Polynômes et théorème de d’Alembert en L1 de maths : cours et méthodes
Ce chapitre de polynômes L1 construit l’anneau \(\mathbb{K}[X]\) en parallèle constant avec l’arithmétique des entiers. Nous y retrouvons une division euclidienne, des diviseurs, un PGCD et une relation de Bézout. Le degré joue alors le rôle de la valeur absolue, et les polynômes irréductibles celui des nombres premiers.
Le cours avance ensuite vers les racines : factorisation par \(X – a\), multiplicité lue sur les dérivées successives, puis le théorème de d’Alembert-Gauss, admis, qui décrit tous les irréductibles de \(\mathbb{C}[X]\) et de \(\mathbb{R}[X]\). Enfin, les relations coefficients-racines permettent de calculer des sommes symétriques sans connaître les racines. Ces outils servent plus tard pour les fractions rationnelles, la réduction des matrices et les équations différentielles linéaires.
Ce que vous saurez faire
- Calculer le degré et le coefficient dominant d’un polynôme construit par opérations.
- Poser une division euclidienne, ou obtenir un reste par simple évaluation.
- Déterminer la multiplicité d’une racine à l’aide des dérivées successives.
- Factoriser un polynôme en irréductibles dans \(\mathbb{C}[X]\) puis dans \(\mathbb{R}[X]\).
- Exploiter les relations coefficients-racines sans calculer les racines.
- Calculer un PGCD par l’algorithme d’Euclide et en tirer une relation de Bézout.
1. L’anneau des polynômes et le degré
Ici, la lettre \(\mathbb{K}\) représente \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\), au choix. Formellement, un polynôme n’est rien d’autre qu’une liste finie de coefficients. La lettre \(X\) sert seulement à ranger ces coefficients et à rendre les calculs naturels.
1.1 Définitions
Un polynôme à coefficients dans \(\mathbb{K}\) est une expression \(P = a_0 + a_1 X + \dots + a_n X^n\), où les \(a_k\) appartiennent à \(\mathbb{K}\). Deux polynômes sont égaux lorsque leurs coefficients de même rang sont égaux. On note \(\mathbb{K}[X]\) l’ensemble de ces polynômes.
On additionne deux polynômes coefficient par coefficient. Le produit, lui, se calcule en développant avec la règle \(X^i X^j = X^{i+j}\). Ainsi, le coefficient de rang \(k\) de \(PQ\) vaut \(\sum_{i + j = k} a_i b_j\). Muni de ces deux opérations, \(\mathbb{K}[X]\) est un anneau commutatif, comme \(\mathbb{Z}\).
Si \(P \neq 0\), son degré \(\deg P\) est le plus grand rang \(n\) tel que \(a_n \neq 0\). Ce coefficient \(a_n\) est le coefficient dominant, et \(P\) est unitaire lorsque \(a_n = 1\). Par convention, \(\deg 0 = -\infty\).
1.2 Degré d’une somme et d’un produit
Pour tous \(P, Q \in \mathbb{K}[X]\) :
- \(\deg(P + Q) \leqslant \max(\deg P, \deg Q)\), avec égalité si \(\deg P \neq \deg Q\) ;
- \(\deg(PQ) = \deg P + \deg Q\).
Pour la somme, aucun coefficient de rang supérieur aux deux degrés n’apparaît. Si les degrés diffèrent, le plus grand terme n’est pas compensé. Pour le produit, supposons \(P\) et \(Q\) non nuls, de coefficients dominants \(a_n\) et \(b_m\). Le coefficient de rang \(n + m\) de \(PQ\) vaut \(a_n b_m\), qui est non nul. Aucun rang plus grand ne donne de terme non nul. Enfin, si l’un des facteurs est nul, les deux membres valent \(-\infty\).
On en déduit deux conséquences utiles. D’abord, un produit de polynômes non nuls n’est jamais nul. Ensuite, les seuls polynômes inversibles sont les constantes non nulles. En effet, \(PQ = 1\) impose \(\deg P + \deg Q = 0\), donc deux degrés nuls.
