Exercice 1 : déterminer le périmètre de chaque figure
La figure A est un carré de côté 4 unités de longueur. Le périmètre \( P \) d’un carré se calcule par la formule \( P = 4 \times \text{côté} \).
\[ P_A = 4 \times 4 = 16 \ \text{u.l.} \]
La figure B est un rectangle de longueur 8 unités de longueur et de largeur 2 unités de longueur. Le périmètre \( P \) d’un rectangle se calcule par la formule \( P = 2 \times (\text{longueur} + \text{largeur}) \).
\[ P_B = 2 \times (8 + 2) = 2 \times 10 = 20 \ \text{u.l.} \]
La figure C est une forme composée que nous pouvons décomposer en segments. En comptant les segments sur le périmètre, nous trouvons que chaque côté mesure 1 unité de longueur et il y en a 16.
\[ P_C = 16 \ \text{u.l.} \]
La figure D est une forme composée, similaire à la figure C, mais avec plus de segments. En comptant les segments sur le périmètre, nous trouvons qu’il y a 20 segments de 1 unité de longueur.
\[ P_D = 20 \ \text{u.l.} \]
Voici le tableau récapitulatif des périmètres des figures :
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Figure} A B C D \\
\hline
\text{Périmètre (en u.l.)} 16 20 16 20 \\
\hline
\end{array}
\]
Exercice 2 : quel est le périmètre du carré ?
a. Pour un carré de côté \(6 \, \text{cm}\), le périmètre \(P\) est donné par la formule :
\[ P = 4 \times \text{côté} \]
\[ P = 4 \times 6 \, \text{cm} \]
\[ P = 24 \, \text{cm} \]
b. Pour un carré de côté \(4{,}6 \, \text{cm}\), le périmètre \(P\) est donné par la même formule :
\[ P = 4 \times \text{côté} \]
\[ P = 4 \times 4{,}6 \, \text{cm} \]
\[ P = 18{,}4 \, \text{cm} \]
Exercice 3 : périmètre et carré
Pour un carré de côté \( c \) et de périmètre \( \mathcal{P} \), nous utilisons la relation :
\[ \mathcal{P} = 4c \]
Voici la correction du tableau :
\[\]Pour la colonne a.:\[\]
\[ c = 8 \, \text{cm} \]
\[ \mathcal{P} = 4 \times 8 = 32 \, \text{cm} \]
\[\]Pour la colonne b.:\[\]
\[ c = 1.5 \, \text{cm} \]
\[ \mathcal{P} = 4 \times 1.5 = 6 \, \text{cm} \]
\[\]Pour la colonne c.:\[\]
\[ \mathcal{P} = 16 \, \text{mm} \]
\[ c = \frac{\mathcal{P}}{4} = \frac{16}{4} = 4 \, \text{mm} \]
\[\]Pour la colonne d.:\[\]
\[ \mathcal{P} = 22 \, \text{m} \]
\[ c = \frac{\mathcal{P}}{4} = \frac{22}{4} = 5.5 \, \text{m} \]
Voici le tableau complété :
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
a. b. c. d. \\
\hline
c 8 \, \text{cm} 1.5 \, \text{cm} 4 \, \text{mm} 5.5 \, \text{m} \\
\hline
\mathcal{P} 32 \, \text{cm} 6 \, \text{cm} 16 \, \text{mm} 22 \, \text{m} \\
\hline
\end{array}
\]
Exercice 4 : un rectangle de largeur l et de longueur L
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
a. b. c. d. \\
\hline
l 3 \, \text{cm} 4,5 \, \text{dm} {20 \, \text{m}} 0,5 \, \text{m} \\
\hline
L 8 \, \text{cm} 10 \, \text{dm} 10 \, \text{hm} {2,5 \, \text{m}} \\
\hline
\mathcal{P} {22 \, \text{cm}} {29 \, \text{dm}} 30 \, \text{hm} 6 \, \text{m} \\
\hline
\end{array}
\]
La formule du périmètre \(\mathcal{P}\) d’un rectangle est :
\[
\mathcal{P} = 2 \times (l + L)
\]
Pour la colonne a:
\[
l = 3 \, \text{cm}, \, L = 8 \, \text{cm}
\]
\[
\mathcal{P} = 2 \times (3 \, \text{cm} + 8 \, \text{cm}) = 2 \times 11 \, \text{cm} = 22 \, \text{cm}
\]
Pour la colonne b:
\[
l = 4,5 \, \text{dm}, \, L = 10 \, \text{dm}
\]
\[
\mathcal{P} = 2 \times (4,5 \, \text{dm} + 10 \, \text{dm}) = 2 \times 14,5 \, \text{dm} = 29 \, \text{dm}
\]
Pour la colonne c:
\[
\mathcal{P} = 30 \, \text{hm}, \, L = 10 \, \text{hm}
\]
On résout pour \(l\):
\[
2 \times (l + 10 \, \text{hm}) = 30 \, \text{hm}
\]
\[
l + 10 \, \text{hm} = 15 \, \text{hm}
\]
\[
l = 15 \, \text{hm} – 10 \, \text{hm} = 5 \, \text{hm} = 50 \, \text{m}
\]
Pour la colonne d:
\[
l = 0,5 \, \text{m}, \, \mathcal{P} = 6 \, \text{m}
\]
On résout pour \(L\):
\[
2 \times (0,5 \, \text{m} + L) = 6 \, \text{m}
\]
\[
0,5 \, \text{m} + L = 3 \, \text{m}
\]
\[
L = 3 \, \text{m} – 0,5 \, \text{m} = 2,5 \, \text{m}
\]
Exercice 5 : quel est la longueur du cercle ?
