Hölder, Minkowski et Riesz-Fischer en L3 de maths : exercices corrigés

---

---

Pour démarrer

Exercice 1 – Hölder sur le segment [0, 1]

Dans cet exercice, \(f\) est une fonction mesurable sur \([0, 1]\), muni de la mesure de Lebesgue.

1. D’abord, montrer que \(\left( \int_0^1 |f| \right)^3 \leq \int_0^1 |f|^3\).
2. Ensuite, montrer que \(\displaystyle \int_0^1 \sqrt{x}\, |f(x)| \, \mathrm{d}x \leq \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \int_0^1 |f|^2 \right)^{1/2}\).
3. Enfin, trouver une fonction \(f\) non nulle pour laquelle l’inégalité de la question 2 est une égalité.

Exercice 2 – Moyennes et inégalité de Jensen

On se place sur un espace probabilisé \((X, \mathcal{A}, \mu)\).

1. Soit \(p \geq 1\) et \(f \in L^1(\mu)\). Montrer que \(\left| \int f \, \mathrm{d}\mu \right|^p \leq \int |f|^p \, \mathrm{d}\mu\).
2. Pour \(g \in L^1(\mu)\) à valeurs réelles, montrer de même que \(\exp\left( \int g \, \mathrm{d}\mu \right) \leq \int \mathrm{e}^{g} \, \mathrm{d}\mu\).
3. Soient \(w_1, \ldots, w_m > 0\) de somme 1, et \(b_1, \ldots, b_m > 0\). En déduire que \(b_1^{w_1} \cdots b_m^{w_m} \leq w_1 b_1 + \cdots + w_m b_m\).

Exercice 3 – Puissances dans les espaces L^p de la demi-droite

On munit \(]0, +\infty[\) de la mesure de Lebesgue. Soient \(a > 0\) et \(p \geq 1\).

1. Montrer que \(x \mapsto x^{-a}\) appartient à \(L^p(]0, 1])\) si et seulement si \(ap < 1\).
2. Puis montrer qu’elle appartient à \(L^p([1, +\infty[)\) si et seulement si \(ap > 1\). Appartient-elle à un \(L^p(]0, +\infty[)\) ?
3. On pose \(f(x) = x^{-1/3}\) si \(0 < x \leq 1\) et \(f(x) = x^{-2}\) si \(x > 1\). Déterminer l’ensemble des \(p \geq 1\) tels que \(f \in L^p(]0, +\infty[)\).

Exercice 4 – Calculs de bornes supérieures essentielles

On munit \(\mathbb{R}\) de la mesure de Lebesgue. Calculer \(\|f\|_\infty\) dans chacun des cas suivants, en justifiant.

1. \(f = \mathbf{1}_{\mathbb{Q}}\).
2. \(f(x) = \mathrm{e}^{-x^2} + 5 \cdot \mathbf{1}_{\mathbb{Z}}(x)\).
3. \(f = \arctan\). La borne est-elle atteinte ?
4. \(f(x) = x\). Ainsi, une fonction finie en tout point peut-elle avoir une norme infinie ?

Exercice 5 – Suites de Riemann dans les espaces de suites

On note \(\ell^p\) l’espace des suites \((u_n)_{n \geq 1}\) telles que \(\sum |u_n|^p < +\infty\), muni de \(\|u\|_p = \left( \sum |u_n|^p \right)^{1/p}\).

1. Pour \(a > 0\) et \(p \geq 1\), donner une condition nécessaire et suffisante pour que \((n^{-a})_{n \geq 1}\) appartienne à \(\ell^p\).
2. En déduire une suite qui appartient à \(\ell^3\) sans appartenir à \(\ell^2\).
3. De plus, pour \(u \in \ell^1\), montrer que \(|u_n| \leq \|u\|_1\) pour tout \(n\), puis que \(\|u\|_2 \leq \|u\|_1\).