Cherchons le degré de \(P = (X^2 + X + 1)^3 – X^6\). Le terme \(X^6\) disparaît. Développons seulement le début : \((X^2 + X + 1)^3 = X^6 + 3X^5 + \dots\), car le terme \(X^5\) s’obtient en choisissant \(X\) dans un facteur et \(X^2\) dans les deux autres, de trois façons. Ainsi \(\deg P = 5\), de coefficient dominant \(3\).
Piège à éviter :
Le degré d’une somme peut chuter brutalement. Par exemple, \((X^3 + 2X) + (-X^3 + X^2)\) est de degré \(2\) seulement. Ainsi, on ne conclut jamais \(\deg(P + Q) = \max(\deg P, \deg Q)\) sans vérifier que les termes dominants ne se compensent pas.
2. Division euclidienne dans K[X]
Comme pour les entiers, on peut diviser un polynôme par un autre avec un reste « plus petit ». Ici, la taille se mesure par le degré. Ce parallèle structure toute la suite du chapitre.
2.1 Le théorème
Fixons \(A \in \mathbb{K}[X]\) et un diviseur \(B\) non nul. Une seule façon d’écrire \(A = BQ + R\) respecte la contrainte \(\deg R < \deg B\). Dans cette écriture, \(Q\) porte le nom de quotient, et \(R\) celui de reste.
Unicité. Supposons \(BQ + R = BQ_1 + R_1\) avec les deux restes de degré \(< \deg B\). Alors \(B(Q – Q_1) = R_1 – R\). Le membre de droite a un degré \(< \deg B\). Si \(Q \neq Q_1\), le membre de gauche aurait un degré au moins égal à \(\deg B\). Donc \(Q = Q_1\), puis \(R = R_1\).
Existence. Raisonnons par récurrence forte sur \(\deg A\). Si \(\deg A < \deg B\), on prend \(Q = 0\) et \(R = A\). Sinon, notons \(a X^n\) et \(b X^m\) les termes dominants de \(A\) et \(B\). Le polynôme \(A_1 = A – \frac{a}{b} X^{n – m} B\) a un degré strictement inférieur à \(n\). L’hypothèse de récurrence fournit \(A_1 = BQ_1 + R\), d’où \(A = B\left(Q_1 + \frac{a}{b} X^{n-m}\right) + R\).
Cette preuve décrit exactement l’algorithme. À chaque étape, on élimine le terme dominant du dividende courant.
Pour poser la division de \(A\) par \(B\) :
- diviser le terme dominant du dividende courant par celui de \(B\) : on obtient un terme du quotient ;
- multiplier \(B\) par ce terme, puis le soustraire au dividende courant ;
- recommencer tant que le degré obtenu reste au moins égal à \(\deg B\) ;
- contrôler le résultat en évaluant \(A\) et \(BQ + R\) en un point simple.
Divisons \(A = 2X^4 – X^3 + 3X – 5\) par \(B = X^2 + X – 1\).
- Premier terme \(2X^2\) : on retire \(2X^4 + 2X^3 – 2X^2\), il reste \(-3X^3 + 2X^2 + 3X – 5\).
- Terme suivant \(-3X\) : on retire \(-3X^3 – 3X^2 + 3X\), il reste \(5X^2 – 5\).
- Terme suivant \(5\) : on retire \(5X^2 + 5X – 5\), il reste \(-5X\).
Ainsi \(Q = 2X^2 – 3X + 5\) et \(R = -5X\). Contrôle en \(1\) : \(A(1) = -1\) et \(B(1)Q(1) + R(1) = 1 \times 4 – 5 = -1\).
2.2 Obtenir un reste sans poser la division
Souvent, seul le reste intéresse. Or évaluer l’égalité \(A = BQ + R\) en une racine \(a\) de \(B\) fait disparaître le quotient : on obtient \(A(a) = R(a)\). Ce simple constat suffit dans beaucoup de cas.
Le reste de la division de \(P\) par \(X – a\) est la constante \(P(a)\). Plus généralement, pour \(a \neq b\), diviser par \((X – a)(X – b)\) laisse un reste affine \(R\), entièrement déterminé par les deux conditions \(R(a) = P(a)\) et \(R(b) = P(b)\).
