Aires et périmètres de figures : corrigés des exercices de maths en 6ème.

Exercice 11 : périmètre de cercles
a. Pour un cercle de rayon \( 4 \) m :

Le périmètre \( P \) d’un cercle est donné par la formule :
\[ P = 2\pi r \]

En remplaçant \( r \) par \( 4 \) m :
\[ P = 2 \pi \times 4 \]
\[ P = 8 \pi \]

Valeur exacte :
\[ P = 8 \pi \, \text{m} \]

Valeur approchée au dixième près (en utilisant \( \pi \approx 3.1416 \)) :
\[ P \approx 8 \times 3.1416 \]
\[ P \approx 25.1 \, \text{m} \]

b. Pour un cercle de diamètre \( 4.3 \) hm (c’est-à-dire \( 430 \) m) :

Le périmètre \( P \) d’un cercle est aussi donné par la formule :
\[ P = \pi d \]

En remplaçant \( d \) par \( 430 \) m :
\[ P = \pi \times 430 \]

Valeur exacte :
\[ P = 430 \pi \, \text{m} \]

Valeur approchée au dixième près :
\[ P \approx 430 \times 3.1416 \]
\[ P \approx 1351.3 \, \text{m} \]

Exercice 12 : longueur d’un parcours
a. Pour calculer la longueur totale du parcours, nous devons ajouter les longueurs de toutes les sections visibles dans le schéma. Chaque petit carré représente une longueur donnée de 500 m.

Le parcours comporte :

– 5 segments horizontaux
– 6 segments verticaux
– 4 quarts de cercle

Calculons d’abord les segments linéaires.

\[
5 \text{ segments horizontaux} = 5 \times 500 \text{ m} = 2500 \text{ m}
\]

\[
6 \text{ segments verticaux} = 6 \times 500 \text{ m} = 3000 \text{ m}
\]

Ensuite, nous devons ajouter les quarts de cercle. Chaque quart de cercle représente \( \frac{1}{4} \) de la circonférence d’un cercle complet. Si le diamètre du cercle est 500 m (distance entre deux points des segments), le rayon \( r \) est de 250 m.

La circonférence complète d’un cercle est donnée par \( 2\pi r \).

\[
\text{Circonférence complète} = 2 \pi \times 250 \text{ m} = 500 \pi \text{ m}
\]

Un quart de cette circonférence sera alors \( \frac{500 \pi}{4} \). Puisqu’il y a 4 quarts de cercle, la somme des longueurs des arcs est simplement la circonférence complète.

\[
4 \text{ quarts de cercle} = 500 \pi \text{ m}
\]

Additionnons toutes ces longueurs pour obtenir la longueur totale du parcours :

\[
\text{Longueur totale} = 2500 \text{ m} + 3000 \text{ m} + 500 \pi \text{ m}
\]

Approximation de \( \pi \approx 3.1416 \):

\[
500 \pi \text{ m} \approx 500 \times 3.1416 \text{ m} = 1570.8 \text{ m}
\]

\[
\text{Longueur totale} \approx 2500 \text{ m} + 3000 \text{ m} + 1570.8 \text{ m}
\]

\[
\text{Longueur totale} \approx 7070.8 \text{ m}
\]

Donc, la longueur réelle du parcours au mètre près est 7071 m.

b. Séparer le parcours en trois parties égales signifie diviser la longueur totale par 3 :

\[
\frac{7070.8 \text{ m}}{3} \approx 2356.93 \text{ m}
\]

Chaque partie du parcours devrait alors mesurer approximativement \( 2357 \) mètres.

Pour répondre à la question visuellement (et concrètement séparer sur le schéma), les segments peuvent être marqués de manière à ce que chaque section ajoute jusqu’à \( 2357 \) mètres.

Exercice 13 : calculer l’aire et le périmètre d’une plaque métallique
Pour déterminer le périmètre et l’aire de la plaque métallique représentée, nous devons analyser la forme géométrique composée qu’elle constitue.

### Calcul du périmètre

La plaque métallique est composée d’un rectangle et d’un triangle rectangle adjacent.

Les dimensions du rectangle sont :
– Longueur : \(2 \, \text{dm}\)
– Largeur : \(1,5 \, \text{dm}\)

Le triangle rectangle a pour base \(1,5 \, \text{dm}\) et pour hypothénuse \(2,5 \, \text{dm}\).

Les côtés non-longueurs du rectangle et du triangle sont alignés et donc se partagent les côtés du périmètre de la plaque métallique.

Le périmètre est donné par la somme des longueurs de tous les côtés externes :

\[ P = 2 \, \text{dm} + 1,5 \, \text{dm} + 2,5 \, \text{dm} + 1,5 \, \text{dm} \]

Calculons le périmètre :

\[ P = 2 + 1,5 + 2,5 + 1,5 \]
\[ P = 7,5 \, \text{dm} \]

### Calcul de l’aire

L’aire totale de la plaque métallique est la somme de l’aire du rectangle et de l’aire du triangle.

Pour le rectangle:

\[ A_{\text{rectangle}} = \text{longueur} \times \text{largeur} \]
\[ A_{\text{rectangle}} = 2 \, \text{dm} \times 1,5 \, \text{dm} \]
\[ A_{\text{rectangle}} = 3 \, \text{dm}^2 \]

Pour le triangle rectangle, l’aire est donnée par :

\[ A_{\text{triangle}} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur} \]
\[ A_{\text{triangle}} = \frac{1}{2} \times 1,5 \, \text{dm} \times 2 \, \text{dm} \]
\[ A_{\text{triangle}} = \frac{1}{2} \times 3 \, \text{dm}^2 \]
\[ A_{\text{triangle}} = 1,5 \, \text{dm}^2 \]

L’aire totale est donc la somme des deux aires :

\[ A_{\text{total}} = A_{\text{rectangle}} + A_{\text{triangle}} \]
\[ A_{\text{total}} = 3 \, \text{dm}^2 + 1,5 \, \text{dm}^2 \]
\[ A_{\text{total}} = 4,5 \, \text{dm}^2 \]

En résumé :

\[ \text{Périmètre} : 7,5 \, \text{dm} \]
\[ \text{Aire} : 4,5 \, \text{dm}^2 \]

Exercice 14 : périmètre du stade de gerland
Le périmètre du stade est constitué de la somme des longueurs des parties rectilignes (les côtés du rectangle) et des courbes (les demi-cercles).

Les dimensions du rectangle sont \( 121 \, m \) et \( 138 \, m \).

Les côtés rectilignes:
\[
2 \times 138 \, m = 276 \, m
\]

Les demi-cercles:
\[
\text{Rayon} = \frac{121 \, m}{2} = 60.5 \, m
\]
\[
\text{Circonférence d’un cercle} = 2\pi r = 2\pi \times 60.5 \, m
\]
\[
\text{Longueur de deux demi-cercles} = \pi \times 60.5 \, m = 121\pi \, m
\]

Le périmètre total est donc:
\[
276 \, m + 121\pi \, m
\]

Valeur exacte:
\[
\boxed{276 + 121\pi \, m}
\]

Valeur approchée:
\[
276 + 121 \times 3.1416 \approx 276 + 380.136 \approx 656.136 \, m
\]
Arrondi au centimètre:
\[
\approx 656.14 \, m
\]

Valeur approchée au centimètre:
\[
\boxed{656.14 \, m}
\]

Exercice 15 : calcul du périmètre de figures
a. La figure en vert est un rectangle avec deux demi-cercles attachés à ses extrémités.

– La longueur du rectangle est de \( 5.2 \, \text{cm} \).
– La largeur du rectangle est de \( 3 \, \text{cm} \), ce qui correspond également au diamètre des demi-cercles.

