Dunford et Jordan en L3 de maths : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Polynôme minimal par un produit nul

On considère la matrice \(M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 2 \\ 4 & -4 & 5 \end{pmatrix}\).

1. Calculer \(M – I_3\) et \(M – 3I_3\), puis vérifier que \((M – I_3)(M – 3I_3) = 0\).
2. En déduire le polynôme minimal de \(M\).
3. Enfin, déterminer le polynôme caractéristique de \(M\) à l’aide de la trace, puis justifier que \(M\) est diagonalisable.

Exercice 2 – Lemme des noyaux pour une relation cubique

Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension finie et \(u \in \mathcal{L}(E)\) tel que \(u^3 = 4u\).

1. Montrer que \(E = \ker u \oplus \ker(u – 2\,\mathrm{id}) \oplus \ker(u + 2\,\mathrm{id})\).
2. On pose \(p_0 = \mathrm{id} – \frac{1}{4}u^2\), \(p_2 = \frac{1}{8}(u^2 + 2u)\) et \(p_{-2} = \frac{1}{8}(u^2 – 2u)\). Vérifier que \(p_0 + p_2 + p_{-2} = \mathrm{id}\), puis que l’image de chacun est contenue dans le noyau correspondant.
3. En déduire que \(u\) est diagonalisable. Donner son polynôme minimal lorsque les trois noyaux sont non nuls.

Exercice 3 – Indice d’une matrice strictement triangulaire

Soit \(N = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\).

1. Calculer \(N^2\), \(N^3\) et \(N^4\).
2. Déterminer l’indice de nilpotence de \(N\) et les dimensions de \(\ker N^k\) pour \(k = 1, 2, 3, 4\).
3. Par conséquent, donner la réduite de Jordan de \(N\).

Exercice 4 – Une fausse décomposition de Dunford

Soient \(A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\).

1. On écrit \(A = \Delta + U\) avec \(\Delta = \mathrm{diag}(1, -2)\). Montrer que \(\Delta U \neq U \Delta\).
2. Ensuite, déterminer la décomposition de Dunford de \(A\).
3. Enfin, déterminer la décomposition de Dunford de \(B\) et expliquer pourquoi le découpage triangulaire convient cette fois.

Exercice 5 – Base duale d’une base de l’espace

On considère les trois vecteurs \(w_1 = (1, 0, 1)\), \(w_2 = (2, 1, 0)\) et \(w_3 = (0, 1, 1)\).

1. Vérifier, par un déterminant, que ces trois vecteurs forment une base.
2. Calculer les formes \(w_1^*, w_2^*, w_3^*\) de la base duale, écrites en fonction de \(x\), \(y\) et \(z\).
3. En déduire, sans résoudre de système, les coordonnées de \(v = (3, 3, 3)\) dans la base \((w_1, w_2, w_3)\).

Exercice 6 – Réduite de Jordan lue sur les noyaux

Soit \(N \in \mathcal{M}_6(\mathbb{R})\) une matrice nilpotente. Le graphique ci-dessous donne \(\dim \ker N^k\) pour \(k\) allant de 1 à 4.

1. Donner l’indice de nilpotence et le polynôme minimal de \(N\).
2. Ensuite, calculer les rangs de \(N\) et de \(N^2\).
3. Enfin, dessiner le tableau de Young de \(N\) et en déduire sa réduite de Jordan.

Exercice 7 – Un nilpotent décrit par ses flèches

Soit \((e_1, e_2, e_3, e_4)\) la base canonique de \(\mathbb{R}^4\) et \(u\) l’endomorphisme décrit par le schéma suivant : \(u(e_1) = e_2\), \(u(e_2) = 0\), \(u(e_3) = e_4\) et \(u(e_4) = e_2\).

1. Écrire la matrice \(U\) de \(u\) dans la base canonique.
2. Calculer \(u^2\) et \(u^3\), puis donner l’indice de nilpotence de \(u\).
3. Ensuite, déterminer \(\dim \ker u^k\) pour \(k = 1, 2, 3\).
4. Enfin, construire une base de Jordan de \(u\) formée de vecteurs simples et écrire la réduite.

Pour s’entraîner

Exercice 8 – Sous-espaces caractéristiques et projecteurs

Soit \(C = \begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 6 & -6 & 7 \end{pmatrix}\). On admet que \(\chi_C = (X – 1)^2(X – 4)\).

