Problème de topologie en dimension finie : contrôle de maths en MP

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Ce qu’évalue le contrôle : problème de topologie en dimension finie

Le sujet du contrôle : problème de topologie en dimension finie

Exercice 1 – Une norme à boule hexagonale (3 points)

Pour \((x, y) \in \mathbb{R}^2\), on pose \(N(x, y) = \max\left(2|x|,\, |y|,\, |x – y|\right)\) et \(\|(x, y)\|_\infty = \max\left(|x|,\, |y|\right)\). Par ailleurs, la figure représente la boule unité fermée de \(N\).

1. Montrer que \(N\) est une norme sur \(\mathbb{R}^2\). (1 point)
2. Justifier que la boule unité fermée de \(N\) est bien l’hexagone dessiné, en précisant quelle contrainte porte chacun de ses côtés. (1 point)
3. Déterminer les meilleures constantes \(\alpha\) et \(\beta\) telles que \(\alpha \|u\|_\infty \leq N(u) \leq \beta \|u\|_\infty\) pour tout \(u \in \mathbb{R}^2\), puis prouver leur optimalité. (1 point)

Exercice 2 – Matrices de rang borné (3,5 points)

Soit \(n \geq 2\). L’espace \(M_n(\mathbb{R})\) est de dimension finie, donc on le munit d’une norme quelconque. Pour \(0 \leq r \leq n\), on note \(R_r = \left\{A \in M_n(\mathbb{R}) \,;\, \mathrm{rg}(A) \leq r\right\}\).

1. Rappeler la caractérisation du rang par les mineurs. Montrer alors que \(R_r\) est une partie fermée de \(M_n(\mathbb{R})\). (1,5 point)
2. On suppose \(r < n\). Prouver que \(R_r\) est d’intérieur vide, en étudiant \(t \mapsto \det(A + t I_n)\). (1 point)
3. Dans \(M_2(\mathbb{R})\), on note \(S\) l’ensemble des matrices de rang exactement \(1\). Établir que \(S\) n’est ni ouverte ni fermée, puis déterminer son adhérence. (1 point)

Exercice 3 – Le point le plus proche sur une parabole (3 points)

Le plan \(\mathbb{R}^2\) est muni de la norme euclidienne \(\|\cdot\|_2\). On considère alors la parabole \(P = \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \,;\, y = x^2 – 2\right\}\) et l’origine \(O\).

1. Soit \(E\) un espace vectoriel normé de dimension finie, \(F\) une partie fermée non vide de \(E\) et \(a \in E\). Montrer qu’il existe \(b \in F\) tel que \(\|a – b\| = d(a, F)\). On pourra introduire \(f_0 \in F\) et la partie \(K = F \cap B_f\left(a, \|a – f_0\|\right)\). (1,5 point)
2. Vérifier que \(P\) est fermée. Calculer ensuite \(d(O, P)\) et déterminer tous les points de \(P\) qui réalisent cette distance. (1,5 point)

Exercice 4 – Groupes linéaires réel et complexe (3,5 points)

Soit \(n \geq 1\). Les espaces \(M_n(\mathbb{R})\) et \(M_n(\mathbb{C})\) sont munis de normes quelconques, puisqu’elles sont équivalentes.

1. Montrer que \(GL_n(\mathbb{R})\) n’est pas connexe par arcs. (1,25 point)
2. Soit \(A\) et \(B\) dans \(GL_n(\mathbb{C})\). On pose \(Q(z) = \det\left((1 – z)A + zB\right)\) pour \(z \in \mathbb{C}\).
   1. Justifier que \(Q\) est une fonction polynomiale non nulle, et que \(0\) et \(1\) ne sont pas racines de \(Q\). (0,75 point)
   2. Pour \(y > 0\), on pose \(w_y = \frac{1}{2} + \mathrm{i}\,y\) et on note \(\Gamma_y\) la ligne brisée formée des segments \([0, w_y]\) et \([w_y, 1]\), comme sur la figure. Montrer que \(\Gamma_y\) évite les racines de \(Q\) sauf pour un nombre fini de valeurs de \(y\). (1 point)
   3. En déduire que \(GL_n(\mathbb{C})\) est connexe par arcs. (0,5 point)

Exercice 5 – Problème : le groupe orthogonal, compact et coupé en deux (7 points)

On munit \(M_n(\mathbb{R})\) du produit scalaire \(\langle A, B\rangle = \mathrm{tr}\left(A^{T} B\right)\) et de la norme associée \(\|A\| = \sqrt{\mathrm{tr}\left(A^{T} A\right)}\), dite norme de Frobenius. On note \(O_n(\mathbb{R}) = \left\{Q \in M_n(\mathbb{R}) \,;\, Q^{T} Q = I_n\right\}\) le groupe orthogonal, puis \(SO_n(\mathbb{R})\) le sous-groupe des matrices orthogonales de déterminant \(1\).

Partie A : compacité et intérieur

1. Montrer que \(O_n(\mathbb{R})\) est une partie fermée de \(M_n(\mathbb{R})\). (0,75 point)
2. Calculer \(\|Q\|\) pour \(Q \in O_n(\mathbb{R})\). En déduire que \(O_n(\mathbb{R})\) est compact. (0,75 point)
3. Prouver que \(O_n(\mathbb{R})\) est d’intérieur vide. (0,5 point)
4. Déterminer \(\det\left(O_n(\mathbb{R})\right)\), puis montrer que \(O_n(\mathbb{R})\) n’est pas connexe par arcs. (0,5 point)

Partie B : les deux morceaux de O₂(R)

Pour \(\theta \in \mathbb{R}\), on pose \(R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}\) et \(S_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ \sin\theta & -\cos\theta \end{pmatrix}\). La figure schématise \(O_2(\mathbb{R})\) : chaque matrice y est repérée par sa première colonne, sur l’un des deux cercles selon son déterminant.

5. Montrer que toute matrice de \(SO_2(\mathbb{R})\) est de la forme \(R_\theta\) et que toute matrice de \(O_2(\mathbb{R}) \setminus SO_2(\mathbb{R})\) est de la forme \(S_\theta\). (1 point)
6. En déduire que \(SO_2(\mathbb{R})\) et \(O_2(\mathbb{R}) \setminus SO_2(\mathbb{R})\) sont connexes par arcs. Expliquer ensuite pourquoi aucun chemin continu tracé dans \(O_2(\mathbb{R})\) ne relie \(I_2\) à \(S_0\). (1 point)

Partie C : distance d’une matrice au groupe orthogonal

7. Soit \(A \in M_n(\mathbb{R})\). Justifier que la distance \(d\left(A, O_n(\mathbb{R})\right)\) est atteinte. Établir ensuite, pour \(Q \in O_n(\mathbb{R})\), l’égalité \(\|A – Q\|^2 = \|A\|^2 + n – 2\langle A, Q\rangle\). (1 point)
8. Dans cette question, \(n = 2\) et \(A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}\). Calculer \(\langle A, R_\theta\rangle\) et \(\langle A, S_\theta\rangle\). Déterminer alors \(d\left(A, O_2(\mathbb{R})\right)\) et l’unique matrice orthogonale qui la réalise. (1,5 point)

Réviser problème de topologie en dimension finie avant le contrôle

Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours normes, boules et suites dans un espace normé puis ouverts, fermés, adhérence et limites puis compacité, connexité et applications linéaires continues ; entraînez-vous sur les exercices normes, boules et suites dans un espace normé et ouverts, fermés, adhérence et limites et compacité, connexité et applications linéaires continues avant de retenter le sujet.

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