La continuité : exercices de maths en terminale corrigés à télécharger en PDF

Soit la fonction \(f : x \mapsto \dfrac{ax+b}{2x-1}\) où \(a\) et \(b\) sont deux réels et \(\mathcal{C}\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère. On sait que : \(f(0)=1\) et \(\lim_{x \to +\infty} f(x)=2\).

1. 1. Déterminer \(a\) et \(b\).
   2. Montrer que \(f(x)=\dfrac{a}{2}+\dfrac{a+2b}{4x-2}\).
2. Déterminer les asymptotes à \(\mathcal{C}\).
3. Calculer \(f^{\prime}(x)\), puis étudier son signe.
4. Dresser le tableau de variation de \(f\).
5. Tracer l’allure de \(\mathcal{C}\).

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{2\}\) par :

\[ f(x)=\dfrac{2x-3}{x-2}. \]

1. Montrer que, pour tout \(x \neq 2\), \(f(x)=2+\dfrac{1}{x-2}\).
2. Donner les limites aux bornes de \(\mathcal{D}\).
3. En utilisant la forme la plus adaptée, déterminer :
   1. le sens de variation de la fonction \(f\) ;
   2. le signe de \(f(x)\) ;
   3. les solutions de l^{\prime}inéquation \(f(x) \geqslant 2\).

Pour chacune des quatre affirmations (entre guillemets) ci-dessous, préciser si elle est vraie ou fausse.

1. « Si \(a\) est un réel quelconque et \(f\) une fonction définie et strictement décroissante sur \([a\,;\,+\infty[\), alors \(\lim_{x \to +\infty} f(x)=-\infty\). »
2. Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur \([0\,;\,+\infty[\) telles que \(g\) ne s’annule pas.
   « Si \(\lim_{+\infty} f=\lim_{+\infty} g=-\infty\), alors \(\lim_{+\infty} \dfrac{f(x)}{g(x)}=1\) ».
3. « Si \(f\) est une fonction définie sur \([0\,;\,+\infty[\) telle que \(0 \leqslant f(x) \leqslant \sqrt{x}\) sur \([0\,;\,+\infty[\), alors \(\lim_{+\infty} \dfrac{f(x)}{x}=0\) ».
4. « Si \(f\) est une fonction définie sur \(\mathbb{R}^{*}\), alors la droite d^{\prime}équation \(x=0\) est asymptote à la courbe représentative de \(f\) dans un repère du plan ».

Soit la fonction \(g\) définie par :

\[ g(x)=\dfrac{\sqrt{x^2-2x}}{x-1} \]

et \(\Gamma\) sa courbe représentative dans un repère du plan. Trouver la ou les bonne(s) réponse(s) parmi les quatre réponses proposées.

1. \(\Gamma\) admet une asymptote d’équation \(y=-1\).
2. \(\Gamma\) n^{\prime}admet pas d^{\prime}asymptote.
3. \(\Gamma\) admet une asymptote d’équation \(x=1\).
4. \(\Gamma\) admet une asymptote d^{\prime}équation \(y=1\).

Soit \(f\) une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert \(I\) et soit \(a\) un élément de \(I\).

Déterminer si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse.

1. Si \(f\) est dérivable en \(a\), alors \(f\) est continue en \(a\).
2. Si \(f\) est continue en \(a\), alors \(f\) est dérivable en \(a\).
3. Si \(f\) est dérivable en \(a\), alors la fonction \(h \mapsto \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\) a une limite finie en \(0\).

1. Soit \(f\) une fonction réelle définie sur \([a\,;\,+\infty[\).
   Compléter la phrase suivante :
   « On dit que \(f\) admet une limite finie \(\ell\) en \(+\infty\) si … »
2. Démontrer le théorème « des gendarmes » :
   « Soit \(f\), \(g\) et \(h\) trois fonctions définies sur \([a\,;\,+\infty[\). Si \(g\) et \(h\) ont pour limite commune \(\ell\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\) et si, pour tout \(x\) suffisamment grand, on a l’encadrement \(g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x)\), alors la limite de \(f\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\) est égale à \(\ell\) ».

La fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[ f(x)=\begin{cases} \dfrac{2-\sqrt{x+3}}{x-1} \quad \text{si } x \neq 1 \\ -\dfrac{1}{4} \quad \text{si } x=1 \end{cases} \]

est-elle continue en \(1\) ?

La fonction \(f\) définie sur \([-1\,;\,+\infty[\) par :

\[ f(x)=\begin{cases} \dfrac{x+1}{\sqrt{x+1}} \quad \text{si } x \gt -1 \\ 1 \quad \text{si } x=-1 \end{cases} \]

est-elle continue en \(-1\) ?

Dans chaque repère ci-dessous, la courbe tracée représente une fonction \(f\).

1. Déterminer les intervalles où \(f\) est continue.
2. Donner l’image de \(1\) par la fonction \(f\). Coïncide-t-elle avec les limites de \(f\) en \(1\), à gauche et à droite ?

Soit la fonction \(f\) définie par :

\[ f(x)=(x-1)\sqrt{1-x^2}. \]

1. Déterminer l^{\prime}ensemble de définition \(\mathcal{D}\) de \(f\).
2. Représenter graphiquement \(f\) à l’aide d’une calculatrice ou d’un logiciel.
3. Étudier la continuité de \(f\) sur \(\mathcal{D}\).

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[ f(x)=\begin{cases} x+2 \quad \text{si } x \leqslant -1 \\ -2x-1 \quad \text{si } x \gt -1 \end{cases} \]

1. Tracer la courbe représentative de \(f\).
2. La fonction \(f\) est-elle continue en \(1\) ?
3. Déterminer \(\lim_{\substack{x \to -1 \\ x \lt -1}} f(x)\) et \(\lim_{\substack{x \to -1 \\ x \gt -1}} f(x)\).

La fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[ f(x)=\begin{cases} 2+\sqrt{5} \quad \text{si } x \leqslant 0 \\ \sqrt{9+4\sqrt{5}} \quad \text{si } x \gt 0 \end{cases} \]

est-elle continue en \(0\) ?

On considère l’algorithme suivant.

1. Saisir x2. Si x≤-1 alors f prend la valeur x+23. Sinon f prend la valeur x²4. Fin Si5. Afficher f

1. Que vaut \(f\) en sortie si on saisit pour \(x\) : \(-2\) ; \(2\) ; \(-1\) ; \(-1{,}01\) ; \(-0{,}99\) ?
2. Soit \(f\) la fonction définie par l’algorithme.
   1. Exprimer \(f(x)\) selon les valeurs de \(x\).
   2. Représenter graphiquement la fonction \(f\).
3. La fonction \(f\) est-elle continue sur \(\mathbb{R}\) ?

Soit la fonction \(f\) définie sur \(I=[-4\,;\,1]\) par :

\[ f(x)=x^3+6x^2+9x+3 \]

dont les variations sont données par le tableau suivant :

1. Justifier que \(f\) est continue sur \(I\).
2. Dénombrer les solutions de l’équation \(f(x)=2\).
3. 1. Justifier que l’équation \(f(x)=4\) admet une unique solution \(\alpha\).
   2. Déterminer un encadrement de \(\alpha\) à l’unité près.

Soit la fonction \(f\) définie sur \([-1\,;\,3]\) par :

\[ f(x)=0{,}4x^5-8x-3. \]

1. Dresser le tableau de variation de \(f\).
2. Démontrer que l’équation \(f(x)=2\) admet une unique solution dans l’intervalle \([2\,;\,3]\).
3. Chercher une valeur approchée de cette solution à l’aide d’une calculatrice (arrondir à \(0{,}01\) près).

1. Montrer que l’équation :

\[ -2x^3-6x^2+18x+59=0 \]

admet une unique solution réelle \(\alpha\).

2. Avec une calculatrice, encadrer \(\alpha\) au dixième près.

Soit la fonction polynôme de degré 2 :

\[ f : x \mapsto 4x^2-8x+7. \]

1. Mettre \(f(x)\) sous forme canonique.
2. En déduire le nombre de solutions de l^{\prime}équation \(f(x)=k\) en fonction de la valeur réelle de \(k\).