L’intrus est la figure D.
Pourquoi ?
Pour déterminer l’intrus, nous devons examiner le périmètre de chaque figure. En utilisant l’unité de longueur (u.l.) fournie, nous savons que le périmètre d’un cercle de rayon 1 est \(2\pi\) carrés.
### Figure A
Figure A est composée de 3 demi-cercles. Le périmètre est :
\[ 3 \times (\frac{1}{2} \times 2\pi) = 3\pi \]
### Figure B
Figure B est composée de 2 cercles de rayon 1 et de 2 demi-cercles de rayon 1. Le périmètre est :
\[ 2 \times 2\pi + 2 \times (\frac{1}{2} \times 2\pi) = 4\pi + \pi = 5\pi \]
### Figure C
Figure C est composée de 4 cercles entiers. Le périmètre est donc :
\[ 4 \times 2\pi = 8\pi \]
### Figure D
Figure D est composée de 4 demi-cercles. Le périmètre est :
\[ 4 \times (\frac{1}{2} \times 2\pi) = 4\pi \]
### Figure E
Figure E est composée de 2 cercles entiers et de 2 demi-cercles. Le périmètre est :
\[ 2 \times 2\pi + 2 \times (\frac{1}{2} \times 2\pi) = 4\pi + \pi = 5\pi \]
### Conclusion :
Figures A, B, C et E ont des valeurs de périmètre qui sont toutes basées sur le nombre de cercles entiers plus des demi-cercles entiers, alors que Figure D a seulement des demi-cercles et aucun cercle entier.
Ainsi, Figure D est l’intrus car son arrangement géométrique ne contient pas de cercles entiers comme les autres figures.
Exercice 6 : une fourmi et le tour d’un cercle
Pour déterminer la distance parcourue par la fourmi lorsqu’elle effectue un tour complet du cercle, nous devons calculer le périmètre du cercle. Le périmètre \( P \) d’un cercle se calcule à partir de son diamètre \( D \) à l’aide de la formule :
\[ P = \pi \times D \]
Dans cet exercice, le diamètre du cercle \( D \) est de 5 cm. Ainsi, en utilisant la valeur de \( \pi \) (\(\pi \approx 3.14159\)), le périmètre se calcule comme suit :
\[ P = \pi \times 5 \]
En remplaçant \( \pi \) par sa valeur approximative :
\[ P \approx 3.14159 \times 5 \]
Nous procédons au calcul numérique :
\[ P \approx 15.70795 \]
En arrondissant ce résultat au centième près :
\[ P \approx 15.71 \]
Ainsi, la distance parcourue par la fourmi, arrondie au centième près, est de 15,71 cm.
Exercice 7 : périmètre de différentes figures
a.
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Figure} A B C D \\
\hline
\text{Périmètre exprimé en u.l.} 20 20 20 28 \\
\hline
\end{array}
\]
b.
\[
\text{1 u.l.} \approx 3.14 \text{ cm}
\]
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Figure} A B C D \\
\hline
\text{Périmètre exprimé en cm} 20 \times 3.14 20 \times 3.14 20 \times 3.14 28 \times 3.14 \\
\hline
\end{array}
\]
Les valeurs approchées des périmètres en centimètres sont :
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Figure} A B C D \\
\hline
\text{Périmètre en cm} 62.8 62.8 62.8 87.92 \\
\hline
\end{array}
\]
Exercice 8 : calculer le périmètre de chaque figure
Calculons le périmètre de chaque figure (le résultat sera donné au centième près).
\[\]Fig. A : Cercle\[\]
Le cercle a un diamètre de 6 unités.
Le périmètre \( P \) d’un cercle est donné par :
\[
P = \pi \times D
\]
où \( D \) est le diamètre.