Prenons \(P = X^3 – 4X^2 + 2X + 3\) et \(B = (X – 1)(X – 3)\). On calcule \(P(1) = 2\) et \(P(3) = 27 – 36 + 6 + 3 = 0\). Le reste \(R = \alpha X + \beta\) vérifie donc \(\alpha + \beta = 2\) et \(3\alpha + \beta = 0\). On trouve \(\alpha = -1\) et \(\beta = 3\), soit \(R = -X + 3\). Graphiquement, la droite du reste coupe la courbe de \(P\) exactement aux abscisses \(1\) et \(3\).
3. Racines, multiplicité et polynôme dérivé
Un polynôme définit aussi une fonction \(x \mapsto P(x)\) sur \(\mathbb{K}\). Ses zéros, appelés racines, se traduisent en termes de divisibilité. C’est le pont entre l’algèbre et le calcul.
3.1 Racines et factorisation par X – a
Un scalaire \(a \in \mathbb{K}\) est une racine de \(P\), c’est-à-dire \(P(a) = 0\), si et seulement si \(X – a\) divise \(P\).
D’après la proposition précédente, \(P = (X – a)Q + P(a)\). Ainsi \(X – a\) divise \(P\) exactement lorsque ce reste constant est nul.
Si \(P \neq 0\) et \(\deg P = n\), l’ensemble des zéros de \(P\) compte \(n\) éléments au maximum. Ainsi, seul le polynôme nul admet une infinité de zéros.
Si \(a_1, \dots, a_p\) sont des racines distinctes de \(P\), on factorise successivement. En effet, \(P = (X – a_1)Q_1\), puis \(Q_1(a_2) = 0\) car \(a_2 – a_1 \neq 0\), et ainsi de suite. On obtient \(P = (X – a_1) \cdots (X – a_p) Q_p\) avec \(Q_p \neq 0\). La formule du degré donne alors \(p \leqslant n\).
Ce corollaire sert constamment pour prouver une égalité de polynômes. Par exemple, deux polynômes de degré au plus \(n\) qui coïncident en \(n + 1\) points sont égaux, car leur différence a trop de racines.
Pour montrer qu’un polynôme \(B\) à racines simples divise \(A\), sans poser de division :
- déterminer les racines complexes \(b_1, \dots, b_p\) de \(B\), toutes distinctes ;
- vérifier que \(A(b_k) = 0\) pour chaque \(k\) ;
- conclure : chaque \(X – b_k\) divise \(A\), et ces facteurs n’ont aucun zéro en commun, si bien que leur produit, égal à \(B\) à une constante près, divise \(A\).
Si \(B\) a des racines multiples, on contrôle en plus les dérivées de \(A\), comme expliqué ci-dessous. Cette méthode est souvent bien plus rapide qu’une division posée, en particulier avec des puissances élevées.
3.2 Multiplicité d’une racine
Soit \(P \neq 0\) et \(a\) une racine de \(P\). La multiplicité de \(a\) est le plus grand entier \(m\) tel que \((X – a)^m\) divise \(P\). On parle de racine simple si \(m = 1\), double si \(m = 2\), triple si \(m = 3\).
Autrement dit, \(a\) est de multiplicité \(m\) si l’on peut écrire \(P = (X – a)^m Q\) avec \(Q(a) \neq 0\). Sur le graphe d’un polynôme réel, la multiplicité se voit : une racine simple est traversée, une racine double donne un rebond, une racine triple une traversée à tangente horizontale.
Pour calculer une multiplicité, on utilise le polynôme dérivé. Si \(P = \sum a_k X^k\), on pose \(P^{\prime} = \sum k\, a_k X^{k-1}\). Les règles usuelles de dérivation restent vraies, en particulier \((PQ)^{\prime} = P^{\prime} Q + P Q^{\prime}\).
Le scalaire \(a\) est racine de multiplicité exactement \(m \geqslant 1\) de \(P\) si et seulement si \(P(a) = P^{\prime}(a) = \dots = P^{(m-1)}(a) = 0\) et \(P^{(m)}(a) \neq 0\).