Calculons d’abord la longueur des demi-cercles (qui ensemble forment un cercle complet):

\[
\text{Circonférence du cercle complet} = \pi \times \text{diamètre} = \pi \times 3 \, \text{cm}
\]

\[
\text{Longueur totale des demi-cercles} = \pi \times 3 \, \text{cm}
\]

La longueur totale du périmètre du rectangle est de:

\[
2 \times (\text{longueur} + \text{largeur}) = 2 \times (5.2 \, \text{cm} + 0) = 10.4 \, \text{cm}
\]

Le périmètre total de la figure est donc:

\[
\text{Périmètre} = \text{longueur totale des demi-cercles} + \text{longueur totale du rectangle}
\]

\[
= \pi \times 3 \, \text{cm} + 10.4 \, \text{cm}
\]

\[
\approx 3.14 \times 3 \, \text{cm} + 10.4 \, \text{cm}
\]

\[
\approx 9.42 \, \text{cm} + 10.4 \, \text{cm}
\]

\[
\approx 19.82 \, \text{cm}
\]

Donc, le périmètre de la figure verte est environ \( 19.8 \, \text{cm} \).

b. La figure orange est composée d’un demi-cercle majeur et de deux demi-cercles mineurs.

– La longueur AB est de \( 3.2 \, \text{cm} \), qui correspond au diamètre du demi-cercle majeur.
– Le diamètre des demi-cercles mineurs est \( \frac{3.2 \, \text{cm}}{2} = 1.6 \, \text{cm} \) chacun.

Calculons d’abord la circonférence de demi-cercle majeur:

\[
\text{Circonférence du demi-cercle majeur} = \frac{1}{2} \times \pi \times 3.2 \, \text{cm}
\]

\[
= \frac{1}{2} \times 3.14 \times 3.2 \, \text{cm}
\]

\[
\approx 5.024 \, \text{cm}
\]

Ensuite, calculons la circonférence des demi-cercles mineurs:

\[
\text{Circonférence de chaque demi-cercle mineur} = \frac{1}{2} \times \pi \times 1.6 \, \text{cm}
\]

\[
= \frac{1}{2} \times 3.14 \times 1.6 \, \text{cm}
\]

\[
\approx 2.512 \, \text{cm}
\]

Pour deux demi-cercles mineurs, cela fera:

\[
2 \times 2.512 \, \text{cm} \approx 5.024 \, \text{cm}
\]

Par conséquent, le périmètre total est:

\[
\text{Périmètre} = \text{circonférence du demi-cercle majeur} + \text{circonférence des deux demi-cercles mineurs}
\]

\[
\approx 5.024 \, \text{cm} + 5.024 \, \text{cm}
\]

\[
= 10.048 \, \text{cm}
\]

Donc, le périmètre de la figure orange est environ \( 10.0 \, \text{cm} \).

Exercice 16 : périmètre de la partie jaune
Pour déterminer le périmètre de la partie jaune, nous devons calculer la longueur des quatre arcs de cercle qui composent cette zone.

Chaque arc de cercle a un rayon de \(2 \, \text{cm}\) et constitue un quart de cercle.

La longueur d’un cercle complet de rayon \( r \) est donnée par:
\[ P_{\text{cercle}} = 2\pi r \]

Pour un quart de cercle:
\[ P_{\text{quart de cercle}} = \frac{1}{4} \times 2\pi r = \frac{1}{2} \pi r \]

Étant donné que \( r = 2 \, \text{cm} \):
\[ P_{\text{quart de cercle}} = \frac{1}{2} \pi \times 2 = \pi \]

Il y a quatre quarts de cercle dans la partie jaune, donc le périmètre total de la partie jaune est :
\[ P_{\text{jaune}} = 4 \times \pi \]

En utilisant la valeur approchée de \(\pi \approx 3.14\):
\[ P_{\text{jaune}} \approx 4 \times 3.14 = 12.56 \, \text{cm} \]

Par excès à l’unité, la valeur approchée du périmètre de la partie jaune est donc :
\[ P_{\text{jaune}} \approx 13 \, \text{cm} \]

Exercice 17 : périmètre d’un carré
La formule du périmètre \[\mathcal{P}\] d’un carré en fonction de la longueur du côté \[c\] est donnée par :
\[ \mathcal{P} = 4c \]

1. Pour la colonne a :
\[ c = 4 \, \text{dm} \]
\[ \mathcal{P} = 4 \times 4 \, \text{dm} = 16 \, \text{dm} \]
Comme \[1 \, \text{dm} = 0,1 \, \text{m}\], on a \( 16 \, \text{dm} = 1,6 \, \text{m}\).

Donc :
\[ \mathcal{P} = 1,6 \, \text{m} \]

2. Pour la colonne b :
\[ c = 2,4 \, \text{m} \]
\[ \mathcal{P} = 4 \times 2,4 \, \text{m} = 9,6 \, \text{m} \]

3. Pour la colonne c :
\[ \mathcal{P} = 36 \, \text{mm} \]
\[ c = \frac{\mathcal{P}}{4} = \frac{36 \, \text{mm}}{4} = 9 \, \text{mm} \]

Comme \[1 \, \text{mm} = 0,1 \, \text{cm}\], on a \( 9 \, \text{mm} = 0,9 \, \text{cm} \).

Donc :
\[ c = 0,9 \, \text{cm} \]

4. Pour la colonne d :
\[ \mathcal{P} = 2,4 \, \text{m} \]
\[ c = \frac{\mathcal{P}}{4} = \frac{2,4 \, \text{m}}{4} = 0,6 \, \text{m} \]

Le tableau complété est donc :

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{a} \text{b} \text{c} \text{d} \\
\hline
c 4 \, \text{dm} 2,4 \, \text{m} 0,9 \, \text{cm} 0,6 \, \text{m} \\
\hline
\mathcal{P} 1,6 \, \text{m} 9,6 \, \text{m} 36 \, \text{mm} 2,4 \, \text{m} \\
\hline
\end{array}
\]

Exercice 18 : périmètres et aires de figures
a. Pour trouver le périmètre de chaque figure :

1. La première figure (1) est un quart de cercle de rayon 2 cm plus deux segments droits de 2 cm chacun.
\[
P_1 = 2 \times 2 + \frac{1}{4} \times 2 \pi \times 2 = 4 + \pi \approx 4 + 6.28 = 10.28 \text{ cm}
\]

2. La deuxième figure (2) est un demi-cercle de diamètre 3 cm plus deux segments droits de 3 cm chacun.
\[
P_2 = 2 \times 3 + \frac{1}{2} \times \pi \times 3 = 6 + 1.5 \pi \approx 6 + 4.71 = 10.71 \text{ cm}
\]

3. La troisième figure (3) est un cercle complet de diamètre 2 cm.
\[
P_3 = \pi \times 2 \approx 6.28 \text{ cm}
\]

Donc, la figure avec le plus grand périmètre est la figure (2).

b. Pour trouver l’aire de chaque figure :

1. La première figure (1) est un quart de cercle de rayon 2 cm.
\[
A_1 = \frac{1}{4} \pi (2)^2 = \frac{1}{4} \pi \times 4 = \pi \approx 3.14 \text{ cm}^2
\]

2. La deuxième figure (2) est un demi-cercle de diamètre 3 cm plus un rectangle de dimensions 3 cm par 3 cm.
\[
A_2 = \frac{1}{2} \pi (1.5)^2 + 3 \times 3 = \frac{1}{2} \pi \times 2.25 + 9 = 1.125 \pi + 9 \approx 3.53 + 9 = 12.53 \text{ cm}^2
\]

3. La troisième figure (3) est un cercle complet de diamètre 2 cm, donc de rayon 1 cm.
\[
A_3 = \pi (1)^2 = \pi \approx 3.14 \text{ cm}^2
\]

Donc, la figure avec la plus grande aire est la figure (2).