Pour Fig. A :
\[
D = 6
\]
Donc,
\[
P = \pi \times 6 \approx 6 \times 3,1416 \approx 18,85
\]
\[\]Périmètre de Fig. A : 18,85 unités.\[\]
\[\]Fig. B : Demi-cercle\[\]
Le demi-cercle a un diamètre de 6 unités.
Le périmètre \( P \) d’un demi-cercle est donné par :
\[
P = \pi \times r + D
\]
où \( r \) est le rayon (la moitié du diamètre) et \( D \) est le diamètre.
Pour Fig. B :
\[
r = \frac{6}{2} = 3
\]
\[
D = 6
\]
Donc,
\[
P = \pi \times 3 + 6 \approx 3 \times 3,1416 + 6 \approx 9,42 + 6 \approx 15,42
\]
\[\]Périmètre de Fig. B : 15,42 unités.\[\]
\[\]Fig. C : Quart de cercle\[\]
Le quart de cercle a un diamètre de 4 unités.
Le périmètre \( P \) d’un quart de cercle est donné par :
\[
P = \frac{\pi \times r}{2} + D
\]
où \( r \) est le rayon (la moitié du diamètre) et \( D \) est le diamètre.
Pour Fig. C :
\[
r = \frac{4}{2} = 2
\]
\[
D = 4
\]
Donc,
\[
P = \frac{\pi \times 2}{2} + 4 \approx \frac{2 \times 3,1416}{2} + 4 \approx 3,14 + 4 \approx 7,14
\]
\[\]Périmètre de Fig. C : 7,14 unités.\[\]
Exercice 9 : la lunule d’hippocrate
Pour le demi-cercle en trait plein :
Le périmètre d’un demi-cercle est donné par la formule :
\[ P = \pi r + 2r \]
Dans notre cas, le rayon du demi-cercle en trait plein est de \( 4 \) cm. Donc :
\[ P_{\text{plein}} = \pi \times 4 + 2 \times 4 \]
\[ P_{\text{plein}} = 4\pi + 8 \]
Pour les deux demi-cercles en pointillés :
Chacun des demi-cercles en pointillés a un rayon de \( 2 \) cm. Donc pour un demi-cercle :
\[ P_{\text{demi}} = \pi r + 2r \]
\[ P_{\text{demi}} = \pi \times 2 + 2 \times 2 \]
\[ P_{\text{demi}} = 2\pi + 4 \]
Pour deux demi-cercles :
\[ P_{\text{pointillés}} = 2 \times (2\pi + 4) \]
\[ P_{\text{pointillés}} = 4\pi + 8 \]
Conclusion :
Le périmètre du demi-cercle en trait plein est de \( 4\pi + 8 \) cm et le périmètre des deux demi-cercles en pointillés est également de \( 4\pi + 8 \) cm. Par conséquent, les périmètres sont égaux.
Exercice 10 : exprimer l’aire de chaque figure
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Figure} \text{A} \text{B} \text{C} \text{D} \\
\hline
\text{Aire exprimée en u.a.} 9 \, \text{u.a.} 8 \, \text{u.a.} 11 \, \text{u.a.} 8 \, \text{u.a.} \\
\hline
\end{array}
\]
– Figure A :
\[
\text{Aire} = 9 \, \text{unités d’aire}
\]
La figure A est composée de 9 carrés unitaires complets.
– Figure B :
\[
\text{Aire} = 8 \, \text{unités d’aire}
\]
La figure B est composée de 8 carrés unitaires complets.
– Figure C :
\[
\text{Aire} = 11 \, \text{unités d’aire}
\]
La figure C est composée de 11 carrés unitaires complets.
– Figure D :
\[
\text{Aire} = 8 \, \text{unités d’aire}
\]
La figure D est composée de 8 carrés unitaires complets.
Exercice 11 : aire de figures géométrique
Pour déterminer l’aire de chaque figure en unités d’aire (u.a.), nous allons compter le nombre de triangles composant chaque figure, en sachant qu’un petit triangle équivaut à 1 unité d’aire.
\[\]Fig. A\[\]
La figure A est composée de 6 petits triangles.
\[
\text{Aire de la figure A} = 6 \ \text{u.a.}
\]
\[\]Fig. B\[\]
La figure B est composée de 12 petits triangles.
\[
\text{Aire de la figure B} = 12 \ \text{u.a.}
\]
\[\]Fig. C\[\]
La figure C est composée de 9 petits triangles.
\[
\text{Aire de la figure C} = 9 \ \text{u.a.}
\]
\[\]Fig. D\[\]
La figure D est composée de 6 petits triangles.
\[
\text{Aire de la figure D} = 6 \ \text{u.a.}
\]
Le tableau complété est alors :
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Figure} A B C D \\
\hline
\text{Aire (en u.a.)} 6 12 9 6 \\
\hline
\end{array}
\]
Exercice 12 : reproduire ce tangram
a. Pour couvrir le grand carré avec des triangles verts, qui sont des triangles rectangles de côté 1 (en unités de grille), nous observons qu’il faut deux triangles verts pour couvrir le triangle rectangle vert (côté 2 sur la grille). Il y a quatre de ces triangles dans le grand carré vert. Par conséquent, nous avons besoin de:
\[ 2 \times 4 = 8 \]
Ainsi, il faut 8 petits triangles verts pour couvrir tout le grand carré.
