Rayon et somme d’une série entière en maths spé (MP) : cours et méthodes

On se donne une suite complexe \((a_n)_{n\geq 0}\). La série entière associée est la série de fonctions \(\sum a_n z^n\) ; la variable \(z\) décrit \(\mathbb{C}\), ou seulement \(\mathbb{R}\) quand on travaille en variable réelle. Sa somme associe à chaque point de convergence le nombre \(\sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n\).

Lemme d’Abel. Supposons bornée la suite \((a_n z_0^n)\) pour un certain complexe \(z_0\). Dans ce cas, \(\sum a_n z^n\) converge absolument en chaque point \(z\) de module strictement inférieur à \(|z_0|\).

Notons \(M\) un majorant de \(|a_n z_0^n|\). Le cas \(z_0=0\) est vide, donc on suppose \(z_0\neq 0\). Pour \(|z| < |z_0|\), on pose \(q=|z|/|z_0|\), qui vérifie \(0\leq q < 1\). On écrit alors \(|a_n z^n| = |a_n z_0^n|\, q^n \leq M q^n\). Le majorant \(Mq^n\) est le terme d’une série géométrique de raison \(q\in[0,1[\), donc sommable. Ainsi \(\sum |a_n z^n|\) est dominée terme à terme par une série convergente, ce qui donne sa convergence.

On note \(R\) la borne supérieure, prise dans \([0,+\infty]\), des réels \(r\geq 0\) pour lesquels la suite \((a_n r^n)\) reste bornée : \[R=\sup\{r\geq 0 \;:\; (a_n r^n) \text{ est bornée}\}.\] Ce nombre s’appelle le rayon de convergence. L’ensemble \(D(0,R)=\{z\in\mathbb{C} : |z| < R\}\) forme le disque ouvert de convergence ; en variable réelle, on utilise plutôt \(]-R,R[\), l’intervalle ouvert de convergence.

Trois zones se dessinent autour du rayon \(R\) de \(\sum a_n z^n\).

• Dans le disque ouvert, c’est-à-dire pour \(|z| < R\), on a convergence absolue.
• Hors du disque fermé, pour \(|z| > R\), le terme \(a_n z^n\) est non borné, d’où une divergence grossière.
• Sur le cercle \(|z| = R\), aucune conclusion générale n’est possible.

Prenons d’abord \(|z| < R\). Puisque \(R\) est une borne supérieure, un réel admissible \(r\) dépasse \(|z|\). On utilise alors le lemme d’Abel au point \(z_0=r\) : la convergence en \(z\) est absolue. Prenons maintenant \(|z| > R\). Le réel \(|z|\) n’est pas admissible, donc \((a_n z^n)\) est non bornée. A fortiori, elle ne tend pas vers 0.

1. Si la série converge en \(z_0\), ou si \((a_n z_0^n)\) est bornée, alors \(R\geq |z_0|\).
2. Si la série diverge en \(z_0\), alors \(R\leq |z_0|\), car le lemme d’Abel donnerait sinon la convergence.
3. Si la série converge en \(z_0\) sans converger absolument, alors \(R=|z_0|\) exactement.

Soient \(\sum a_n z^n\) et \(\sum b_n z^n\) de rayons \(R_a\) et \(R_b\).

• Si \(|a_n|\leq |b_n|\) à partir d’un certain rang, ou plus généralement si \(a_n=O(b_n)\), alors \(R_a\geq R_b\).
• Si \(a_n\sim b_n\), alors \(R_a=R_b\).
• Pour tout réel \(\alpha\), la série \(\sum n^{\alpha} a_n z^n\) a le même rayon que \(\sum a_n z^n\).

Si \(|a_n|\leq C|b_n|\) et si \((b_n r^n)\) est bornée, alors \((a_n r^n)\) l’est aussi. L’ensemble des \(r\) admissibles pour \(b\) est donc inclus dans celui de \(a\), d’où \(R_a\geq R_b\). Un équivalent fournit les deux dominations, donc l’égalité. Pour le dernier point, fixons \(r < R_a\) et \(\rho\) strictement entre \(r\) et \(R_a\). On écrit \(n^{\alpha}|a_n| r^n = |a_n|\rho^n \cdot n^{\alpha}(r/\rho)^n\). Le premier facteur est borné et le second tend vers 0 par croissances comparées. Ainsi le rayon de \(\sum n^{\alpha}a_n z^n\) est au moins \(R_a\). L’inégalité inverse s’obtient en échangeant les rôles, avec l’exposant \(-\alpha\).

Cherchons le rayon de \(\sum a_n z^n\) avec \(a_n=\dfrac{n+\sin n}{n^3+4^n}\). D’abord, \(n+\sin n\sim n\). Ensuite, \(n^3=o(4^n)\), donc \(n^3+4^n\sim 4^n\). Par conséquent \(a_n\sim n\,4^{-n}\). Or \(\sum 4^{-n}z^n\) est géométrique de rayon 4, et le facteur \(n\) ne change pas le rayon. Finalement, \(R=4\).

