Fractions : corrigés des exercices de maths en 6ème.

Exercice 11 : portions coloriées
Voici la correction de l’exercice :

a. Figure colorée : 4/8
b. Figure colorée : 2/8
c. Figure colorée : 4/8

\[
\frac{4}{8} = \frac{1}{2} \quad (\text{a} \quad \ \quad \text{c})
\]

d. Figure colorée : 3/8
e. Figure colorée : 1/2
f. Figure colorée : 3/8

\[
\frac{3}{8} \quad (\text{d} \quad \ \quad \text{f})
\]

g. Figure colorée : 5/8
h. Figure colorée : 2/3
i. Figure colorée : 5/8

\[
\frac{5}{8} \quad (\text{g} \quad \ \quad \text{i})
\]

Exercice 12 : résultat à la calculatrice
a. Pour le quotient \(\frac{1}{13}\), la calculatrice affiche \(0,076923076\). On remarque que les décimales suivent un cycle répétitif : \(076923\). Donc, les dix décimales suivantes de ce quotient seront \(9230769230\).

b. Voici les résultats affichés par la calculatrice pour les quotients de \(\frac{2}{13}\) à \(\frac{12}{13}\) :
\[
\frac{2}{13} = 0,\overline{153846}
\]
\[
\frac{3}{13} = 0,\overline{230769}
\]
\[
\frac{4}{13} = 0,\overline{307692}
\]
\[
\frac{5}{13} = 0,\overline{384615}
\]
\[
\frac{6}{13} = 0,\overline{461538}
\]
\[
\frac{7}{13} = 0,\overline{538461}
\]
\[
\frac{8}{13} = 0,\overline{615384}
\]
\[
\frac{9}{13} = 0,\overline{692307}
\]
\[
\frac{10}{13} = 0,\overline{769230}
\]
\[
\frac{11}{13} = 0,\overline{846153}
\]
\[
\frac{12}{13} = 0,\overline{923076}
\]

c. Pour chaque quotient, la période de la partie décimale est de 6 chiffres. En classant ces 12 quotients en deux familles basées sur les séquences récurrentes :
1. Première famille : les quotients avec des périodes répétitives qui commencent par un chiffre croissant (modulo 13) de unit digit zéro d’origine.
\[
\frac{1}{13} = 0,\overline{076923}
\]
\[
\frac{2}{13} = 0,\overline{153846}
\]
\[
\frac{3}{13} = 0,\overline{230769}
\]
\[
\frac{4}{13} = 0,\overline{307692}
\]
\[
\frac{5}{13} = 0,\overline{384615}
\]
\[
\frac{6}{13} = 0,\overline{461538}
\]

2. Seconde famille : les quotients qui suivent la symétrie opposée (modulo 13) :
\[
\frac{7}{13} = 0,\overline{538461}
\]
\[
\frac{8}{13} = 0,\overline{615384}
\]
\[
\frac{9}{13} = 0,\overline{692307}
\]
\[
\frac{10}{13} = 0,\overline{769230}
\]
\[
\frac{11}{13} = 0,\overline{846153}
\]
\[
\frac{12}{13} = 0,\overline{923076}
\]

La différence principale de choix des familles ici repose sur le début du modèle de répétition, ce qui crée les deux catégories distinctes.

Exercice 13 : compléter et fractions
a. \[
\frac{7}{3} = \frac{14}{6}
\]

b. \[
\frac{1}{4} = \frac{20}{80}
\]

c. \[
\frac{7}{5} = \frac{21}{15}
\]

d. \[
\frac{10}{9} = \frac{50}{45}
\]

e. \[
\frac{11}{8} = \frac{88}{64}
\]

f. \[
\frac{3}{4} = \frac{75}{100}
\]

Exercice 14 : ecrire des fractions
\[
\text{a.} \quad \frac{1}{10} = \frac{1 \times 10}{10 \times 10} = \frac{10}{100}
\]
\[
\text{b.} \quad \frac{7}{50} = \frac{7 \times 2}{50 \times 2} = \frac{14}{100}
\]
\[
\text{c.} \quad \frac{9}{20} = \frac{9 \times 5}{20 \times 5} = \frac{45}{100}
\]
\[
\text{d.} \quad \frac{18}{5} = \frac{18 \times 20}{5 \times 20} = \frac{360}{100}
\]
\[
\text{e.} \quad \frac{41}{25} = \frac{41 \times 4}{25 \times 4} = \frac{164}{100}
\]
\[
\text{f.} \quad \frac{5}{4} = \frac{5 \times 25}{4 \times 25} = \frac{125}{100}
\]

Exercice 15 : des égalités de fractions
\[
\begin{array}{ll}
\text{a.} \frac{10}{6} = \frac{5}{3} = \frac{25}{15} \\
\text{b.} \frac{12}{15} = \frac{4}{5} = \frac{8}{10} \\
\text{c.} \frac{27}{18} = \frac{3}{2} = \frac{15}{10} \\
\text{d.} \frac{45}{60} = \frac{3}{4} = \frac{24}{32} \\
\text{e.} \frac{26}{65} = \frac{2}{5} = \frac{18}{45} \\
\text{f.} \frac{49}{42} = \frac{7}{6} = \frac{56}{48}
\end{array}
\]

