Résidus et séries de Laurent en L3 de maths : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Développements de Laurent sur trois domaines

On considère \( f(z) = \dfrac{5}{(z-2)(z+3)} \).

1. Décomposer \( f \) en éléments simples et préciser les trois domaines centrés en \( 0 \) sur lesquels \( f \) est holomorphe.
2. Ensuite, donner le développement de \( f \) sur le disque \( |z| < 2 \).
3. De même, donner son développement de Laurent sur la couronne \( 2 < |z| < 3 \), puis sur \( |z| > 3 \).
4. Enfin, en déduire, sans autre calcul, la valeur de \( \int_{|z| = 5/2} f(z) \, dz \).

Exercice 2 – Nature de quatre singularités

Déterminer la nature de chaque singularité isolée des fonctions suivantes. Préciser l’ordre des pôles et, pour une fausse singularité, la valeur du prolongement.

1. D’abord, \( f_1(z) = \dfrac{e^z – 1 – z}{z^5} \) en \( 0 \).
2. Ensuite, \( f_2(z) = \dfrac{\sin(2z) – 2z}{z^3} \) en \( 0 \).
3. Puis \( f_3(z) = z^3 e^{1/z} \) en \( 0 \).
4. Enfin, \( f_4(z) = \dfrac{1}{1 + e^z} \) en chacune de ses singularités.

Exercice 3 – Résidus en des pôles simples

Calculer les résidus des fonctions suivantes en chacun de leurs pôles, après avoir justifié que ces pôles sont simples.

1. D’abord, la fraction \( f(z) = \dfrac{z}{z^2 + 2z + 5} \).
2. Ensuite, la fonction \( g(z) = \dfrac{1}{\sin(\pi z)} \).
3. Enfin, la fraction \( h(z) = \dfrac{z^2}{z^4 – 16} \).

Exercice 4 – Résidus en des pôles multiples

Déterminer l’ordre des pôles puis les résidus demandés.

1. Pour commencer, \( f(z) = \dfrac{e^{3z}}{(z-1)^3} \) en \( 1 \).
2. Ensuite, \( g(z) = \dfrac{\cos z}{z^2 (z+1)} \) en \( 0 \) et en \( -1 \).
3. Enfin, \( h(z) = \dfrac{1}{(z^2+1)^2} \) en \( i \).

Exercice 5 – Indice de deux lacets paramétrés

On définit deux lacets sur \( [0, 2\pi] \) par \( \gamma_1(t) = 2 e^{3it} \) et \( \gamma_2(t) = 1 + e^{-it} \).

1. Calculer \( \mathrm{Ind}_{\gamma_1}(0) \) directement à partir de la définition.
2. Par conséquent, déterminer \( \mathrm{Ind}_{\gamma_1}(1) \) et \( \mathrm{Ind}_{\gamma_1}(3) \) sans calcul d’intégrale.
3. De même, déterminer \( \mathrm{Ind}_{\gamma_2}(3/2) \) et \( \mathrm{Ind}_{\gamma_2}(-1) \).

Exercice 6 – Une intégrale trigonométrique

Calculer \( I = \displaystyle \int_0^{2\pi} \frac{dt}{4 + \cos t} \) par la méthode des résidus.

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Théorème des résidus sur un cercle

Calculer \( \displaystyle \int_{|z| = 2} \frac{z + 1}{z (z-1)(z-3)} \, dz \), le cercle étant parcouru une fois dans le sens direct.

Exercice 8 – Lacet parcouru deux fois

Soit \( \gamma(t) = 1 + 2 e^{it} \) pour \( t \in [0, 4\pi] \) et \( f(z) = \dfrac{e^z}{(z-1)(z-4)} \).

1. Déterminer \( \mathrm{Ind}_\gamma(1) \), \( \mathrm{Ind}_\gamma(4) \) et \( \mathrm{Ind}_\gamma(-2) \).
2. Ensuite, calculer \( \int_\gamma f(z) \, dz \).

Exercice 9 – Singularité essentielle et coefficient d’indice moins un

1. Écrire le développement de Laurent de \( z^3 e^{2/z} \) sur \( \mathbb{C}^* \) et justifier que \( 0 \) est une singularité essentielle.
2. Puis calculer \( \int_{|z|=1} z^3 e^{2/z} \, dz \).
3. Enfin, calculer \( \int_{|z|=1} e^{1/z^2} \, dz \) et expliquer pourquoi ce résultat ne contredit pas la présence d’une singularité.

Exercice 10 – Pôle double sur le demi-plan supérieur

On veut calculer \( J = \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{(x^2 + 2x + 2)^2} \).

1. Justifier la convergence de \( J \).
2. Ensuite, calculer \( J \) à l’aide d’un demi-disque supérieur, en justifiant le passage à la limite.
3. Enfin, vérifier le résultat par un changement de variable réel.

Exercice 11 – Fraction paire intégrée sur une demi-droite

1. Factoriser \( x^4 + x^2 + 1 \) en produit de deux trinômes réels et localiser ses racines complexes.
2. Ensuite, calculer \( \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{x^4 + x^2 + 1} \) par la méthode des résidus.
3. Par parité, en déduire \( \displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{dx}{x^4 + x^2 + 1} \).

Exercice 12 – Lemme de Jordan en action

On pose \( K = \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x \sin(\pi x)}{x^2 + 4} \, dx \).

1. Justifier que \( K \) converge comme intégrale impropre, mais pas absolument.
2. Ensuite, expliquer pourquoi la majoration \( \pi R \sup_{C_R} |F| \) ne suffit pas sur le demi-cercle.
3. Enfin, calculer \( K \) en intégrant \( \dfrac{z e^{i\pi z}}{z^2+4} \) et en utilisant le lemme de Jordan.