Supposons les \(a_n\) non nuls pour \(n\) assez grand, et supposons que le quotient \(|a_{n+1}|/|a_n|\) admette une limite \(\ell\) dans \([0,+\infty]\). Dans ce cas \(R=1/\ell\), en convenant que \(1/0=+\infty\) et \(1/(+\infty)=0\).

Fixons \(z\neq 0\) et posons \(u_n=|a_n z^n|\). Alors \(u_{n+1}/u_n\to \ell|z|\). Si \(\ell|z| < 1\), la règle de d’Alembert pour les séries numériques donne la convergence de \(\sum u_n\), donc \(R\geq|z|\). Si \(\ell|z| > 1\), les \(u_n\) finissent par croître strictement. Ils restent donc minorés par un réel strictement positif, la série diverge grossièrement, et \(R\leq |z|\). Ces deux encadrements, valables pour tout \(z\), forcent \(R=1/\ell\).

Prenons \(a_n=\dfrac{(3n)!}{(n!)^3}\). Le quotient se simplifie : \[\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}{(n+1)^3}.\] Le numérateur et le dénominateur sont de degré 3 en \(n\). Le quotient tend donc vers le rapport des coefficients dominants, soit \(27\). Ainsi \(R=1/27\).

1. Fixer \(z\neq 0\) et poser \(u_n\) égal au module du terme écrit, ici \(u_n=\dfrac{2^n|z|^{2n+1}}{n^2+1}\).
2. Calculer la limite de \(u_{n+1}/u_n\) en fonction de \(|z|\).
3. Conclure par la règle de d’Alembert numérique : convergence si la limite est \(< 1\), divergence grossière si elle est \(> 1\).
4. Lire le rayon comme la valeur frontière de \(|z|\).

Avec \(u_n\) ci-dessus, on obtient \[\frac{u_{n+1}}{u_n}=2|z|^2\,\frac{n^2+1}{(n+1)^2+1}\longrightarrow 2|z|^2.\] La série converge donc absolument si \(2|z|^2 < 1\) et diverge grossièrement si \(2|z|^2 > 1\). Autrement dit, \(R=1/\sqrt{2}\).

Soient \(R_a\) et \(R_b\) les rayons de \(\sum a_n z^n\) et \(\sum b_n z^n\). Le rayon \(R\) de \(\sum (a_n+b_n)z^n\) vérifie \(R\geq\min(R_a,R_b)\), avec égalité si \(R_a\neq R_b\). Pour \(|z| < \min(R_a,R_b)\), les sommes s’ajoutent.

Pour \(|z|\) inférieur aux deux rayons, les deux séries convergent, donc leur somme aussi : cela donne l’inégalité. Supposons \(R_a < R_b\) et prenons \(|z|\) strictement entre les deux. Alors \(\sum b_n z^n\) converge et \(\sum a_n z^n\) diverge. Par conséquent, \(\sum (a_n+b_n)z^n\) diverge, sinon \(\sum a_n z^n\) serait la différence de deux séries convergentes. On obtient donc \(R\leq R_a\).

Avec \(a_n=1+2^{-n}\) et \(b_n=-1\), les deux rayons valent 1. Pourtant \(a_n+b_n=2^{-n}\), et le rayon de la somme vaut 2. L’inégalité peut donc être stricte quand les rayons coïncident.

Le produit de Cauchy de \(\sum a_n z^n\) et \(\sum b_n z^n\) est la série entière \(\sum c_n z^n\) avec \[c_n=\sum_{k=0}^{n} a_k\, b_{n-k}.\] Son rayon vérifie \(R_c\geq\min(R_a,R_b)\). Pour \(|z| < \min(R_a,R_b)\), on a \(\sum c_n z^n=\left(\sum a_n z^n\right)\left(\sum b_n z^n\right)\).

Élevons au carré la série géométrique. Pour \(|z| < 1\), les deux facteurs valent \(1/(1-z)\), et \(c_n=\sum_{k=0}^n 1\cdot 1=n+1\). On obtient donc \[\sum_{n=0}^{+\infty}(n+1)z^n=\frac{1}{(1-z)^2}.\] Le rayon vaut exactement 1, puisque \(n+1\) ne tend pas vers 0.

Soit \(R > 0\) le rayon de \(\sum a_n z^n\) et soit \(0\leq\rho < R\). Alors la série converge normalement sur le disque fermé \(\overline{D}(0,\rho)\). Par conséquent, la somme est continue sur le disque ouvert \(D(0,R)\).