Exercice 6 – Pas de norme pour l’exposant un demi

Pour \(u = (x, y) \in \mathbb{R}^2\), on pose \(N(u) = \left( |x|^{1/2} + |y|^{1/2} \right)^2\). La figure représente l’ensemble \(\{N \leq 1\}\).

1. Vérifier que \(N(u) = 0\) si et seulement si \(u = 0\), et que \(N(\lambda u) = |\lambda| N(u)\).
2. Calculer \(N(u + v)\), \(N(u)\) et \(N(v)\) pour \(u = (1, 0)\) et \(v = (0, 1)\). Conclure.
3. En utilisant \(\sqrt{|s + t|} \leq \sqrt{|s|} + \sqrt{|t|}\), montrer que \(N(u + v) \leq 2 \left( N(u) + N(v) \right)\) pour tous \(u\), \(v\).

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Inclusion en mesure finie et contre-exemples sur R

1. Soit \((X, \mathcal{A}, \mu)\) avec \(\mu(X) < +\infty\). Montrer que \(\|f\|_1 \leq \sqrt{\mu(X)}\, \|f\|_2\), puis en déduire que \(L^2(\mu) \subset L^1(\mu)\).
2. Ensuite, sur \(]0, 1]\), trouver une fonction de \(L^1\) qui n’est pas dans \(L^2\).
3. Enfin, sur \(\mathbb{R}\), montrer que \(g(x) = \dfrac{1}{1 + |x|}\) est dans \(L^2(\mathbb{R})\) mais pas dans \(L^1(\mathbb{R})\). Que peut-on en conclure ?

Exercice 8 – Inégalité d’interpolation

Soient \(1 \leq p < s < r < +\infty\) et \(\theta \in \, ]0, 1[\) tel que \(\dfrac{1}{s} = \dfrac{\theta}{p} + \dfrac{1-\theta}{r}\).

1. Vérifier que les exposants \(\dfrac{p}{\theta s}\) et \(\dfrac{r}{(1-\theta) s}\) sont conjugués.
2. Ainsi, montrer que \(\|f\|_s \leq \|f\|_p^{\theta}\, \|f\|_r^{1-\theta}\) pour toute \(f\) mesurable.
3. On suppose \(\|f\|_1 = 2\) et \(\|f\|_3 = 4\). Calculer \(\theta\) pour \(p = 1\), \(s = 2\), \(r = 3\), puis majorer \(\|f\|_2\).

Exercice 9 – Limite des normes p quand p tend vers l’infini

On suppose \(\mu(X) < +\infty\) et \(f \in L^\infty(\mu)\), avec \(\|f\|_\infty > 0\).

1. Montrer que \(\|f\|_p \leq \mu(X)^{1/p} \|f\|_\infty\) pour tout \(p \geq 1\).
2. Soit \(0 < \varepsilon < \|f\|_\infty\). On pose \(A_\varepsilon = \{ |f| > \|f\|_\infty – \varepsilon \}\). Justifier que \(\mu(A_\varepsilon) > 0\), puis minorer \(\|f\|_p\).
3. En déduire que \(\|f\|_p \to \|f\|_\infty\) quand \(p \to +\infty\).
4. Vérifier ce résultat sur \(f(x) = x\) dans \([0, 1]\), en calculant \(\|f\|_p\) explicitement.

Exercice 10 – La bosse glissante et ses sous-suites

Sur \([0, 1]\), pour \(n = 2^k + j\) avec \(k \geq 0\) et \(0 \leq j < 2^k\), on pose \(f_n = \mathbf{1}_{[j 2^{-k}, (j+1) 2^{-k}]}\).

1. Calculer \(\|f_n\|_p\) pour \(p \geq 1\) et montrer que \(f_n \to 0\) dans \(L^p\).
2. Puis montrer que, pour tout \(x \in [0, 1]\), la suite \((f_n(x))\) ne converge pas.
3. Expliciter une sous-suite qui converge vers 0 en tout point de \(]0, 1]\).
4. Expliquer pourquoi ce résultat est cohérent avec le théorème de Riesz-Fischer.