Exercice 19 : périmètre d’un rectangle
Pour résoudre cet exercice, nous devons nous rappeler que le périmètre \(\mathcal{P}\) d’un rectangle est donné par la formule suivante :

\[
\mathcal{P} = 2(l + L)
\]

Voici la correction :

\[\]a.\[\] \(l = 4 \, \text{cm}\), \(L = 5 \, \text{cm}\)

Convertissons \(l\) et \(L\) en mètres :
\[
l = 0{,}04 \, \text{m}, \quad L = 0{,}05 \, \text{m}
\]
Calculons le périmètre :
\[
\mathcal{P} = 2(0{,}04 \, \text{m} + 0{,}05 \, \text{m}) = 2 \times 0{,}09 \, \text{m} = 0{,}18 \, \text{m} \\
= 18 \, \text{cm}
\]

\[\]b.\[\] \(l = 1{,}2 \, \text{dm}\), \(L = 5 \, \text{dm}\)

Convertissons \(l\) et \(L\) en mètres :
\[
l = 0{,}12 \, \text{m}, \quad L = 0{,}5 \, \text{m}
\]
Calculons le périmètre :
\[
\mathcal{P} = 2(0{,}12 \, \text{m} + 0{,}5 \, \text{m}) = 2 \times 0{,}62 \, \text{m} = 1{,}24 \, \text{m}
\\
= 12{,}4 \, \text{dm}
\]

\[\]c.\[\] \(l = ?\), \(L = 10 \, \text{hm}\), \(\mathcal{P} = 36 \, \text{hm}\)

Convertissons \(L\) et \(\mathcal{P}\) en mètres :
\[
L = 1000 \, \text{m}, \quad \mathcal{P} = 3600 \, \text{m}
\]
Calculons \(l\) :
\[
3600 \, \text{m} = 2(l + 1000 \, \text{m}) \\
l + 1000 \, \text{m} = 1800 \, \text{m} \\
l = 1800 \, \text{m} – 1000 \, \text{m} = 800 \, \text{m}
\\
= 8 \, \text{hm}
\]

\[\]d.\[\] \(l = 1 \, \text{m}\), \(L = ?\), \(\mathcal{P} = 4{,}8 \, \text{m}\)

Calculons \(L\) :
\[
4{,}8 \, \text{m} = 2(1 \, \text{m} + L) \\
1 \, \text{m} + L = 2{,}4 \, \text{m} \\
L = 2{,}4 \, \text{m} – 1 \, \text{m} \\
L = 1{,}4 \, \text{m}
\\
= 14 \, \text{dm}
\]

Finalement, le tableau complété est :

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{a.} \text{b.} \text{c.} \text{d.} \\
\hline
l 4 \, \text{cm} 1{,}2 \, \text{dm} 8 \, \text{hm} 1 \, \text{m} \\
\hline
L 5 \, \text{cm} 5 \, \text{dm} 10 \, \text{hm} 14 \, \text{dm} \\
\hline
\mathcal{P} 18 \, \text{cm} 12{,}4 \, \text{dm} 36 \, \text{hm} 4{,}8 \, \text{m} \\
\hline
\end{array}
\]

Exercice 20 : périmètres de figures et codage
Pour trouver le périmètre de chaque figure, on additionne la longueur des côtés de chaque figure.

\[
\text{Figure A} :
\]
Les côtés sont 3.5 cm, 4 cm et 6 cm.
\[
P_A = 3.5 + 4 + 6 = 13.5 \text{ cm}
\]

\[
\text{Figure B} :
\]
Les côtés sont 8.6 cm, 8.3 cm, 6.3 cm et 5 cm.
\[
P_B = 8.6 + 8.3 + 6.3 + 5 = 28.2 \text{ cm}
\]

\[
\text{Figure C} :
\]
Les côtés sont 6.7 cm, 7 cm, 8.4 cm et 7.6 cm.
\[
P_C = 6.7 + 7 + 8.4 + 7.6 = 29.7 \text{ cm}
\]

\[
\text{Figure D} :
\]
Les côtés sont 4.3 cm.
\[
P_D = 3 + 4.3 + 5 = 12.3 \text{ cm}
\]

Les résultats sont les suivants :

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Figure} \text{Périmètre (en cm)} \\
\hline
\text{A} 13.5 \\
\hline
\text{B} 28.2 \\
\hline
\text{C} 29.7 \\
\hline
\text{D} 12.3 \\
\hline
\end{array}
\]

Exercice 21 : calcul de l’aire d’une figure en anglais
Étant donné que le carré \(ABCD\) est l’image du carré \(EFGH\) par une dilatation de centre \(O\) et de rapport 3, nous allons commencer par déterminer les longueurs des côtés des deux carrés.

Les côtés du carré \(EFGH\) mesurent \(2 \, \text{cm}\) chacun.

Pour trouver la longueur des côtés du carré \(ABCD\), on applique le facteur de dilatation. Si la dilatation a un rapport de 3, les côtés du carré \(EFGH\) seront multipliés par 3 pour obtenir les côtés du carré \(ABCD\) :
\[ L_{ABCD} = 3 \times L_{EFGH} = 3 \times 2 \, \text{cm} = 6 \, \text{cm} \]

Maintenant calculons les aires des deux carrés.

L’aire du carré \(EFGH\) est :
\[ A_{EFGH} = (L_{EFGH})^2 = 2 \, \text{cm} \times 2 \, \text{cm} = 4 \, \text{cm}^2 \]

L’aire du carré \(ABCD\) est :
\[ A_{ABCD} = (L_{ABCD})^2 = 6 \, \text{cm} \times 6 \, \text{cm} = 36 \, \text{cm}^2 \]

L’aire verte qui est obtenue en soustrayant l’aire du carré \(EFGH\) de l’aire du carré \(ABCD\) est :
\[ A_{\text{vert}} = A_{ABCD} – A_{EFGH} = 36 \, \text{cm}^2 – 4 \, \text{cm}^2 = 32 \, \text{cm}^2 \]

Donc, l’aire de la surface verte est \(32 \, \text{cm}^2\).

Exercice 22 : calculs du périmètre de deux cercles
Correction :

1. Le périmètre du cercle de centre \( A \) est donné par la formule \( P = 2 \pi r \), où \( r \) est le rayon du cercle.

Pour le cercle de centre \( A \) :
\[
P_A = 2 \pi \times 5 \, \text{cm}
\]
En utilisant \( \pi \approx 3.1416 \) :
\[
P_A \approx 2 \times 3.1416 \times 5 \, \text{cm} = 31.416 \, \text{cm}
\]
En arrondissant au dixième de centimètre :
\[
P_A \approx 31.4 \, \text{cm}
\]

2. Le périmètre du cercle de centre \( B \) :

Pour le cercle de centre \( B \), avec un rayon de 7 cm :
\[
P_B = 2 \pi \times 7 \, \text{cm}
\]
En utilisant \( \pi \approx 3.1416 \) :
\[
P_B \approx 2 \times 3.1416 \times 7 \, \text{cm} = 43.9824 \, \text{cm}
\]
En arrondissant au centième de centimètre :
\[
P_B \approx 43.98 \, \text{cm}
\]

Exercice 23 : calculer le périmètre de cette figure
Soit \( AB \) la base de la figure, composée des segments \( AC \) et \( CB \).

On a:
\[ AC = 4 \, \text{cm} \]
\[ CB = 6 \, \text{cm} \]

Les deux parties supérieures de la figure sont des demi-cercles. Calculons leur périmètre.

1. Rayon du demi-cercle de gauche (demi-cercle de centre \( C \) et passant par \( A \))
\[ R_1 = \frac{AC}{2} = \frac{4}{2} = 2 \, \text{cm} \]

2. Rayon du demi-cercle de droite (demi-cercle de centre \( C \) et passant par \( B \))
\[ R_2 = \frac{CB}{2} = \frac{6}{2} = 3 \, \text{cm} \]

La circonférence d’un cercle est \( 2\pi R \), donc pour un demi-cercle, c’est \( \pi R \).

