QCM : Module, argument et racines n-ièmes en maths sup (MPSI)

Réponse A.

Le module est multiplicatif : \(|2-i|\times|1+3i|=\sqrt5\times\sqrt{10}=\sqrt{50}=5\sqrt2\). On le vérifie en développant le produit, qui vaut \(5+5i\). La réponse \(\sqrt{15}\) additionne les carrés des modules au lieu de les multiplier. Le nombre \(50\) est le carré du module, pas le module. Enfin, \(\sqrt5+\sqrt{10}\) applique au produit une règle d’addition qui n’est qu’une majoration pour une somme.

Réponse B.

L’égalité exige que \(z\) et \(w\) pointent dans la même direction : \(z\) est un multiple positif de \(w\). Avec \(\lambda=-1\), on a \(|z+w|=0\) alors que \(|z|+|w|=2|w|\), ce qui écarte un réel quelconque. Deux complexes de même module, comme \(1\) et \(i\), donnent \(\sqrt2<2\). Enfin, un quotient imaginaire pur traduit l’orthogonalité, cas où \(|z+w|^2=|z|^2+|w|^2\).

Réponse D.

On a \(|z|=\sqrt{12+4}=4\), donc \(z=4\left(-\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i\right)\). Le cosinus est négatif et le sinus positif : l’angle est dans le deuxième quadrant, d’où \(\frac{5\pi}{6}\). La valeur \(\frac{\pi}{6}\) oublie le signe de la partie réelle. Le piège \(-\frac{\pi}{6}\) vient de \(\arctan\left(\frac{2}{-2\sqrt3}\right)\), qui ne tient pas compte du quadrant. Enfin, \(\frac{2\pi}{3}\) échange les rôles du cosinus et du sinus.

Réponse D.

On écrit \(1+i=\sqrt2\,e^{i\pi/4}\). Par la formule de Moivre, on obtient \((\sqrt2)^{10}e^{i\,10\pi/4}=32\,e^{i\pi/2}\), soit \(32i\), car \(\frac{10\pi}{4}=2\pi+\frac{\pi}{2}\). La réponse \(-32i\) se trompe en réduisant l’angle modulo \(2\pi\). Le nombre \(32\) oublie complètement l’argument. Enfin, \(1024\,i\) prend \(2\) comme module de \(1+i\) au lieu de \(\sqrt2\).

Réponse A.

On factorise par l’angle moitié : \(1+e^{i\theta}=e^{i\theta/2}\left(e^{-i\theta/2}+e^{i\theta/2}\right)=2\cos\frac{\theta}{2}\,e^{i\theta/2}\). Le module vaut donc \(2\left|\cos\frac\theta2\right|\). Sans valeur absolue, la réponse devient négative pour \(\theta=2\pi-0{,}1\), ce qui est impossible pour un module. Le sinus correspond à \(\left|1-e^{i\theta}\right|\). Enfin, \(|1+\cos\theta|\) ne garde que la partie réelle.

Réponse A.

On écrit \(\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}\), puis \(\cos2x\cos x=\frac{\cos3x+\cos x}{2}\). On obtient ainsi \(\frac{\cos x}{2}-\frac{\cos 3x+\cos x}{4}=\frac{\cos x-\cos3x}{4}\). Un contrôle en \(x=0\) donne bien \(0\). La réponse \(\frac{\cos3x-\cos x}{4}\) a le mauvais signe : elle devient négative pour \(x\) petit, alors que l’expression est positive. Le dénominateur \(2\) oublie un facteur. Enfin, \(\frac{3\cos x-\cos3x}{4}\) ne s’annule pas en \(0\).

Réponse C.

On prend la partie imaginaire de \(\sum_{k=0}^{n}e^{ikt}=\frac{e^{i(n+1)t}-1}{e^{it}-1}\). L’angle moitié, au numérateur comme au dénominateur, transforme ce quotient en \(e^{int/2}\frac{\sin((n+1)t/2)}{\sin(t/2)}\). Le facteur \(\cos\frac{nt}{2}\) donne en fait la somme des cosinus. Un \(\sin t\) au dénominateur oublie de diviser l’angle par deux. Enfin, le quotient sans \(\sin\frac{nt}{2}\) perd la phase \(e^{int/2}\). Pour \(n=1\), seule la bonne formule redonne \(\sin t\).

Réponse B.

On cherche \(x+iy\) avec \(x^2-y^2=8\), \(x^2+y^2=|8-6i|=10\) et \(2xy=-6\). On trouve \(x^2=9\), \(y^2=1\), puis \(x\) et \(y\) de signes contraires : \(\pm(3-i)\). La réponse \(\pm(3+i)\) néglige le signe de \(2xy\), car \((3+i)^2=8+6i\). Le couple \(\pm(1-3i)\) échange \(x\) et \(y\) et donne \(-8-6i\). Enfin, prendre la racine de chaque partie séparément n’a aucun sens.

Réponse B.

Le discriminant vaut \((3+i)^2-4(2+2i)=-2i\), dont une racine carrée est \(1-i\). Les solutions sont donc \(\frac{3+i\pm(1-i)}{2}\), soit \(2\) et \(1+i\). Contrôle : leur somme vaut \(3+i\) et leur produit \(2+2i\). Les opposés proviennent d’une erreur de signe sur \(-b\). Le couple \(1\) et \(2+i\) a la bonne somme mais le produit \(2+i\). Enfin, \(1-i\) conjugue à tort comme pour une équation à coefficients réels.

Réponse C.

On écrit \(8i=8e^{i\pi/2}\). Les racines cubiques sont donc \(2e^{i(\pi/6+2k\pi/3)}\), pour \(k\in\{0,1,2\}\), et la valeur \(k=2\) donne \(2e^{i3\pi/2}=-2i\). On le vérifie : \((-2i)^3=-8i^3=8i\). En revanche, \((2i)^3=-8i\), ce qui donne le mauvais signe. Le cube de \(2e^{i\pi/3}\) vaut \(-8\), car on a pris l’angle \(\pi\). Enfin, \(8e^{i\pi/6}\) divise l’argument par trois mais oublie de prendre la racine du module.

Réponse D.

Avec \(z=x+iy\), on a \(e^z=e^x e^{iy}\). Il faut donc \(e^x=|-2|=2\) et \(e^{iy}=-1\), soit \(x=\ln2\) et \(y\equiv\pi\) modulo \(2\pi\). La réponse avec \(2ik\pi\) résout en fait \(e^z=2\). Garder la seule valeur \(\ln2+i\pi\) oublie que l’exponentielle complexe est \(2i\pi\)-périodique. Enfin, \(-\ln2\) transforme à tort le signe moins de \(-2\) en un signe sur le logarithme.

Réponse C.

Un argument du quotient \(\frac{c-a}{b-a}\) mesure l’angle orienté de \(\overrightarrow{AB}\) vers \(\overrightarrow{AC}\). Cet angle vaut \(\pm\frac\pi2\) exactement lorsque le quotient, non nul, est imaginaire pur. Un quotient réel traduit au contraire l’alignement des trois points. Un module égal à \(1\) signifie \(AB=AC\), donc un triangle isocèle en \(A\). Enfin, le quotient \(e^{i\pi/3}\) caractérise un triangle équilatéral direct.