Ouverts, fermés et adhérence en maths spé (MP) : cours et méthodes

On appelle ouvert de \(E\) toute partie \(U\) qui contient, avec chacun de ses points \(a\), une boule \(B(a,r)\) de rayon \(r>0\) convenable. Une partie \(V\) est un voisinage du point \(a\) lorsqu’elle contient au moins une boule ouverte centrée en \(a\). Enfin, on appelle fermé toute partie \(G\) dont le complémentaire \(E\setminus G\) est ouvert.

Les ouverts sont stables par réunion, même infinie, et par intersection d’un nombre fini d’entre eux. En prenant les complémentaires, les fermés sont stables par intersection arbitraire et par réunion d’un nombre fini d’entre eux.

Pour la réunion, un point de \(\bigcup U_i\) appartient à un \(U_{i_0}\). Une boule autour de lui est donc incluse dans \(U_{i_0}\), donc dans la réunion. Pour une intersection de \(U_1,\dots,U_p\), on prend un rayon \(r_k\) adapté à chaque \(U_k\), puis \(r=\min(r_1,\dots,r_p)\). Ce minimum est strictement positif, car il porte sur un nombre fini de réels \(r_k>0\). Les lois de De Morgan donnent ensuite les énoncés sur les fermés.

Soit \(A\subset E\). Un point \(a\) est intérieur à \(A\) si \(A\) est un voisinage de \(a\). Un point \(a\) est adhérent à \(A\) si toute boule \(B(a,r)\), \(r>0\), rencontre \(A\). On note \(\mathring{A}\) l’intérieur et \(\overline{A}\) l’adhérence. La frontière est \(\mathrm{Fr}(A)=\overline{A}\setminus\mathring{A}\).

L’intérieur de \(A\) est inclus dans \(A\), elle-même incluse dans son adhérence. L’intérieur \(\mathring{A}\) est le plus grand ouvert inclus dans \(A\), et \(\overline{A}\) est le plus petit fermé contenant \(A\). Ainsi, \(A\) est ouverte si et seulement si \(A=\mathring{A}\), et \(A\) est fermée si et seulement si \(A=\overline{A}\). Enfin, \(E\setminus\overline{A}\) est l’intérieur de \(E\setminus A\).

Pour un point \(a\) de \(E\), être adhérent à \(A\) revient à être la limite d’au moins une suite \((x_n)\) à valeurs dans \(A\).

Partons d’un point \(a\) adhérent à \(A\). Chaque boule \(B(a,2^{-n})\) contient au moins un élément de \(A\), que nous appelons \(x_n\). L’écart \(\|x_n-a\|\) est majoré par \(2^{-n}\), qui tend vers \(0\). Dans l’autre sens, donnons-nous une suite de \(A\) de limite \(a\) et un rayon \(r>0\). À partir d’un certain rang, ses termes tombent dans \(B(a,r)\), qui rencontre bien \(A\).

Dans \(\mathbb{R}^2\) muni de la norme euclidienne, on considère \(A=\{z,\ 0<\|z\|<1\}\cup\big(]1,2]\times\{0\}\big)\), un disque ouvert épointé auquel on accroche un segment.

1. Intérieur : le disque épointé est un ouvert inclus dans \(A\), donc il est inclus dans \(\mathring{A}\). En revanche, un point \((t,0)\) avec \(1<t\leq 2\) n’est pas intérieur, car \((t,\varepsilon)\notin A\) pour tout \(\varepsilon>0\) petit. Ainsi \(\mathring{A}=\{z,\ 0<\|z\|<1\}\).
2. Adhérence : l’origine est limite de \((1/n,0)\in A\), et un point du cercle unité est limite de points du disque. Par conséquent, \(\overline{A}\) contient le disque fermé et le segment \([1,2]\times\{0\}\). Cette réunion est fermée, comme réunion de deux fermés : c’est donc \(\overline{A}\).
3. Frontière : on obtient le cercle unité, l’origine et le segment \([1,2]\times\{0\}\).

La partie \(G\) est fermée exactement lorsqu’elle « retient » les limites : dès qu’une suite à valeurs dans \(G\) admet une limite \(\ell\) dans \(E\), ce point \(\ell\) se trouve dans \(G\).