Pour les triangles jaunes, qui sont également des triangles rectangles de côté 1, remarquons qu’il faut un triangle jaune pour couvrir chaque triangle rectangle jaune de côté 2 dans la grille. Il y a deux de ces triangles dans le grand carré. Par conséquent, nous avons besoin de:
\[ 2 \]
Donc, il faut 2 petits triangles jaunes pour couvrir le grand carré.
b. Les triangles du tangram (par ordre croissant de leur aire) sont:
1. Petit triangle (par exemple le violet) : aire de \( \frac{1}{2} \)
2. Triangle de la taille moyenne (par exemple le jaune) : aire de \( 2 \times \frac{1}{2} = 1 \)
3. Grand triangle (par exemple le vert ou le rouge) : aire de \( 4 \times \frac{1}{2} = 2 \)
En résumé, l’ordre croissant des aires est le suivant:
\[ \frac{1}{2}, \, 1, \, 2 \]
Exercice 13 : colorier la case correspondante
Voici la correction de l’exercice en utilisant LaTeX pour les équations :
a. Un timbre
\[
2 \, \text{cm}^2
\]
b. Un village
\[
20 \, \text{km}^2
\]
c. Un stade de foot
\[
5000 \, \text{m}^2
\]
d. Une page de livre
\[
300 \, \text{cm}^2
\]
e. Un confetti
\[
4 \, \text{mm}^2
\]
Exercice 14 : indiquer l’unité de l’aire
a. Un jardin : unité recommandée – mètre carré (\(\text{m}^2\))
b. Une pièce d’1 cent : unité recommandée – millimètre carré (\(\text{mm}^2\))
c. Un autocollant : unité recommandée – centimètre carré (\(\text{cm}^2\))
d. Un pays : unité recommandée – kilomètre carré (\(\text{km}^2\))
e. Une forêt : unité recommandée – hectare (\(\text{ha}\))
Exercice 15 : conversions d’aires
a. \(1 \, \text{m}^2 = 100 \, \text{dm}^2\)
b. \(1 \, \text{m}^2 = 10\,000 \, \text{cm}^2\)
c. \(1 \, \text{m}^2 = 1\,000\,000 \, \text{mm}^2\)
d. \(1 \, \text{m}^2 = 0.01 \, \text{dam}^2\)
e. \(1 \, \text{m}^2 = 0.0001 \, \text{hm}^2\)
f. \(1 \, \text{m}^2 = 0.000001 \, \text{km}^2\)
g. \(1 \, \text{m}^2 = 0.01 \, \text{a}\)
Exercice 16 : convertir des aires
Pour convertir les cm² en mm², nous multiplions par 100, car \(1 \text{ cm}^2 = 100 \text{ mm}^2\).
Pour convertir les cm² en m², nous divisons par 10,000, car \(1 \text{ m}^2 = 10,000 \text{ cm}^2\).