1. Déterminer \(\ker(C – I_3)\), \(\ker(C – I_3)^2\) et \(\ker(C – 4I_3)\). La matrice \(C\) est-elle diagonalisable ?
2. Vérifier l’identité \((X – 1)^2 – (X – 4)(X + 2) = 9\).
3. En déduire les projecteurs \(p_1\) et \(p_4\) sur les sous-espaces caractéristiques, sous forme de polynômes en \(C\), puis les calculer.

Exercice 9 – Puissances par la décomposition de Dunford

On reprend la matrice \(C\) et les projecteurs \(p_1\), \(p_4\) de l’exercice 8.

1. Calculer \(D = p_1 + 4p_4\) et \(N = C – D\). Vérifier que \(N^2 = 0\) et que \(DN = ND\).
2. Ensuite, justifier que \((D, N)\) est la décomposition de Dunford de \(C\).
3. Montrer que \(DN = N\), puis établir que \(C^k = p_1 + 4^k p_4 + kN\) pour tout entier \(k \geq 0\).
4. En déduire la première ligne de \(C^k\).

Exercice 10 – Nilpotent d’indice 2 en dimension 4

Soit \(N = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}\).

1. Calculer \(N^2\) et le rang de \(N\).
2. En déduire, sans autre calcul, la réduite de Jordan de \(N\).
3. On pose \(f_1 = Ne_1\), \(f_2 = e_1\), \(f_3 = Ne_2\), \(f_4 = e_2\). Montrer que \((f_1, f_2, f_3, f_4)\) est une base de Jordan.

Exercice 11 – Réduite de Jordan à deux valeurs propres

Soit \(A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ -3 & 4 & -4 & 2 \end{pmatrix}\).

1. Calculer \(\chi_A\) en développant selon la troisième ligne.
2. Ensuite, déterminer les dimensions de \(\ker(A + I_4)\) et de \(\ker(A – 2I_4)\).
3. En déduire la réduite de Jordan de \(A\) et son polynôme minimal.
4. Enfin, construire une matrice inversible \(P\) telle que \(P^{-1}AP\) soit cette réduite.

Exercice 12 – Semblables ou non semblables

On considère les trois matrices suivantes :
\[A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.\]

1. Pour chacune, calculer le rang de \(M – I_4\) et le carré \((M – I_4)^2\).
2. Montrer que les trois matrices ont le même polynôme caractéristique et le même polynôme minimal.
3. Par conséquent, lesquelles sont semblables entre elles ? Justifier.
4. Pour quels réels \(a\) les matrices \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) et \(\begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) sont-elles semblables ?

Exercice 13 – Classes de nilpotents en dimension 5 et 7

1. Combien existe-t-il de classes de similitude de matrices nilpotentes dans \(\mathcal{M}_5(\mathbb{C})\) ? Les classer selon leur indice.
2. Deux nilpotents de taille 5 ont le même indice 3. Montrer qu’ils sont semblables si et seulement s’ils ont le même rang.
3. Construire deux nilpotents de \(\mathcal{M}_7(\mathbb{C})\), de même indice et de même rang, qui ne sont pas semblables.

Exercice 14 – Invariants de similitude et réduite de Jordan

1. Déterminer les invariants de similitude de \(M = J_2(1) \oplus J_1(1) \oplus J_1(-2)\).
2. Une matrice de \(\mathcal{M}_6(\mathbb{C})\) a pour invariants \(X + 1\), \((X + 1)(X – 3)\) et \((X + 1)(X – 3)^2\). Donner sa réduite de Jordan, son polynôme caractéristique et son polynôme minimal.
3. Écrire la matrice compagnon de \(P = (X – 1)^2(X + 2)\), vérifier son polynôme caractéristique, puis en déduire que \(M\) est semblable à \((1) \oplus C(P)\).

Exercice 15 – Base antéduale dans les polynômes de degré 2

Soit \(E = \mathbb{R}_2[X]\). On définit trois formes linéaires sur \(E\) par
\[\varphi_1(P) = P(1), \qquad \varphi_2(P) = P^{\prime}(0), \qquad \varphi_3(P) = \int_{-1}^{1} P(t)\,\mathrm{d}t.\]

1. Écrire la matrice dont les lignes donnent \(\varphi_1, \varphi_2, \varphi_3\) sur la base \((1, X, X^2)\), et montrer que \((\varphi_1, \varphi_2, \varphi_3)\) est une base de \(E^*\).
2. Ensuite, déterminer la base \((P_1, P_2, P_3)\) de \(E\) dont \((\varphi_1, \varphi_2, \varphi_3)\) est la base duale.
3. En déduire l’unique \(P \in E\) tel que \(P(1) = 2\), \(P^{\prime}(0) = -1\) et \(\int_{-1}^{1} P = 4\).

