Convexité et points d’inflexion : corrigé du contrôle de maths en terminale
Voici le corrigé du contrôle de maths en terminale sur le thème « convexité et points d’inflexion », question par question.
Cette correction détaille chaque dérivée, puis la factorisation par l’exponentielle qui rend l’étude du signe immédiate. Pour l’étude complète, un tableau de variations et de convexité dessiné récapitule les résultats, ainsi tu vois d’un seul coup d’œil où se trouve le point d’inflexion.
Le problème de la rumeur est accompagné d’une figure qui montre la tangente au point d’inflexion, là où la vitesse de propagation est maximale. Compare ta copie étape par étape, puis refais seul les calculs de dérivées. Le barème précise enfin la part des justifications, car un correcteur attend toujours la propriété citée, et les pièges signalés t’aident à ne plus confondre \(g\) et \(g^{\prime}\).
L’énoncé complet se trouve ici : Convexité et points d’inflexion : contrôle de maths en terminale.
Barème du contrôle corrigé : convexité et points d’inflexion
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. L’exponentielle au-dessus de ses tangentes | 4 points |
| 2. Étude complète d’une fonction | 6 points |
| 3. Lire la convexité sur la courbe de g′ | 4 points |
| 4. La rumeur qui se propage | 6 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : convexité et points d’inflexion
Exercice 1 – L’exponentielle au-dessus de ses tangentes (4 points)
- La fonction exponentielle est deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\), et sa dérivée seconde est encore \(\exp\). Or \(\mathrm{e}^{x} > 0\) pour tout réel \(x\). La dérivée seconde est donc positive : l’exponentielle est convexe sur \(\mathbb{R}\).
- La tangente en 0 a pour équation \(y = \exp^{\prime}(0)(x – 0) + \exp(0)\). Comme \(\exp^{\prime}(0) = \mathrm{e}^{0} = 1\) et \(\exp(0) = 1\), on obtient \(T : y = x + 1\).
- Une fonction convexe a sa courbe au-dessus de chacune de ses tangentes. Ainsi, la courbe de l’exponentielle est au-dessus de \(T\) : pour tout réel \(x\), \(\mathrm{e}^{x} \geq x + 1\).
Avec \(x = -0{,}5\), on trouve \(\mathrm{e}^{-0{,}5} \geq -0{,}5 + 1\), donc \(\mathrm{e}^{-0{,}5} \geq 0{,}5\). - Au point d’abscisse 1, la tangente a pour équation \(y = \mathrm{e}^{1}(x – 1) + \mathrm{e}^{1} = \mathrm{e}\,x – \mathrm{e} + \mathrm{e}\), soit \(y = \mathrm{e}\,x\).
Par convexité, la courbe est aussi au-dessus de cette tangente. Par conséquent, pour tout réel \(x\), \(\mathrm{e}^{x} \geq \mathrm{e}\,x\).
Piège classique : affirmer l’inégalité sans citer la propriété. Il faut écrire que la fonction est convexe, donc que sa courbe est au-dessus de ses tangentes.
Exercice 2 – Étude complète d’une fonction (6 points)
- On pose \(u(x) = 2x + 1\) et \(v(x) = \mathrm{e}^{-x}\), d’où \(u^{\prime}(x) = 2\) et \(v^{\prime}(x) = -\mathrm{e}^{-x}\). Alors :
\(f^{\prime}(x) = 2\mathrm{e}^{-x} – (2x + 1)\mathrm{e}^{-x} = (2 – 2x – 1)\mathrm{e}^{-x}\).
Donc \(f^{\prime}(x) = (1 – 2x)\mathrm{e}^{-x}\). - Comme \(\mathrm{e}^{-x} > 0\), \(f^{\prime}(x)\) a le signe de \(1 – 2x\). Il est positif pour \(x \leq \frac{1}{2}\) et négatif pour \(x \geq \frac{1}{2}\).