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
En cm² En mm² \\
\hline
5 \(5 \times 100 = 500\) \\
\hline
42 \(42 \times 100 = 4200\) \\
\hline
4,352 \(4,352 \times 100 = 435,2\) \\
\hline
45,3 \(45,3 \times 100 = 4530\) \\
\hline
78,657 \(78,657 \times 100 = 7865,7\) \\
\hline
\end{tabular}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
En cm² En m² \\
\hline
800 \(800 \, : \, 10000 = 0,08\) \\
\hline
54 \(54 \, : \, 10000 = 0,0054\) \\
\hline
45,52 \(45,52 \, : \, 10000 = 0,004552\) \\
\hline
86,892 \(86,892 \, : \, 10000 = 0,0086892\) \\
\hline
0,3 \(0,3 \, : \, 10000 = 0,00003\) \\
\hline
\end{tabular}
Exercice 17 : conversions de surfaces
\[
\begin{array}{ll}
\text{{Complète.}} \\
\text{a.} 5 \, \text{m}^2 = 5 \times 10^4 \, \text{cm}^2 = 50\,000 \, \text{cm}^2 \\
\text{b.} 78{,}2 \, \text{cm}^2 = 78{,}2 \times 100 \, \text{mm}^2 = 7{,}820 \, \text{mm}^2 \\
\text{c.} 12{,}35 \, \text{km}^2 = 12{,}35 \times 10^6 \, \text{m}^2 = 12{,}350{,}000 \, \text{m}^2 \\
\text{d.} 14 \, \text{cm}^2 = 14 \times 10^{-2} \, \text{dm}^2 = 0{,}14 \, \text{dm}^2 \\
\text{e.} 8{,}3 \, \text{dm}^2 = 8{,}3 \times 10^{-2} \, \text{m}^2 = 0{,}083 \, \text{m}^2 \\
\text{f.} 5{,}72 \, \text{hm}^2 = 5{,}72 \times 10^{-2} \, \text{km}^2 = 0{,}0572 \, \text{km}^2 \\
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{ll}
\text{{Complète.}} \\
\text{a.} 7 \, \text{ha} = 7 \times 10^4 \, \text{m}^2 = 70\,000 \, \text{m}^2 \\
\text{b.} 12\,800 \, \text{m}^2 = 12\,800 \times 10^{-4} \, \text{ha} = 1{,}28 \, \text{ha} \\
\text{c.} 5{,}3 \, \text{a} = 5{,}3 \times 10^2 \, \text{m}^2 = 530 \, \text{m}^2 \\
\text{d.} 145 \, \text{m}^2 = 145 \times 10^{-2} \, \text{a} = 1{,}45 \, \text{a} \\
\text{e.} 7 \, \text{ha} \, 3 \, \text{a} = 70\,000 \, \text{m}^2 + 300 \, \text{m}^2 = 70{,}300 \, \text{m}^2 \\
\text{f.} 3 \, \text{km}^2 = 3 \times 10^2 \, \text{ha} = 300 \, \text{ha} \\
\end{array}
\]
Exercice 18 : quatre aires de champs
a. Classe les champs de M. Paul dans l’ordre croissant de leur aire.
Pour classer les champs par ordre croissant de leur aire, nous devons d’abord convertir toutes les unités d’aire en une même unité, par exemple en hectares (ha) :
\begin{align*}
2,35 \text{ hm}^2 = 2,35 \text{ hectares (ha)} \\
549 \text{ dam}^2 = 549 \times 0,01 \text{ hectares (ha)} = 5,49 \text{ hectares (ha)} \\
9\,800 \text{ m}^2 = 9\,800 \times 0,0001 \text{ hectares (ha)} = 0,98 \text{ hectares (ha)} \\
0,0135 \text{ km}^2 = 0,0135 \times 100 \text{ hectares (ha)} = 1,35 \text{ hectares (ha)}
\end{align*}
Nous avons donc les aires suivantes en hectares :
\begin{align*}
\text{Maïs} = 2,35 \text{ ha} \\
\text{Blé} = 5,49 \text{ ha} \\
\text{Orge} = 0,98 \text{ ha} \\
\text{Avoine} = 1,35 \text{ ha}
\end{align*}
L’ordre croissant des aires est donc :
\text{Orge, Avoine, Maïs, Blé}.
b. Indique l’aire de la surface qu’il manque à M. Paul pour atteindre les 14 hectares.
La somme des aires des champs de M. Paul est :
\begin{align*}
2,35 \text{ ha (Maïs)} + 5,49 \text{ ha (Blé)} + 0,98 \text{ ha (Orge)} + 1,35 \text{ ha (Avoine)} = 10,17 \text{ hectares}
\end{align*}
Il manque donc à M. Paul :
\begin{align*}
14 \text{ ha } – 10,17 \text{ ha } = 3,83 \text{ hectares}
\end{align*}
Exercice 19 : quelle est l’aire de chaque figure ?
a. Aire du carré :
\[\]
\text{Aire} = \text{côté}^2 = (2 \, \text{cm})^2 = 4 \, \text{cm}^2
\[\]
b. Aire du rectangle :
\[\]
\text{Aire} = \text{longueur} \times \text{largeur} = 3 \, \text{cm} \times 6 \, \text{cm} = 18 \, \text{cm}^2
\[\]
Exercice 20 : calculer l’aire de différents carrés
a. Pour déterminer la longueur des côtés d’un carré ayant une aire de \( 81 \, \text{cm}^2 \), nous devons résoudre l’équation suivante :
\[
c^2 = 81
\]
En prenant la racine carrée des deux côtés de l’équation :
\[
c = \sqrt{81} = 9
\]
Ainsi, les côtés de ce carré mesurent \( 9 \, \text{cm} \).
b. Pour déterminer la largeur \( l \) d’un rectangle ayant une aire de \( 240 \, \text{cm}^2 \) et une longueur de \( 20 \, \text{cm} \), nous utilisons la formule de l’aire du rectangle :
\[
A = L \times l
\]
où \( A \) est l’aire, \( L \) est la longueur, et \( l \) est la largeur. Remplaçons les valeurs connues :
\[
240 = 20 \times l
\]
Pour isoler \( l \), nous divisons les deux côtés de l’équation par 20 :
\[
l = \frac{240}{20} = 12
\]
Ainsi, la largeur de ce rectangle est de \( 12 \, \text{cm} \).