Exercice 16 : trouver les nombres égaux
Pour résoudre cet exercice, nous devons déterminer les fractions et les nombres décimaux qui sont égaux et les colorier de la même couleur. Commençons par simplifier ou convertir les fractions et les nombres décimaux:

1. Première ligne:
\[
\frac{7}{4}, \quad \frac{3}{2}, \quad \frac{21}{49}, \quad \frac{1,2}{0,5}
\]

– \(\frac{7}{4} = 1{,}75\)
– \(\frac{3}{2} = 1{,}5\)
– \(\frac{21}{49} = \frac{3}{7} \approx 0{,}4286\)
– \(\frac{1,2}{0,5} = 2,4\)

2. Deuxième ligne:
\[
\frac{3}{7}, \quad \frac{33}{100}, \quad \frac{14}{8}, \quad \frac{15}{10}
\]

– \(\frac{3}{7} \approx 0{,}4286\)
– \(\frac{33}{100} = 0{,}33\)
– \(\frac{14}{8} = \frac{7}{4} = 1{,}75\)
– \(\frac{15}{10} = \frac{3}{2} = 1{,}5\)

3. Troisième ligne:
\[
\frac{12}{5}, \quad \frac{28}{16}, \quad 1{,}5, \quad 0{,}33
\]

– \(\frac{12}{5} = 2{,}4\)
– \(\frac{28}{16} = \frac{7}{4} = 1{,}75\)
– \(1{,}5\)
– \(0{,}33\)

4. Quatrième ligne:
\[
\frac{9}{49}, \quad \frac{1}{3}, \quad \frac{18}{12}, \quad \frac{45}{105}
\]

– \(\frac{9}{49} = \frac{3}{7} \approx 0{,}4286\)
– \(\frac{1}{3} \approx 0{,}3333\)
– \(\frac{18}{12} = \frac{3}{2} = 1{,}5\)
– \(\frac{45}{105} = \frac{3}{7} \approx 0{,}4286\)

Après avoir simplifié toutes les fractions, nous pouvons regrouper les nombres égaux :

| \(\frac{7}{4}\) (1,75) | \(\frac{3}{2}\) (1,5) | \(\frac{21}{49}\) (0,4286) | \(\frac{1,2}{0,5}\) (2,4) |
| ———————-| ——————–| ————————| ———————-|
| \(\frac{3}{7}\) (0,4286) | \(\frac{33}{100}\) (0,33) | \(\frac{14}{8}\) (1,75) | \(\frac{15}{10}\) (1,5) |
| \(\frac{12}{5}\) (2,4) | \(\frac{28}{16}\) (1,75) | 1,5 | 0,33 |
| \(\frac{9}{49}\) (0,4286) | \(\frac{1}{3}\) (0,3333) | \(\frac{18}{12}\) (1,5) | \(\frac{45}{105}\) (0,4286) |

Colorions de la même couleur les cases contenant des valeurs égales :

– \[\]1,75 (rouge)\[\]: \(\frac{7}{4}\), \(\frac{14}{8}\), \(\frac{28}{16}\)
– \[\]1,5 (bleu)\[\]: \(\frac{3}{2}\), \(\frac{15}{10}\), 1,5, \(\frac{18}{12}\)
– \[\]0,4286 (jaune)\[\]: \(\frac{21}{49}\), \(\frac{3}{7}\), \(\frac{9}{49}\), \(\frac{45}{105}\)
– \[\]2,4 (vert)\[\]: \(\frac{1,2}{0,5}\), \(\frac{12}{5}\)
– \[\]0,33 (orange)\[\]: \(\frac{33}{100}\), 0,33
– \[\]0,3333 (violet)\[\]: \(\frac{1}{3}\)

Voici la correction avec les simplifications et les regroupements des fractions et des décimaux égaux.

Exercice 17 : trouver l’intrus par mi les fractions
a.
\[
\frac{80}{100} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}
\]
\[
\frac{16}{20} = \frac{4}{5}
\]
\[
\frac{4}{5} = \frac{4}{5}
\]
\[
\frac{34}{40} = \frac{17}{20}
\]
\[
\frac{8}{10} = \frac{4}{5}
\]
L’intrus est \(\frac{34}{40}\) car ce n’est pas égal à \(\frac{4}{5}\).

b.
\[
\frac{12}{16} = \frac{3}{4}
\]
\[
\frac{15}{25} = \frac{3}{5}
\]
\[
\frac{3}{4} = \frac{3}{4}
\]
\[
\frac{75}{100} = \frac{3}{4}
\]
\[
\frac{21}{28} = \frac{3}{4}
\]
L’intrus est \(\frac{15}{25}\) car ce n’est pas égal à \(\frac{3}{4}\).

c.
\[
\frac{91}{115} = \frac{13}{15}
\]
\[
\frac{65}{75} = \frac{13}{15}
\]
\[
\frac{130}{150} = \frac{13}{15}
\]
\[
\frac{13}{15} = \frac{13}{15}
\]
\[
\frac{26}{30} = \frac{13}{15}
\]
L’intrus est \(\frac{91}{115}\) car toutes les autres fractions sont égales à \(\frac{13}{15}\).