Pour \(|z|\leq\rho\), on a \(|a_n z^n|\leq |a_n|\rho^n\). Or \(\rho < R\), donc \(\sum |a_n|\rho^n\) converge : c’est la convergence normale. Chaque monôme est continu, donc la somme est continue sur \(\overline{D}(0,\rho)\). Enfin, tout point \(z_0\) du disque ouvert appartient à un tel disque fermé, par exemple de rayon \(\rho=(|z_0|+R)/2\) si \(R\) est fini, et \(\rho=|z_0|+1\) sinon.

Soit \(f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n x^n\) sur \(]-R,R[\), avec \(R > 0\).

• \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^1\), et même \(\mathcal{C}^{\infty}\), sur \(]-R,R[\), avec \(f^{\prime}(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}n a_n x^{n-1}\).
• La primitive de \(f\) nulle en 0 est \(x\mapsto\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a_n}{n+1}x^{n+1}\), de même rayon \(R\).
• Par récurrence, \(a_n=\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}\) pour tout \(n\).

Sommons \(\sum_{n\geq 0}(-1)^n\dfrac{x^{2n+2}}{n+1}\). On reconnaît, au facteur près, une primitive. En effet, la dérivée terme à terme vaut \[\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\,2x^{2n+1}=\frac{2x}{1+x^2}\quad\text{pour } |x| < 1.\] La somme cherchée est nulle en 0, donc elle vaut \(\ln(1+x^2)\) sur \(]-1,1[\). Le rayon vaut 1, comme celui de la série dérivée.

Les trois séries \(\sum x^n/n^2\), \(\sum x^n/n\) et \(\sum n\,x^n\) ont toutes pour rayon 1. Pourtant, leurs domaines réels diffèrent. La première converge sur \([-1,1]\), par convergence absolue au bord. La deuxième converge sur \([-1,1[\) : critère des séries alternées en \(-1\), série harmonique en 1. Enfin, la troisième ne converge que sur \(]-1,1[\), car son terme ne tend pas vers 0 au bord.

Théorème d’Abel radial. Soit \(\sum a_n x^n\) de rayon \(R\) fini et non nul. Si la série numérique \(\sum a_n R^n\) converge, alors \[\lim_{x\to R^-}\sum_{n=0}^{+\infty}a_n x^n=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n R^n.\] Autrement dit, la somme est continue à gauche en \(R\).

1. Calculer la somme \(f\) sur \(]-R,R[\) par une méthode de la partie 7.
2. Vérifier la convergence de \(\sum a_n R^n\), souvent par le critère des séries alternées.
3. Si \(\sum |a_n|R^n\) converge, la convergence normale sur \([-R,R]\) suffit, sans théorème d’Abel.
4. Sinon, invoquer le théorème d’Abel radial, ou majorer uniformément le reste d’une série alternée sur \([0,R]\).
5. Conclure en calculant la limite de \(f\) en \(R^-\).

Pour \(|x| < 1\), on a \(\arctan x=\sum_{n\geq 0}(-1)^n\dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}\), par intégration de \(1/(1+x^2)\). Au point 1, la série numérique \(\sum (-1)^n/(2n+1)\) est alternée, de terme décroissant vers 0 : elle converge. Le théorème d’Abel radial s’applique donc, et la fonction arctangente est continue en 1. Finalement, \[\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\arctan 1=\frac{\pi}{4}.\]

La réciproque est fausse. Pour \(|x| < 1\), on a \(\sum (-1)^n x^n=\dfrac{1}{1+x}\), qui tend vers \(1/2\) quand \(x\to 1^-\). Cependant, la série \(\sum (-1)^n\) diverge. L’existence de la limite de la somme ne prouve donc jamais la convergence au bord.

Sommons \(\sum (2n+3)x^n\) sur \(]-1,1[\). D’abord, on écrit \(2n+3=2(n+1)+1\). Ensuite, on utilise les deux sommes connues : \[\sum_{n=0}^{+\infty}(2n+3)x^n=\frac{2}{(1-x)^2}+\frac{1}{1-x}=\frac{3-x}{(1-x)^2}.\] Un contrôle rapide en \(x=0\) redonne bien le premier coefficient, 3.

Pour sommer \(\sum \dfrac{x^n}{n+k}\), on multiplie d’abord par \(x^k\) lorsque \(x\neq 0\). On reconnaît alors un reste de la série du logarithme, puis on divise par \(x^k\). La valeur en 0 se traite à part, directement sur la série : elle vaut \(1/k\).

Pour isoler les termes d’indice multiple de 3, on utilise \(j=e^{2i\pi/3}\). En effet, \(1+j^n+j^{2n}\) vaut 3 si 3 divise \(n\), et 0 sinon. Ainsi \(\sum_{n} a_{3n}x^{3n}=\frac{1}{3}\big(f(x)+f(jx)+f(j^2x)\big)\).

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