Nous montrons le sens direct, qui est le plus utilisé. Écrivons \(P = (X – a)^m Q\) avec \(Q(a) \neq 0\). Par récurrence sur \(k \leqslant m\), on vérifie que \(P^{(k)} = (X – a)^{m-k} Q_k\), où \(Q_k(a) = \frac{m!}{(m-k)!}\, Q(a)\). En effet, dériver \((X – a)^{m-k} Q_k\) donne \((X – a)^{m-k-1}\big[(m-k) Q_k + (X – a) Q_k^{\prime}\big]\). Pour \(k < m\), le facteur \(X – a\) annule \(P^{(k)}(a)\). Pour \(k = m\), on obtient \(P^{(m)}(a) = m!\, Q(a) \neq 0\). La réciproque s’en déduit, car les multiplicités possibles s’excluent mutuellement.
Soit \(P = X^4 – 5X^3 + 6X^2 + 4X – 8\). On calcule \(P(2) = 16 – 40 + 24 + 8 – 8 = 0\). Ensuite, \(P^{\prime} = 4X^3 – 15X^2 + 12X + 4\) donne \(P^{\prime}(2) = 32 – 60 + 24 + 4 = 0\). De même, \(P^{\prime\prime} = 12X^2 – 30X + 12\) donne \(P^{\prime\prime}(2) = 0\). Enfin, \(P^{(3)} = 24X – 30\) vaut \(18\) en \(2\). Donc \(2\) est racine triple, et l’on trouve \(P = (X – 2)^3 (X + 1)\).
Piège à éviter :
Le critère par les dérivées commence à \(P\) lui-même. Ainsi, si \(P(a) = 0\) et \(P^{\prime}(a) \neq 0\), la racine est simple, pas double. De plus, on compte les dérivées nulles, puis on s’arrête à la première qui ne s’annule pas.
4. Le théorème de d’Alembert-Gauss et la factorisation
Dans \(\mathbb{Z}\), tout entier se décompose en produit de nombres premiers. Les polynômes possèdent une décomposition analogue, dont les briques s’appellent irréductibles. Leur description dépend fortement du corps choisi.
4.1 Polynômes irréductibles
On dit que \(P \in \mathbb{K}[X]\), non constant, est irréductible lorsque toute écriture \(P = AB\) impose que \(A\) ou \(B\) soit une constante non nulle.
Tout polynôme de degré \(1\) est irréductible, puisqu’un diviseur aurait un degré \(0\) ou \(1\). De plus, en degré \(2\) ou \(3\), l’irréductibilité équivaut à l’absence de zéro dans \(\mathbb{K}\). En effet, une factorisation non triviale contiendrait alors un facteur de degré \(1\).
4.2 Le théorème fondamental
Théorème de d’Alembert-Gauss, admis dans ce cours. Dès que \(P \in \mathbb{C}[X]\) a un degré au moins égal à \(1\), on peut trouver un complexe \(z\) qui l’annule.
Sur \(\mathbb{C}\), seuls les polynômes de degré \(1\) sont irréductibles. Si \(P \in \mathbb{C}[X]\) a pour degré \(n \geqslant 1\) et pour coefficient dominant \(\lambda\), alors on a \(P = \lambda (X – z_1)(X – z_2) \cdots (X – z_n)\), les \(z_k\) étant ses racines répétées selon leur multiplicité.
On raisonne par récurrence sur \(n\). Pour \(n = 1\), c’est immédiat. Si \(n \geqslant 2\), le théorème fournit une racine \(z_1\), et l’on écrit \(P = (X – z_1) Q\) avec \(\deg Q = n – 1\). On applique ensuite l’hypothèse de récurrence à \(Q\), qui a le même coefficient dominant.
4.3 Le cas des polynômes réels
Un polynôme réel est aussi un polynôme complexe. Ses racines non réelles ont cependant une propriété remarquable : elles vont par paires conjuguées.
Si \(P \in \mathbb{R}[X]\) et \(z \in \mathbb{C}\), alors \(P(\overline{z}) = \overline{P(z)}\). Par conséquent, \(z\) et \(\overline{z}\) sont racines de \(P\) avec la même multiplicité.
La conjugaison respecte sommes et produits, et elle fixe les coefficients réels. Donc \(\overline{P(z)} = \sum a_k \overline{z}^{\,k} = P(\overline{z})\). Comme \(P^{(k)}\) est aussi à coefficients réels, la même égalité vaut pour toutes les dérivées. Le critère de multiplicité conclut.
Dans \(\mathbb{R}[X]\), un irréductible est soit de degré \(1\), soit un trinôme \(aX^2 + bX + c\) dont le discriminant \(b^2 – 4ac\) est négatif strict.