Exercice 21 : calculer l’aire de ces figures
L’image montre plusieurs figures géométriques sur une grille où chaque carré correspond à \(1 \, \text{cm}^2\). Nous allons compter les carrés pour chaque figure et compléter le tableau.
Pour figure 1 :
\[
\text{Aire} = 1 \times 9 = 9 \, \text{cm}^2
\]
Pour figure 2 :
\[
\text{Aire} = 4 \times 3 = 12 \, \text{cm}^2
\]
Pour figure 3 :
\[
\text{Aire} = 5 \times 2 = 10 \, \text{cm}^2
\]
Pour figure 4 :
\[
\text{Aire} = 5 \times 6 = 30 \, \text{cm}^2
\]
Pour figure 5 :
\[
\text{Aire} = 1 \times 1 = 1 \, \text{cm}^2
\]
En remplissant le tableau, nous obtenons :
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Figure} 1 2 3 4 5 \\
\hline
\text{Aire en cm}^2 9 12 10 30 1 \\
\hline
\end{array}
\]
Exercice 22 : aire de carrés et de rectangles
Pour le carré, on a :
\[\] \text{Aire} = c^2 \[\]
a.
\[\] c = 5 \, \text{cm} \[\]
\[\] \text{Aire} = 5^2 = 25 \, \text{cm}^2 \[\]
b.
\[\] c = 6{,}5 \, \text{cm} \[\]
\[\] \text{Aire} = 6{,}5^2 = 42{,}25 \, \text{cm}^2 \[\]
c.
\[\] c = 12{,}2 \, \text{m} \[\]
\[\] \text{Aire} = 12{,}2^2 = 148{,}84 \, \text{m}^2 \[\]
d.
\[\] c = 8{,}9 \, \text{dm} \[\]
\[\] \text{Aire} = 8{,}9^2 = 79{,}21 \, \text{dm}^2 \[\]
Pour le rectangle, on a :
\[\] \text{Aire} = l \times L \[\]
a.
\[\] l = 6 \, \text{cm}, \, L = 9 \, \text{cm} \[\]
\[\] \text{Aire} = 6 \times 9 = 54 \, \text{cm}^2 \[\]
b.
\[\] l = 4{,}5 \, \text{cm}, \, L = 12 \, \text{cm} \[\]
\[\] \text{Aire} = 4{,}5 \times 12 = 54 \, \text{cm}^2 \[\]
c.
\[\] l = 3{,}9 \, \text{m}, \, L = 14{,}7 \, \text{m} \[\]
\[\] \text{Aire} = 3{,}9 \times 14{,}7 = 57{,}33 \, \text{m}^2 \[\]
d.
\[\] l = 15{,}2 \, \text{dm}, \, L = 20{,}5 \, \text{dm} \[\]
\[\] \text{Aire} = 15{,}2 \times 20{,}5 = 311{,}6 \, \text{dm}^2 \[\]
Exercice 23 : figure composée de triangles
a. Calcul de l’aire du triangle rectangle PEB :
\[ \text{Aire}_{PEB} = \frac{1}{2} \times PB \times PE \]
\[ PB = 1.8 \, \text{cm}, \ PE = 2.5 \, \text{cm} \]
\[ \text{Aire}_{PEB} = \frac{1}{2} \times 1.8 \times 2.5 = \frac{1.8 \times 2.5}{2} = 2.25 \, \text{cm}^2 \]
b. Calcul de l’aire du triangle rectangle PEC :
\[ \text{Aire}_{PEC} = \frac{1}{2} \times PC \times PE \]
\[ PC = 2.2 \, \text{cm}, \ PE = 2.5 \, \text{cm} \]
\[ \text{Aire}_{PEC} = \frac{1}{2} \times 2.2 \times 2.5 = \frac{2.2 \times 2.5}{2} = 2.75 \, \text{cm}^2 \]
c. Calcul de l’aire du triangle PBC :
\[ \text{Aire}_{PBC} = \text{Aire}_{PEB} + \text{Aire}_{PEC} \]
\[ \text{Aire}_{PBC} = 2.25 \, \text{cm}^2 + 2.75 \, \text{cm}^2 = 5 \, \text{cm}^2 \]
Exercice 24 : calculer l’aire d’un triangle
Nous allons appliquer la formule de l’aire d’un triangle :
\[ \text{Aire} = \frac{1}{2} \times \text{Base} \times \text{Hauteur} \]
Pour chaque triangle :
a. Base = \(2\) cm, Hauteur = \(6\) cm
\[ \text{Aire}_{a} = \frac{1}{2} \times 2 \times 6 = \frac{1}{2} \times 12 = 6 \, \text{cm}^2 \]
b. Base = \(8\) cm, Hauteur = \(1,5\) cm
\[ \text{Aire}_{b} = \frac{1}{2} \times 8 \times 1,5 = \frac{1}{2} \times 12 = 6 \, \text{cm}^2 \]
c. Base = \(2,5\) cm, Hauteur = \(4,8\) cm
\[ \text{Aire}_{c} = \frac{1}{2} \times 2,5 \times 4,8 = \frac{1}{2} \times 12 = 6 \, \text{cm}^2 \]
d. Base = \(5\) cm, Hauteur = \(2,4\) cm
\[ \text{Aire}_{d} = \frac{1}{2} \times 5 \times 2,4 = \frac{1}{2} \times 12 = 6 \, \text{cm}^2 \]
En conclusion, l’aire de chaque triangle est de \(6 \, \text{cm}^2\).