Si \(G\) est fermée, alors \(G=\overline{G}\). Or la limite d’une suite de \(G\) est adhérente à \(G\), donc elle est dans \(G\). Inversement, supposons la stabilité par limite. Tout point de \(\overline{G}\) est limite d’une suite de \(G\), donc il appartient à \(G\). Ainsi \(\overline{G}\subset G\), puis \(G=\overline{G}\).

1. On prend une suite \((x_n)\) de \(G\) et l’on suppose qu’elle converge vers un \(\ell\in E\). On n’a pas à prouver la convergence : elle fait partie des hypothèses.
2. On écrit la propriété qui définit \(G\) pour chaque \(x_n\).
3. On passe à la limite dans cette propriété : égalités, inégalités larges, continuité des opérations.
4. On conclut que \(\ell\) vérifie la même propriété, donc \(\ell\in G\).

Dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\), nous montrons que \(G=\{M,\ M^2=M\text{ et }\mathrm{tr}(M)\geq 1\}\) est fermé. Soit \((M_k)\) une suite de \(G\) de limite \(L\). D’abord, le produit matriciel est continu, donc \(M_k^2\to L^2\). Comme \(M_k^2=M_k\), l’unicité de la limite donne \(L^2=L\). Ensuite, la trace est continue, donc \(\mathrm{tr}(L)=\lim\mathrm{tr}(M_k)\geq 1\), par passage à la limite dans une inégalité large. Par conséquent \(L\in G\) et \(G\) est fermé.

Une partie \(D\) de \(E\) est dense dans \(E\) si \(\overline{D}=E\). Cela revient à dire que chaque boule ouverte de \(E\) contient au moins un point de \(D\). Cela revient aussi à dire que chaque vecteur de \(E\) s’approche par une suite à valeurs dans \(D\).

Nous montrons que \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})\) est dense dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\). Soit \(M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\). L’application \(\lambda\mapsto\det(M-\lambda I_n)\) est polynomiale de degré \(n\), donc elle a au plus \(n\) racines. Il existe alors un rang \(p_0\) tel que, pour tout \(p\geq p_0\), le réel \(1/p\) n’est pas racine. La suite \(M_p=M-\frac{1}{p}I_n\), définie pour \(p\geq p_0\), est formée de matrices inversibles et converge vers \(M\).

Soit \(X\subset E\) et \(A\subset X\). On dit que \(A\) est ouverte dans \(X\), ou ouvert relatif de \(X\), lorsque \(A\) s’écrit \(U\cap X\) avec \(U\) ouvert de \(E\). On dit qu’elle est fermée dans \(X\), ou fermé relatif, lorsqu’elle s’écrit \(G\cap X\) avec \(G\) fermé de \(E\).

La partie \(A\) est un ouvert relatif de \(X\) si et seulement si, pour tout \(a\in A\), il existe \(r>0\) tel que \(B(a,r)\cap X\subset A\). Elle est fermée dans \(X\) quand seules comptent les limites qui tombent dans \(X\) : si \(a_n\in A\) et \(a_n\to x\in X\), alors \(x\in A\). Enfin, \(A\) est dense dans \(X\) si \(X\subset\overline{A}\).

Soit \(a\in\overline{X}\) et \(\ell\in F\). On dit que \(f\) tend vers \(\ell\) en \(a\) si, pour tout \(\varepsilon>0\), il existe \(\delta>0\) tel que, pour tout \(x\in X\) vérifiant \(\|x-a\|<\delta\), on ait \(\|f(x)-\ell\|<\varepsilon\). Cette limite, si elle existe, est unique.

Les deux énoncés suivants sont équivalents : d’une part \(f(x)\to\ell\) quand \(x\to a\) ; d’autre part, \(f\) envoie chaque suite de points de \(X\) de limite \(a\) sur une suite de limite \(\ell\).

Soit \(f:E\to F\) continue. Si \(V\) est ouvert dans \(F\), alors \(f^{-1}(V)\) est ouvert dans \(E\). De même, si \(G\) est fermé dans \(F\), alors \(f^{-1}(G)\) est fermé dans \(E\). Plus généralement, si \(f\) est définie sur \(X\), ces images réciproques sont des ouverts ou des fermés relatifs de \(X\).

