Différentielle et règle de la chaîne en maths spé (MP) : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Gradient d’une fonction de trois variables

On munit \(\mathbb{R}^3\) de sa structure euclidienne canonique et l’on pose \(f(x,y,z) = x \, e^{yz} + y^2 z\).

1. Justifier que \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}^3\).
2. Calculer les trois dérivées partielles de \(f\).
3. En déduire \(\nabla f(1, 0, 2)\), puis la dérivée de \(f\) en \((1,0,2)\) selon le vecteur \(w = (3, -1, 4)\).

Exercice 2 – Dérivée selon un vecteur par la définition

Soit \(f(x,y) = x^2 – 3xy + y^3\), le point \(a = (2,1)\) et le vecteur \(v = (1, -2)\).

1. Développer \(f(a + tv)\) suivant les puissances de \(t\).
2. En déduire \(D_v f(a)\) à partir de la définition.
3. Retrouver ce résultat à l’aide des dérivées partielles de \(f\) en \(a\).

Exercice 3 – Jacobienne d’une application du plan dans l’espace

Soit \(F : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3\) définie par \(F(x,y) = \big(x^2 y, \; x – y^2, \; e^{x – y}\big)\).

1. Déterminer la matrice jacobienne \(J_F(x,y)\).
2. Calculer \(J_F(1,1)\) et en déduire \(dF(1,1)(h,k)\).
3. Déterminer le rang de \(dF(1,1)\).

Exercice 4 – Deux différentielles matricielles par développement

On travaille sur \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), muni d’une norme sous-multiplicative.

1. Montrer que \(\varphi : M \mapsto M^{\top} M\) est différentiable et calculer \(d\varphi(M)(H)\).
2. Montrer que \(\psi : M \mapsto \operatorname{tr}(M^3)\) est différentiable et que \(d\psi(M)(H) = 3 \operatorname{tr}(M^2 H)\).
3. Pour \(n = 2\), \(M = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\) et \(H = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\), calculer \(d\psi(M)(H)\).

Exercice 5 – Gradient d’un produit scalaire par une norme au carré

Soit \(E\) un espace euclidien, \(a \in E\) non nul et \(f(x) = \langle a, x \rangle \, \|x\|^2\).

1. Calculer \(df(x)(h)\) en développant \(f(x + h)\).
2. En déduire \(\nabla f(x)\).
3. Déterminer les points où le gradient s’annule.

Exercice 6 – Gradient de la norme euclidienne

Dans \(\mathbb{R}^n\) euclidien, on note \(N(x) = \|x\|\).

1. Établir la différentiabilité de \(N\) hors de l’origine, avec \(\nabla N(x) = \dfrac{x}{\|x\|}\).
2. Prouver qu’en \(0\), aucune dérivée directionnelle non triviale de \(N\) n’existe. Conclure.
3. Calculer le gradient de \(x \mapsto \dfrac{1}{\|x\|}\) sur \(\mathbb{R}^n \setminus \{0\}\).

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Dérivées directionnelles sans différentiabilité

On définit \(f\) sur \(\mathbb{R}^2\) par \(f(0,0) = 0\) et \(f(x,y) = \dfrac{x^3 – 2y^3}{x^2 + y^2}\) sinon.

1. Montrer que \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}^2\).
2. Montrer que \(f\) admet en \((0,0)\) une dérivée selon tout vecteur \(v = (h,k)\) et la calculer.
3. En déduire que \(f\) n’est pas différentiable en \((0,0)\).

Exercice 8 – Une fraction rationnelle de classe C1 sur le plan

On définit \(g\) sur \(\mathbb{R}^2\) par \(g(0,0) = 0\) et \(g(x,y) = \dfrac{x^2 y^2}{2x^2 + y^2}\) sinon.

1. Montrer que \(|g(x,y)| \leqslant x^2\) pour tout \((x,y)\) et en déduire que \(g\) est différentiable en \((0,0)\).
2. Calculer les dérivées partielles de \(g\) en dehors de l’origine.
3. Montrer que \(g\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}^2\).

Exercice 9 – Fonction constante par contrôle quadratique

Soit \(f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) telle que \(|f(x) – f(y)| \leqslant \|x – y\|^2\) pour tous \(x, y\).

1. Montrer que \(f\) est différentiable en tout point et calculer sa différentielle.
2. En déduire que \(f\) est constante.
3. Le résultat subsiste-t-il si l’on remplace \(\mathbb{R}^n\) par un ouvert quelconque ? Justifier.