Pour le demi-cercle de gauche:
\[ \text{Périmètre}_\text{demi-cercle gauche} = \pi R_1 = \pi \times 2 \]

Pour le demi-cercle de droite:
\[ \text{Périmètre}_\text{demi-cercle droite} = \pi R_2 = \pi \times 3 \]

Somme des périmètres des demi-cercles:
\[ \pi \times 2 + \pi \times 3 = 2\pi + 3\pi = 5\pi \]

Le périmètre total de la figure est la somme de ce périmètre et de la base \( AB \):
\[ AB = AC + CB = 4 \, \text{cm} + 6 \, \text{cm} = 10 \, \text{cm} \]

Donc, le périmètre total est:
\[ 10 + 5\pi \]

En arrondissant au dixième de cm:
\[ \pi \approx 3.1416 \]
\[ 5\pi = 5 \times 3.1416 = 15.708 \]

\[ 10 + 15.708 = 25.708 \]

Arrondi au dixième près:
\[ \boxed{25.7 \, \text{cm}} \]

Exercice 24 : triangle et demi-cercle
Nous avons donc les longueurs suivantes :
– \( AB = 7 \text{ cm} \)
– \( AC = 4,5 \text{ cm} \)
– \( BC = 3,8 \text{ cm} \)
– \( DC = 2,2 \text{ cm} \)

Pour trouver le périmètre de cette figure, nous devons déterminer la longueur de l’arc \( AD \) du demi-cercle.

Le segment \( AB \) est le diamètre du demi-cercle, donc le rayon \( r \) est la moitié du diamètre :
\[ r = \frac{AB}{2} = \frac{7}{2} = 3,5 \text{ cm} \]

La longueur de l’arc \( AD \) d’un demi-cercle est :
\[
\text{longueur de l’arc} = \pi \times r = \pi \times 3,5
\]

La longueur de l’arc \( AD \) est donc :
\[
3,5\pi \approx 3,5 \times 3,1416 \approx 10,9956 \text{ cm}
\]

Le périmètre total de la figure est la somme des segments \( AC \), \( BC \), \( DC \) et de l’arc \( AD \). Donc :
\[
\text{Périmètre total} = AC + BC + DC + \text{longueur de l’arc} \]
\[
= 4,5 + 3,8 + 2,2 + 10,9956 \approx 21,4956 \text{ cm}
\]

En arrondissant au centième de cm :
\[
21,4956 \approx 21,50 \text{ cm}
\]

Le périmètre de cette figure est donc approximativement de \( \boxed{21,50 \text{ cm}} \).

Exercice 25 : périmètre de cercles
Pour calculer la longueur de la circonférence d’un cercle, nous utilisons la formule suivante :

\[ C = 2 \pi r \]

où \( r \) est le rayon du cercle.

### Cercle n°1
– Rayon : \( 2 \, \text{cm} \)
– Longueur exacte :
\[
C_{1} = 2 \pi \times 2 = 4 \pi \, \text{cm}
\]
– Valeur approchée :
\[
C_{1} \approx 4 \pi \approx 4 \times 3.14 = 12.56 \, \text{cm}
\]

### Cercle n°2
– Rayon : \( 2 \, \text{cm} \)
– Longueur exacte :
\[
C_{2} = 2 \pi \times 2 = 4 \pi \, \text{cm}
\]
– Valeur approchée :
\[
C_{2} \approx 4 \pi \approx 4 \times 3.14 = 12.56 \, \text{cm}
\]

### Cercle n°3
– Rayon : \( 1.4 \, \text{cm} \)
– Longueur exacte :
\[
C_{3} = 2 \pi \times 1.4 = 2.8 \pi \, \text{cm}
\]
– Valeur approchée :
\[
C_{3} \approx 2.8 \pi \approx 2.8 \times 3.14 = 8.79 \, \text{cm}
\]

### Cercle n°4
– Rayon : \( 4.5 \, \text{cm} \)
– Longueur exacte :
\[
C_{4} = 2 \pi \times 4.5 = 9 \pi \, \text{cm}
\]
– Valeur approchée :
\[
C_{4} \approx 9 \pi \approx 9 \times 3.14 = 28.26 \, \text{cm}
\]

Exercice 26 : conversions de surfaces
{Correction de l’exercice de mathématiques}

\setcounter{section}{1}
{1. Recopie et complète}

[a.] \( 4 \,\mathrm{dam}^2 = 400 \,\mathrm{m}^2 \)
[b.] \( 15 \,\mathrm{hm}^2 = 150\,000 \,\mathrm{m}^2 \)
[c.] \( 5,1 \,\mathrm{cm}^2 = 51 \,\mathrm{mm}^2 \)
[d.] \( 1\,350 \,\mathrm{mm}^2 = 13,5 \,\mathrm{cm}^2 \)
[e.] \( 5,2 \,\mathrm{km}^2 = 5\,200\,000 \,\mathrm{m}^2 \)
[f.] \( 0,7 \,\mathrm{m}^2 = 70 \,\mathrm{dm}^2 \)
[g.] \( 320 \,\mathrm{a} = 3\,200 \,\mathrm{m}^2 \)
[h.] \( 2,5 \,\mathrm{ha} = 25\,000 \,\mathrm{m}^2 \)
[i.] \( 15\,300 \,\mathrm{mm}^2 = 153 \,\mathrm{cm}^2 = 1,53 \,\mathrm{dm}^2 = 0,0153 \,\mathrm{m}^2 \)

\setcounter{section}{2}
{2. Convertis les aires suivantes en \(\mathrm{m}^2\)}

[a.] \( 2 \,\mathrm{km}^2 = 2\,000\,000 \,\mathrm{m}^2 \)
[b.] \( 37\,000 \,\mathrm{dm}^2 = 3\,700 \,\mathrm{m}^2 \)
[c.] \( 45\,300 \,\mathrm{mm}^2 = 0,0453 \,\mathrm{m}^2 \)
[d.] \( 153,7 \,\mathrm{dam}^2 = 153\,700 \,\mathrm{m}^2 \)
[e.] \( 28,9 \,\mathrm{cm}^2 = 0,00289 \,\mathrm{m}^2 \)
[f.] \( 3,008 \,\mathrm{hm}^2 = 300\,800 \,\mathrm{m}^2 \)
[g.] \( 52 \,\mathrm{a} = 5\,200 \,\mathrm{m}^2 \)
[h.] \( 0,05 \,\mathrm{ha} = 500 \,\mathrm{m}^2 \)
[i.] \( 200 \,\mathrm{ha} = 2\,000\,000 \,\mathrm{m}^2 \)

\setcounter{section}{3}
{3. Convertis les aires suivantes en \(\mathrm{cm}^2\)}

[a.] \( 15 \,\mathrm{mm}^2 = 0,15 \,\mathrm{cm}^2 \)
[b.] \( 28 \,\mathrm{dm}^2 = 2\,800 \,\mathrm{cm}^2 \)
[c.] \( 17\,300 \,\mathrm{m}^2 = 173\,000\,000 \,\mathrm{cm}^2 \)
[d.] \( 73,1 \,\mathrm{m}^2 = 731\,000 \,\mathrm{cm}^2 \)
[e.] \( 0,004 \,\mathrm{m}^2 = 40 \,\mathrm{cm}^2 \)
[f.] \( 27\,008 \,\mathrm{dam}^2 = 270\,080\,000 \,\mathrm{cm}^2 \)
[g.] \( 0,08 \,\mathrm{mm}^2 = 0,0008 \,\mathrm{cm}^2 \)
[h.] \( 13 \,\mathrm{a} = 13\,000 \,\mathrm{m}^2 = 130\,000\,000 \,\mathrm{cm}^2 \)
[i.] \( 0,0105 \,\mathrm{a} = 10,5 \,\mathrm{m}^2 = 105\,000 \,\mathrm{cm}^2 \)

Exercice 27 : calculer le périmètre de ce cercle
Pour calculer le périmètre d’un cercle de rayon \( R = 3.3 \) cm, on utilise la formule du périmètre d’un cercle, qui est donnée par :

\[ P = 2 \pi R \]

En substituant la valeur de \( R \) :

\[ P = 2 \pi \times 3.3 \]

Calculons cette valeur :

\[ P \approx 2 \times 3.14 \times 3.3 \]
\[ P \approx 20.7 \, \text{cm} \]

Ainsi, le périmètre du cercle, arrondi au dixième, est de \( 20.7 \, \text{cm} \).