Que remarques-tu ?
Tous les triangles ont une aire égale à \(6 \, \text{cm}^2\), bien que leurs dimensions de base et de hauteur soient différentes. Cela montre que différents couples de base et de hauteur peuvent conduire à la même aire pour un triangle.
Exercice 25 : effectuer des tracés et des mesures
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Figure} \text{E} \text{F} \text{G} \text{H} \\
\hline
\text{Base (cm)} 5 8 6 7 \\
\hline
\text{Hauteur (cm)} 4 6 5 4 \\
\hline
\text{Aire (cm}^2\text{)} \frac{1}{2} \times 5 \times 4 = 10 \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24 \frac{1}{2} \times 6 \times 5 = 15 \frac{1}{2} \times 7 \times 4 = 14 \\
\hline
\end{array}
\]
Les calculs des aires sont basés sur la formule de l’aire d’un triangle :
\[
A = \frac{1}{2} \times \text{Base} \times \text{Hauteur}
\]
Ainsi pour chaque triangle:
– Pour la figure E : base = 5 cm, hauteur = 4 cm.
\[
\text{Aire} = \frac{1}{2} \times 5 \times 4 = 10 \text{ cm}^2
\]
– Pour la figure F : base = 8 cm, hauteur = 6 cm.
\[
\text{Aire} = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24 \text{ cm}^2
\]
– Pour la figure G : base = 6 cm, hauteur = 5 cm.
\[
\text{Aire} = \frac{1}{2} \times 6 \times 5 = 15 \text{ cm}^2
\]
– Pour la figure H : base = 7 cm, hauteur = 4 cm.
\[
\text{Aire} = \frac{1}{2} \times 7 \times 4 = 14 \text{ cm}^2
\]
Cela permet de compléter et vérifier le tableau donné.
Exercice 26 : pour chaque figure, calculer l’aire de la surface
{Figure a}
La figure a est un rectangle auquel est soustrait un petit rectangle.
Calculons d’abord l’aire du grand rectangle :
\[
A_{\text{grand rectangle}} = 8 \times 4.2 = 33.6 \, \text{cm}^2
\]
Ensuite, l’aire du petit rectangle soustrait :
\[
A_{\text{petit rectangle}} = 4.6 \times 2.6 = 11.96 \, \text{cm}^2
\]
L’aire de la surface colorée est donc :
\[
A_{\text{surface colorée}} = 33.6 – 11.96 = 21.64 \, \text{cm}^2
\]
{Figure b}
La figure b est un rectangle auquel on a soustrait un quart de cercle.
Calculons d’abord l’aire du grand rectangle :
\[
A_{\text{rectangle}} = 8 \times 6 = 48 \, \text{dm}^2
\]
L’aire du quart de cercle de rayon 3 dm est:
\[
A_{\text{quart de cercle}} = \frac{1}{4} \pi r^2 = \frac{1}{4} \pi \times 3^2 = \frac{9\pi}{4} \approx 7.07\, \text{dm}^2
\]
L’aire soustraite en traçant la diagonale du triangle rectangle est la demie de l’aire d’un triangle rectangle de coté 2 dm :
\[
A_{\text{triangle rectangle}} = \frac{1}{2} \times 2 \times 3 = 3 \, \text{dm}^2
\]
L’aire de la surface colorée est donc :
\[
A_{\text{surface colorée}} = 48 – 7.07 – 3 = 37.93 \, \text{dm}^2
\]
{Figure c}
La figure c est un grand rectangle auquel est soustrait un petit rectangle.