Exercice 18 : damier et fractions
a. Voici les damiers pour des carrés de côté 5, 6 et 7 carreaux :

Pour un carré de côté 5 :
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\blacksquare \square \blacksquare \square \blacksquare \\
\square \blacksquare \square \blacksquare \square \\
\blacksquare \square \blacksquare \square \blacksquare \\
\square \blacksquare \square \blacksquare \square \\
\blacksquare \square \blacksquare \square \blacksquare \\
\hline
\end{array}
\]

Pour un carré de côté 6 :
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\blacksquare \square \blacksquare \square \blacksquare \square \\
\square \blacksquare \square \blacksquare \square \blacksquare \\
\blacksquare \square \blacksquare \square \blacksquare \square \\
\square \blacksquare \square \blacksquare \square \blacksquare \\
\blacksquare \square \blacksquare \square \blacksquare \square \\
\square \blacksquare \square \blacksquare \square \blacksquare \\
\hline
\end{array}
\]

Pour un carré de côté 7 :
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\blacksquare \square \blacksquare \square \blacksquare \square \blacksquare \\
\square \blacksquare \square \blacksquare \square \blacksquare \square \\
\blacksquare \square \blacksquare \square \blacksquare \square \blacksquare \\
\square \blacksquare \square \blacksquare \square \blacksquare \square \\
\blacksquare \square \blacksquare \square \blacksquare \square \blacksquare \\
\square \blacksquare \square \blacksquare \square \blacksquare \square \\
\blacksquare \square \blacksquare \square \blacksquare \square \blacksquare \\
\hline
\end{array}
\]

b. Calcul des fractions des cases noires pour chaque damier :

Pour un carré de côté \( 2 \):
\[
\frac{2 \times 2}{2} = \frac{4}{2} = 2
\]
Donc, la fraction est \(\frac{2}{4} = \frac{1}{2}\).

Pour un carré de côté \( 4 \):
\[
\frac{4 \times 4}{2} = \frac{16}{2} = 8
\]
Donc, la fraction est \(\frac{8}{16} = \frac{1}{2}\).

Pour un carré de côté \( 3 \):
\[
\frac{3 \times 3}{2} = \frac{9}{2}
\]
La fraction est \(\frac{4.5}{9}\), mais comme ça doit être des cases entières, \(4\) cases noires sur \(9\), \(\frac{4}{9}\).

Pour un carré de côté \( 5 \):
\[
\frac{5 \times 5}{2} = \frac{25}{2}
\]
Donc approximativement \(\frac{13}{25}\).

Pour un carré de côté \( 6 \):
\[
\frac{6 \times 6}{2} = \frac{36}{2} = 18
\]
Donc, la fraction est \(\frac{18}{36} = \frac{1}{2}\).

Pour un carré de côté \( 7 \):
\[
\frac{7 \times 7}{2} = \frac{49}{2}
Fonction similaire à \(\frac{25}{49}\)
\]

c. Les fractions \(\frac{1}{2}\) sont égales pour les damiers de côté \(2\), \(4\), et \(6\).

d. En considérant les damiers \(7\), \(8\) et \(9\) et en continuant la même logique, on trouve encore \(1/2\).

Exercice 19 : simplifier des fractions
\[
\begin{array}{l}
\text{a.} \quad \frac{45}{105} \\
\text{Pour simplifier cette fraction, déterminons le plus grand commun diviseur (PGCD) de 45 et 105.} \\
45 = 3^2 \cdot 5 \\
105 = 3 \cdot 5 \cdot 7 \\
\text{Le PGCD est } 3 \cdot 5 = 15. \\
\frac{45}{105} = \frac{45 : 15}{105 : 15} = \frac{3}{7} \\
\text{La fraction } \frac{45}{105} \text{ peut donc être simplifiée en } \frac{3}{7}.

\vspace{0.3cm}

\text{b.} \quad \frac{140}{90} \\
\text{Pour simplifier cette fraction, déterminons le PGCD de 140 et 90.} \\
140 = 2^2 \cdot 5 \cdot 7 \\
90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 \\
\text{Le PGCD est } 2 \cdot 5 = 10. \\
\frac{140}{90} = \frac{140 : 10}{90 : 10} = \frac{14}{9} \\
\text{La fraction } \frac{140}{90} \text{ peut donc être simplifiée en } \frac{14}{9}.

\vspace{0.3cm}

\text{c.} \quad \frac{97}{3} \\
\text{Pour cette fraction, 97 est un nombre premier et n’est divisible que par 1 et 97.} \\
\text{Il n’y a pas de diviseur commun autre que 1 avec le dénominateur.} \\
\text{La fraction } \frac{97}{3} \text{ ne peut pas être simplifiée.}

\vspace{0.3cm}

\text{d.} \quad \frac{123}{45} \\
\text{Pour simplifier cette fraction, déterminons le PGCD de 123 et 45.} \\
123 = 3 \cdot 41 \\
45 = 3^2 \cdot 5 \\
\text{Le PGCD est } 3. \\
\frac{123}{45} = \frac{123 : 3}{45 : 3} = \frac{41}{15} \\
\text{La fraction } \frac{123}{45} \text{ peut donc être simplifiée en } \frac{41}{15}.

\vspace{0.3cm}

\text{e.} \quad \frac{25}{46} \\
\text{Pour cette fraction, 25 et 46 n’ont pas de diviseur commun autre que 1.} \\
25 = 5^2 \\
46 = 2 \cdot 23 \\
\text{La fraction } \frac{25}{46} \text{ ne peut pas être simplifiée.}
\end{array}
\]

Exercice 20 : liste des diviseurs et fractions
a.
Pour simplifier la fraction \(\frac{42}{56}\), nous devons trouver le plus grand commun diviseur (PGCD) de 42 et 56.