Exercice 28 : convertir des longueurs
\begin{align*}
1. \quad 7\,326 \, \text{m} \, = \, \frac{7\,326}{100} \, \text{hm} \, = \, 73,26 \, \text{hm} \\
2. \quad 842,736 \, \text{cm} \, = \, \frac{842,736}{1000} \, \text{dam} \, = \, 0,842736 \, \text{dam} \\
3. \quad 0,007 \, 13 \, \text{km} \, = \, 0,007 \, 13 \, \times \, 10\,000 \, \text{dm} \, = \, 71,3 \, \text{dm} \\
4. \quad 0,000 \, 580 \, \text{cm} \, = \, \frac{0,000 \, 580}{10000} \, \text{hm} \, = \, 5,8 \times 10^{-8} \, \text{hm} \\
5. \quad 153\,472,17 \, \text{cm} \, = \, \frac{153\,472,17}{100000} \, \text{km} \, = \, 1,5347217 \, \text{km}
\end{align*}

Exercice 29 : calculer le périmètre de ce pentagone
Pour trouver le périmètre de la figure en centimètres, nous devons d’abord convertir toutes les longueurs en centimètres.

Nous savons que :
\[ 1 \, \text{dm} = 10 \, \text{cm} \]

Ainsi, les côtés de 0,3 dm peuvent être convertis en centimètres :
\[ 0,3 \, \text{dm} = 0,3 \times 10 \, \text{cm} = 3 \, \text{cm} \]

Maintenant, nous avons toutes les longueurs en centimètres :
– Les deux côtés de 4 cm et 3 cm du rectangle
– Les longueurs de 6 cm et 9 cm des côtés inclinés

Calculons le périmètre \( P \) en ajoutant toutes les longueurs des côtés :
\[ P = 4 \, \text{cm} + 3 \, \text{cm} + 6 \, \text{cm} + 9 \, \text{cm} + 3 \, \text{cm} + 4 \, \text{cm} \]

\[ P = 4 + 3 + 6 + 9 + 3 + 4 \]

\[ P = 29 \, \text{cm} \]

Donc, le périmètre de cette figure est de \( 29 \, \text{cm} \).

Exercice 30 : calculer le périmètre de ces figures
Pour calculer le périmètre des deux figures, nous devons utiliser les formules géométriques appropriées.

\[\]Première figure : le cercle\[\]

La longueur de AB est le diamètre du cercle. Donc, le diamètre \(d\) du cercle est de 3 cm.

Le périmètre \(P_1\) d’un cercle est donné par la formule :
\[
P_1 = \pi \times d
\]

En substituant la valeur du diamètre \(d\),
\[
P_1 = \pi \times 3 = 3\pi
\]

En utilisant \(\pi \approx 3.14159\),
\[
P_1 \approx 3 \times 3.14159 \approx 9.42 \, \text{cm}
\]

\[\]Deuxième figure : le demi-cercle de 4 cm et le demi-cercle de 2 cm\[\]

D’abord, nous calculons le périmètre du grand demi-cercle de diamètre 4 cm.

Le périmètre d’un demi-cercle est donné par :
\[
P_{\text{demi-cercle}} = \pi \times r + d
\]
où \(r\) est le rayon et \(d\) est le diamètre.

Le rayon \(r\) est de 2 cm (car \(r = \frac{4}{2}\)).

Le périmètre du grand demi-cercle est donc :
\[
P_{2a} = \pi \times 2 + 4 = 2\pi + 4
\]

En utilisant \(\pi \approx 3.14159\),
\[
P_{2a} \approx 2 \times 3.14159 + 4 \approx 6.28318 + 4 \approx 10.28 \, \text{cm}
\]

Ensuite, nous calculons le périmètre du petit demi-cercle de diamètre 2 cm.

Le rayon \(r\) est de 1 cm (car \(r = \frac{2}{2}\)).

Le périmètre du petit demi-cercle est donc :
\[
P_{2b} = \pi \times 1 + 2 = \pi + 2
\]

En utilisant \(\pi \approx 3.14159\),
\[
P_{2b} \approx 3.14159 + 2 \approx 5.14 \, \text{cm}
\]

Le périmètre total de la deuxième figure, en soustrayant le diamètre intérieur multiple (car il est partagé entre les deux demi-cercles),
\[
P_{2} = P_{2a} + P_{2b} – 2
\]

\[
P_{2} \approx 10.28 + 5.14 – 2 \approx 13.42 \, \text{cm}
\]

\[\]Conclusion des périmètres arrondis au centième de centimètre :\[\]

\[
\text{Périmètre de la première figure} : 9.42 \, \text{cm}
\]

\[
\text{Périmètre de la deuxième figure} : 13.42 \, \text{cm}
\]

Exercice 31 : aire et périmètre d’un rectangle
Pour calculer le périmètre du rectangle \(ABCD\), nous utilisons la formule suivante :
\[ P = 2 \times (L + \ell) \]
avec \( L = 6,4 \, \text{cm} \) et \( \ell = 4,7 \, \text{cm} \).

Ainsi,
\[ P = 2 \times (6,4 \, \text{cm} + 4,7 \, \text{cm}) \]
\[ P = 2 \times 11,1 \, \text{cm} \]
\[ P = 22,2 \, \text{cm} \]

Le périmètre du rectangle \(ABCD\) est donc de \( 22,2 \, \text{cm} \).

Pour calculer l’aire du rectangle \(ABCD\), nous utilisons la formule suivante :
\[ A = L \times \ell \]

Ainsi,
\[ A = 6,4 \, \text{cm} \times 4,7 \, \text{cm} \]
\[ A = 30,08 \, \text{cm}^2 \]

L’aire du rectangle \(ABCD\) est donc de \( 30,08 \, \text{cm}^2 \).

Exercice 32 : périmètre et aire d’un carré
Pour un carré EFGH de côté \(2,56 \, \text{cm}\) :

1. \[\]Calcul du périmètre\[\] :

\[
P = 4 \times \text{côté}
\]

\[
P = 4 \times 2,56 \, \text{cm}
\]

\[
P = 10,24 \, \text{cm}
\]

2. \[\]Calcul de l’aire\[\] :

\[
A = \text{côté}^2
\]

\[
A = (2,56 \, \text{cm})^2
\]

\[
A = 6,5536 \, \text{cm}^2
\]

Ainsi, le périmètre du carré EFGH est de \(10,24 \, \text{cm}\) et son aire est de \(6,5536 \, \text{cm}^2\).

Exercice 33 : aire et périmètre de figures
Pour calculer le périmètre et l’aire de la figure rose formée par le rectangle \(MNOL\) et le carré \(KJI\), on procède de la manière suivante :

1. \[\]Calcul du périmètre :\[\]

Le périmètre de la figure rose est constitué par les côtés externes de la figure. Ces côtés sont :

– \(OL = 4,3 \, \text{cm}\)
– \(LN = 2,7 \, \text{cm}\)
– \(NK = 2,6 \, \text{cm}\)
– \(KJ = 2,6 \, \text{cm}\)
– \(JI = 2,6 \, \text{cm}\)
– \(IM = 4,3 \, \text{cm}\)
– \(MO = 2,7 \, \text{cm}\)

Ainsi, le périmètre \(P\) est :
\[
P = 4,3 + 2,7 + 2,6 + 2,6 + 2,6 + 4,3 + 2,7 \, \text{cm}
\]

\[
P = 22,8 \, \text{cm}
\]

2. \[\]Calcul de l’aire :\[\]

L’aire de la figure rose est la somme de l’aire du rectangle \(MNOL\) et de l’aire du carré \(KJI\).

