Aires et périmètres de figures : corrigés des exercices de maths en 6ème.

Exercice 1 : calcul de périmètre.
\begin{array}{l}%0D%0A%0D%0ALe\,perimetre\,de\,la\,figure\,est\,constitue\,de\,trois\,parties\,%3A\\%0D%0A\\,\\,%C2%B7\,le\,demi-cercle\,grand\,externe%2C\\%0D%0A\\,\\,%C2%B7\,le\,demi-cercle\,petit\,interne%2C\\%0D%0A\\,\\,%C2%B7\,et\,deux\,segments\,horizontaux\,en\,bas.\\%0D%0A%0D%0A1.\,Calcul\,du\,demi-cercle\,externe\,%3A\\%0D%0A\\,\\,Diametre\,=\,10%2C4\,cm\\%0D%0A\\,\\,Rayon\,=\,\frac{10%2C4{2}\,=\,5%2C2\,\,cm}\\%0D%0A\\,\\,Circonference\,d'un\,cercle\,complet\,=\,2\pi\,\times  \,\text{rayon\,=\,2\,\times  \,3%2C14\,\times  \,5%2C2}\\%0D%0A\\,\\,Donc\,la\,circonference\,complete\,du\,cercle\,vaut\,%3A\,32%2C656\,\text{\,cm}\\%0D%0A\\,\\,Comme\,nous\,avons\,seulement\,un\,demi-cercle%2C\,sa\,longueur\,est\,%3A\,\frac{32%2C656{2}\,=\,16%2C328\,\,cm}\\%0D%0A%0D%0A2.\,Calcul\,du\,demi-cercle\,interne\,%3A\\%0D%0A\\,\\,Diametre\,=\,2%2C6\,cm\\%0D%0A\\,\\,Rayon\,=\,\frac{2%2C6{2}\,=\,1%2C3\,\,cm}\\%0D%0A\\,\\,Circonference\,d'un\,cercle\,complet\,%3A\,2\pi\,\times  \,1%2C3\,=\,2\,\times  \,3%2C14\,\times  \,1%2C3\,=\,8%2C164\,\text{\,cm}\\%0D%0A\\,\\,Comme\,nous\,avons\,egalement\,un\,demi-cercle%2C\,sa\,longueur\,est\,%3A\,\frac{8%2C164{2}\,=\,4%2C082\,\,cm}\\%0D%0A%0D%0A3.\,Les\,segments\,horizontaux\,%3A\\%0D%0A\\,\\,Il\,y\,a\,deux\,segments\,de\,longueur\,egale\,a\,(10%2C4\,-\,2%2C6)\,=\,7%2C8\,\text{\,cm}\\%0D%0A%0D%0ADonc%2C\,chaque\,segment\,a\,une\,longueur\,%3A\\%0D%0A\\,\\,\frac{7%2C8{2}\,=\,3%2C9\,\,cm}\\%0D%0A%0D%0A4.\,Perimetre\,total\,de\,la\,figure\,%3A\,\\%0D%0A\\,\\,\text{Perimetre\,=\,Demi-cercle\,grand\,%2B\,Demi-cercle\,petit\,%2B\,2\,\times  \,Segment\,horizontal}\\%0D%0A\\,\\,\\,\\,=\,16%2C328\,%2B\,4%2C082\,%2B\,2\,\times  \,3%2C9\\%0D%0A\\,\\,\\,\\,=\,16%2C328\,%2B\,4%2C082\,%2B\,7%2C8\\%0D%0A\\,\\,\\,\\,=\,28%2C21\,\,cm%0D%0A\end{array}

28%2C21\,\%2C\,cm

Exercice 2 : aires et périmètres, formules et constructions
\begin{align*}
1.\ 8 \text{ km en m :} \\
8 \text{ km} = 8 \times 1000 = 8000 \text{ m} \\
\\
2.\ 7,5 \text{ m en mm :} \\
7,5 \text{ m} = 7,5 \times 1000 = 7500 \text{ mm} \\
\\
3.\ 98,2 \text{ hm en dm :} \\
98,2 \text{ hm} = 98,2 \times 1000 = 98200 \text{ dm} \\
\\
4.\ 2 \text{ m en km :} \\
2 \text{ m} = 2 : 1000 = 0,002 \text{ km} \\
\\
5.\ 3000 \text{ cm en km :} \\
3000 \text{ cm} = 3000 : 100000 = 0,03 \text{ km} \\
\\
6.\ 650000 \text{ cm en hm :} \\
650000 \text{ cm} = 650000 : 10000 = 65 \text{ hm} \\
\\
7.\ 0,05 \text{ km en m :} \\
0,05 \text{ km} = 0,05 \times 1000 = 50 \text{ m} \\
\\
8.\ 7,25 \text{ km en cm :} \\
7,25 \text{ km} = 7,25 \times 100000 = 725000 \text{ cm} \\
\\
9.\ 7 \text{ mm en hm :} \\
7 \text{ mm} = 7 : 1000000 = 0,000007 \text{ hm} \\
\\
10.\ 20 \text{ m en dam :} \\
20 \text{ m} = 20 : 10 = 2 \text{ dam}
\end{align*}

Exercice 3 : formules des périmètres des figures.