Exercice 10 – Somme de deux arctangentes sur quatre quadrants

Soit \(U = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid xy \neq 0\}\), représenté ci-dessous, et \(f(x,y) = \arctan\left(\dfrac{x}{y}\right) + \arctan\left(\dfrac{y}{x}\right)\) sur \(U\).

1. Justifier que \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(U\) et calculer ses dérivées partielles.
2. La fonction \(f\) est-elle constante sur \(U\) ? Expliquer pourquoi cela ne contredit pas le cours.
3. Déterminer la valeur de \(f\) sur chacun des quatre quadrants ouverts.

Exercice 11 – Majoration d’un logarithme par les accroissements

On munit \(\mathbb{R}^2\) de la norme euclidienne et l’on pose \(f(x,y) = \ln(1 + x^2 + y^2)\).

1. Calculer \(\nabla f(x,y)\) et montrer que \(\|\nabla f(x,y)\| \leqslant 1\).
2. À l’aide de l’intégrale de \(df\) le long d’un segment, montrer que \(|f(b) – f(a)| \leqslant \|b – a\|\) pour tous \(a, b\).
3. En déduire que \(\ln(1 + x^2 + y^2) \leqslant \sqrt{x^2 + y^2}\) pour tout \((x,y)\).

Exercice 12 – Coordonnées polaires et norme du gradient

Soit \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) de classe \(C^1\) et \(g(r, \theta) = f(r \cos\theta, r \sin\theta)\) pour \((r,\theta) \in \mathbb{R}^2\). On note \(u_r = (\cos\theta, \sin\theta)\) et \(u_\theta = (-\sin\theta, \cos\theta)\), comme sur la figure.

1. Exprimer \(\partial_r g\) et \(\partial_\theta g\) à l’aide des dérivées partielles de \(f\).
2. Montrer que, pour \(r > 0\), \(\|\nabla f(r\cos\theta, r\sin\theta)\|^2 = (\partial_r g)^2 + \dfrac{1}{r^2} (\partial_\theta g)^2\).
3. Vérifier cette formule pour \(f(x,y) = x^3 – 3xy^2\), dont on calculera l’expression polaire.

Exercice 13 – Carré complexe et règle de la chaîne

Soit \(P(u,v) = (u^2 – v^2, \, 2uv)\), qui correspond à \(z \mapsto z^2\) dans \(\mathbb{C}\). Soit \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) de classe \(C^1\) et \(g = f \circ P\).

1. Calculer \(J_P(u,v)\) et son déterminant.
2. Exprimer \(\partial_u g\) et \(\partial_v g\) en fonction des dérivées partielles de \(f\) au point \(P(u,v)\).
3. Montrer que \(\|\nabla g(u,v)\|^2 = 4(u^2 + v^2) \, \|\nabla f(P(u,v))\|^2\).
4. Vérifier cette relation pour \(f(x,y) = x\).

Exercice 14 – Différentielle de l’inverse et de sa trace

On note \(\iota(M) = M^{-1}\) sur \(GL_n(\mathbb{R})\) et \(T(M) = \operatorname{tr}(M^{-1})\).

1. Rappeler pourquoi \(GL_n(\mathbb{R})\) est ouvert, puis donner \(d\iota(M)(H)\).
2. En déduire que \(dT(M)(H) = -\operatorname{tr}(M^{-2} H)\).
3. Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). Justifier que \(I_n + tA\) est inversible pour \(|t|\) petit, puis calculer la dérivée en \(0\) de \(t \mapsto \operatorname{tr}\big((I_n + tA)^{-1}\big)\).
4. Vérifier le résultat directement pour \(A = \operatorname{diag}(1, 2, 3)\).

Exercice 15 – Différentielle du déterminant par multilinéarité

On écrit une matrice \(M\) de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) à l’aide de ses colonnes : \(M = (C_1 \mid \dots \mid C_n)\).

1. En utilisant la multilinéarité du déterminant en les colonnes, exprimer \(d(\det)(M)(H)\) comme une somme de \(n\) déterminants.
2. En développant chacun d’eux, retrouver \(d(\det)(M)(H) = \operatorname{tr}\big(\operatorname{com}(M)^{\top} H\big)\).
3. Pour \(M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\) et \(H = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}\), calculer \(d(\det)(M)(H)\), puis contrôler en développant \(\det(M + tH)\).

Exercice 16 – Déterminant d’une exponentielle de matrice

Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) et \(\varphi(t) = \det\big(e^{tA}\big)\) pour \(t \in \mathbb{R}\). On rappelle que \(t \mapsto e^{tA}\) est dérivable, de dérivée \(A e^{tA}\), et que \(e^{tA}\) est inversible d’inverse \(e^{-tA}\).