Exercice 11 – Bosses hautes et convergence presque partout

Soit \(a > 0\). Sur \([0, 1]\), on pose \(g_n = n^a\, \mathbf{1}_{]0, 1/n]}\) pour \(n \geq 1\). La figure montre quelques termes pour \(a = 1/2\).

1. Montrer que \(g_n(x) \to 0\) pour tout \(x \in [0, 1]\).
2. Calculer \(\|g_n\|_p\). Pour quelles valeurs de \(a\) la suite converge-t-elle vers 0 dans \(L^p\) ?
3. Pour \(a = 1/2\) et \(p = 1\), montrer que \(\sup_n g_n(x) \leq x^{-1/2}\) pour \(x \in \, ]0, 1]\). Retrouver alors la convergence dans \(L^1\) par convergence dominée.

Exercice 12 – Un problème d’optimisation résolu par Hölder

On note \(\mathcal{C}\) l’ensemble des fonctions mesurables \(f \geq 0\) sur \([0, 1]\) telles que \(\int_0^1 f^3 = 1\). On cherche la borne supérieure de \(J(f) = \int_0^1 x f(x) \, \mathrm{d}x\) sur \(\mathcal{C}\).

1. À l’aide de Hölder, montrer que \(J(f) \leq (2/5)^{2/3}\) pour tout \(f \in \mathcal{C}\).
2. Ensuite, trouver \(c > 0\) tel que \(f^*(x) = c \sqrt{x}\) appartienne à \(\mathcal{C}\), et calculer \(J(f^*)\).
3. Conclure, puis comparer avec la valeur de \(J\) pour la fonction constante égale à 1.

Exercice 13 – Oscillations rapides et densité

On veut montrer que, pour tout \(f \in L^1(\mathbb{R})\), \(\int_{\mathbb{R}} f(x) \cos(nx) \, \mathrm{d}x \to 0\) quand \(n \to +\infty\).

1. D’abord, traiter le cas \(f = \mathbf{1}_{[a, b]}\), en majorant l’intégrale par \(2/n\).
2. Puis en déduire le résultat pour une fonction en escalier, combinaison linéaire finie d’indicatrices d’intervalles bornés.
3. On admet que ces fonctions en escalier sont denses dans \(L^1(\mathbb{R})\). Conclure dans le cas général.

Exercice 14 – L’indicatrice de la demi-droite loin des fonctions continues

On note \(H = \mathbf{1}_{[0, +\infty[}\), élément de \(L^\infty(\mathbb{R})\).

1. Soit \(\varphi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) continue, et \(c = \|H – \varphi\|_\infty\). Montrer que \(\varphi(x) \geq 1 – c\) pour tout \(x > 0\), et \(\varphi(x) \leq c\) pour tout \(x < 0\).
2. En déduire que \(\|H – \varphi\|_\infty \geq 1/2\).
3. Montrer que la borne \(1/2\) est atteinte par une fonction continue.
4. Par conséquent, l’espace \(C_c(\mathbb{R})\) est-il dense dans \(L^\infty(\mathbb{R})\) ?

Exercice 15 – Séries de normes convergentes et convergence presque partout

Soit \(1 \leq p < +\infty\), et \((f_n)\), \(f\) des éléments de \(L^p(\mu)\).

1. On suppose \(\sum_n \|f_n – f\|_p < +\infty\). En posant \(G = \sum_n |f_n – f|\), montrer que \(\|G\|_p < +\infty\), puis que \(f_n \to f\) presque partout.
2. Ensuite, on suppose que \(f_n \to f\) dans \(L^p\) et que \(f_n \to g\) presque partout. Montrer que \(f = g\) presque partout.
3. Enfin, on suppose \(f_n \to f\) dans \(L^p\) et \(|f_n| \leq 1\) presque partout pour tout \(n\). Montrer que \(|f| \leq 1\) presque partout.