Les diviseurs de 42 sont : \(1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42\).
Les diviseurs de 56 sont : \(1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56\).
Le plus grand diviseur commun est 14.

On divise alors le numérateur et le dénominateur par 14 :
\[ \frac{42 : 14}{56 : 14} = \frac{3}{4} \]

Donc, \(\frac{42}{56}\) simplifié est \(\frac{3}{4}\).

b.
Pour simplifier la fraction \(\frac{56}{60}\), nous devons trouver le plus grand commun diviseur (PGCD) de 56 et 60.

Les diviseurs de 56 sont : \(1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56\).
Les diviseurs de 60 sont : \(1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60\).
Le plus grand diviseur commun est 4.

On divise alors le numérateur et le dénominateur par 4 :
\[ \frac{56 : 4}{60 : 4} = \frac{14}{15} \]

Donc, \(\frac{56}{60}\) simplifié est \(\frac{14}{15}\).

c.
Pour simplifier la fraction \(\frac{60}{42}\), nous devons trouver le plus grand commun diviseur (PGCD) de 60 et 42.

Les diviseurs de 60 sont : \(1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60\).
Les diviseurs de 42 sont : \(1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42\).
Le plus grand diviseur commun est 6.

On divise alors le numérateur et le dénominateur par 6 :
\[ \frac{60 : 6}{42 : 6} = \frac{10}{7} \]

Donc, \(\frac{60}{42}\) simplifié est \(\frac{10}{7}\).

Exercice 21 : pyramides de boules
a. Calcul des proportions:

Pour la première pyramide:
Il y a 1 boule verte et 2 boules au total.
\[
\text{Proportion} = \frac{1}{2}
\]

Pour la deuxième pyramide:
Il y a 3 boules vertes et 6 boules au total.
\[
\text{Proportion} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
\]

Pour la troisième pyramide:
Il y a 6 boules vertes et 10 boules au total.
\[
\text{Proportion} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}
\]

Pour la quatrième pyramide:
Il y a 10 boules vertes et 15 boules au total.
\[
\text{Proportion} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}
\]

b. Ajout des quatre pyramides suivantes et calcul des proportions:

Pour la cinquième pyramide:
Il y a 15 boules vertes et 21 boules au total.
\[
\text{Proportion} = \frac{15}{21} = \frac{5}{7}
\]

Pour la sixième pyramide:
Il y a 21 boules vertes et 28 boules au total.
\[
\text{Proportion} = \frac{21}{28} = \frac{3}{4}
\]

Pour la septième pyramide:
Il y a 28 boules vertes et 36 boules au total.
\[
\text{Proportion} = \frac{28}{36} = \frac{7}{9}
\]

Pour la huitième pyramide:
Il y a 36 boules vertes et 45 boules au total.
\[
\text{Proportion} = \frac{36}{45} = \frac{4}{5}
\]

c. Comparaison des proportions:
Les proportions égales sont observées dans les pyramides suivantes:
– 1ère et 2ème pyramides: \(\frac{1}{2}\)

Les autres proportions sont différentes.

Exercice 22 : tirelire et fractions
Hugo a 43,20 € dans sa tirelire. Il décide d’en donner les \(\frac{4}{9}\) à son petit frère Lukas. Combien Lukas va-t-il recevoir ?

Pour répondre à cette question, il suffit de calculer \(\frac{4}{9}\) de 43,20 €.

\[
\text{Montant donné} = \frac{4}{9} \times 43,20
\]

Calculons cette multiplication :

\[
\text{Montant donné} = \frac{4 \times 43,20}{9}
\]

Calculons d’abord \(4 \times 43,20 \) :

\[
4 \times 43,20 = 172,80
\]

Ensuite, divisons par 9 :

\[
\frac{172,80}{9} = 19,20
\]

Donc, Lukas va recevoir 19,20 €.

Exercice 23 : le cocktail de jus de fruits
Pour déterminer la quantité de chaque jus de fruits nécessaire pour préparer 81 cL du cocktail « Fruit des Îles », nous allons multiplier les fractions associées à chaque jus par la quantité totale de cocktail, soit 81 cL.

1. Jus de litchis:
\[ \frac{1}{6} \times 81 = \frac{81}{6} = 13.5 \text{ cL} \]

2. Jus de kiwis:
\[ \frac{2}{9} \times 81 = \frac{2 \times 81}{9} = \frac{162}{9} = 18 \text{ cL} \]

3. Jus de fruits de la passion:
\[ \frac{1}{3} \times 81 = \frac{81}{3} = 27 \text{ cL} \]

4. Jus de goyaves:
\[ \frac{5}{18} \times 81 = \frac{5 \times 81}{18} = \frac{405}{18} = 22.5 \text{ cL} \]

Les quantités de chaque jus pour préparer 81 cL du cocktail sont donc :

– Jus de litchis: 13.5 cL
– Jus de kiwis: 18 cL
– Jus de fruits de la passion: 27 cL
– Jus de goyaves: 22.5 cL

Exercice 24 : spectateurs dans une salle de cinéma
Pour trouver le nombre de spectateurs présents à cette séance, il faut calculer 76 % de 175.

\[
\text{Nombre de spectateurs} = 175 \times \frac{76}{100}
\]

Effectuons le calcul :

\[
175 \times \frac{76}{100} = 175 \times 0{,}76
\]

En effectuant la multiplication :

\[
175 \times 0{,}76 = 133
\]

Donc, le nombre de spectateurs présents à cette séance est de 133.

