Diagonalisation orthogonale et Rayleigh : contrôle de maths en MP

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Ce qu’évalue le contrôle : diagonalisation orthogonale et Rayleigh

Le sujet du contrôle : diagonalisation orthogonale et Rayleigh

Exercice 1 – Le théorème spectral en dimension 2 (3 points)

Question de cours. Soit \(S = \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}\) une matrice symétrique réelle. L’espace \(\mathbb{R}^2\) est muni de son produit scalaire canonique \(\langle X, Y\rangle = X^{T} Y\).

1. Calculer le polynôme caractéristique de \(S\) et montrer que son discriminant s’écrit \((a – c)^2 + 4b^2\). En déduire que \(S\) possède des valeurs propres réelles. (1 point)
2. Traiter le cas où ce discriminant est nul. (0,5 point)
3. On suppose maintenant le discriminant non nul. Prouver que deux vecteurs propres associés aux deux valeurs propres sont orthogonaux, puis conclure qu’il existe une matrice orthogonale \(P\) telle que \(P^{T} S P\) soit diagonale. (1,5 point)

Exercice 2 – Deux adjoints dans l’espace des matrices (3,5 points)

On munit \(M_n(\mathbb{R})\) du produit scalaire \(\langle A, B\rangle = \mathrm{tr}\left(A^{T} B\right)\). Pour \(M \in M_n(\mathbb{R})\), on note \(L_M : A \mapsto MA\) et \(T : A \mapsto A^{T}\).

1. Déterminer l’adjoint de \(L_M\). (1 point)
2. Montrer que \(T\) est autoadjoint et que \(T \circ T = \mathrm{id}\). En déduire alors que les sous-espaces \(S_n(\mathbb{R})\) et \(A_n(\mathbb{R})\) sont orthogonaux et supplémentaires. (1,5 point)
3. Soit \(u\) un endomorphisme d’un espace euclidien \(E\) et \(F\) un sous-espace stable par \(u\). Prouver que \(F^{\perp}\) est stable par \(u^{*}\). Que dire lorsque \(u\) est autoadjoint ? (1 point)

Exercice 3 – Une matrice symétrique positive mais non inversible (4 points)

On considère \(S = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}\) et, pour \(X = (x, y, z)^{T}\), la forme quadratique \(q(X) = X^{T} S X\).

1. Calculer \(S V_1\) et \(S V_2\) pour \(V_1 = (1, 1, 0)^{T}\) et \(V_2 = (1, -1, 1)^{T}\). (1 point)
2. Déterminer le noyau de \(S\), puis le spectre de \(S\). (1 point)
3. Écrire une matrice orthogonale \(P\) et une matrice diagonale \(D\) telles que \(S = P D P^{T}\). (1 point)
4. Vérifier que \(q(X) = 2(x + y)^2 + (x – y + z)^2\). Montrer ensuite que \(S\) est positive sans être définie positive. (1 point)

Exercice 4 – Encadrement par le quotient de Rayleigh (3,5 points)

Soit \(S \in S_n(\mathbb{R})\), de plus petite valeur propre \(\lambda_{\min}\) et de plus grande valeur propre \(\lambda_{\max}\). Pour \(X \neq 0\), on pose \(R_S(X) = \frac{X^{T} S X}{X^{T} X}\), appelé quotient de Rayleigh.

1. Montrer que \(\lambda_{\min} \leq R_S(X) \leq \lambda_{\max}\) pour tout \(X \neq 0\), et que \(R_S(X) = \lambda_{\max}\) si et seulement si \(X\) est un vecteur propre associé à \(\lambda_{\max}\). (1,5 point)
2. Dans cette question et la suivante, \(n = 2\) et \(S = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}\). Déterminer les valeurs propres de \(S\) et une base orthonormée de vecteurs propres. (1 point)
3. La figure représente \(g : \theta \mapsto R_S(\cos\theta, \sin\theta)\) sur \([0, \pi]\). Donner les valeurs exactes du maximum et du minimum de \(g\), puis les angles où ils sont atteints, exprimés à l’aide de \(\arctan\frac{1}{2}\). (1 point)

Exercice 5 – Problème : racine carrée et ellipse (6 points)

On rappelle que \(S \in S_n(\mathbb{R})\) est définie positive lorsque \(X^{T} S X > 0\) pour tout \(X \neq 0\) ; on note \(S_n^{++}(\mathbb{R})\) leur ensemble.

Partie A : caractérisations

1. Soit \(S \in S_n(\mathbb{R})\). Montrer que \(S \in S_n^{++}(\mathbb{R})\) si et seulement si toutes ses valeurs propres sont strictement positives. (1 point)
2. Montrer que \((X, Y) \mapsto X^{T} S Y\) est un produit scalaire sur \(\mathbb{R}^n\) si et seulement si \(S \in S_n^{++}(\mathbb{R})\). (1 point)

Une racine carrée (partie B)

3. Soit \(S \in S_n^{++}(\mathbb{R})\). Prouver qu’il existe \(R \in S_n^{++}(\mathbb{R})\) telle que \(R^2 = S\). (1 point)
4. Calculer une telle matrice \(R\) pour \(S = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}\). (1 point)

Géométrie de l’ellipse associée (partie C)

On garde \(S = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}\) et l’on considère la courbe \(\mathcal{E} = \left\{X \in \mathbb{R}^2 \,;\, X^{T} S X = 9\right\}\), tracée ci-dessous.

5. Écrire l’équation de \(\mathcal{E}\) dans une base orthonormée de vecteurs propres de \(S\). En déduire la nature de \(\mathcal{E}\), ses axes et ses demi-axes. (1 point)
6. À l’aide de l’exercice 4, établir que \(1 \leq \|X\| \leq 3\) pour tout \(X \in \mathcal{E}\). Déterminer ensuite les points de \(\mathcal{E}\) les plus proches et les plus éloignés de l’origine. (1 point)

Réviser diagonalisation orthogonale et Rayleigh avant le contrôle

Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours adjoint, endomorphismes autoadjoints et théorème spectral ; entraînez-vous sur les exercices adjoint, endomorphismes autoadjoints et théorème spectral avant de retenter le sujet.

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