QCM : Séries et sommation des équivalents en maths spé (MP)

Réponse C.

Le terme général tend vers \(\cos0=1\), qui n’est pas nul. La série diverge donc grossièrement, sans aucun calcul supplémentaire. Le piège avec un \(O\big(\frac{1}{n^2}\big)\) prouve en réalité la convergence de \(\sum\big(\cos\frac{1}{n}-1\big)\), une autre série. Ensuite, que l’argument tende vers \(0\) ne dit rien du terme lui-même. Enfin, la comparaison harmonique est inutile et ne s’applique pas telle quelle.

Réponse B.

En dimension finie, une série absolument convergente converge, quelle que soit la norme choisie, puisque toutes sont équivalentes. On passe ensuite à la limite dans l’inégalité triangulaire écrite pour les sommes partielles. Le piège de l’égalité ne vaut que pour des vecteurs positivement colinéaires. De plus, la norme choisie n’intervient pas. Enfin, un terme qui tend vers \(0\) ne suffit jamais à assurer la convergence.

Réponse D.

La fonction puissance d’exposant \(-\frac{1}{3}\) décroît sur \(]0,+\infty[\). Chaque terme est donc pris en sandwich entre deux intégrales sur des intervalles de longueur \(1\). Or une primitive est \(\frac{3}{2}t^{2/3}\), et les deux bornes obtenues sont équivalentes à \(\frac{3}{2}n^{2/3}\). Le piège \(\frac{2}{3}\) multiplie par le nouvel exposant au lieu de diviser. Ensuite, \(n^{2/3}\) oublie ce facteur. Enfin, \(\ln n\) correspond à l’exposant \(-1\).

Réponse B.

On encadre le reste par les intégrales de \(t^{-3}\) sur \([n+1,+\infty[\) et sur \([n,+\infty[\). Elles valent \(\frac{1}{2(n+1)^2}\) et \(\frac{1}{2n^2}\), deux quantités équivalentes. Le piège \(\frac{1}{n^2}\) oublie le facteur \(\frac{1}{2}\) de la primitive. Ensuite, \(\frac{1}{2n^3}\) garde l’exposant initial. Enfin, \(\frac{1}{4n^4}\) augmente l’exposant au lieu de le diminuer.

Réponse A.

On calcule \(\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2}\cdot\frac{1}{5}\). La fraction rationnelle tend vers \(4\), donc le rapport tend vers \(\frac{4}{5}<1\), et la série converge. Le piège \(4\) oublie la puissance de \(5\). Ensuite, \(\frac{2}{5}\) ne garde qu’un des deux facteurs en \(2n\) au numérateur. Enfin, la limite \(1\) apparaîtrait seulement pour un terme polynomial.

Réponse B.

Les séries \(\sum\frac{1}{n}\) et \(\sum\frac{1}{n^2}\) ont toutes deux un rapport qui tend vers \(1\). Or la première diverge et la seconde converge. La règle de d’Alembert ne conclut donc pas dans ce cas limite. Le piège « elle diverge » confond avec une limite strictement supérieure à \(1\). Ensuite, la divergence grossière exige un terme qui ne tend pas vers \(0\), ce que l’exemple \(\frac{1}{n}\) contredit.

Réponse C.

On a \(\sin\frac{1}{k}\sim\frac{1}{k}\), avec des termes positifs, et la série harmonique diverge. La sommation des équivalents dans le cas divergent donne alors des sommes partielles équivalentes, donc à \(\ln n\). Le piège \(1\) majore chaque sinus par \(1\), sans rapport avec la croissance réelle. Ensuite, \(n\) compte les termes comme s’ils étaient constants. Enfin, \(\frac{1}{n}\) donne un équivalent du dernier terme, non de la somme.

Réponse A.

Le terme est positif et équivalent à \(\frac{1}{2k^2}\), terme d’une série convergente. La sommation des équivalents dans le cas convergent porte sur les restes, qui sont donc équivalents. Or le reste de \(\sum\frac{1}{k^2}\) se comporte comme \(\frac{1}{n}\), d’après une comparaison avec une intégrale. Le piège \(\frac{1}{n}\) perd le facteur \(\frac{1}{2}\) du développement du cosinus. De même, \(\frac{1}{2n^2}\) recopie le terme général.

Réponse D.

Sans signe fixe, le résultat tombe. Par exemple, \(v_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\) donne une série convergente, tandis que \(u_n=v_n+\frac{1}{n}\) lui est équivalente et donne une série divergente. Le piège sur la monotonie confond avec le critère des séries alternées. Ensuite, être négligeable devant \(\frac{1}{n}\) n’assure aucune convergence. Enfin, le signe de la différence ne règle pas le problème, comme le montre ce même exemple.

Réponse A.

D’après Cesàro, quand une suite admet une limite, ses moyennes arithmétiques convergent vers cette même limite. Ainsi, la bonne réponse en est un cas particulier. Cependant, la réciproque est fausse : la suite \((-1)^n\) a des moyennes qui tendent vers \(0\). De plus, le théorème s’étend aux limites infinies, ce qui exclut des moyennes bornées. Enfin, une suite bornée peut avoir des moyennes qui oscillent, avec de longs paquets de \(1\) puis de \(-1\).

Réponse D.

On développe \(u_{n+1}^3=u_n^3+9+\frac{27}{u_n^3}+\frac{27}{u_n^6}\). Ainsi, \(u_{n+1}^3-u_n^3\) tend vers \(9\), donc, par Cesàro, \(\frac{u_n^3}{n}\) tend aussi vers \(9\). Le piège \((3n)^{1/3}\) oublie le facteur \(3\) du développement du cube. Ensuite, \(\sqrt{6n}\) reprend la méthode avec des carrés, qui ne donne pas une différence convergente. Enfin, \(3n\) suppose des pas constants.

Réponse C.

Sur \([2,+\infty[\), la fonction \(t\mapsto\frac{1}{t\ln t}\) décroît vers \(0\) et admet pour primitive \(\ln(\ln t)\). L’encadrement par des intégrales montre que la somme vaut \(\ln(\ln n)+O(1)\), donc l’équivalent annoncé. Le piège \(\ln n\) oublie le facteur \(\ln k\) au dénominateur. Ensuite, \(\frac{1}{\ln n}\) suggère une convergence, alors que la série diverge. Enfin, \((\ln n)^2\) dérive au lieu d’intégrer.