Sous-groupes, anneaux et matrices : contrôle de maths en MPSI

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Ce qu’évalue le contrôle : sous-groupes, anneaux et matrices

Le sujet du contrôle : sous-groupes, anneaux et matrices

Exercice 1 – Trois ensembles de matrices à tester (3,5 points)

On note \(GL_2(\mathbb{R})\) le groupe des matrices carrées réelles d’ordre 2 inversibles, muni du produit matriciel. Pour chacun des ensembles suivants, dire s’il s’agit d’un sous-groupe de \(GL_2(\mathbb{R})\), puis le démontrer.

1. Tout d’abord, \(T = \left\{\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} : a, b, c \in \mathbb{R},\; a \neq 0,\; c \neq 0\right\}\). (1 point)
2. Ensuite, l’ensemble \(Z\) des matrices de \(GL_2(\mathbb{R})\) dont les quatre coefficients sont des entiers relatifs. (1 point)
3. Enfin, \(D = \left\{\begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix} : a, b \in \mathbb{R},\; a^2 \neq b^2\right\}\). Pour cela, on pourra calculer \(\begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & -b \\ -b & a \end{pmatrix}\). (1,5 point)

Exercice 2 – Un corps de matrices rationnelles (4 points)

Pour \(a\) et \(b\) rationnels, on pose \(M(a, b) = \begin{pmatrix} a & 2b \\ b & a \end{pmatrix}\), et l’on note \(K = \left\{M(a, b) : a, b \in \mathbb{Q}\right\}\). On admet que \(\sqrt{2}\) est irrationnel.

1. Montrer d’abord que \(K\) est un sous-anneau commutatif de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{Q})\). (1 point)
2. Calculer ensuite \(M(a, b)\,M(a, -b)\). En déduire alors que \(K\) est un corps. (1,5 point)
3. On autorise maintenant \(a\) et \(b\) à être réels, et l’on note \(K_{\mathbb{R}}\) l’anneau obtenu. Montrer que \(K_{\mathbb{R}}\) n’est pas intègre, donc qu’il n’est pas un corps. (0,5 point)
4. Résoudre enfin l’équation \(X^2 = M(3, 2)\), d’inconnue \(X \in K\). (1 point)

Exercice 3 – Puissances entières par le binôme (4 points)

On considère la matrice \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\) et l’on pose \(N = A – I_3\), comme le montre le schéma ci-dessous.

1. Calculer d’abord \(N^2\) et \(N^3\). (0,5 point)
2. Pour tout entier naturel \(n\), exprimer \(A^n\) en fonction de \(I_3\), \(N\) et \(N^2\), en justifiant l’usage de la formule du binôme. Écrire ensuite \(A^n\) sous forme de tableau. (1,5 point)
3. Prouver ensuite que \(A\) est inversible en calculant \((I_3 + N)(I_3 – N + N^2)\), puis donner \(A^{-1}\). (1 point)
4. Pour \(n \in \mathbb{Z}\), on pose \(B_n = I_3 + nN + \frac{n(n-1)}{2}N^2\). Calculer \(B_n B_{-n}\), puis en déduire que \(A^n = B_n\) pour tout entier relatif \(n\). (1 point)

Exercice 4 – Pivot de Gauss avec un paramètre (4 points)

Pour un réel \(m\), on pose \(B_m = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & m \end{pmatrix}\). Cependant, les déterminants ne sont pas autorisés dans cet exercice.

1. Dans cette question, \(m = 2\). Montrer que \(B_2\) est inversible et calculer son inverse par la méthode du pivot de Gauss, en indiquant chaque opération sur les lignes. (1,5 point)
2. En déduire la solution du système suivant, d’inconnues réelles \(x\), \(y\) et \(z\) :

   \[\begin{cases} x + y + 2z = 1 \\ 2x + 3y + 3z = 0 \\ x + 2y + 2z = 2 \end{cases}\]

   (1 point)

3. Pour \(m\) quelconque, échelonner \(B_m\) par opérations sur les lignes. Déterminer alors les valeurs de \(m\) pour lesquelles \(B_m\) est inversible. Pour la valeur exclue, trouver une colonne \(X\) non nulle telle que \(B_m X = 0\). (1,5 point)

Exercice 5 – Problème : le groupe affine de la droite (4,5 points)

Pour \(a \in \mathbb{R}^{*}\) et \(b \in \mathbb{R}\), on pose \(\Phi(a, b) = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\), et l’on note \(\mathcal{A} = \left\{\Phi(a, b) : a \in \mathbb{R}^{*},\; b \in \mathbb{R}\right\}\). On associe aussi à \(\Phi(a, b)\) la fonction affine \(f_{a,b} : x \mapsto ax + b\). Par ailleurs, le schéma illustre l’application \(\delta\) de la partie B.

Partie A : un sous-groupe de matrices

1. Calculer \(\Phi(a, b)\,\Phi(c, d)\). Montrer alors que \(\mathcal{A}\) est un sous-groupe de \(GL_2(\mathbb{R})\), et préciser l’inverse de \(\Phi(a, b)\). Vérifier aussi que \(f_{a,b} \circ f_{c,d}\) est la fonction associée au produit \(\Phi(a, b)\,\Phi(c, d)\). (1 point)
2. Enfin, le groupe \(\mathcal{A}\) est-il commutatif ? (0,5 point)

Un morphisme et le centre (partie B)

1. On définit \(\delta : \mathcal{A} \to \mathbb{R}^{*}\) par \(\delta\left(\Phi(a, b)\right) = a\). Montrer que \(\delta\) est un morphisme surjectif du groupe \(\mathcal{A}\) vers le groupe \((\mathbb{R}^{*}, \times)\). Déterminer ensuite son noyau \(\mathcal{T}\), et montrer que \(b \mapsto \Phi(1, b)\) est un isomorphisme de \((\mathbb{R}, +)\) sur \(\mathcal{T}\). (1 point)
2. Déterminer ensuite le centre de \(\mathcal{A}\), c’est-à-dire l’ensemble des éléments qui commutent avec tous les éléments de \(\mathcal{A}\). (1 point)

Éléments d’ordre 2 (partie C)

Quels sont les éléments \(g \neq I_2\) de \(\mathcal{A}\) tels que \(g^2 = I_2\) ? En outre, l’ensemble formé de ces éléments et de \(I_2\) est-il un sous-groupe de \(\mathcal{A}\) ? (1 point)

Réviser sous-groupes, anneaux et matrices avant le contrôle

Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours lois internes, groupes, anneaux et corps puis produit matriciel, matrices inversibles et pivot ; entraînez-vous sur les exercices lois internes, groupes, anneaux et corps et produit matriciel, matrices inversibles et pivot avant de retenter le sujet.

La page contrôles de maths en MPSI regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.

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