Soit \(f\) et \(g\) les fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) par :

\[ f(x)=x^3-x^2+x+2 \quad \text{et} \quad g(x)=x+2. \]

1. Étudier les variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
   1. Démontrer que l^{\prime}équation \(f(x)=g(x)\) admet une solution unique \(\alpha\) dans \([-1\,;\,0]\). Qu’en est-il sur \(\mathbb{R}\) ?
   2. Donner un encadrement de \(\alpha\) à \(0{,}001\) près à l’aide d’une calculatrice.

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[ f(x)=x^3-2x^2-4x-4. \]

1. Déterminer les solutions de l^{\prime}équation \(f(x)=-4\).
2. Dresser le tableau de variation de \(f\).
3. Donner, en justifiant, le nombre de solutions de l^{\prime}équation \(f(x)=-12\).
4. Existe-t-il un réel \(y\) tel que l^{\prime}équation \(f(x)=y\) n’ait aucune solution ?

Une fonction \(g\) a pour tableau de variation :

Discuter, suivant la valeur de \(k\), le nombre de solutions de l^{\prime}équation \(f(x)=k\).

Une boîte cylindrique de rayon 12 cm contient de l’eau jusqu’à une hauteur de 5 cm. On immerge une boule métallique dans ce récipient et on constate que la surface de l’eau est tangente à la boule. On désigne par \(x\) le rayon de la boule en millimètre.

1. 1. Démontrer que \(25 \leqslant x \leqslant 120\).
   2. Démontrer que \(x\) est solution de l’équation :
      \[ x^3-21\,600x+540\,000=0 \qquad \text{(E)} \]
2. 1. Démontrer que l’équation (E) admet deux solutions positives \(\alpha\) et \(\beta\) telles que :
      \[ \alpha \in [25{,}6\,;\,26] \quad \text{et} \quad \beta \in [125\,;\,135]. \]
   2. Déterminer alors une valeur approchée du rayon de la boule à \(0{,}1\) mm près.

Soit la fonction \(f\) définie sur \([0\,;\,4[\) par :

\[ f(x)=x^2-\lfloor x \rfloor, \]

où \(\lfloor x \rfloor\) désigne la partie entière de \(x\).

1. À l’aide de la calculatrice, tracer une représentation graphique de \(f\).
2. La fonction \(f\) est-elle continue sur \([0\,;\,4[\) ? Sinon, indiquer pour quelles valeurs elle n’est pas continue.
3. Soit la fonction \(g\) définie sur \([0\,;\,4[\) par :
   \[ g(x)=(x-3)\left(x^2-\lfloor x \rfloor\right). \]
   Étudier la continuité de \(g\) en \(x \in \{1\,;\,2\,;\,3\}\).

1. Justifier le théorème suivant :
   « Si \(f\) est une fonction définie et continue sur \([a\,;\,b]\) et si \(f(a)f(b) \lt 0\), alors il existe au moins un réel \(c\) dans l^{\prime}intervalle \([a\,;\,b]\) tel que \(f(c)=0\) ».
2. En déduire que, si deux fonctions \(f\) et \(g\) sont continues sur un même intervalle \(I=[a\,;\,b]\) et si leur différence change de signe sur \(I\), alors il existe un réel \(c \in I\) tel que \(f(c)=g(c)\).

Soit la fonction \(x \mapsto \sqrt{\dfrac{5x}{3x-5}}\) et \(\mathcal{C}\) sa courbe représentative dans un repère.

1. Déterminer l’ensemble de définition \(\mathcal{D}\) de \(f\).
2. Écrire \(f\) comme composée de deux fonctions.
3. Étudier les limites de \(f\) aux bornes de son ensemble de définition et en déduire les équations des asymptotes à \(\mathcal{C}\).
4. Tracer les asymptotes à \(\mathcal{C}\), puis la courbe \(\mathcal{C}\).

Les courbes \(\mathcal{C}_1\) et \(\mathcal{C}_2\) ci-dessous représentent une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) et sa fonction dérivée \(f^{\prime}\).

Parmi ces courbes, laquelle représente la fonction \(f\) et laquelle représente la fonction \(f^{\prime}\) ?

Voici deux courbes. L’une représente une fonction \(f\) définie sur l’intervalle \([-2\,;\,5]\) et l’autre représente sa fonction dérivée \(f^{\prime}\).