Exercice 13 – Cosinus et deux pôles imaginaires

Calculer \( L = \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\cos x}{(x^2+1)(x^2+4)} \, dx \) et donner sa valeur sous la forme d’une fraction en \( e \).

Exercice 14 – Coefficient de Fourier par les résidus

1. Calculer \( \displaystyle \int_0^{2\pi} \frac{e^{2it}}{5 – 3\cos t} \, dt \) en posant \( z = e^{it} \).
2. Par conséquent, en déduire \( \displaystyle \int_0^{2\pi} \frac{\cos(2t)}{5 – 3\cos t} \, dt \) et \( \displaystyle \int_0^{2\pi} \frac{\sin(2t)}{5 – 3\cos t} \, dt \).

Exercice 15 – Principe de l’argument et fonctions méromorphes

1. Soit \( f(z) = \dfrac{(z^2+1)^2}{(z-2)(z+5)^3} \). Justifier que \( f \) est méromorphe sur \( \mathbb{C} \), puis calculer \( \dfrac{1}{2i\pi} \displaystyle \int_{|z|=3} \frac{f^{\prime}(z)}{f(z)} \, dz \) sans dériver \( f \).
2. De même, justifier que \( \tan \) est méromorphe sur \( \mathbb{C} \), puis calculer \( \int_{|z|=2} \tan z \, dz \) en écrivant \( \tan \) comme l’opposé d’une dérivée logarithmique.

Exercice 16 – Rouché sur deux cercles

Soit \( P(z) = z^7 – 5z^3 + 1 \).

1. Déterminer le nombre de zéros de \( P \) dans le disque \( |z| < 1 \).
2. Ensuite, prouver que chaque racine de \( P \) a un module strictement inférieur à \( 2 \).
3. Par conséquent, donner le nombre de zéros dans la couronne \( 1 < |z| < 2 \).

Exercice 17 – Localiser les racines d’une quartique

Soit \( P(z) = z^4 + 6z + 3 \).

1. Montrer que \( P \) possède exactement un zéro dans le disque unité, puis qu’il est réel et appartient à \( ]-1, -1/2[ \).
2. De plus, montrer que les quatre zéros de \( P \) vérifient \( |z| < 2 \).
3. Ensuite, étudier \( P \) sur \( \mathbb{R} \) et en déduire le nombre de racines réelles.
4. Enfin, conclure sur la position des deux racines restantes.

Pour approfondir

Exercice 18 – Logarithme et contour indenté

On note \( \log \) la détermination du logarithme sur \( \mathbb{C} \) privé de la demi-droite \( \{ iy : y \leq 0 \} \), d’argument dans \( ]-\pi/2, 3\pi/2[ \). Pour \( 0 < \varepsilon < 2 < R \), on intègre \( f(z) = \dfrac{\log z}{z^2 + 4} \) sur le contour ci-dessous.

1. Calculer le résidu de \( f \) en \( 2i \).
2. Ensuite, montrer que les intégrales sur le petit et sur le grand demi-cercle tendent vers \( 0 \).
3. Puis exprimer l’intégrale sur \( [-R, -\varepsilon] \) à l’aide d’une intégrale sur \( [\varepsilon, R] \).
4. Enfin, en déduire \( \displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{\ln x}{x^2+4} \, dx \) et retrouver \( \displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{dx}{x^2+4} \).

Exercice 19 – Problème – Somme alternée par les résidus

Soit \( a > 0 \). On pose \( f(z) = \dfrac{\pi}{(z^2 + a^2) \sin(\pi z)} \) Pour \( N \in \mathbb{N}^* \), \( C_N \) désigne le contour carré orienté positivement dont les quatre sommets sont \( \pm (N + 1/2) \pm i(N + 1/2) \).

1. Montrer que \( f \) est méromorphe sur \( \mathbb{C} \) et déterminer ses pôles et leur ordre.
2. Ensuite, calculer le résidu de \( f \) en chaque entier \( n \), puis en \( ia \) et en \( -ia \).
3. Puis établir \( |\sin(x+iy)|^2 = \sin^2 x + \sinh^2 y \) pour \( x, y \) réels, puis montrer que \( |\sin(\pi z)| \geq 1 \) sur \( C_N \).
4. Par conséquent, prouver que \( \int_{C_N} f(z) \, dz \) tend vers \( 0 \) quand \( N \to +\infty \).
5. Ainsi, établir que \( \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n^2 + a^2} = \frac{\pi}{a \sinh(\pi a)} \).
6. En faisant tendre \( a \) vers \( 0 \), en déduire la valeur de \( \displaystyle \sum_{k \geq 1} \frac{(-1)^{k-1}}{k^2} \).

Exercice 20 – Problème – Deux zéros réels d’une équation exponentielle

On étudie les solutions complexes de l’équation \( e^z = 3 z^2 \). On pose \( g(z) = 3z^2 – e^z \).

1. Montrer que \( |e^z| \leq e \) pour \( |z| \leq 1 \). En déduire que \( g \) possède exactement deux zéros dans le disque unité ouvert.
2. Ensuite, prouver que \( g \) admet un zéro réel dans \( ]-1/2, 0[ \) et un autre dans \( ]1/2, 1[ \). Conclure que les deux zéros du disque unité sont réels et simples.
3. Puis calculer \( \dfrac{1}{2i\pi} \displaystyle \int_{|z|=1} \frac{6z – e^z}{3z^2 – e^z} \, dz \).
4. De plus, établir que \( g \) n’a aucun zéro dans la couronne \( 1 \leq |z| < 2 \).
5. Enfin, vérifier que \( g \) n’a aucun zéro réel strictement inférieur à \( -1/2 \).

Pour aller plus loin

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