Ainsi, \(f\) est croissante sur \(\left[0 \,;\, \frac{1}{2}\right]\), puis décroissante sur \(\left[\frac{1}{2} \,;\, +\infty\right[\). Son maximum vaut \(f\left(\frac{1}{2}\right) = 2\mathrm{e}^{-0{,}5} \approx 1{,}21\). Par ailleurs, \(f(0) = 1\). - On dérive \(f^{\prime}\) comme un produit, avec \(u(x) = 1 – 2x\) et \(u^{\prime}(x) = -2\) :
\(f^{\prime\prime}(x) = -2\mathrm{e}^{-x} – (1 – 2x)\mathrm{e}^{-x} = (-2 – 1 + 2x)\mathrm{e}^{-x}\).
On obtient bien \(f^{\prime\prime}(x) = (2x – 3)\mathrm{e}^{-x}\). - De nouveau, \(f^{\prime\prime}(x)\) a le signe de \(2x – 3\), qui s’annule en \(x = 1{,}5\). Il est négatif sur \([0 \,;\, 1{,}5]\) et positif sur \([1{,}5 \,;\, +\infty[\).
Donc \(f\) est concave sur \([0 \,;\, 1{,}5]\) et convexe sur \([1{,}5 \,;\, +\infty[\). La dérivée seconde s’annule en changeant de signe, alors la courbe admet un point d’inflexion d’abscisse \(1{,}5\).
Comme \(f(1{,}5) = (3 + 1)\mathrm{e}^{-1{,}5} = 4\mathrm{e}^{-1{,}5}\), on a \(I\left(1{,}5 \,;\, 4\mathrm{e}^{-1{,}5}\right)\), avec \(4\mathrm{e}^{-1{,}5} \approx 0{,}89\).
- D’abord, \(f^{\prime}(1{,}5) = (1 – 3)\mathrm{e}^{-1{,}5} = -2\mathrm{e}^{-1{,}5}\). L’équation de la tangente est donc :
\(y = -2\mathrm{e}^{-1{,}5}(x – 1{,}5) + 4\mathrm{e}^{-1{,}5} = \mathrm{e}^{-1{,}5}(-2x + 3 + 4)\).
Ainsi, \(T : y = \mathrm{e}^{-1{,}5}(7 – 2x)\). - Sur \([0 \,;\, 1{,}5]\), \(f\) est concave, donc sa courbe est en dessous de ses tangentes : \(C\) est sous \(T\). En revanche, sur \([1{,}5 \,;\, +\infty[\), \(f\) est convexe : \(C\) est au-dessus de \(T\). La courbe traverse donc sa tangente au point \(I\).
Piège classique : oublier que la dérivée de \(\mathrm{e}^{-x}\) est \(-\mathrm{e}^{-x}\). Ce signe moins change tout le facteur affine.
Exercice 3 – Lire la convexité sur la courbe de g′ (4 points)
- La courbe de \(g^{\prime}\) est au-dessus de l’axe sur \([-2 \,;\, -1]\) et sur \([3 \,;\, 4{,}5]\), puis en dessous sur \([-1 \,;\, 3]\).
Donc \(g\) est croissante sur \([-2 \,;\, -1]\), décroissante sur \([-1 \,;\, 3]\) et de nouveau croissante sur \([3 \,;\, 4{,}5]\). - La fonction \(g^{\prime}\) est décroissante sur \([-2 \,;\, 1]\), puis croissante sur \([1 \,;\, 4{,}5]\). Or \(g\) est convexe là où \(g^{\prime}\) croît. Par conséquent, \(g\) est concave sur \([-2 \,;\, 1]\) et convexe sur \([1 \,;\, 4{,}5]\).
- La convexité change en \(x = 1\), car \(g^{\prime}\) change de sens de variation à cet endroit. Le point d’inflexion de la courbe de \(g\) a donc pour abscisse 1.
- D’une part, \(g^{\prime}(3) = 0\), donc la tangente au point d’abscisse 3 est horizontale. D’autre part, \(g\) est convexe sur \([1 \,;\, 4{,}5]\), donc sa courbe y est au-dessus de ses tangentes, notamment de celle en 3. L’affirmation est vraie.