Calculons d’abord l’aire du grand rectangle :
\[
A_{\text{grand rectangle}} = 6.2 \times 3.4 = 21.08 \, \text{m}^2
\]
Ensuite, l’aire du petit rectangle soustrait :
\[
A_{\text{petit rectangle}} = 4.1 \times 1.7 = 6.97 \, \text{m}^2
\]
L’aire de la surface colorée est donc :
\[
A_{\text{surface colorée}} = 21.08 – 6.97 = 14.11 \, \text{m}^2
\]
Exercice 27 : surface des espaces verts
Pour calculer l’aire de la surface des espaces verts dans les jardins du château, nous allons procéder de la manière suivante :
1. Calculer l’aire totale du jardin en utilisant les dimensions fournies.
2. Soustraire l’aire occupée par les chemins et la zone centrale.
Premièrement, examinons les dimensions sur l’image. Les dimensions du jardin sont données sur la carte. En utilisant l’échelle 1/1000, nous devons convertir ces dimensions en mètres réels.
Sur l’image, le jardin est contenu dans un carré de 7 cm par 7 cm. En utilisant l’échelle:
\[ 1 \text{ cm} = 10 \text{ m} \]
Donc, les dimensions réelles du jardin sont :
\[ 7 \text{ cm} \times 10 \text{ m/cm} = 70 \text{ m} \]
L’aire totale du jardin est donc :
\[ 70 \text{ m} \times 70 \text{ m} = 4900 \text{ m}^2 \]
Il faut maintenant soustraire les aires des chemins et du cercle central.
Les chemins forment une croix et deux diagonales.
L’aire occupée par les chemins verticaux et horizontaux peut être trouvée comme suit :
– Largeur du chemin : 4 m (les chemins semblent de cette largeur à partir de l’échelle).
– La longueur du chemin (pour les chemins horizontaux et verticaux) est la longueur du jardin entier:
\[ 70 \text{ m} \]
– Il y a deux chemins: un vertical et un horizontal.
Aire totale des chemins verticaux et horizontaux:
\[ 2 \times (70 \text{ m} \times 4 \text{ m}) = 2 \times 280 \text{ m}^2 = 560 \text{ m}^2 \]
Pour les chemins diagonaux:
– La largeur : 4 m.
– La longueur diagonale peut être calculée en utilisant le théorème de Pythagore dans un carré:
\[ \sqrt{70^2 + 70^2} = \sqrt{2 \times 70^2} = 70 \sqrt{2} \]
– Il y a deux chemins diagonaux.
Aire totale des chemins diagonaux:
\[ 2 \times (70 \sqrt{2} \text{ m} \times 4 \text{ m}) = 2 \times 280\sqrt{2} \text{ m}^2 \approx 2 \times 395.98 \text{ m}^2 \approx 791.96 \text{ m}^2 \]
Aire totale des chemins:
\[ 560 \text{ m}^2 + 791.96 \text{ m}^2 \approx 1351.96 \text{ m}^2 \]
Ensuite, calculons l’aire de la zone centrale bleue :
La zone centrale bleue est circulaire.
Le diamètre : 10 m, donc le rayon \( r = 5 \) m.
L’aire du cercle:
\[ \pi \times r^2 = \pi \times 5^2 \approx 78.54 \text{ m}^2 \]
Enfin, soustrayons les aires des chemins et de la zone centrale de l’aire totale du jardin :
\[ 4900 \text{ m}^2 – 1351.96 \text{ m}^2 – 78.54 \text{ m}^2 \approx 3469.5 \text{ m}^2 \]
Ainsi, l’aire de la surface des espaces verts dans les jardins du château est d’environ \( 3469.5 \text{ m}^2 \).
Exercice 28 : périmètre et rectangle
a. Pour un rectangle de longueur \(15 \, \text{cm}\) et de largeur \(3 \, \text{cm}\), le périmètre \(P\) se calcule par la formule suivante :
\[ P = 2 \times (\text{L} + \ell) \]
où \(\text{L}\) est la longueur et \(\ell\) est la largeur. Donc, nous avons :
\[ P = 2 \times (15 + 3) \]
\[ P = 2 \times 18 \]
\[ P = 36 \, \text{cm} \]
b. Pour un rectangle de largeur \(8,5 \, \text{cm}\) et de longueur \(14,5 \, \text{cm}\), nous utilisons la même formule :
\[ P = 2 \times (\text{L} + \ell) \]
\[ P = 2 \times (14,5 + 8,5) \]
\[ P = 2 \times 23 \]
\[ P = 46 \, \text{cm} \]
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