Polynômes annulateurs et spectre : contrôle de maths en MP
Voici un contrôle de maths en MP sur le thème « polynômes annulateurs et spectre », avec son barème et un corrigé détaillé.
Cette interrogation d’une heure trente prépare aux oraux de MP : elle porte sur les polynômes annulateurs, outil central de la réduction. Vous déduirez d’abord un spectre d’une relation matricielle, puis vous prouverez une diagonalisabilité sans écrire le moindre polynôme caractéristique de grande taille. Ensuite, une matrice de taille trois servira à appliquer le lemme des noyaux, et le théorème de Cayley-Hamilton donnera son inverse ainsi qu’une puissance élevée. Enfin, le problème étudie les endomorphismes annulés par \(X^2(X-1)\) et les décompose en un projecteur et un nilpotent. Placez ce contrôle après le chapitre sur le polynôme minimal.
Ce qu’évalue le contrôle : polynômes annulateurs et spectre
L’essentiel du sujet
- NiveauMP
- Durée1 h 30
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Polynôme minimal, lemme des noyaux et Cayley-Hamilton (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Démontrer que toute valeur propre est racine d’un polynôme annulateur et en tirer le spectre
- Prouver qu’un endomorphisme est diagonalisable grâce à un polynôme annulateur simplement scindé
- Décomposer l’espace en somme directe de noyaux avec le lemme de décomposition des noyaux
- Utiliser le théorème de Cayley-Hamilton pour inverser une matrice et calculer une grande puissance
- Écrire un endomorphisme annulé par un polynôme comme somme d’un projecteur et d’un nilpotent
Avant de commencer le devoir
Avant tout calcul, cherchez un polynôme annulateur de petit degré et factorisez-le : ses racines contiennent le spectre. Lorsqu’il est scindé à racines simples, la diagonalisabilité est acquise, donc inutile de chercher des vecteurs propres. Pour une matrice réelle, pensez aussi que les valeurs propres complexes non réelles vont par paires conjuguées. Enfin, rédigez brièvement, comme à l’oral, en citant chaque théorème.
Le sujet du contrôle : polynômes annulateurs et spectre
Exercice 1 – Racines cubiques de l’unité et spectre (3 points)
Dans tout l’exercice, \(j = \mathrm{e}^{2i\pi/3}\). La figure place dans le plan complexe les racines du polynôme \(X^4 – X\).
- Soit \(u\) un endomorphisme d’un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) et \(P \in \mathbb{K}[X]\) tel que \(P(u) = 0\). Démontrer que toute valeur propre de \(u\) est racine de \(P\).
- Soit \(M \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})\), non nulle, telle que \(M^4 = M\) et \(\mathrm{tr}(M) = 0\). Montrer que \(M\) est diagonalisable dans \(\mathcal{M}_3(\mathbb{C})\), puis que son spectre complexe est \(\left\{1, j, j^2\right\}\). En déduire \(M^3\) et \(\det M\).
Exercice 2 – Un endomorphisme de l’espace des matrices (4 points)
Soit \(n \geq 2\). On considère l’application \(\varphi\) définie sur \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) par \(\varphi(M) = 2M^{T} – M\), dont on admet qu’elle est linéaire.
- Calculer \(\varphi \circ \varphi\) et trouver deux réels \(a\) et \(b\) tels que \(\varphi^2 = a\,\varphi + b\,\mathrm{id}\).
- En déduire, sans chercher de base, que \(\varphi\) est diagonalisable, puis déterminer son spectre.
- Identifier ensuite les sous-espaces propres de \(\varphi\) à des sous-espaces classiques de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).
- Calculer alors la trace et le déterminant de \(\varphi\) en fonction de \(n\).
Exercice 3 – Une droite et un plan stables (4 points)
On considère la matrice \[C = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\] et l’endomorphisme \(c\) de \(\mathbb{R}^3\) canoniquement associé. La figure représente la droite \(\mathcal{D}\) dirigée par \((1, 0, 1)\) et le plan \(\mathcal{P}\) d’équation \(x + y + z = 0\).
- Calculer le polynôme caractéristique \(\chi_C\) et le factoriser dans \(\mathbb{R}[X]\). Que donne le théorème de Cayley-Hamilton ?
- Justifier que \(\mathbb{R}^3 = \ker(C – I_3) \oplus \ker\left(C^2 + I_3\right)\), puis montrer que ces deux noyaux sont exactement \(\mathcal{D}\) et \(\mathcal{P}\).
- La matrice \(C\) est-elle diagonalisable dans \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) ? Et dans \(\mathcal{M}_3(\mathbb{C})\) ?
- On pose \(v_1 = (1, 0, 1)\), \(v_2 = (1, -1, 0)\) et \(v_3 = c(v_2)\). Montrer que \((v_1, v_2, v_3)\) est une base de \(\mathbb{R}^3\) et écrire la matrice de \(c\) dans cette base.
Exercice 4 – Inverse et puissance sans calcul lourd (3 points)
On reprend la matrice \(C\) de l’exercice 3.
- Montrer que \(C\) est inversible et exprimer \(C^{-1}\) comme un polynôme en \(C\) de degré au plus deux. Calculer ensuite \(C^{-1}\) explicitement.
- Prouver que \(C^4 = I_3\) par un argument de divisibilité, puis en déduire \(C^{2027}\).
Exercice 5 – Problème : un projecteur caché dans u (6 points)
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie \(n \geq 1\) et \(u \in \mathcal{L}(E)\) tel que \(u^3 = u^2\).
- Déterminer tout d’abord les valeurs propres possibles de \(u\).
- Établir alors que \(E = \ker\left(u^2\right) \oplus \ker(u – \mathrm{id})\).
- Montrer que \(u\) est diagonalisable si et seulement si \(\ker u = \ker\left(u^2\right)\).
- On note \(p\) le projecteur sur \(\ker(u – \mathrm{id})\) parallèlement à \(\ker\left(u^2\right)\). Prouver que \(p = u^2\).
- On pose \(d = u^2\) et \(\nu = u – u^2\). Vérifier que \(u = d + \nu\), que \(d\) est diagonalisable, que \(\nu^2 = 0\) et que \(d \circ \nu = \nu \circ d = 0\).
- Application : soit \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\). Vérifier que \(A^3 = A^2\), dire si \(A\) est diagonalisable, puis écrire \(A = D + N\) comme à la question 5.
Réviser polynômes annulateurs et spectre avant le contrôle
Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours polynôme minimal, lemme des noyaux et cayley-hamilton ; entraînez-vous sur les exercices polynôme minimal, lemme des noyaux et cayley-hamilton avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en MP regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.
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