– L’aire du rectangle \(MNOL\) est :
\[
A_{\text{rect}} = 4,3 \, \text{cm} \times 2,7 \, \text{cm} = 11,61 \, \text{cm}^2
\]

– L’aire du carré \(KJI\) est :
\[
A_{\text{carré}} = 2,6 \, \text{cm} \times 2,6 \, \text{cm} = 6,76 \, \text{cm}^2
\]

Ainsi, l’aire totale \(A\) de la figure rose est :
\[
A = A_{\text{rect}} + A_{\text{carré}} = 11,61 \, \text{cm}^2 + 6,76 \, \text{cm}^2 = 18,37 \, \text{cm}^2
\]

Exercice 34 : périmètre et aire de la zone orange
Pour résoudre cet exercice, nous devons d’abord comprendre les dimensions des figures et leurs positions respectives.

### Calcul du périmètre de la zone orange

Le périmètre de la zone orange est composé des segments AD, DE, EH, HB, plus les segments intermédiaires AG, GJ, JE, et JH.

Puisque
– AD = BE = 4,6 cm
– AB =3 cm (tirée de la différence avec 2.8 cm et 1.4 cm)
– EH = GJ = 1,4 cm (les côtés du carré)
– AG = 0,6 cm (différence entre le côté du carré et celui du rectangle).

Calculons chaque segment en observant:
– AG = 0,6 cm
– JG = GJ =1.4 cm

Nous avons:
\[ P_{\text{{orange}}} = AD + DE + EH + JE + JH + HB = 4,6 + 1,4 + 1,4 + 1,4 + (1.4-1.4)= 7.6 cm.\]

### Calcul de l’aire de la zone orange

#### Aire totale du rectangle
Le rectangle ADEB a pour côtés 4,6 cm et 2,8 cm.
L’aire du rectangle est donc:

\[ A_{\text{rectangle}} = 4,6 \times 2,8 = 12,88 \text{ cm}^2 \]

#### Aire du carré
Le carré HEGJ a un côté de 1,4 cm.
L’aire du carré est donc:

\[ A_{\text{carré}} = (1,4)^2 = 1,96 \text{ cm}^2 \]

#### Aire de la zone orange
L’aire de la zone orange est l’aire du rectangle moins l’aire du carré:

\[ A_{\text{orange}} = A_{\text{rectangle}} – A_{\text{carré}} = 12,88 – 1,96 = 10,92 \text{ cm}^2 \]

Exercice 35 : longueur d’une corde
Pour déterminer la longueur totale de la corde nécessaire afin de réaliser le polygone montré dans l’image, nous additionnons les longueurs de tous les segments.

La longueur totale de la corde correspond à la somme des longueurs suivantes :
– \( 60 \, \text{cm} \)
– \( 60 \, \text{cm} \)
– \( 25 \, \text{cm} \)
– \( 25 \, \text{cm} \)
– \( 16 \, \text{cm} \)
– \( 76 \, \text{cm} \)
– \( 16 \, \text{cm} \)

En LaTeX, ceci peut être rédigé de la manière suivante :

\[
\text{Longueur totale} = 60 \, \text{cm} + 60 \, \text{cm} + 25 \, \text{cm} + 25 \, \text{cm} + 16 \, \text{cm} + 76 \, \text{cm} + 16 \, \text{cm}
\]

En additionnant ces valeurs :

\[
\text{Longueur totale} = (60 + 60 + 25 + 25 + 16 + 76 + 16) \, \text{cm}
\]

\[
\text{Longueur totale} = 278 \, \text{cm}
\]

Ainsi, la longueur de corde nécessaire pour réaliser le polygone est de \( 278 \, \text{cm} \).

Exercice 36 : périmètre d’un quadrilatère
Pour calculer le périmètre du quadrilatère GOFL, nous devons additionner les longueurs de tous ses côtés.

Les côtés du quadrilatère sont :

– \( GO = 6,5 \, \text{cm} \)
– \( OL = 2,2 \, \text{cm} \)
– \( LF = 4,5 \, \text{cm} \)
– \( FG = 10,3 \, \text{cm} \)

Le périmètre \( P \) du quadrilatère est donc :

\[
P = GO + OL + LF + FG
\]

\[
P = 6,5 \, \text{cm} + 2,2 \, \text{cm} + 4,5 \, \text{cm} + 10,3 \, \text{cm}
\]

\[
P = 23,5 \, \text{cm}
\]

Ainsi, le périmètre du quadrilatère GOFL est de \( 23,5 \, \text{cm} \).

Exercice 37 : chemin entre Tam et Doutsi
Pour sélectionner les aires égales à \(45{,}67 \, \text{m}^2\), Tam doit suivre ces conversions d’unités :

1. \(45{,}67 \, \text{m}^2\) converti en diverses unités pour comparaison.
2. Trouver les aires égales à \(45{,}67 \, \text{m}^2\).

Nous savons que :
\[ 1 \, \text{m}^2 = 100 \, \text{dm}^2 = 10^4 \, \text{cm}^2 = 10^6 \, \text{mm}^2 = 0{,}0001 \, \text{hm}^2 = 0{,}000001 \, \text{km}^2 \]

Vérifions les aires fournies en unités dérivées :

1. \(45{,}67 \, \text{m}^2\) est déjà en mètres carrés.
2. \(456{,}7 \, \text{dm}^2\)
\[ 456{,}7 \, \text{dm}^2 = 456{,}7 \times 0{,}01 \, \text{m}^2 = 4{,}567 \, \text{m}^2 \]

3. \(0{,}4567 \, \text{dam}^2\)
\[ 0{,}4567 \, \text{dam}^2 = 0{,}4567 \times 100 \, \text{m}^2 = 45{,}67 \, \text{m}^2 \]

4. \(4{,}567 \, \text{cm}^2\)
\[ 4{,}567 \, \text{cm}^2 = 4{,}567 \times 0{,}0001 \, \text{m}^2 = 0{,}0004567 \, \text{m}^2 \]

5. \(0{,}0000456 \times 10^6 \, \text{km}^2\)
\[ 0{,}0000456 \, \text{km}^2 = 0{,}0000456 \times 10^6 \, \text{m}^2 = 45{,}67 \, \text{m}^2 \]

6. \(45{,}67 \times 1000 = 45670\, \text{m}^2 \to (45{,}67)\]

7. \(0{,}0001 \, \text{hm}^2\)
\[ 0{,}4567 = 45{,}67 \]

8. \(sizeof ~ km^2\)

Chemin :

\[
45{,}67 \wordlT
\]

Exercice 38 : les éco-délégués d’un collège
a. Calculer la longueur, arrondie au cm près, d’un cercle de rayon 1 m.

La longueur \(L\) d’un cercle de rayon \(r\) est donnée par la formule :
\[ L = 2 \pi r \]
En remplaçant \(r\) par 1 m :
\[ L = 2 \pi \times 1 \]
\[ L = 2 \pi \]
En arrondissant \(\pi\) à 3,1416 :
\[ L \approx 2 \times 3,1416 \]
\[ L \approx 6,2832 \text{ m} \]

Donc, la longueur du cercle est d’environ 6,28 m (ou 628 cm).

b. En déduire la longueur de la bordure.

La bordure du parterre rectangulaire avec des coins arrondis est composée de deux fois la largeur (sans les coins), deux fois la longueur (sans les coins), et quatre quarts de cercle (qui forment un cercle complet).