Exercice 16 – Transposée, image et orthogonal

Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) de matrice \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \end{pmatrix}\) dans la base canonique.

1. Déterminer le rang de \(u\) et une équation cartésienne de \(\mathrm{Im}\, u\).
2. En déduire une base de \((\mathrm{Im}\, u)^{\circ}\), puis vérifier le résultat en calculant \(\ker A^T\).
3. Démontrer en général que \(\ker {}^t u = (\mathrm{Im}\, u)^{\circ}\) pour tout endomorphisme \(u\).
4. Enfin, on note \(F = \mathrm{Vect}\big((1, 2, 0), (0, 1, -1)\big)\). Déterminer \(F^{\circ}\).

Pour approfondir

Exercice 17 – Une matrice et sa transposée

Soit \(q \geq 2\) et \(S \in \mathcal{M}_q(\mathbb{C})\) la matrice qui porte des 1 sur l’antidiagonale et des 0 ailleurs.

1. Calculer \(S^2\). Décrire l’effet de la multiplication par \(S\), à gauche puis à droite, sur les lignes et les colonnes d’une matrice.
2. Montrer que \(S\, J_q(\lambda)\, S = J_q(\lambda)^T\) pour tout \(\lambda \in \mathbb{C}\).
3. En déduire, à l’aide de la réduction de Jordan, que toute matrice \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})\) est semblable à \(A^T\).
4. Enfin, retrouver ce résultat par le critère des rangs, sans calculer de réduite.

Exercice 18 – Nilpotence et traces des puissances

Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})\).

1. Montrer que si \(A\) est nilpotente, alors \(\mathrm{tr}(A^k) = 0\) pour tout \(k \geq 1\).
2. Réciproquement, on suppose \(\mathrm{tr}(A^k) = 0\) pour \(k = 1, \ldots, n\). On note \(\lambda_1, \ldots, \lambda_s\) les valeurs propres non nulles distinctes de \(A\), de multiplicités \(m_1, \ldots, m_s\), et on suppose \(s \geq 1\). Écrire le système satisfait par les \(m_i\) et obtenir une contradiction à l’aide d’un déterminant de Vandermonde.
3. Conclure. Le résultat subsiste-t-il si l’on remplace \(\mathbb{C}\) par un corps de caractéristique 2 ? On pourra tester \(I_2\).

Exercice 19 – Racines carrées et nilpotents

1. Soit \(n \geq 2\) et \(N\) une matrice nilpotente d’indice \(n\) dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{C})\). Montrer qu’il n’existe aucune matrice \(B\) telle que \(B^2 = N\). On pourra montrer que \(B\) est nilpotente et majorer son indice.
2. Soit \(N\) nilpotente avec \(N^3 = 0\). Montrer que \(R = I + \frac{1}{2}N – \frac{1}{8}N^2\) vérifie \(R^2 = I + N\).
3. Appliquer ce résultat à \(T = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}\) et donner explicitement une matrice \(R\) telle que \(R^2 = T\).

Exercice 20 – Problème de réduction complète en dimension 4

Soit \(A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 4 & -4 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\).

1. Donner \(\chi_A\). Calculer \(\dim \ker(A + I_4)^k\) pour \(k = 1, 2, 3\) et en déduire que \(A\) n’est pas diagonalisable.
2. On écrit \(A = \Delta + U\) avec \(\Delta = \mathrm{diag}(2, -1, -1, -1)\) et \(U\) strictement triangulaire supérieure. Montrer que ce n’est pas la décomposition de Dunford.
3. Montrer que \(q = \frac{1}{27}(A + I_4)^3\) est le projecteur sur \(\ker(A – 2I_4)\) parallèlement à \(\ker(A + I_4)^3\). Le calculer.
4. En déduire la décomposition de Dunford \(A = D + N\), avec \(D = -I_4 + 3q\).
5. Construire une base de Jordan \((f_1, f_2, f_3, f_4)\) en partant de \(f_3 = (1, 0, 0, 1)\), et écrire la réduite.
6. Ensuite, déterminer la base duale de \((f_1, f_2, f_3, f_4)\) et les invariants de similitude de \(A\).
7. Établir une formule pour \(A^k\), \(k \geq 2\), en fonction de \(q\), \(N\) et \(N^2\), puis donner le coefficient \((2, 4)\) de \(A^k\).

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