Pour le carré :
P\,=\,4\,\times  \,C
C est la longueur d’un côté du carré.

Pour le rectangle :
P\,=\,2\,\times  \,(L\,%2B\,l)
L est la longueur et l est la largeur du rectangle.

Pour le cercle (avec le rayon R) :
P\,=\,2\,\pi\,R
R est le rayon du cercle.

Pour le cercle (avec le diamètre D) :
P\,=\,\pi\,D
D est le diamètre du cercle.

Exercice 4 : formules des aires d’une figure géométrique .
\begin{array}{%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0AFigure\,%26\,Formule\,pour\,l'aire\,\,A\,\\%0D%0A\hline%0D%0ACarre\,%26\,A\,=\,C^2\,\\%0D%0A\hline%0D%0ARectangle\,%26\,A\,=\,L\,\times  \,l\,\\%0D%0A\hline%0D%0ATriangle\,rectangle\,%26\,A\,=\,\frac{1}{2}\,\times  \,L\,\times  \,h\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}

Exercice 5 : déterminer l’aire
Correction :

Pour chaque figure, nous allons compter le nombre de carreaux pour déterminer l’aire.

1. Figure\,A :
Le losange est composé de 8 carreaux.

Aire\,de\,la\,Figure\,A\,=\,8\,\%2C\,carreaux

2. Figure\,B :
Le triangle est formé d’un seul triangle équilatéral complétant ainsi deux demi-triangles. Le calcul est donc :

Aire\,de\,la\,Figure\,B\,=\,9\,\%2C\,carreaux

3. Figure\,C :
La clé comprend 12 carreaux en total.

Aire\,de\,la\,Figure\,C\,=\,12\,\%2C\,carreaux

4. Figure\,D :
Le triangle se compose de 4 carreaux.

Aire\,de\,la\,Figure\,D\,=\,4\,\%2C\,carreaux

5. Figure\,E :
La figure est composée d’un rectangle (6 carreaux) moins un triangle (2 carreaux), soit :

6\,-\,2\,=\,4\,\%2C\,carreaux

Aire\,de\,la\,Figure\,E\,=\,4\,\%2C\,carreaux

6. Figure\,F :
Le trapèze rectangulaire est formé de 8 carreaux.

Aire\,de\,la\,Figure\,F\,=\,8\,\%2C\,carreaux

Recapitulatif :
– Aire de la Figure A : 8 carreaux
– Aire de la Figure B : 9 carreaux
– Aire de la Figure C : 12 carreaux
– Aire de la Figure D : 4 carreaux
– Aire de la Figure E : 4 carreaux
– Aire de la Figure F : 8 carreaux

Exercice 6 : calculer le périmètre

Correction :

Figure A (rectangle) : \
Perimetre\,=\,2\,\times  \,(longueur\,%2B\,largeur)\,\\%0D%0AP_A\,=\,2\,\times  \,(6\%2Ccm\,%2B\,3\%2Ccm)\,=\,2\,\times  \,9\%2Ccm\,=\,18\%2Ccm\,\

Figure B (triangle) : \
Perimetre\,=\,cote_1\,%2B\,cote_2\,%2B\,cote_3\,\\%0D%0AP_B\,=\,4.5\%2Ccm\,%2B\,4\%2Ccm\,%2B\,2.5\%2Ccm\,=\,11\%2Ccm\,\

Figure C (triangle) : \
Perimetre\,=\,base\,%2B\,cote_1\,%2B\,cote_2\,\\%0D%0AP_C\,=\,2\%2Ccm\,%2B\,3.2\%2Ccm\,%2B\,3.2\%2Ccm\,=\,8.4\%2Ccm\

Figure D (quadrilatère irrégulier) :
Perimetre\,=\,cote_1\,%2B\,cote_2\,%2B\,cote_3\,%2B\,cote_4\,\\%0D%0AP_D\,=\,5\%2Ccm\,%2B\,4.5\%2Ccm\,%2B\,6\%2Ccm\,%2B\,6\%2Ccm\,=\,21.5\%2Ccm\,\