Pour approfondir

Exercice 16 – Hölder à trois fonctions

1. Soient \(q, r \in \, ]1, +\infty[\) et \(s \geq 1\) tels que \(\dfrac{1}{s} = \dfrac{1}{q} + \dfrac{1}{r}\). Montrer que \(\|gh\|_s \leq \|g\|_q \, \|h\|_r\).
2. En déduire que, si \(p, q, r \in \, ]1, +\infty[\) vérifient \(\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} + \dfrac{1}{r} = 1\), alors \(\int |fgh| \, \mathrm{d}\mu \leq \|f\|_p \|g\|_q \|h\|_r\).
3. Application : pour \(f\), \(g\) mesurables sur \([0, 1]\), montrer que \(\displaystyle \int_0^1 \sqrt{x}\, |f(x) g(x)| \, \mathrm{d}x \leq \left( \frac{2}{5} \right)^{1/3} \|f\|_3 \, \|g\|_3\).

Exercice 17 – Convergence presque partout et convergence des normes

Soit \(1 \leq p < +\infty\). On suppose que \(f_n, f \in L^p(\mu)\), que \(f_n \to f\) presque partout et que \(\|f_n\|_p \to \|f\|_p\).

1. Par convexité, montrer que \(|a – b|^p \leq 2^{p-1} \left( |a|^p + |b|^p \right)\) pour tous réels \(a\), \(b\).
2. Appliquer le lemme de Fatou à \(h_n = 2^{p-1}(|f_n|^p + |f|^p) – |f_n – f|^p\), puis en déduire que \(\|f_n – f\|_p \to 0\).
3. Sur \(\mathbb{R}\), on pose \(u_n = \mathbf{1}_{[0, 1]} + n\, \mathbf{1}_{]1, 1 + 1/n]}\). Montrer que \(u_n \to \mathbf{1}_{[0, 1]}\) presque partout, sans convergence dans \(L^1\). Quelle hypothèse manque ?

Exercice 18 – Problème – Les espaces de suites l^p

On reprend les notations de l’exercice 5, avec des suites indexées par \(n \geq 1\), et \(\ell^\infty\) l’espace des suites bornées muni de \(\|u\|_\infty = \sup |u_n|\).

1. Soit \(1 \leq p < r \leq +\infty\). Montrer que \(\ell^p \subset \ell^r\), avec \(\|u\|_r \leq \|u\|_p\).
2. Pour \(p < r < +\infty\), montrer que la suite \(n^{-1/p}\) est dans \(\ell^r\) mais pas dans \(\ell^p\).
3. On pose \(w_n = 1/\ln(n+1)\). Montrer que \(w \in \ell^\infty\), que \(w_n \to 0\), mais que \(w \notin \ell^p\) pour tout \(p < +\infty\).
4. Soit \((u^{(k)})_k\) une suite de Cauchy de \(\ell^p\), \(p < +\infty\). Montrer que chaque coordonnée converge, puis que la suite limite \(u\) est dans \(\ell^p\) et que \(u^{(k)} \to u\). Retrouver ainsi un cas particulier de Riesz-Fischer.
5. Pour \(p < +\infty\), prouver que toute suite de \(\ell^p\) est limite de ses troncatures, nulles à partir d’un certain rang. Dans \(\ell^\infty\), en revanche, prouver que la suite constante égale à 1 reste à distance au moins 1 de toute suite nulle à partir d’un certain rang.
6. Enfin, pour \(u \in \ell^2\), montrer que \(\sum u_n / n\) converge absolument et que \(\left| \sum u_n / n \right| \leq \dfrac{\pi}{\sqrt{6}} \|u\|_2\).

Pour aller plus loin

Télécharger puis imprimer cette fiche en PDF.

Télécharger ou imprimer cette fiche «hölder, Minkowski et Riesz-Fischer en L3 de maths : exercices corrigés» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.

---

OK

 Maths PDF c'est 16 224 456 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 4 250 exercices.