Longueur de la partie droite de la bordure :
– 2 fois (longueur totale – 2 rayons) = \( 2 \times (8 – 2 \times 1) = 2 \times 6 = 12 \text{ m} \)
– 2 fois (largeur totale – 2 rayons) = \( 2 \times (4 – 2 \times 1) = 2 \times 2 = 4 \text{ m} \)

Ajoutons la longueur du cercle (les 4 coins arrondis) :
\[ 12 + 4 + 6,2832 = 22,2832 \text{ m} \]

Donc, la longueur totale de la bordure est d’environ 22,28 m (ou 2228 cm).

Exercice 39 : périmètre d’une figure compoése d’un carré et d’un triangle
a. Périmètre du carré \( FRED \)

Le carré \( FRED \) a quatre côtés égaux. Nous savons que \( RE = 4{,}2 \, \text{cm} \). Donc, chaque côté du carré \( FRED \) mesure \( 4{,}2 \, \text{cm} \).

Le périmètre \( P \) d’un carré est donné par :
\[ P = 4 \times \text{côté} \]

Ainsi, le périmètre du carré \( FRED \) est :
\[ P = 4 \times 4{,}2 \, \text{cm} = 16{,}8 \, \text{cm} \]

b. Périmètre du triangle \( CED \)

Nous avons les longueurs des côtés du triangle \( CED \):
\[ CE = 10{,}8 \, \text{cm}, \, ED = 4{,}2 \, \text{cm}, \, \text{et } DC = 10{,}8 \, \text{cm} \]

Le périmètre \( P \) du triangle \( CED \) est donné par :
\[ P = CE + ED + DC \]

Ainsi,
\[ P = 10{,}8 \, \text{cm} + 4{,}2 \, \text{cm} + 10{,}8 \, \text{cm} = 25{,}8 \, \text{cm} \]

c. Périmètre du polygone \( FRECD \)

Le polygone \( FRECD \) est composé du carré \( FRED \) et du côté \( DC \) qui a déjà été mesuré ci-dessus.

Les longueurs de ses côtés sont :
\[ FR = RE = ED = DF = 4{,}2 \, \text{cm} \, \text{et} \, DC = 10{,}8 \, \text{cm} \]

Le périmètre \( P \) du polygone \( FRECD \) est donné par :
\[ P = FR + RE + ED + DF + DC \]

Ainsi,
\[ P = 4{,}2 \, \text{cm} + 4{,}2 \, \text{cm} + 4{,}2 \, \text{cm} + 4{,}2 \, \text{cm} + 10{,}8 \, \text{cm} = 27{,}6 \, \text{cm} \]

Exercice 40 : périmètre de figures
a. Pour construire ces figures en vraie grandeur, reportons-nous aux dimensions indiquées.

b. Comparons les périmètres des deux figures.

Pour la première figure (orange), divisons-la en deux demi-cercles et un rectangle central.

1. Longueur du rectangle central : \(10 \, \text{cm}\)
2. Deux demi-cercles combinés forment un cercle entier avec un diamètre de \(10 \, \text{cm}\)
3. Circonférence du cercle complet : \(C_1 = \pi \times \text{diamètre} = \pi \times 10 \, \text{cm}\)

Pour la seconde figure (verte), elle est composée de deux demi-cercles (diamètre \(6 \, \text{cm}\) chacun) et de trois côtés égaux d’un carré.

1. Deux demi-cercles combinés forment un cercle entier avec un diamètre de \(6 \, \text{cm}\)
2. Circonférence du cercle complet : \(C_2 = \pi \times \text{diamètre} = \pi \times 6 \, \text{cm}\)
3. Trois côtés du carré \(6 \, \text{cm}\) chacun : \(3 \times 6 \, \text{cm} = 18 \, \text{cm}\)

Calculons les périmètres :

Pour la première figure (orange) :

\[ P_1 = 10 \, \text{cm} + \pi \times 10 \, \text{cm} \]
\[ P_1 \approx 10 \, \text{cm} + 31.42 \, \text{cm} \]
\[ P_1 \approx 41.42 \, \text{cm} \]

Pour la seconde figure (verte) :

\[ P_2 = \pi \times 6 \, \text{cm} + 18 \, \text{cm} \]
\[ P_2 \approx 18.85 \, \text{cm} + 18 \, \text{cm} \]
\[ P_2 \approx 36.85 \, \text{cm} \]

La figure avec le plus grand périmètre est donc la première figure (orange) avec un périmètre de \(\approx 41.42 \, \text{cm}\).

En LaTeX :
\[
P_1 \approx 10 \, \text{cm} + \pi \times 10 \, \text{cm} \approx 10 \, \text{cm} + 31.42 \, \text{cm} \approx 41.42 \, \text{cm}
\]
\[
P_2 \approx \pi \times 6 \, \text{cm} + 18 \, \text{cm} \approx 18.85 \, \text{cm} + 18 \, \text{cm} \approx 36.85 \, \text{cm}
\]

Exercice 41 : longueur d’une spirale
Correction de l’exercice :

a. Pour construire la spirale en partant du carré de côté \(2 \, \text{cm}\):

1. Dessinez un carré dont le côté est \(2 \, \text{cm}\).
2. Ajoutez un carré de côté \(2 \, \text{cm}\) adjacent à l’un des côtés du premier carré pour former un rectangle \(2 \, \text{cm} \times 4 \, \text{cm}\).
3. Continuez à ajouter des carrés successivement, chaque nouveau carré ayant pour côté la longueur du côté opposé du rectangle obtenu précédemment. Voici les premiers côtés des carrés successifs : \(2 \, \text{cm}, 2 \, \text{cm}, 4 \, \text{cm}, 6 \, \text{cm}, 10 \, \text{cm}, \dots \)

b. Calcul de la longueur de la spirale dessinée :

Pour calculer la longueur de la spirale, on considère chaque quart de cercle tracé dans chaque carré ajouté. La longueur d’un arc de cercle est donnée par la formule :

\[ L = r \cdot \theta \]

où \( r \) est le rayon du cercle et \( \theta \) est l’angle en radians de l’arc de cercle considéré. Puisque nous ajoutons des quarts de cercle à chaque étape \(\theta = \frac{\pi}{2} \), la longueur totale de la spirale peut être trouvée en additionnant les longueurs de ces quarts de cercle.

Voici les rayons des premiers quarts de cercle :
– Rayon du premier quart de cercle : \(1 \, \text{cm} \) (demi-côté du carré \(2 \, \text{cm}\))
– Rayon du second quart de cercle : \(1 \, \text{cm} \)
– Rayon du troisième quart de cercle : \(2 \, \text{cm}\)
– Rayon du quatrième quart de cercle : \(3 \, \text{cm} \)
– Rayon du cinquième quart de cercle : \(5 \, \text{cm} \)

La longueur totale \( L \) de la spirale est donc :

\[L = \frac{\pi}{2} (1 + 1 + 2 + 3 + 5 + \ldots) \]

Cette série correspond aux nombres successifs de la suite de Fibonacci : \(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, \ldots \)

Les longueurs des quarts de cercle pour les premiers éléments sont:

\[ L = \frac{\pi}{2} (1 + 1 + 2 + 3 + 5) = \frac{\pi}{2} \times 12 \, \text{cm} = 6\pi \, \text{cm} \approx 18.85 \, \text{cm} \]

La longueur exacte de la spirale dépend du nombre de carrés utilisés. Plus il y a de carrés, plus la longueur est grande. En pratique, on peut additionner de manière plus précise en fonction du nombre de carrés que l’on dessine.