Exercice 25 : sweat dans un magasin
a. Calcul du montant de la réduction pour chaque sweat :

Pour chaque sweat, la réduction se calcule en multipliant le pourcentage de réduction par le prix initial de 32,40 €.

Sweat bleu (réduction de 20%) :
\[
0,20 \times 32,40 = 6,48 \,€
\]

Sweat noir (réduction de 40%) :
\[
0,40 \times 32,40 = 12,96 \,€
\]

Sweat blanc (réduction de 35%) :
\[
0,35 \times 32,40 = 11,34 \,€
\]

b. Calcul du nouveau prix de chaque sweat après la réduction :

Soustraction de la réduction au prix initial de 32,40 € pour chaque sweat.

Sweat bleu (réduction de 20%) :
\[
32,40 – 6,48 = 25,92 \,€
\]

Sweat noir (réduction de 40%) :
\[
32,40 – 12,96 = 19,44 \,€
\]

Sweat blanc (réduction de 35%) :
\[
32,40 – 11,34 = 21,06 \,€
\]

Exercice 26 : les aliments qui apportent de l’énergie
a. Quelle quantité d’énergie doit apporter le petit-déjeuner à un adolescent ? Et le dîner ?

Pour calculer la quantité d’énergie que le petit-déjeuner doit apporter, nous utilisons le pourcentage correspondant :
\[ \text{Énergie du petit-déjeuner} = \frac{25}{100} \times 12100 \, \text{kJ} = 0.25 \times 12100 \, \text{kJ} = 3025 \, \text{kJ}. \]

Pour le dîner :
\[ \text{Énergie du dîner} = \frac{35}{100} \times 12100 \, \text{kJ} = 0.35 \times 12100 \, \text{kJ} = 4235 \, \text{kJ}. \]

b. Reprends les questions précédentes pour une adolescente.

Pour une adolescente, nous utilisons également les pourcentages correspondants pour le petit-déjeuner et le dîner.

Pour le petit-déjeuner :
\[ \text{Énergie du petit-déjeuner} = \frac{25}{100} \times 10400 \, \text{kJ} = 0.25 \times 10400 \, \text{kJ} = 2600 \, \text{kJ}. \]

Pour le dîner :
\[ \text{Énergie du dîner} = \frac{35}{100} \times 10400 \, \text{kJ} = 0.35 \times 10400 \, \text{kJ} = 3640 \, \text{kJ}. \]

Exercice 27 : colorier les zones et fractions

{En rouge:}
\[
\frac{5}{3} = 1,6667 \implies \text{Sections: 1,5 (en haut à droite) et 5/3 (à gauche en bas)}
\]
{En vert:}
\[
\frac{5}{2} = 2,5 \implies \text{Section: 2,5 (en haut au centre-droite)}
\]
{En marron:}
\[
\frac{3}{2} = 1,5 \implies \text{Sections: 1,5 (en bas à droite) et 15/10 (au centre-droite)}
\]
{En noir:}
\[
\frac{5}{4} = 1,25 \implies \text{Section: 1,25 (en bas à droite)}
\]
{En jaune:}
\[
\frac{1}{3} = 0,3333 \implies \text{Section: 1/3 (centre-droit)}
\]
{En bleu:}
\[
\frac{2}{3} = 0,6667 \implies \text{Sections: 2/3 (milieu à gauche) et 20/30 (en haut à gauche)}
\]

Exercice 28 : un plan de bureau
a. Quelle est la longueur et la largeur de ce bureau dans la réalité ?

Échelle : \( \frac{1}{40} \) signifie que 1 cm sur le plan représente 40 cm dans la réalité.

Sur le plan, nous observons que:
– La longueur du bureau est de 7 carreaux.
– La largeur du bureau est de 5 carreaux.

Si chaque carreau mesure 1 cm, alors:
– Longueur en cm sur le plan: \( 7 \) cm
– Largeur en cm sur le plan: \( 5 \) cm

Dimensions dans la réalité:
– Longueur réelle \( = 7 \times 40 = 280 \) cm
– Largeur réelle \( = 5 \times 40 = 200 \) cm

Donc, la longueur réelle du bureau est de 280 cm et la largeur réelle est de 200 cm.

b. Sur une feuille à petits carreaux, reproduis un agrandissement de ce plan à l’échelle \( \frac{5}{3} \).

Nouvelle échelle de reproduction = \( \frac{5}{3} \times \frac{1}{40} = \frac{5}{120} = \frac{1}{24} \)

Chaque carreau sur le plan original est agrandi par un facteur de \( \frac{5}{3} \).

Les dimensions du bureau sur la feuille à petits carreaux seront:
– Nouvelle longueur en carreaux \( = 7 \times \frac{5}{3} = \frac{35}{3} = 11 \frac{2}{3} \approx 12 \) carreaux
– Nouvelle largeur en carreaux \( = 5 \times \frac{5}{3} = \frac{25}{3} = 8 \frac{1}{3} \approx 8.5 \) carreaux

Ainsi, pour reproduire l’agrandissement du bureau sur une feuille à petits carreaux, la longueur sera d’environ 12 carreaux et la largeur sera d’environ 8.5 carreaux.

