Limites de suites en epsilon : contrôle de maths en L1
Voici un contrôle de maths en L1 sur le thème « limites de suites en epsilon », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce contrôle continu d’une heure trente évalue le chapitre sur la limite d’une suite réelle. Vous reviendrez d’abord à la définition avec epsilon pour une limite finie puis infinie. Ensuite, trois encadrements mobilisent le théorème des gendarmes, et un vrai ou faux justifié porte sur les suites bornées et les sous-suites.
La seconde partie traite de deux suites adjacentes construites à partir des inverses des cubes. Enfin, le problème étudie une suite récurrente qui possède deux points fixes. Faites ce sujet en milieu de semestre, une fois le théorème de la limite monotone vu en cours.
Ce qu’évalue le contrôle : limites de suites en epsilon
L’essentiel du sujet
- NiveauL1
- Durée1 h 30
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Limite d’une suite : définition epsilon et théorèmes (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Prouver une limite finie ou infinie en revenant à la définition avec epsilon
- Encadrer une somme ou une racine n-ième pour appliquer le théorème des gendarmes
- Justifier ou réfuter une affirmation sur les suites bornées à l’aide de sous-suites
- Démontrer que deux suites sont adjacentes et encadrer leur limite commune
- Étudier la convergence d’une suite récurrente selon la valeur de son premier terme
Avant de commencer le devoir
Dans chaque preuve en epsilon, écrivez d’abord une majoration simple de l’écart, puis choisissez le rang N explicitement. Pour les gendarmes, vérifiez que les deux suites qui encadrent ont la même limite. Dans le vrai ou faux, une affirmation fausse se réfute par un contre-exemple précis, alors qu’une affirmation vraie demande une preuve générale. Enfin, dans le problème, cherchez un intervalle stable avant tout passage à la limite.
Le sujet du contrôle : limites de suites en epsilon
Exercice 1 – Retour à la définition (3 points)
Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on pose \(u_n = \dfrac{5n – 1}{2n + 3}\). La figure représente les premiers termes de la suite et la bande d’ordonnées comprises entre \(\frac{5}{2} – \frac{1}{5}\) et \(\frac{5}{2} + \frac{1}{5}\).
- Établir la convergence de \((u_n)\) vers \(\frac{5}{2}\) à l’aide de la seule définition quantifiée. Déterminer ensuite le plus petit rang \(N\) tel que, pour tout \(n \geq N\), \(\left|u_n – \frac{5}{2}\right| < \frac{1}{5}\).
- Pour \(n \in \mathbb{N}\), on pose \(v_n = \dfrac{n^2}{n + 1}\). Prouver, toujours à partir de la définition, que \(v_n \to +\infty\).
Exercice 2 – Trois encadrements (4 points)
Ici, la lettre \(n\) représente un entier \(n \geq 1\), tandis que \(\lfloor t \rfloor\) note la partie entière du réel \(t\).
- Déterminer la limite de \(w_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^2 + k}\).
- Montrer que \(t_n = \dfrac{\lfloor n\sqrt{2} \rfloor}{n}\) converge vers \(\sqrt{2}\).
- Établir d’abord que \(1 \leq 2^{1/n} \leq 1 + \frac{1}{n}\), puis en déduire la limite de \(s_n = \left(2^n + 3^n\right)^{1/n}\).
Exercice 3 – Vrai ou faux sur les suites bornées (4 points)
Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse, puis justifier par une démonstration ou par un contre-exemple.
- Toute suite réelle convergente est bornée.
- Toute suite réelle bornée converge.
- Si \((a_n)\) est bornée et si \((b_n)\) tend vers \(0\), alors \((a_n b_n)\) tend vers \(0\).
- Une suite strictement croissante et majorée par \(2\) a pour limite \(2\).
Exercice 4 – Sommes d’inverses de cubes (4 points)
Pour tout entier \(n \geq 1\), on pose \(a_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^3}\) et \(b_n = a_n + \dfrac{1}{2n^2}\).
- Étudier le sens de variation de \((a_n)\).
- Montrer que \((b_n)\) est décroissante. On pourra comparer \((2n + 1)(n + 1)\) et \(2n^2\).
- En déduire que les suites \((a_n)\) et \((b_n)\) sont adjacentes, puis qu’elles convergent vers une même limite \(\ell\).
- Calculer \(a_2\) et \(b_2\), puis donner un encadrement de \(\ell\) par deux fractions.
Exercice 5 – Problème : une récurrence à deux points fixes (5 points)
On note \(f(x) = \dfrac{x^2 + 6}{5}\) pour \(x \in \mathbb{R}\), puis on définit une suite par son premier terme \(u_0 \geq 0\) et la relation \(u_{n+1} = f(u_n)\). Sur la figure, on a tracé \(\mathcal{C}_f\), la première bissectrice et la construction en escalier des premiers termes pour \(u_0 = 1\).
- Déterminer les réels \(x\) tels que \(f(x) = x\), puis étudier le signe de \(f(x) – x\).
- On suppose \(u_0 = 1\). Montrer par récurrence que, pour tout \(n\), \(1 \leq u_n \leq u_{n+1} < 2\).
- Toujours avec \(u_0 = 1\), justifier que \((u_n)\) converge, puis calculer sa limite.
- On suppose désormais \(u_0 = 4\). Prouver que \(u_n \geq 4\) et \(u_{n+1} – u_n \geq \frac{2}{5}\) pour tout \(n\), puis en déduire la limite de \((u_n)\).
Réviser limites de suites en epsilon avant le contrôle
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