Ainsi, la longueur de la spirale pour les carrés dessinés est approchée à \(18.85 \, \text{cm} \), en utilisant les 6 premiers quarts de cercle des carrés de Fibonacci.

\[
\boxed{18.85 \, \text{cm}}
\]

Exercice 42 : problème ouvert du vélo
Pour déterminer le nombre de tours de roue nécessaires pour Lilou afin qu’elle se rende chez son amie Maëlle, nous devons utiliser les caractéristiques de son vélo. Les étapes sont les suivantes :

1. Trouver la circonférence de la roue de Lilou.
2. Convertir la distance totale en cm.
3. Calculer le nombre de tours de roue nécessaires.

\[\]Doc. 3:\[\] Diamètre des roues de Lilou : 29 pouces
\[\]Doc. 2:\[\] Conversion des pouces en cm : 1 pouce = 2,54 cm

1. Calcul de la circonférence de la roue :

\[ \text{Circonférence} = \pi \times \text{diamètre} \]
\[ \text{Diamètre} = 29 \text{ pouces} = 29 \times 2{,}54 \text{ cm} \]
\[ \text{Diamètre} = 73{,}66 \text{ cm} \]

\[ \text{Circonférence} = \pi \times 73{,}66 \text{ cm} \]
\[ \text{Circonférence} \approx 231{,}48 \text{ cm} \]

2. Convertir la distance de 2 km en cm :

\[ 2 \text{ km} = 2 \times 1000 \text{ m} = 2000 \text{ m} \]
\[ 2000 \text{ m} = 2000 \times 100 \text{ cm} = 200000 \text{ cm} \]

3. Calculer le nombre de tours de roue nécessaires :

\[ \text{Nombre de tours} = \frac{\text{Distance totale}}{\text{Circonférence de la roue}} \]
\[ \text{Nombre de tours} \approx \frac{200000 \text{ cm}}{231{,}48 \text{ cm}} \]
\[ \text{Nombre de tours} \approx 863{,}88 \]

Lilou devra donc effectuer environ \( 864 \) tours de roue pour parcourir la distance de 2 km.

Exercice 43 : aire d’une planche carrée
Soit \( x \) la longueur du côté de chaque petite planche. La longueur totale de la grande planche est de \( 1 \) m, donc nous avons :

\[
4x + 3x = 1
\]

où \( 4x \) est la somme des largeurs des planches et \( 3x \) est la somme des espaces entre les planches.

Ainsi,

\[
7x = 1 \implies x = \frac{1}{7}
\]

La surface de la grande planche est de \( 1^2 = 1 \, \text{m}^2 \). Les quatre petites planches ont une largeur de \( \frac{1}{7} \) m et une longueur de \( 1 \) m, donc chacune a une aire de :

\[
\text{Aire petite planche} = \frac{1}{7} \times 1 = \frac{1}{7} \, \text{m}^2
\]

Ainsi, l’aire totale des quatre petites planches est :

\[
\text{Aire totale petites planches} = 4 \times \frac{1}{7} = \frac{4}{7} \, \text{m}^2
\]

L’aire du trou central est alors :

\[
\text{Aire trou central} = 1 – \frac{4}{7} = \frac{3}{7} \, \text{m}^2
\]

Donc, l’aire de la plaque de verre est :

\[
\boxed{\frac{3}{7} \, \text{m}^2}
\]

Exercice 44 : périmètre et conversions
1. La figure verte est déjà fournie dans l’image.

2. Calcul du périmètre du triangle ABC:
\[ \text{AB} = 5{,}86 \, \text{cm} \]
\[ \text{AC} = 4{,}31 \, \text{cm} \]
\[
\text{BC} = \sqrt{\text{AB}^2 + \text{AC}^2} = \sqrt{(5{,}86)^2 + (4{,}31)^2} = \sqrt{34{,}4196 + 18{,}5761} = \sqrt{52{,}9957} \approx 7{,}28 \, \text{cm}
\]
Le périmètre du triangle ABC est:
\[ \text{P}_{\triangle ABC} = AB + AC + BC = 5{,}86 + 4{,}31 + 7{,}28 \approx 17{,}45 \, \text{cm} \]

3. Calcul du périmètre de la figure verte:
Le périmètre de la figure verte comprend le segment de droite \(AC\), le segment de droite \(AB\), et le quart de cercle de rayon \(6 \, \text{cm}\).

Le quart de cercle a une circonférence:
\[ C_{1/4 \text{ cercle}} = \frac{1}{4} \times 2 \pi \times 6 = 3 \pi \]
\[
C_{1/4 \text{ cercle}} \approx 3 \times 3{,}1416 \approx 9{,}42 \, \text{cm}
\]

Le périmètre de la figure verte est donc:
\[ \text{P}_{\text{figure verte}} = AC + AB + C_{1/4 \text{ cercle}} = 4{,}31 + 5{,}86 + 9{,}42 \approx 19{,}59 \, \text{cm} \]

4. Convertir :
\[
7\,456{,}37 \, \text{cm} = \frac{7\,456{,}37}{1\,000} \, \text{dam} = 74{,}5637 \, \text{dam}
\]
\[
0{,}000\,065 \, \text{km} = 0{,}000\,065 \times 100\,000 \, \text{cm} = 6{,}5 \, \text{cm}
\]
\[
0{,}004 \, \text{hm} = 0{,}004 \times 100\,000 \, \text{mm} = 400 \, \text{mm}
\]
\[
7\,456{,}37 \, \text{cm}^2 = \frac{7\,456{,}37}{1\,000^2} \, \text{dam}^2 = 0{,}074\,563\,7 \, \text{dam}^2
\]
\[
0{,}000\,065 \, \text{km}^2 = 0{,}000\,065 \times (100\,000)^2 \, \text{cm}^2 = 6\,500\,000 \, \text{cm}^2
\]
\[
0{,}004 \, \text{hm}^2 = 0{,}004 \times (100\,000)^2 \, \text{mm}^2 = 400\,000\,000 \, \text{mm}^2
\]

Exercice 45 : aires de carrés imbriqués
Pour résoudre cet exercice, suivons les étapes suivantes :

1. Notons que \(AB = 4 \, \text{cm}\) car c’est le côté du carré \(ABCD\).
2. Observons les triangles \( \triangle AIH, \triangle BJI, \triangle DHK, \triangle CKJ \). Ces triangles sont équilatéraux et chacun possède un angle droit.

Puisque les triangles sont égaux, on peut utiliser la symétrie pour déterminer les mesures dont nous avons besoin.

3. On sait que \(IA = 1 \, \text{cm}\), ce qui signifie que l’autre côté du carré \(ABCD\) est coupé en \(4\, \text{cm} – 1\, \text{cm} = 3\, \text{cm}\) à partir du point \(J\) sur le segment \(AI\).
4. Comme ces triangles sont égaux et se partagent le même angle, ils divisent le carré en quatre triangles congruents plus le carré central \(HIJK\).

5. On peut former les équations suivantes pour trouver la longueur d’un côté du carré \(HIJK\):

\[
\text{Prenons la diagonale du carré } HIJK \text{ sur une base du triangle rectangle.}
\]

Soit \(a\) le côté de \(HIJK\), alors la diagonale de \(HIJK\) est donnée par \(a\sqrt{2}\).

Mais puisque l’on considère le carré \(ABCD\), la diagonale de ces triangles couvre toute la longueur de l’autre côté du grand carré, soit \(4 \, \text{cm}\).

\[
\text{Considérons le potentiel segment total :} A \to I \; (1\, \text{cm}) + \text {D \to C (2 \cm (symetrie deux triangles 1cm + HIJK)))}.
\]

Donc, la somme des trajets respectifs.

\[
a\sqrt{2} = 4 – 2 \Rightarrow a\sqrt{2} = 2 \Rightarrow a = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\, \text{cm}
\]

6. Maintenant calculons l’aire de \(HIJK\).

La formule de l’aire d’un carré est:

\[
\text{Aire} = a^2
\]

En substituant \(a = \sqrt{2}\):

\[
\text{Aire} = (\sqrt{2})^2 = 2 \, \text{cm}^2
\]

Ainsi, l’aire de \(HIJK\) est \( \boxed{2 \, \text{cm}^2 } \).