QCM : Limite d’une suite et convergence en maths sup (MPSI)

Réponse B.

Le rang \(N\) dépend du seuil \(A\), et tous les termes après ce rang doivent dépasser \(A\). Placer \(\exists N\) en tête exigerait des termes plus grands que tout réel : c’est impossible. Les deux formes sans « pour tout \(n\ge N\) » disent seulement que la suite n’est pas majorée. Par exemple, la suite qui vaut \(n\) aux rangs pairs et \(0\) aux rangs impairs les vérifie, sans tendre vers \(+\infty\).

Réponse B.

Une limite conserve les inégalités larges, mais pas les inégalités strictes. Ainsi, \(u_n=\frac{1}{n+2}\) et \(v_n=\frac{1}{n+1}\) vérifient \(u_n<v_n\), alors que leurs limites sont égales à \(0\). Le piège strict est donc faux en général. À l’inverse, l’égalité forcée est fausse aussi, par exemple pour \(v_n=u_n+1\). La monotonie ne joue aucun rôle dans ce résultat.

Réponse D.

On multiplie par la quantité conjuguée : \(\sqrt{n^2+1}-n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}+n}\). Le terme général devient \(\frac{n}{\sqrt{n^2+1}+n}\), équivalent à \(\frac{n}{2n}\). Le piège \(0\) voit seulement la différence qui tend vers \(0\), en oubliant le facteur \(n\). Le piège \(1\) remplace le dénominateur par \(n\) au lieu de \(2n\). Enfin, \(+\infty\) suppose que le facteur \(n\) l’emporte.

Réponse C.

Chaque terme est compris entre \(\frac{n}{n^2+2n}\) et \(\frac{n}{n^2+2}\). En sommant les \(n\) termes, on obtient \(\frac{n}{n+2}\le u_n\le\frac{n^2}{n^2+2}\). Les deux bornes tendent vers \(1\), donc l’encadrement conclut. Le piège \(0\) remarque que chaque terme tend vers \(0\), en oubliant que leur nombre augmente. Quant à \(\ln2\), il correspond à la somme des \(\frac{1}{n+k}\).

Réponse A.

Le théorème de la limite monotone assure la convergence vers la borne supérieure des termes. Ensuite, le passage à la limite dans \(u_n\le3\) donne \(\ell\le3\). Cependant, \(3\) n’est qu’un majorant parmi d’autres : la suite constante égale à \(0\) converge vers \(0\). De même, \(u_n=3-\frac{1}{n+1}\) tend vers \(3\), ce qui exclut l’inégalité stricte. Enfin, une suite croissante est minorée par son premier terme.

Réponse B.

La définition demande une suite croissante, une suite décroissante et une différence qui tend vers \(0\). Dans ce cas, la suite \(v_n-u_n\) est décroissante et tend vers \(0\), donc elle reste positive. Ainsi, l’inégalité \(u_n\le v_n\) se démontre. Les trois autres propriétés sont indispensables : sans la limite nulle de la différence, par exemple, les deux suites peuvent converger vers des limites distinctes.

Réponse D.

Une suite convergente transmet sa limite à chacune de ses extraites. Or les rangs pairs tendent vers \(1\) et les rangs impairs vers \(-1\). Le défaut de monotonie ne prouve rien : \(\frac{(-1)^n}{n+1}\) n’est pas monotone mais tend vers \(0\). De même, ce dernier exemple change de signe et converge. Enfin, \(|u_n|\to1\) est compatible avec une suite convergente, constante égale à \(1\) par exemple.

Réponse A.

Le théorème affirme que toute suite réelle bornée possède une suite extraite convergente. Ici, \(|\cos n|\le1\), donc l’hypothèse est remplie. En revanche, une suite bornée ne converge pas forcément, comme \((-1)^n\). Par conséquent, toutes ses extraites ne convergent pas non plus. Enfin, une valeur d’adhérence unique pour une suite bornée entraînerait la convergence, ce que le théorème ne dit pas.

Réponse A.

La partie entière vérifie \(2^nx-1<\lfloor2^nx\rfloor\le2^nx\). Après division par \(2^n\), il vient \(x-2^{-n}<r_n\le x\), et l’encadrement montre que \(r_n\to x\). Cette construction prouve la densité de \(\mathbb{Q}\) par caractérisation séquentielle. Le piège sans division tend vers l’infini. Celui qui simplifie \(2^n\) vaut simplement \(\lfloor x\rfloor\). Enfin, \(\lfloor x\rfloor+\frac1n\) tend vers \(\lfloor x\rfloor\).

Réponse C.

Le point fixe vérifie \(\ell=3\ell-4\), soit \(\ell=2\). Ensuite, \(u_n-2\) est géométrique de raison \(3\), donc \(u_n-2=3^n(u_0-2)=-3^n\). On vérifie que \(u_1=-1\), ce qui correspond bien à \(2-3\). Le piège \(2+3^n\) se trompe sur le signe de \(u_0-2\). Le piège en \(3^{n+1}\) décale l’exposant. Enfin, \(1-3^n\) utilise \(u_0\) à la place du point fixe.

Réponse C.

Les racines de \(r^2=r+2\) sont \(2\) et \(-1\). Ainsi \(u_n=a\,2^n+b(-1)^n\), avec \(a+b=0\) et \(2a-b=3\), d’où \(a=1\) et \(b=-1\). Le piège avec un plus ne vérifie pas \(u_0=0\). Celui en \((-2)^n\) résout \(r^2+r-2=0\), avec une erreur de signe. Enfin, la division par \(3\) donne \(u_1=1\) au lieu de \(3\).

Réponse D.

L’équation \(r^2-2r+2=0\) a pour racines complexes \(1\pm i=\sqrt2\,e^{\pm i\pi/4}\). Les solutions complexes sont donc combinaisons de \((1+i)^n\) et \((1-i)^n\), puis on en garde les parties réelles. Le module est \(\sqrt2\) : le piège \(2^n\) prend son carré. L’angle \(\frac{\pi}{2}\) se trompe d’argument. Enfin, sans le sinus, la famille est de dimension \(1\) au lieu de \(2\).