Piège classique : placer le point d’inflexion en \(-1\) ou en 3, là où \(g^{\prime}\) s’annule. Ce sont en fait les extremums de \(g\), pas ses points d’inflexion.
Exercice 4 – La rumeur qui se propage (6 points)
- \(N(0) = 10 – 10 \times \mathrm{e}^{0} = 10 – 10 = 0\). Au lancement de la rumeur, personne n’en a encore entendu parler.
- On dérive le produit \((10 + 5t)\mathrm{e}^{-0{,}5t}\), dont la dérivée vaut \(5\mathrm{e}^{-0{,}5t} – 0{,}5(10 + 5t)\mathrm{e}^{-0{,}5t} = (5 – 5 – 2{,}5t)\mathrm{e}^{-0{,}5t} = -2{,}5t\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}\).
Ensuite, \(N^{\prime}(t) = 0 – \left(-2{,}5t\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}\right)\), donc \(N^{\prime}(t) = 2{,}5t\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}\).
Pour \(t \geq 0\), \(2{,}5t \geq 0\) et \(\mathrm{e}^{-0{,}5t} > 0\), alors \(N^{\prime}(t) \geq 0\). La fonction \(N\) est croissante sur \([0 \,;\, +\infty[\). - On dérive \(N^{\prime}\) comme un produit :
\(N^{\prime\prime}(t) = 2{,}5\mathrm{e}^{-0{,}5t} – 0{,}5 \times 2{,}5t\,\mathrm{e}^{-0{,}5t} = (2{,}5 – 1{,}25t)\mathrm{e}^{-0{,}5t} = 1{,}25(2 – t)\mathrm{e}^{-0{,}5t}\).
Le signe de \(N^{\prime\prime}(t)\) est celui de \(2 – t\). Donc \(N\) est convexe sur \([0 \,;\, 2]\) et concave sur \([2 \,;\, +\infty[\). - Comme \(N^{\prime\prime}\) est positive puis négative, la vitesse \(N^{\prime}\) croît sur \([0 \,;\, 2]\), puis décroît. Elle est donc maximale en \(t = 2\).
\(N^{\prime}(2) = 5\mathrm{e}^{-1} \approx 1{,}839\) milliers de personnes par jour, et \(N(2) = 10 – 20\mathrm{e}^{-1} \approx 2{,}642\) milliers.
Au bout de 2 jours, la rumeur se propage le plus vite, à environ 1 839 personnes par jour ; environ 2 642 personnes sont alors informées.
- Le point d’inflexion d’abscisse 2 marque l’instant où la courbe passe de convexe à concave. Pour Élias, c’est le moment idéal pour publier son démenti, car la rumeur n’a jamais circulé aussi vite. Ensuite, le nombre de personnes informées continue d’augmenter, mais de plus en plus lentement, et il se rapproche de 10 milliers, c’est-à-dire de toute la ville.
Piège classique : chercher le maximum de \(N\) au lieu de celui de \(N^{\prime}\). La question porte sur la vitesse de propagation, donc sur la dérivée.
À retenir de ce contrôle
- Une fonction est convexe sur un intervalle quand sa dérivée seconde y est positive, et concave quand elle y est négative.
- Un point d’inflexion apparaît lorsque la dérivée seconde s’annule en changeant de signe ; la courbe traverse alors sa tangente.
- Sur un intervalle où elle est convexe, une courbe est au-dessus de toutes ses tangentes, ce qui fournit des inégalités comme exp(x) ≥ x + 1.
- Sur le graphique de g’, le signe renseigne sur les variations de g, tandis que le sens de variation de g’ renseigne sur la convexité de g.
- Dans un modèle de croissance, le point d’inflexion marque l’instant où la vitesse est maximale, puis où la croissance ralentit.
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Consolider convexité et points d’inflexion après ce corrigé
Pour ne plus perdre de points sur ce thème, relis la leçon fonctions convexe ou concave.
D’autres évaluations corrigées t’attendent sur la page contrôles de maths en terminale.
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