Exercice 29 : reproduire et compléter les calculs
\[
\begin{array}{ccccccc}
108 \xrightarrow{\times \frac{1}{2}} 54 \xrightarrow{\times \frac{3}{5}} 32.4 \xrightarrow{\times \frac{7}{4}} 56.7 \\
\downarrow \updownarrow \times \frac{2}{3} \\
58 \xleftarrow{\times \frac{11}{6}} 31.5 \xrightarrow{\times \frac{5}{2}} 31.5 \xrightarrow{\times \frac{3}{5}}
\end{array}
\]

\[
\begin{aligned}
108 \times \frac{1}{2} = 54, \\
54 \times \frac{3}{5} = 32.4, \\
32.4 \times \frac{7}{4} = 56.7, \\
56.7 \times \frac{2}{3} = 37.8, \\
37.8 \times \frac{11}{6} = 69.3.
\end{aligned}
\]

Donc, les valeurs correctes sont les suivantes :

\[
\begin{array}{ccccccc}
108 \xrightarrow{\times \frac{1}{2}} 54 \xrightarrow{\times \frac{3}{5}} 32.4 \xrightarrow{\times \frac{7}{4}} 56.7 \\
\downarrow \updownarrow \times \frac{2}{3} \\
58 \xleftarrow{\times \frac{11}{6}} 31.5 \xrightarrow{\times \frac{5}{2}} 31.5 \xrightarrow{\times \frac{3}{5}}
\end{array}
\]

En somme, les cases à compléter sont :

\[
\begin{aligned}
108 \to 54 \to 32.4 \to 56.7 \to 31.5 \to 57.75.
\end{aligned}
\]

Exercice 30 : fractions et parties coloriées
a. \( \frac{1}{2} \)

b. \( \frac{3}{4} \)

c. \( \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)

d. \( \frac{4}{4} = 1 \)

e. \( \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)

f. \( \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)

g. \( \frac{5}{6} \)

Exercice 31 : fraction d’un disque
a. \(\frac{1}{2}\)

b. \(\frac{1}{4}\)

c. \(\frac{2}{3}\)

d. \(\frac{3}{8}\)

e. \(\frac{1}{2}\)

f. \(\frac{5}{8}\)

g. \(\frac{3}{4}\)

Exercice 32 : fractions d’un carré
a. \(\frac{12}{25}\)

b. \(\frac{18}{25}\)

c. \(\frac{6}{16} = \frac{3}{8}\)

d. \(\frac{4}{9}\)

e. \(\frac{6}{16} = \frac{3}{8}\)

f. \(\frac{12}{16} = \frac{3}{4}\)

g. \(\frac{7}{12}\)

Exercice 33 : trouver la fraction que représente chaque figure

[a.] Si \(\text{Hexagone} = 1\), alors \(\text{Triangle} = \frac{1}{6}\).
[b.] Si \(\text{Parallélogramme} = 1\), alors \(\text{Triangle} = \frac{1}{2}\).
[c.] Si \(\text{Trapèze} = 1\), alors \(\text{Triangle} = \frac{1}{3}\).
[c.] Si \(\text{Hexagone} = 1\), alors \(\text{Parallélogramme} = \frac{1}{3}\).
[d.] Si \(\text{Parallélogramme} = 1\), alors \(\text{Trapèze} = 2\).
[f.] Si \(\text{Trapèze} = 1\), alors \(\text{Parallélogramme} = \frac{1}{2}\).

Exercice 34 : donner la fraction de l’aire
\begin{equation*}
{a.}
\end{equation*}
\begin{align*}
A = \frac{1}{3} \\
B = \frac{1}{6} \\
C = \frac{1}{2}
\end{align*}

\begin{equation*}
{b.}
\end{equation*}
\begin{align*}
A = \frac{1}{2} \\
B = \frac{1}{4} \\
C = \frac{1}{8} \\
D = \frac{1}{16} \\
E = \frac{1}{16}
\end{align*}

\begin{equation*}
{c.}
\end{equation*}
\begin{align*}
A = \frac{1}{8} \\
B = \frac{1}{8} \\
C = \frac{1}{4} \\
D = \frac{1}{8} \\
E = \frac{1}{8} \\
F = \frac{1}{4}
\end{align*}

Exercice 35 : colorier la fraction du rectangle

[a.] La fraction \(\frac{1}{8}\) signifie qu’une seule des 8 cases du rectangle doit être coloriée.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) grid (1,8);
\fill[gray] (0,0) rectangle (1,1);
\end{tikzpicture}
\end{center}

[b.] La fraction \(\frac{5}{8}\) signifie que 5 cases sur 8 du rectangle doivent être coloriées.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) grid (1,8);
\fill[gray] (0,0) rectangle (1,5);
\end{tikzpicture}
\end{center}

[c.] La fraction \(\frac{11}{20}\) signifie que 11 cases sur 20 du rectangle doivent être coloriées.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) grid (4,5);
\fill[gray] (0,0) rectangle (1,5);
\fill[gray] (1,0) rectangle (1,5);
\fill[gray] (2,0) rectangle (1,5);
\fill[gray] (3,0) rectangle (1,2);
\end{tikzpicture}
\end{center}