Figure E (triangle) : \
Perimetre\,=\,cote_1\,%2B\,cote_2\,%2B\,cote_3\,\\%0D%0AP_E\,=\,3.7\%2Ccm\,%2B\,4\%2Ccm\,%2B\,5\%2Ccm\,=\,12.7\%2Ccm\

Figure F (carré) :
Perimetre\,=\,4\,\times  \,cote\,\\%0D%0AP_F\,=\,4\,\times  \,3\,\%2C\,cm\,=\,12\,\%2C\,cm\,\

Figure G (quadrilatère irrégulier) :
Perimetre\,=\,cote_1\,%2B\,cote_2\,%2B\,cote_3\,%2B\,cote_4\,\\%0D%0AP_G\,=\,6.1\%2Ccm\,%2B\,9.1\%2Ccm\,%2B\,8\%2Ccm\,%2B\,6.3\%2Ccm\,=\,29.5\%2Ccm\

Exercice 7 : aire d’un triangle
Correction\,de\,l'exercice%3A

Pour calculer l’aire de chaque triangle, nous utiliserons la formule :
Aire\,=\,\frac{1}{2}\,\times  \,base\,\times  \,hauteur

1. Triangle\,%24ABC%24\,%3A
Base\,=\,8\,\%2C\,cm
Hauteur\,=\,3%2C9\,\%2C\,cm
Aire\,=\,\frac{1}{2}\,\times  \,8\,\times  \,3%2C9\,=\,\frac{1}{2}\,\times  \,31%2C2\,=\,15%2C6\,\%2C\,cm^2

2. Triangle\,%24DEF%24\,%3A
Base\,=\,16\,\%2C\,cm
Hauteur\,=\,15\,\%2C\,cm
Aire\,=\,\frac{1}{2}\,\times  \,16\,\times  \,15\,=\,\frac{1}{2}\,\times  \,240\,=\,120\,\%2C\,cm^2

3. Triangle\,%24MNO%24\,%3A
Base\,=\,4%2C3\,\%2C\,cm
Hauteur\,=\,5%2C2\,\%2C\,cm
Aire\,=\,\frac{1}{2}\,\times  \,4%2C3\,\times  \,5%2C2\,=\,\frac{1}{2}\,\times  \,22%2C36\,=\,11%2C18\,\%2C\,cm^2

4. Triangle\,%24RSL%24\,%3A
Base\,=\,2\,\%2C\,cm
Hauteur\,=\,1%2C6\,\%2C\,cm
Aire\,=\,\frac{1}{2}\,\times  \,2\,\times  \,1%2C6\,=\,\frac{1}{2}\,\times  \,3%2C2\,=\,1%2C6\,\%2C\,cm^2

5. Triangle\,%24JKM%24\,%3A
Base\,=\,5\,\%2C\,cm
Hauteur\,=\,2%2C2\,\%2C\,cm
Aire\,=\,\frac{1}{2}\,\times  \,5\,\times  \,2%2C2\,=\,\frac{1}{2}\,\times  \,11\,=\,5%2C5\,\%2C\,cm^2

15%2C6\,\%2C\,cm^2%2C\,\%2C\,120\,\%2C\,cm^2%2C\,\%2C\,11%2C18\,\%2C\,cm^2%2C\,\%2C\,1%2C6\,\%2C\,cm^2%2C\,\%2C\,5%2C5\,\%2C\,cm^2

Exercice 8 : convertir les aires
Correction de l’exercice :

a. 15\,\%2C\,mm^2
1\,\%2C\,mm^2\,=\,0{%2C}01\,\%2C\,cm^2
15\,\%2C\,mm^2\,=\,15\,\times  \,0{%2C}01\,\%2C\,cm^2\,=\,0{%2C}15\,\%2C\,cm^2

b. 28\,\%2C\,dm^2
1\,\%2C\,dm^2\,=\,100\,\%2C\,cm^2
28\,\%2C\,dm^2\,=\,28\,\times  \,100\,\%2C\,cm^2\,=\,2800\,\%2C\,cm^2

c. 17\%2C300\,\%2C\,mm^2
1\,\%2C\,mm^2\,=\,0{%2C}01\,\%2C\,cm^2
17\%2C300\,\%2C\,mm^2\,=\,17\%2C300\,\times  \,0{%2C}01\,\%2C\,cm^2\,=\,173\,\%2C\,cm^2