En effet, regroupons une racine non réelle \(z\) avec sa conjuguée. On obtient \((X – z)(X – \overline{z}) = X^2 – 2\,\mathrm{Re}(z)\, X + |z|^2\), qui est réel et sans racine réelle. La décomposition dans \(\mathbb{C}[X]\) se transforme ainsi en décomposition réelle.
Pour factoriser un polynôme réel \(P\) dans \(\mathbb{R}[X]\) :
- chercher toutes les racines complexes de \(P\), avec leurs multiplicités ;
- garder tels quels les facteurs \(X – r\) des racines réelles ;
- associer chaque racine non réelle \(z\) à \(\overline{z}\) et former \(X^2 – 2\,\mathrm{Re}(z)\, X + |z|^2\) ;
- contrôler le degré total et le coefficient dominant.
Factorisons \(P = X^4 + 4\). Ses racines vérifient \(z^4 = -4 = 4 e^{i\pi}\), donc \(z = \sqrt{2}\, e^{i(\pi/4 + k\pi/2)}\) pour \(k \in \{0, 1, 2, 3\}\). Ce sont \(1 + i\), \(-1 + i\), \(-1 – i\) et \(1 – i\). Dans \(\mathbb{C}[X]\), on obtient quatre facteurs de degré \(1\). Ensuite, la paire \(1 \pm i\) donne \(X^2 – 2X + 2\), et la paire \(-1 \pm i\) donne \(X^2 + 2X + 2\). Ainsi :
\[X^4 + 4 = (X^2 – 2X + 2)(X^2 + 2X + 2).\]
Un polynôme réel sans racine réelle n’est pas forcément irréductible dans \(\mathbb{R}[X]\). L’exemple précédent le montre : \(X^4 + 4\) n’a aucune racine réelle, puisque \(x^4 + 4 \geqslant 4\), et pourtant il se factorise. Le critère « pas de racine » ne vaut qu’en degré \(2\) ou \(3\).
5. Relations coefficients-racines
Lorsqu’un polynôme est scindé, on peut développer sa forme factorisée. On obtient alors des liens directs entre ses coefficients et ses racines. Ces liens donnent des informations sur les racines sans jamais les calculer.
5.1 Degrés 2 et 3
Si \(aX^2 + bX + c\), avec \(a \neq 0\), a pour racines \(z_1, z_2\) comptées avec multiplicité, alors \(z_1 + z_2 = -\frac{b}{a}\) et \(z_1 z_2 = \frac{c}{a}\).
Si \(aX^3 + bX^2 + cX + d\), avec \(a \neq 0\), a pour racines \(z_1, z_2, z_3\), alors :
\[\sigma_1 = z_1 + z_2 + z_3 = -\frac{b}{a}, \qquad \sigma_2 = z_1 z_2 + z_1 z_3 + z_2 z_3 = \frac{c}{a}, \qquad \sigma_3 = z_1 z_2 z_3 = -\frac{d}{a}.\]
Pour l’établir, il suffit de développer \(a(X – z_1)(X – z_2)(X – z_3)\) et d’identifier les coefficients. Les quantités \(\sigma_k\) s’appellent les fonctions symétriques élémentaires des racines.
5.2 Le cas général
Soit \(P = a_n X^n + \dots + a_1 X + a_0\) scindé, de racines \(z_1, \dots, z_n\). Pour \(1 \leqslant k \leqslant n\), notons \(\sigma_k\) la somme des produits de \(k\) racines d’indices distincts. Alors \(\sigma_k = (-1)^k \frac{a_{n-k}}{a_n}\).
En particulier, la somme des racines vaut \(-a_{n-1}/a_n\) et leur produit vaut \((-1)^n a_0 / a_n\). D’après d’Alembert-Gauss, cette formule s’applique à tout polynôme de \(\mathbb{C}[X]\).
