QCM : Z/nZ, idéaux et théorème chinois en maths spé (MP)

Réponse B.

Les deux éléments \((1,0)\) et \((0,1)\) sont non nuls, pourtant leur produit est nul. Ainsi un produit de deux anneaux non nuls n’est jamais intègre. Le piège principal croit que l’intégrité passe au produit comme la commutativité. Par ailleurs, \(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\) est bien commutatif, ce qui écarte l’argument de non-commutativité.

Réponse D.

La somme de deux idéaux de \(\mathbb{Z}\) est engendrée par le PGCD des générateurs. Or \(12\wedge 18=6\), donc on obtient \(6\mathbb{Z}\) : c’est la forme idéale du théorème de Bézout. Le piège \(36\mathbb{Z}\) donne le PPCM, qui correspond à l’intersection. La réponse \(30\mathbb{Z}\) additionne simplement les générateurs.

Réponse A.

Un entier est dans l’intersection s’il est multiple à la fois de 10 et de 15, donc multiple de leur PPCM, qui vaut 30. Le piège \(150\mathbb{Z}\) utilise le produit, ce qui n’est correct que pour des entiers premiers entre eux. Enfin, \(5\mathbb{Z}\) contient l’intersection mais correspond à la somme des deux idéaux.

Réponse B.

La relation \(a\mid b\) équivaut à l’inclusion \(bA\subset aA\). Être associés, c’est se diviser mutuellement, donc engendrer le même idéal. Dans un anneau intègre, cela revient à \(b=ua\) avec \(u\) inversible. Le piège \(b=ca\) ne traduit qu’une divisibilité dans un seul sens. Dans \(\mathbb{Z}\), par exemple, 3 et \(-3\) sont associés.

Réponse C.

Comme \(7\wedge 20=1\), la classe est inversible. On remarque que \(7\times 3=21=20+1\), donc \(\overline{7}\times\overline{3}=\overline{1}\). Le piège \(\overline{17}\) est l’opposé de \(\overline{3}\) : il donne \(-1\). Quant à \(\overline{7}\), son carré vaut \(\overline{9}\), donc il n’est pas son propre inverse.

Réponse D.

On décompose \(360=2^3\times 3^2\times 5\). Ensuite \(\varphi(360)=360\times\tfrac12\times\tfrac23\times\tfrac45=96\). Chaque piège oublie un facteur premier : 192 néglige le facteur 2, 144 le facteur 3, et 120 le facteur 5. On peut vérifier par multiplicativité : \(\varphi(8)\varphi(9)\varphi(5)=4\times 6\times 4\).

Réponse A.

L’anneau \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) est un corps si et seulement si \(n\) est premier ; or 13 est premier. En revanche, \(\overline{2}\times\overline{2}=\overline{0}\) dans \(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\), qui n’est donc pas intègre. Le piège consiste à le confondre avec le corps \(\mathbb{F}_4\) à quatre éléments, qui existe mais n’est pas \(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\).

Réponse B.

Comme 5 et 7 sont premiers entre eux, le théorème chinois garantit une unique classe modulo 35. On teste les nombres \(3,10,17,\dots\) congrus à 3 modulo 7 : 17 laisse bien le reste 2 modulo 5. Le piège 23 échange les deux restes. Par ailleurs, le module est le produit 35, et non la somme 12.

Réponse A.

Le théorème chinois exige des facteurs premiers entre eux, ce qui est le cas de 3 et 5. Pour les pièges, les cardinaux coïncident, cependant l’hypothèse de coprimalité manque. Par exemple, \(\overline{1}\) est d’ordre additif 9 dans \(\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}\), alors que tout élément du produit vérifie \(3x=0\). Le même argument d’ordre élimine les isomorphismes proposés pour 8 et 12.

Réponse C.

Comme \(3\wedge 14=1\) et \(\varphi(14)=6\), le théorème d’Euler donne \(3^6\equiv 1\ [14]\). Or \(100=6\times 16+4\), donc \(3^{100}\equiv 3^4=81\equiv 11\ [14]\). Le piège 9 réduit l’exposant modulo 14 au lieu de \(\varphi(14)\). La réponse 13 applique le petit théorème de Fermat comme si 14 était premier.

Réponse C.

L’anneau \(\mathbb{K}[X]\) est principal, et la somme de deux idéaux est engendrée par le PGCD unitaire. Or \(X^2-1=(X-1)(X+1)\) et \(X^2+X=X(X+1)\), donc ce PGCD vaut \(X+1\). Le piège \(X^3-X\) est le PPCM, générateur de l’intersection. Enfin, l’idéal entier supposerait des polynômes premiers entre eux.

Réponse D.

Par le théorème chinois, résoudre dans \(\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}\) revient à résoudre dans \(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\) et \(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\), qui sont des corps. Chacun fournit deux racines, \(\pm 1\). On obtient donc \(2\times 2=4\) solutions : 1, 4, 11 et 14. Le piège 2 raisonne comme dans un corps, alors que \(\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}\) n’est pas intègre.