1. À l’aide de la règle de la chaîne, montrer que \(\varphi^{\prime}(t) = \operatorname{tr}(A) \, \varphi(t)\).
2. En déduire que \(\det\big(e^{A}\big) = e^{\operatorname{tr}(A)}\).
3. Calculer \(\det\big(e^{B}\big)\) pour \(B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\).

Pour approfondir

Exercice 17 – Identité d’Euler pour les fonctions homogènes

Soit \(\alpha \in \mathbb{R}\) et \(f : \mathbb{R}^n \setminus \{0\} \to \mathbb{R}\) de classe \(C^1\). La relation \(f(tx) = t^{\alpha} f(x)\), valable quels que soient \(x \neq 0\) et \(t > 0\), définit l’homogénéité positive de degré \(\alpha\).

1. Sous cette hypothèse d’homogénéité, établir que \(df(x)(x) = \alpha f(x)\) pour tout \(x \neq 0\).
2. Réciproquement, on suppose \(df(x)(x) = \alpha f(x)\) pour tout \(x \neq 0\). En étudiant \(t \mapsto t^{-\alpha} f(tx)\) sur \(]0, +\infty[\), montrer que \(f\) est homogène de degré \(\alpha\).
3. Montrer que, si \(f\) est homogène de degré \(\alpha\), chaque dérivée partielle \(\partial_j f\) est homogène de degré \(\alpha – 1\).
4. Vérifier l’identité de la question 1 pour \(f(x,y) = \dfrac{x^4 + y^4}{x^2 + y^2}\).

Exercice 18 – Fonctions à gradient radial

Soit \(U = \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}\) et \(f : U \to \mathbb{R}\) de classe \(C^1\) telle que, pour tout \(x \in U\), le vecteur \(\nabla f(x)\) soit colinéaire à \(x\).

1. Pour \(r > 0\), on pose \(\gamma_r(t) = (r\cos t, r \sin t)\). Montrer que \(f \circ \gamma_r\) est constante sur \(\mathbb{R}\).
2. En déduire qu’il existe \(\varphi : ]0, +\infty[ \to \mathbb{R}\) de classe \(C^1\) telle que \(f(x) = \varphi(\|x\|)\) pour tout \(x \in U\).
3. Réciproquement, montrer que toute fonction de la forme \(x \mapsto \varphi(\|x\|)\), avec \(\varphi\) de classe \(C^1\), a un gradient colinéaire à \(x\) en tout point.

Exercice 19 – Problème – Formule de Jacobi et wronskien

Partie A. On note \(c_{ij}(M)\) le cofacteur d’indice \((i,j)\) d’une matrice \(M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).

1. Montrer que \(\det\) est de classe \(C^1\) et que \(\dfrac{\partial \det}{\partial m_{ij}}(M) = c_{ij}(M)\).
2. En déduire que \(d(\det)(M)(H) = \operatorname{tr}\big(\operatorname{com}(M)^{\top} H\big)\) pour toutes matrices \(M\) et \(H\).
3. Soit \(X : I \to \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) dérivable sur un intervalle \(I\). Établir la formule de Jacobi : \((\det X)^{\prime}(t) = \operatorname{tr}\big(\operatorname{com}(X(t))^{\top} X^{\prime}(t)\big)\).

Partie B. Soit \(A : I \to \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) continue et \(X : I \to \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) dérivable telle que \(X^{\prime}(t) = A(t) X(t)\) pour tout \(t\). On pose \(w(t) = \det X(t)\) et l’on fixe \(t_0 \in I\).

4. Montrer que \(w^{\prime}(t) = \operatorname{tr}\big(A(t)\big) \, w(t)\). On pourra utiliser \(X \operatorname{com}(X)^{\top} = \det(X) I_n\).
5. En déduire \(w(t) = w(t_0) \exp\left( \int_{t_0}^{t} \operatorname{tr}\big(A(s)\big) \, ds \right)\).
6. Montrer que si \(X(t_0)\) est inversible, alors \(X(t)\) est inversible pour tout \(t \in I\).

Partie C. On prend \(n = 2\), \(I = \mathbb{R}\) et \(A(t) = \begin{pmatrix} t & 1 \\ 0 & t \end{pmatrix}\).

7. Vérifier que \(X(t) = e^{t^2/2} \begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) vérifie \(X^{\prime} = A X\) et \(X(0) = I_2\).
8. Calculer \(\det X(t)\) directement, puis à l’aide de la question 5, et comparer.

Pour aller plus loin

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