Commençons par les fermés. Soit \((x_n)\) une suite de \(f^{-1}(G)\) qui converge vers \(\ell\in E\). Par continuité, \(f(x_n)\to f(\ell)\). Or chaque \(f(x_n)\) est dans le fermé \(G\), donc \(f(\ell)\in G\), c’est-à-dire \(\ell\in f^{-1}(G)\). Pour les ouverts, on passe au complémentaire : \(E\setminus f^{-1}(V)=f^{-1}(F\setminus V)\) est fermé.

1. On écrit la partie comme un ensemble de points vérifiant des conditions \(f_k(x)\in I_k\).
2. On vérifie que chaque \(f_k\) est continue, par opérations sur des fonctions connues.
3. On vérifie que chaque \(I_k\) est ouvert (inégalités strictes, \(\neq\)) ou fermé (égalités, inégalités larges).
4. On combine enfin par intersection : quelques ouverts donnent un ouvert, et des fermés donnent un fermé.

Le déterminant d’une matrice carrée réelle est polynomial en les coefficients, donc continue. D’une part, \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})=\det^{-1}(\mathbb{R}^{*})\) est ouvert, car \(\mathbb{R}^{*}\) est ouvert. D’autre part, \(\mathrm{SL}_n(\mathbb{R})=\det^{-1}(\{1\})\) est fermé. En outre, \(\mathrm{O}_n(\mathbb{R})\) est fermé, comme image réciproque de \(\{I_n\}\) par l’application continue \(M\mapsto M^{\top}M\).

Soit \(f,g:X\to F\) continues et \(D\) une partie dense dans \(X\). Si \(f=g\) sur \(D\), alors \(f=g\) sur \(X\).

L’ensemble \(Z=\{x\in X,\ f(x)=g(x)\}\) est l’image réciproque de \(\{0\}\) par \(f-g\), qui est continue. C’est donc un fermé relatif de \(X\). Soit \(x\in X\) : par densité, il existe une suite \((d_n)\) de \(D\) qui tend vers \(x\). Comme \(d_n\in Z\) et \(x\in X\), on obtient \(x\in Z\).

Une application \(f:X\to F\) est \(k\)-lipschitzienne si, pour tous \(u,v\in X\), on a \(\|f(u)-f(v)\|\leq k\|u-v\|\). Elle est uniformément continue lorsqu’à chaque \(\varepsilon>0\) on peut associer un seuil \(\delta>0\), le même pour tous les couples : dès que \(u,v\in X\) vérifient \(\|u-v\|<\delta\), on a \(\|f(u)-f(v)\|<\varepsilon\).

Lipschitzienne implique uniformément continue, qui implique continue. En effet, si \(f\) est \(k\)-lipschitzienne avec \(k>0\), le choix \(\delta=\varepsilon/k\) convient pour tous les points à la fois.

La fonction racine carrée est uniformément continue sur \([0,1]\), mais elle n’y est pas lipschitzienne. En effet, la corde qui joint l’origine au point d’abscisse \(h\) a pour pente \(1/\sqrt{h}\), et cette pente explose quand \(h\to 0^{+}\). En sens inverse, \(x\mapsto x^2\) est continue sur \(\mathbb{R}\) sans être uniformément continue : pour \(x=n+\frac{1}{n}\) et \(y=n\), on a \(|x-y|\to 0\), alors que \(x^2-y^2=2+\frac{1}{n^2}\) reste plus grand que \(2\).

1. Image réciproque. La partie est décrite par des égalités ou des inégalités portant sur des fonctions continues ? C’est la méthode la plus rapide, en une ligne.
2. Suites. La partie est définie par une propriété qui passe à la limite, mais sans fonction continue évidente (rang, nilpotence, ensemble de fonctions) ? On suit la méthode séquentielle de la partie 3.
3. Boules. On veut prouver qu’une partie est ouverte et l’on dispose d’un rayon explicite ? On exhibe la boule. Cette méthode sert aussi à prouver qu’une partie n’est pas ouverte : on trouve un point dont toutes les boules débordent.

Pour calculer une adhérence, on procède en deux temps. On devine d’abord un fermé \(G\) contenant \(A\), ce qui donne \(\overline{A}\subset G\). On montre ensuite que chaque point de \(G\) est limite d’une suite de \(A\), ce qui donne l’inclusion inverse.

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