1. Laquelle représente \(f\) et laquelle représente \(f^{\prime}\) ?
2. Lire alors graphiquement les valeurs de \(f(0)\) et \(f^{\prime}(0)\).
3. En déduire une équation de la tangente à la courbe représentative de \(f\) au point d^{\prime}abscisse \(0\).

La fonction de Heaviside, notée H, du nom d’un physicien anglais (1850-1925) est couramment utilisée en automatisme.

Pour tout réel \(x\), \[\text{H}(x)=\left\{\begin{array}{l}0\quad \text{si } x \lt 0\\ 1\quad \text{si } x \geqslant 0\end{array}\right..\]

1. Dans un repère, tracer la courbe représentative de la fonction H.
2. Sur quels intervalles, les plus grands possibles, la fonction H est-elle continue ?

La partie entière d’un nombre réel \(x\), notée \(\text{E}(x)\), est l^{\prime}unique entier relatif \(n\) tel que : \[n \leqslant x \lt n+1.\]

1. Déterminer :

1. \(\text{E}(2{,}6)\)
2. \(\text{E}(0{,}3)\)
3. \(\text{E}(4)\)
4. \(\text{E}(-1{,}2)\)

2. Déterminer \(\text{E}(x)\) pour tout réel \(x\) de l’intervalle :

1. \([0\,;1[\)
2. \([1\,;2[\)
3. \([-1\,;0[\)
4. \([-2\,;-1[\)

3. a) Dans un repère, tracer la courbe représentative de la fonction E sur l’intervalle \([-5\,;5[\).

b) Étudier graphiquement la continuité de la fonction E sur l^{\prime}intervalle \([-5\,;5[\).

c) De façon plus générale, en quels nombres réels la fonction E est-elle discontinue ?

\(f\) est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[f(x)=\left\{\begin{array}{l}1-2x\quad \text{si } x \geqslant 2\\ \text{e}^{x-2}-4\quad \text{si } x \lt 2\end{array}\right..\]

a) Expliquer pourquoi la fonction \(f\) est continue sur l^{\prime}intervalle \(]2\,;+\infty[\), puis sur l^{\prime}intervalle \(]-\infty\,;2[\).

b) Expliquer pourquoi : \[\lim_{\substack{x \to 2\\ x \gt 2}} f(x)=-3 \quad \text{et} \quad \lim_{\substack{x \to 2\\ x \lt 2}} f(x)=-3.\] Que peut-on en déduire pour la fonction \(f\) ?

c) Conclure pour la continuité de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

Algo Python

Voici une fonction écrite en langage Python.

from math import *

def F(x):
    if x<0:
        y=exp(x)
    else:
        if x<=1:
            y=x**2
        else:
            y=2*x-1
    return y

a) Déterminer l’image par la fonction F de chacun des nombres réels : \(0\), \(-2\), \(5\), \(1\), \(0{,}5\).

b) Recopier et compléter : \[\text{F}(x)=\left\{\begin{array}{l}\ldots \quad \text{si } x \lt \ldots\\ \ldots \quad \text{si } \ldots \leqslant x \leqslant \ldots\\ \ldots \quad \text{si } x \gt \ldots\end{array}\right.\]

c) La fonction F est-elle continue sur \(\mathbb{R}\) ? Expliquer.

d) Sur quels intervalles, les plus grands possibles, la fonction F est-elle continue ?

Un designer a dessiné une partie d’un logo dans le repère ci-dessous.

Ce logo est la courbe représentative de la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \([0\,;8]\) par : \[f(x)=\left\{\begin{array}{l}0{,}64x^{2}\quad \text{si } 0 \leqslant x \leqslant 3\\ ax+b\quad \text{si } 3 \lt x \lt 5\\ 4-(x-6)^{2}\quad \text{si } 5 \leqslant x \leqslant 8\end{array}\right.\]

a) Déterminer les nombres réels \(a\) et \(b\) afin que la fonction \(f\) soit continue sur l’intervalle \([0\,;8]\).

b) Déterminer le nombre dérivé en 3 de la fonction polynôme \(x \mapsto 0{,}64x^{2}\), puis de la fonction affine \(x \mapsto -1{,}38x+9{,}9\). La fonction \(f\) est-elle dérivable en 3 ?

c) Étudier la dérivabilité de la fonction \(f\) en 5.