|\sum_{i}x_iu_i\big\|^2\) et que la \(i\)-ème coordonnée de \(GX\) vaut \(\big\langle u_i,\sum_jx_ju_j\big\rangle\).
2. Établir l’équivalence entre l’inversibilité de \(G\) et la liberté de \((u_1,\dots,u_p)\).
3. Application dans \(\mathbb{R}^3\) : calculer la matrice de Gram de \((1,1,0)\), \((0,1,1)\), \((1,0,-1)\) et son déterminant. Conclure.

Exercice 19 – Projecteurs orthogonaux et contraction

Soit \(E\) un espace euclidien et \(p\) un projecteur de \(E\). On dit que \(p\) est orthogonal si \(\mathrm{Ker}\,p\) et \(\mathrm{Im}\,p\) sont orthogonaux.

1. On suppose \(p\) orthogonal. Montrer que \(\|p(x)\|\leqslant\|x\|\) pour tout \(x\in E\).
2. Réciproquement, on suppose \(\|p(x)\|\leqslant\|x\|\) pour tout \(x\). Soit \(a\in\mathrm{Im}\,p\), \(b\in\mathrm{Ker}\,p\) et \(t\in\mathbb{R}\). En étudiant \(\|p(a+tb)\|^2\), montrer que \(\langle a,b\rangle=0\).
3. Dans \(\mathbb{R}^2\) canonique, on considère le projecteur \(q(x,y)=(x-y,0)\). Trouver un vecteur \(v\) tel que \(\|q(v)\|>\|v\|\). Conclure.

Exercice 20 – Problème : géométrie euclidienne des matrices carrées

L’espace \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) est muni de \(\langle A,B\rangle=\mathrm{tr}(A^{\mathsf{T}}B)\). Dans tout le problème, \(\mathcal{S}_n\) désigne l’espace des matrices vérifiant \(A^{\mathsf{T}}=A\), \(\mathcal{A}_n\) celui des matrices vérifiant \(A^{\mathsf{T}}=-A\), et \(H\) l’hyperplan des matrices de trace nulle.

1. Montrer que \(\langle A,B\rangle=\sum_{i,j}a_{ij}b_{ij}\). En déduire que l’on définit un produit scalaire, pour lequel la base canonique \((E_{ij})\) est orthonormée.
2. Montrer que \(|\mathrm{tr}\,A|\leqslant\sqrt{n}\,\|A\|\), avec égalité si et seulement si \(A\) est scalaire.
3. Montrer que \(H=(\mathbb{R}I_n)^{\perp}\). En déduire le projeté orthogonal de \(A\) sur \(H\) et la distance \(d(A,H)\).
4. Montrer que \(\mathcal{S}_n\) et \(\mathcal{A}_n\) sont orthogonaux et supplémentaires. Donner le projeté orthogonal de \(A\) sur \(\mathcal{S}_n\) et \(d(A,\mathcal{S}_n)\).
5. Application : pour \(n=2\) et \(M=\begin{pmatrix}2&5\\1&-1\end{pmatrix}\), calculer les projetés de \(M\) sur \(H\) et sur \(\mathcal{S}_2\), ainsi que \(d(M,H)\) et \(d(M,\mathcal{S}_2)\).
6. En appliquant Cauchy-Schwarz dans \(\mathbb{R}^n\) à chaque coefficient de \(AB\), montrer que \(\|AB\|\leqslant\|A\|\,\|B\|\).

Pour aller plus loin

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