d. 73{%2C}1\,\%2C\,m^2
1\,\%2C\,m^2\,=\,10\%2C000\,\%2C\,cm^2
73{%2C}1\,\%2C\,m^2\,=\,73{%2C}1\,\times  \,10\%2C000\,\%2C\,cm^2\,=\,731\%2C000\,\%2C\,cm^2

e. 0{%2C}004\,\%2C\,m^2
1\,\%2C\,m^2\,=\,10\%2C000\,\%2C\,cm^2
0{%2C}004\,\%2C\,m^2\,=\,0{%2C}004\,\times  \,10\%2C000\,\%2C\,cm^2\,=\,40\,\%2C\,cm^2

f. 27{%2C}008\,\%2C\,dam^2
1\,\%2C\,dam^2\,=\,100\%2C000\,cm^2
27{%2C}008\,\%2C\,dam^2\,=\,27{%2C}008\,\times  \,100\%2C000\,\%2C\,cm^2\,=\,2\%2C700\%2C800\,\%2C\,cm^2

g. 0{%2C}08\,\%2C\,mm^2
1\,\%2C\,mm^2\,=\,0{%2C}01\,\%2C\,cm^2
0{%2C}08\,\%2C\,mm^2\,=\,0{%2C}08\,\times  \,0{%2C}01\,\%2C\,cm^2\,=\,0{%2C}0008\,\%2C\,cm^2

h. 13\,\%2C\,a
1\,\%2C\,a\,=\,1\,m^2\,\times  \,100\,\to\,1\,\,a\,=\,100\,\%2Cm^2
13\,\%2C\,a\,=\,13\,\times  \,100\,\%2C\,m^2\,=\,1\%2C300\,\%2C\,m^2
1300\,\%2C\,m^2\,=\,1300\,\times  \,10\%2C000\,\%2C\,cm^2\,=\,13\%2C000\%2C000\,\%2C\,cm^2

i. 0{%2C}0105\,\%2C\,a
1\,\%2C\,a\,=\,1\,m^2\,\times  \,100\,\to\,1\,\,a\,=\,100\,\%2Cm^2
0{%2C}0105\,\%2C\,a\,=\,0{%2C}0105\,\times  \,100\,\%2C\,m^2\,=\,1{%2C}05\,\%2C\,m^2
1{%2C}05\,\%2C\,m^2\,=\,1{%2C}05\,\times  \,10\%2C000\,\%2C\,cm^2\,=\,10\%2C500\,\%2C\,cm^2

Exercice 9 : recopier et complèter
\begin{align*}
a. \quad 4 \, \text{dam}^2 = 400 \, \text{m}^2 \\
b. \quad 15 \, \text{hm}^2 = 1 \, 500 \, 000 \, \text{m}^2 \\
c. \quad 5,1 \, \text{cm}^2 = 510 \, \text{mm}^2 \\
d. \quad 1 \, 350 \, \text{mm}^2 = 13,5 \, \text{cm}^2 \\
e. \quad 5,2 \, \text{km}^2 = 5 \, 200 \, 000 \, \text{m}^2 \\
f. \quad 0,7 \, \text{m}^2 = 0,07 \, \text{dam}^2 \\
g. \quad 320 \, a = 32 \, 000 \, \text{m}^2 \\
h. \quad 2,5 \, \text{ha} = 25 \, 000 \, \text{m}^2 \\
i. \quad 15 \, 300 \, \text{mm}^2 = 153 \, \text{cm}^2 = 1,53 \, \text{dm}^2 = 0,0153 \, \text{m}^2
\end{align*}

Exercice 10 : aire d’un morceau de tissus
Pour calculer l’aire de ce trapèze, nous devons utiliser la formule suivante :

A\,=\,\frac{1}{2}\,\times  \,(b_1\,%2B\,b_2)\,\times  \,h

Où :
b_1 est la longueur de la grande base,
b_2 est la longueur de la petite base,
h est la hauteur.

Dans cette figure :
b_1\,=\,5\,%2B\,1\,%2B\,1.5\,=\,7.5\,\%2C\,m,
b_2\,=\,5\,\%2C\,m,
h\,=\,6\,\%2C\,m.

Substituons les valeurs dans la formule :

A\,=\,\frac{1}{2}\,\times  \,(7.5\,\%2C\,m\,%2B\,5\,\%2C\,m)\,\times  \,6\,\%2C\,m

A\,=\,\frac{1}{2}\,\times  \,12.5\,\%2C\,m\,\times  \,6\,\%2C\,m

A\,=\,\frac{1}{2}\,\times  \,75\,\%2C\,m^2

A\,=\,37.5\,\%2C\,m^2

Ainsi, l’aire de ce morceau de tissu est de 37.5\,\%2C\,m^2.

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