QCM : Développements en série entière en maths spé (MP)

Réponse D.

Sur son intervalle de convergence, la somme est de classe \(C^\infty\) et \(f^{(n)}(0)=n!\,a_n\). Ici, \(a_3=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\), donc \(f^{(3)}(0)=6\times\frac{1}{2}=3\). Le piège \(\frac{1}{2}\) confond le coefficient et la dérivée. Ensuite, \(\frac{3}{2}\) multiplie par \(3\) au lieu de \(3!\). Enfin, \(24\) oublie la puissance de \(2\) au dénominateur.

Réponse A.

La fonction \(x\mapsto f(-x)\) est somme de \(\sum(-1)^na_nx^n\). Comme \(f\) est paire, les deux séries ont la même somme, et l’unicité du développement impose \(a_n=(-1)^na_n\). Par conséquent, les coefficients d’indice impair sont nuls. Le piège qui annule les indices pairs décrit une fonction impaire. Ensuite, \(a_0=f(0)\) peut être quelconque, comme le montre le cosinus.

Réponse D.

On factorise : \(\frac{1}{2-x}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-x/2}\), puis on applique la série géométrique à \(\frac{x}{2}\), valable si \(\left|\frac{x}{2}\right|<1\). Le piège sans le \(2^{n+1}\) oublie le facteur \(\frac{1}{2}\) mis en évidence. Ensuite, la version en \(2^nx^n\) développe \(\frac{1}{1-2x}\). Enfin, le rayon \(1\) recopie celui de la série géométrique sans tenir compte du changement de variable.

Réponse B.

On part de \(\ln(1-u)=-\sum_{n\geq1}\frac{u^n}{n}\) et on remplace \(u\) par \(2x\). Le terme en \(x^3\) vaut donc \(-\frac{(2x)^3}{3}=-\frac{8}{3}x^3\). Le piège positif utilise le développement de \(\ln(1+u)\), dont les signes alternent. Ensuite, \(-8\) oublie la division par \(n\). Enfin, \(-\frac{2}{3}\) n’élève pas le facteur \(2\) au cube.

Réponse C.

Avec \(\alpha=\frac{1}{2}\), le coefficient de \(x^2\) dans \((1+x)^\alpha\) vaut \(\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}=\frac{\frac{1}{2}\times\left(-\frac{1}{2}\right)}{2}=-\frac{1}{8}\). Le piège positif oublie que \(\alpha-1\) est négatif. Ensuite, \(-\frac{1}{4}\) omet la division par \(2!\). Enfin, \(\frac{1}{2}\) est le coefficient de \(x\), et non celui de \(x^2\). La concavité de la racine confirme le signe négatif.

Réponse A.

En intégrant terme à terme \(\frac{1}{1+t^2}=\sum(-1)^nt^{2n}\), on obtient un coefficient de \(x^7\) égal à \(\frac{(-1)^3}{7}=-\frac{1}{7}\). Ensuite, la dérivée vaut \(7!\times\left(-\frac{1}{7}\right)=-6!=-720\). Le piège \(-\frac{1}{7}\) donne le coefficient lui-même. De plus, la réponse positive se trompe sur le signe alterné. Enfin, \(-5040\) oublie la division par \(7\).

Réponse B.

Le développement du sinus est \(\sum\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}\). En divisant par \(x\), on retrouve exactement la série proposée. Le piège \(\cos x\) a des puissances paires, mais avec \((2n)!\) au dénominateur. Ensuite, la version hyperbolique n’a pas le signe alterné. Enfin, \(\sin x\) correspond à des puissances impaires. Au passage, ce prolongement par \(1\) en \(0\) est donc de classe \(C^\infty\).

Réponse B.

Le produit de Cauchy de \(\sum\frac{x^n}{n!}\) par \(\sum x^n\) donne le coefficient \(\sum_{k=0}^{3}\frac{1}{k!}=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\). Le piège \(\frac{1}{6}\) multiplie seulement les coefficients de même rang. Ensuite, \(\frac{5}{2}\) arrête la somme à \(k=2\). Enfin, \(\frac{7}{6}\) ne garde que les deux termes extrêmes. Le rayon du produit vaut ici au moins \(1\).

Réponse C.

Une somme de série entière de rayon non nul est de classe \(C^\infty\) sur son intervalle ouvert de convergence. Or la valeur absolue n’est même pas dérivable en \(0\), donc elle ne peut pas être une telle somme. Le piège de la continuité est faux, puisque \(|x|\) est continue. Ensuite, une fonction paire se développe très bien, comme le cosinus. Enfin, l’exponentielle est positive et développable.

Réponse A.

Le coefficient de \(x^n\) dans \(y^{\prime}\) vaut \((n+1)a_{n+1}\). Dans \(2xy\), multiplier par \(x\) décale les indices, donc ce coefficient vaut \(2a_{n-1}\). L’unicité du développement permet alors d’identifier. Le piège sans \(n+1\) oublie que dériver fait apparaître l’exposant. Ensuite, \(2a_n\) oublie le décalage dû au facteur \(x\). Ainsi, on trouve aussi \(a_1=0\), puis la somme \(e^{x^2}\) si \(a_0=1\).

Réponse C.

En identifiant le coefficient de \(x^n\), on obtient \(4(n+1)n\,a_{n+1}+2(n+1)a_{n+1}-a_n=0\), soit \((2n+2)(2n+1)a_{n+1}=a_n\). Par récurrence, \(a_n=\frac{a_0}{(2n)!}\), et le rayon est infini. Le piège en \(n!\) oublie le facteur \(2n+1\). Ensuite, la version en \(x^{2n}\) donne le cosinus hyperbolique de \(x\), alors que la solution trouvée vaut \(\operatorname{ch}\sqrt{x}\) pour \(x\geq0\).

Réponse D.

Pour \(x\neq1\), on écrit \(1+x+x^2=\frac{1-x^3}{1-x}\), donc le logarithme vaut \(\ln(1-x^3)-\ln(1-x)\). Le premier terme apporte \(-\frac{x^6}{2}\), le second \(+\frac{x^6}{6}\), d’où \(-\frac{1}{3}\). Le piège \(\frac{1}{6}\) oublie la contribution de \(\ln(1-x^3)\). Ensuite, \(-\frac{1}{2}\) oublie celle de \(\ln(1-x)\). Enfin, \(\frac{2}{3}\) se trompe sur le signe de \(\ln(1-x^3)\).