[d.] La fraction \(\frac{13}{20}\) signifie que 13 cases sur 20 du rectangle doivent être coloriées.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) grid (4,5);
\fill[gray] (0,0) rectangle (1,5);
\fill[gray] (1,0) rectangle (1,5);
\fill[gray] (2,0) rectangle (1,5);
\fill[gray] (3,0) rectangle (1,3);
\end{tikzpicture}
\end{center}

[e.] La fraction \(\frac{5}{12}\) signifie que 5 cases sur 12 du rectangle doivent être coloriées.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) grid (3,4);
\fill[gray] (0,0) rectangle (1,4);
\fill[gray] (1,0) rectangle (1,1);
\end{tikzpicture}
\end{center}

[f.] La fraction \(\frac{7}{12}\) signifie que 7 cases sur 12 du rectangle doivent être coloriées.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) grid (3,4);
\fill[gray] (0,0) rectangle (1,4);
\fill[gray] (1,0) rectangle (1,4);
\fill[gray] (2,0) rectangle (1,1);
\end{tikzpicture}
\end{center}

[g.] La fraction \(\frac{9}{16}\) signifie que 9 cases sur 16 du rectangle doivent être coloriées.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) grid (4,4);
\fill[gray] (0,0) rectangle (1,4);
\fill[gray] (1,0) rectangle (1,4);
\fill[gray] (2,0) rectangle (1,1);
\end{tikzpicture}
\end{center}

Exercice 36 : colorier la fraction du disque
a. La fraction est \(\frac{1}{2}\). La moitié du disque doit être colorié.

b. La fraction est \(\frac{2}{3}\). Deux des trois parties du disque doivent être coloriées.

c. La fraction est \(\frac{3}{4}\). Trois des quatre parties du disque doivent être coloriées.

d. La fraction est \(\frac{4}{5}\). Quatre des cinq parties du disque doivent être coloriées.

e. La fraction est \(\frac{1}{3}\). Une des trois parties du disque doit être coloriée.

f. La fraction est \(\frac{4}{4}\). Toutes les parties du disque doivent être coloriées.

g. La fraction est \(\frac{5}{6}\). Cinq des six parties du disque doivent être coloriées.

Exercice 37 : les fractions et le vocabulaire

[a.] Le numérateur de \(\frac{18}{7}\) est \(18\).
[b.] Le dénominateur de \(\frac{24}{25}\) est \(25\).
[c.] La fraction dont le numérateur est \(43\) et le dénominateur est \(37\) est \(\frac{43}{37}\).
[d.] La fraction dont le dénominateur est \(68\) et le numérateur est \(51\) est \(\frac{51}{68}\).

Exercice 38 : trouver la fraction recherchée
Correction de l’exercice :

\[\]a. Mon dénominateur est le numérateur de \(\frac{89}{9}\) et mon numérateur est le dénominateur de \(\frac{10}{95}\). Je suis ……….\[\]

Le numérateur de \(\frac{89}{9}\) est \(89\).

Le dénominateur de \(\frac{10}{95}\) est \(95\).

Donc, la fraction cherchée est \(\frac{95}{89}\).

\[\]b. Mon numérateur est le double de celui de \(\frac{5}{7}\) et mon dénominateur est le tiers de celui de \(\frac{6}{9}\). Je suis ……….\[\]

Le numérateur de \(\frac{5}{7}\) est \(5\).

Le double de \(5\) est \(10\).

Le dénominateur de \(\frac{6}{9}\) est \(9\).

Le tiers de \(9\) est \(3\).

Donc, la fraction cherchée est \(\frac{10}{3}\).

\[\]c. La somme de mon numérateur et de mon dénominateur est \(9\), leur différence est \(5\) et je suis une fraction supérieure à \(1\). Je suis ……….\[\]

Soit \(n\) le numérateur et \(d\) le dénominateur de la fraction.

On a :
\[
n + d = 9
\]
\[
n – d = 5
\]

En additionnant ces deux équations :
\[
(n + d) + (n – d) = 9 + 5
\]
\[
2n = 14
\]
\[
n = 7
\]

En soustrayant la première équation de la deuxième :
\[
(n + d) – (n – d) = 9 – 5
\]
\[
2d = 4
\]
\[
d = 2
\]

Donc, la fraction cherchée est \(\frac{7}{2}\).

Exercice 39 : compléter par la bonne fraction
a. \( 2 \times \frac{1}{7} = \frac{2}{7} \)

b. \( 4 \times \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \)

c. \( 7 \times \frac{1}{9} = \frac{7}{9} \)

d. \( 13 \times \frac{1}{2} = \frac{13}{2} \)

e. \( 5 \times \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \)

f. \( 10 \times \frac{1}{11} = \frac{10}{11} \)

Exercice 40 : calculer ces produits
a. \( 6 \times \frac{8}{6} = 6 \times \frac{8}{6} = 8 \)

b. \( 5 \times \frac{3}{5} = 5 \times \frac{3}{5} = 3 \)

c. \( 9 \times \frac{6}{9} = 9 \times \frac{6}{9} = 6 \)

d. \( 12 \times \frac{7}{12} = 12 \times \frac{7}{12} = 7 \)

e. \( 15 \times \frac{20}{15} = 15 \times \frac{20}{15} = 20 \)

f. \( 23 \times \frac{55}{23} = 23 \times \frac{55}{23} = 55 \)

Exercice 41 : donner l’abscisse de chacun des points

[a.] \( A(0), B(1), C(2), D(4), E(5) \)