Soient \(z_1, z_2, z_3\) les racines complexes de \(P = X^3 – 2X^2 + 3X – 5\). On lit \(\sigma_1 = 2\), \(\sigma_2 = 3\) et \(\sigma_3 = 5\). D’abord, la somme des carrés se déduit de l’identité \(\sigma_1^2 = \sum z_k^2 + 2\sigma_2\) :
\[z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = \sigma_1^2 – 2\sigma_2 = 4 – 6 = -2.\]
Cette somme est strictement négative. Par conséquent, les trois racines ne peuvent pas être toutes réelles. Ensuite, comme \(\sigma_3 \neq 0\), on obtient aussi \(\frac{1}{z_1} + \frac{1}{z_2} + \frac{1}{z_3} = \frac{\sigma_2}{\sigma_3} = \frac{3}{5}\).
La courbe confirme ce raisonnement : elle ne coupe l’axe des abscisses qu’une fois. Les deux autres racines forment donc une paire de complexes conjugués.
Piège à éviter :
Les signes alternent dans les relations coefficients-racines. Ainsi, pour \(X^3 – 2X^2 + 3X – 5\), la somme des racines vaut \(+2\) et non \(-2\). De même, le produit vaut \(+5\), car \((-1)^3 \times (-5) = 5\). Un contrôle rapide sur \((X – 1)(X – 2)\) évite ces erreurs.
6. PGCD de polynômes et relation de Bézout
L’existence de la division euclidienne permet de recopier l’arithmétique des entiers. Diviseurs communs, algorithme d’Euclide et relation de Bézout se transposent presque mot pour mot.
6.1 PGCD et algorithme d’Euclide
Soient \(A\) et \(B\) deux polynômes non tous deux nuls. Leur PGCD, noté \(A \wedge B\), est l’unique polynôme unitaire \(D\) qui divise \(A\) et \(B\), et que tout diviseur commun de \(A\) et \(B\) divise. On dit que \(A\) et \(B\) sont premiers entre eux si \(A \wedge B = 1\).
Supposons \(A = BQ + R\). Un polynôme divise à la fois \(A\) et \(B\) exactement quand il divise à la fois \(B\) et \(R\). Par conséquent, \(A \wedge B = B \wedge R\).
L’algorithme d’Euclide enchaîne donc des divisions : on remplace \((A, B)\) par \((B, R)\) tant que le reste n’est pas nul. À chaque étape, le degré baisse d’au moins une unité : l’algorithme se termine forcément. On divise alors le dernier reste non nul par son coefficient dominant, et l’on obtient \(A \wedge B\).
Relation de Bézout. Il existe \(U, V \in \mathbb{K}[X]\) tels que \(AU + BV = A \wedge B\). En particulier, la condition \(A \wedge B = 1\) revient à trouver deux polynômes \(U, V\) vérifiant \(AU + BV = 1\).
Prenons \(A = X^4 + X^3 – X – 1\) et \(B = X^3 + X^2 – X – 1\). On a \(XB = X^4 + X^3 – X^2 – X\), donc \(A = X \cdot B + (X^2 – 1)\). Puis \(B = (X + 1)(X^2 – 1)\) tombe juste. Le processus s’arrête donc sur \(X^2 – 1\), qui a pour coefficient dominant \(1\). Ainsi :
\[A \wedge B = X^2 – 1 = 1 \cdot A + (-X) \cdot B.\]
6.2 Le parallèle avec les entiers
Comme dans \(\mathbb{Z}\), le lemme de Gauss reste vrai : si \(A\) divise \(BC\) et que \(A \wedge B = 1\), alors \(A\) divise \(C\). De plus, après avoir sorti le coefficient dominant, chaque polynôme non constant s’écrit comme un produit d’irréductibles unitaires. Cette écriture ne varie que par l’ordre des facteurs.
- Dans \(\mathbb{C}[X]\), \(A \wedge B = 1\) équivaut à l’absence de zéro partagé par \(A\) et \(B\).
- Un polynôme \(P \in \mathbb{C}[X]\) a une racine multiple si et seulement si \(P \wedge P^{\prime} \neq 1\).
- Le PGCD se lit sur les factorisations : on garde les facteurs communs, avec le plus petit exposant.
Remarque :
Le premier point repose sur d’Alembert-Gauss. Dans \(\mathbb{R}[X]\), il devient faux : \(X^2 + 1\) et \(X^4 – 1\) n’ont aucune racine réelle commune, et pourtant leur PGCD vaut \(X^2 + 1\).
