Groupes cycliques et théorème chinois : contrôle de maths en MP

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Ce qu’évalue le contrôle : groupes cycliques et théorème chinois

Le sujet du contrôle : groupes cycliques et théorème chinois

Exercice 1 – Ordres dans Z/45Z (3 points)

On travaille dans le groupe additif \((\mathbb{Z}/45\mathbb{Z}, +)\) et l’on note \(\overline{k}\) la classe de l’entier \(k\). La figure place les 45 classes sur un cercle ; elle relie ensuite \(\overline{0}\), \(\overline{12}\), \(\overline{24}\), et ainsi de suite, en ajoutant chaque fois \(\overline{12}\).

1. Déterminer l’ordre de \(\overline{12}\) puis celui de \(\overline{35}\), en justifiant chaque résultat par un calcul de PGCD. (1 point)
2. Combien le groupe \(\mathbb{Z}/45\mathbb{Z}\) possède-t-il de générateurs ? Citer ceux dont un représentant est compris entre 1 et 10. (1 point)
3. Dénombrer les éléments d’ordre 15, puis les énumérer. (1 point)

Exercice 2 – Ordre d’une puissance et d’un produit (4 points)

Soit \((G, \cdot)\) un groupe de neutre \(e\), et \(x\) un élément de \(G\) d’ordre fini \(a\).

1. Montrer que, pour tout entier relatif \(n\), on a \(x^n = e\) si et seulement si \(a\) divise \(n\). (1 point)
2. Soit \(k \geq 1\) un entier et \(d\) le PGCD de \(a\) et \(k\). Prouver que \(x^k\) est d’ordre \(\frac{a}{d}\). (1,5 point)
3. Soit \(y \in G\) d’ordre fini \(b\), avec \(xy = yx\) et \(a\) premier avec \(b\). Établir que \(xy\) est d’ordre \(ab\). On pourra étudier l’intersection des sous-groupes engendrés par \(x\) et par \(y\). (1,5 point)

Exercice 3 – Congruences simultanées (4 points)

La grille ci-dessous range chaque entier \(k\) de 0 à 71 dans la colonne de son reste modulo 8 et la ligne de son reste modulo 9. Chaque case reçoit exactement un entier.

1. Énoncer le théorème chinois pour l’anneau \(\mathbb{Z}/72\mathbb{Z}\), en précisant l’isomorphisme d’anneaux utilisé. Expliquer alors pourquoi la grille ne contient ni case vide ni case double. (1 point)
2. Résoudre dans \(\mathbb{Z}\) le système
   \[\begin{cases} x \equiv 3 \pmod{8} \\ x \equiv 5 \pmod{9} \\ x \equiv 2 \pmod{11} \end{cases}\] (1,5 point)
3. Déterminer le nombre de solutions de l’équation \(x^2 \equiv 1 \pmod{72}\) dans \(\mathbb{Z}/72\mathbb{Z}\), puis les lister. (1,5 point)

Exercice 4 – Indicatrice d’Euler et grande puissance (3,5 points)

Pour tout entier \(n \geq 2\), on note \(\varphi(n)\) le nombre d’entiers de \([\![1, n]\!]\) premiers avec \(n\), c’est-à-dire le nombre de classes inversibles de l’anneau \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\).

1. Soit \(p\) premier et \(k \geq 1\). Calculer \(\varphi(p^k)\) en comptant les entiers de \([\![1, p^k]\!]\) qui ne sont pas premiers avec \(p^k\). (1 point)
2. Soit \(r, s \geq 2\) deux entiers premiers entre eux, et \(A_k\) une notation abrégée pour l’anneau \(\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}\), de groupe des inversibles \(U(A_k)\). À l’aide de l’isomorphisme d’anneaux du théorème chinois, montrer que \(\varphi(rs) = \varphi(r) \times \varphi(s)\). (1,5 point)
3. Calculer \(\varphi(1400)\). En déduire le reste de la division euclidienne de \(13^{963}\) par 1400. (1 point)

Exercice 5 – Problème : un groupe multiplicatif cyclique (5,5 points)

Soit \(q\) un nombre premier impair tel que \(p = 2q + 1\) soit lui aussi premier (par exemple \(q = 11\) et \(p = 23\)). On note \(G = (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}\) le groupe multiplicatif des classes non nulles, de cardinal \(p – 1 = 2q\).

Partie A : un argument de comptage

1. Justifier que \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) est un corps. Pour \(d \geq 1\), en déduire que l’équation \(x^d = \overline{1}\) admet au plus \(d\) solutions dans ce corps. (1 point)
2. Montrer que l’ordre de tout élément de \(G\) appartient à \(\{1, 2, q, 2q\}\). (0,5 point)
3. Combien \(G\) contient-il d’éléments d’ordre 1 ou 2 ? Majorer ensuite le nombre d’éléments d’ordre \(q\). Conclure que \(G\) est cyclique. (1,5 point)

Partie B : le cas p = 23

4. Par exponentiation rapide, calculer \(\overline{2}^{11}\) et \(\overline{5}^{11}\) dans \(\mathbb{Z}/23\mathbb{Z}\). Déterminer alors l’ordre de \(\overline{2}\) et celui de \(\overline{5}\). (1,5 point)
5. Combien \(G\) admet-il de générateurs ? Les décrire comme puissances de \(\overline{5}\), puis donner leurs représentants entre 1 et 22. (1 point)

Réviser groupes cycliques et théorème chinois avant le contrôle

Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours sous-groupe engendré, ordre et groupes cycliques puis idéaux, anneau z/nz et théorème chinois ; entraînez-vous sur les exercices sous-groupe engendré, ordre et groupes cycliques et idéaux, anneau z/nz et théorème chinois avant de retenter le sujet.

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