[b.] \( A(0), B(\frac{1}{4}), C(\frac{1}{2}), D(\frac{3}{4}), E(1) \)

[c.] \( A(0), B(\frac{1}{5}), C(\frac{2}{5}), D(\frac{3}{5}), E(\frac{4}{5}) \)

[d.] \( A(0), B(\frac{1}{6}), C(\frac{2}{6}), D(\frac{3}{6}), E(\frac{4}{6}) \)

Exercice 42 : placer les points sur l’axe gradué
\[
\text{\underline{Correction:}}
\]

\[\]a.\[\]
1. \( A (\frac{3}{4}) \) : transformer en fraction décimale \( \frac{3}{4} = 0.75 \)
2. \( B (\frac{6}{4}) \) : transformer en fraction décimale \( \frac{6}{4} = 1.5 \)
3. \( C (\frac{14}{4}) \) : transformer en fraction décimale \( \frac{14}{4} = 3.5 \)
4. \( D (\frac{19}{4}) \) : transformer en fraction décimale \( \frac{19}{4} = 4.75 \)
5. \( E (\frac{24}{4}) \) : transformer en fraction décimale \( \frac{24}{4} = 6 \)

Donc, les points sont placés aux positions :
\( A : 0.75 \), \( B : 1.5 \), \( C : 3.5 \), \( D : 4.75 \), \( E : 6 \)

\[\]b.\[\]
1. \( A (\frac{2}{6}) \) : simplifier la fraction \( \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \), soit environ \(0.33\)
2. \( B (\frac{7}{6}) \) : transformer en fraction décimale \( \frac{7}{6} \approx 1.167 \)
3. \( C (\frac{10}{6}) \) : simplifier la fraction \( \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \approx 1.667 \)
4. \( D (\frac{17}{6}) \) : transformer en fraction décimale \( \frac{17}{6} \approx 2.833 \)
5. \( E (\frac{25}{6}) \) : transformer en fraction décimale \( \frac{25}{6} \approx 4.167 \)

Donc, les points sont placés aux positions :
\( A : 0.33 \), \( B : 1.167 \), \( C : 1.667 \), \( D : 2.833 \), \( E : 4.167 \)

\[\]c.\[\]
1. \( A (\frac{1}{9}) \) : transformer en fraction décimale \( \frac{1}{9} \approx 0.111 \)
2. \( B (\frac{5}{4}) \) : transformer en fraction décimale \( \frac{5}{4} = 1.25 \)
3. \( C (\frac{12}{9}) \) : simplifier la fraction \( \frac{12}{9} = \frac{4}{3} \approx 1.333 \)
4. \( D (\frac{16}{9}) \) : transformer en fraction décimale \( \frac{16}{9} \approx 1.778 \)
5. \( E (\frac{23}{9}) \) : transformer en fraction décimale \( \frac{23}{9} \approx 2.556 \)

Donc, les points sont placés aux positions :
\( A : 0.111 \), \( B : 1.25 \), \( C : 1.333 \), \( D : 1.778 \), \( E : 2.556 \)

\[\]d.\[\]
1. \( A (\frac{11}{12}) \) : transformer en fraction décimale \( \frac{11}{12} \approx 0.917 \)
2. \( B (\frac{15}{12}) \) : simplifier la fraction \( \frac{15}{12} = \frac{5}{4} = 1.25 \)
3. \( C (\frac{19}{12}) \) : transformer en fraction décimale \( \frac{19}{12} \approx 1.583 \)
4. \( D (\frac{27}{12}) \) : simplifier la fraction \( \frac{27}{12} = \frac{9}{4} = 2.25 \)
5. \( E (\frac{31}{12}) \) : transformer en fraction décimale \( \frac{31}{12} \approx 2.583 \)

Donc, les points sont placés aux positions :
\( A : 0.917 \), \( B : 1.25 \), \( C : 1.583 \), \( D : 2.25 \), \( E : 2.583 \)

Exercice 43 : compléter par < ou >

[a.] \[\frac{35}{37} < 1\]

[b.] \[\frac{107}{108} < 1\]

[c.] \[\frac{75}{75} = 1\]

[d.] \[\frac{64}{59} > 1\]

[e.] \[\frac{152}{153} < 1\]

[f.] \[\frac{78}{67} > \frac{67}{78}\]

Exercice 44 : colorier la fraction du rectangle indiquée
\[
\begin{array}{ll}
\text{a.} \frac{14}{5} = 2 + \frac{4}{5} \\
\text{b.} \frac{10}{9} = 1 + \frac{1}{9} \\
\text{c.} \frac{11}{4} = 2 + \frac{3}{4} \\
\text{d.} \frac{23}{7} = 3 + \frac{2}{7} \\
\end{array}
\]

Pour colorier les fractions des rectangles indiqués :

– Pour \(\frac{14}{5}\), coloriez 2 rectangles entiers (chacun divisé en 5 parties) et 4 parties du troisième rectangle.
– Pour \(\frac{10}{9}\), coloriez 1 rectangle entier (divisé en 9 parties) et 1 partie du deuxième rectangle.
– Pour \(\frac{11}{4}\), coloriez 2 rectangles entiers (chacun divisé en 4 parties) et 3 parties du troisième rectangle.
– Pour \(\frac{23}{7}\), coloriez 3 rectangles entiers (chacun divisé en 7 parties) et 2 parties du quatrième rectangle.