Les erreurs fréquentes
- Affirmer que le degré d’une somme vaut le plus grand des degrés, sans vérifier les compensations.
- Arrêter une division euclidienne alors que le degré du reste atteint encore celui du diviseur.
- Confondre le nombre de dérivées nulles et la multiplicité, en oubliant de compter \(P\) lui-même.
- Déclarer irréductible sur \(\mathbb{R}\) un polynôme de degré \(4\) au seul motif qu’il ne s’annule pas sur \(\mathbb{R}\).
- Se tromper de signe dans les relations coefficients-racines, surtout pour le produit.
- Oublier de rendre unitaire le dernier reste non nul de l’algorithme d’Euclide.
Fiche mémo
- \(\deg(PQ) = \deg P + \deg Q\) et \(\deg(P + Q) \leqslant \max(\deg P, \deg Q)\), avec \(\deg 0 = -\infty\).
- Division euclidienne : \(A = BQ + R\) avec \(\deg R < \deg B\), et le couple \((Q, R)\) est unique.
- Le reste de \(P\) par \(X – a\) vaut \(P(a)\) ; donc \(P(a) = 0 \iff (X – a) \mid P\).
- Un polynôme non nul de degré \(n\) a au plus \(n\) racines.
- Multiplicité \(m\) : \(P(a) = \dots = P^{(m-1)}(a) = 0\) et \(P^{(m)}(a) \neq 0\).
- D’Alembert-Gauss : sur \(\mathbb{C}\), chaque \(P\) de degré \(n \geqslant 1\) se factorise en \(n\) facteurs de degré \(1\).
- Irréductibles de \(\mathbb{R}[X]\) : degré \(1\), et degré \(2\) à discriminant négatif.
- Somme des racines \(-a_{n-1}/a_n\), produit \((-1)^n a_0 / a_n\).
- Euclide donne le PGCD, et en remontant les calculs, une relation de Bézout \(AU + BV = A \wedge B\).
Questions fréquentes
Pourquoi le degré du polynôme nul vaut-il moins l'infini ?
Cette convention garde vraie la formule du degré d’un produit, qui devient une somme de degrés, même quand un facteur est nul. Elle préserve aussi l’inégalité sur le degré d’une somme. Avec la valeur zéro, ces deux règles tomberaient en défaut.
Un polynôme réel sans racine réelle est-il irréductible dans R[X] ?
Non, sauf s’il est de degré 2. Par exemple, X^4 + 4 n’a aucune racine réelle, mais il se factorise en (X^2 – 2X + 2)(X^2 + 2X + 2). Sur R, les briques irréductibles sont d’une part les facteurs affines, d’autre part les trinômes du second degré de discriminant négatif.
Comment trouver la multiplicité d'une racine sans factoriser ?
On évalue le polynôme et ses dérivées successives au point considéré. La multiplicité est le nombre de dérivées qui s’annulent en partant de P lui-même. Si P(a), P'(a) et P »(a) sont nuls mais pas P »'(a), la racine est triple.
Le théorème de d'Alembert-Gauss se démontre-t-il en L1 ?
En général, il est admis en première année. Ses preuves classiques demandent de l’analyse, par exemple un argument de minimum sur un disque fermé, ou bien de l’analyse complexe. En revanche, toutes ses conséquences sur la factorisation se démontrent avec les outils du chapitre.
Pour aller plus loin
- S’exercer : exercices corrigés de L1 de maths sur polynômes et théorème de d'Alembert
- Bases utiles : Complexes : forme exponentielle, racines et géométrie, Divisibilité, algorithme d'Euclide et congruences
- Chapitre d’avant : Divisibilité, algorithme d'Euclide et congruences
- Chapitre d’après : Pivot de Gauss, systèmes et matrices
- Vérifier ses acquis : QCM de L1 de maths sur polynômes et théorème de d'Alembert
- Contrôle corrigé en temps limité : Multiplicités et factorisation dans R[X] : contrôle de maths en L1
- Un autre sujet noté sur 20 : Partiel d'algèbre du premier semestre : contrôle de maths en L1
- Le même thème en maths sup (MPSI) : Polynômes : racines, multiplicité et factorisation
- Tous les chapitres : le sommaire de la L1 de maths
- Après le bac : les maths post-bac, de la MPSI à la L3
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