Dérivée seconde et convexité : corrigé du contrôle de maths en terminale
Voici le corrigé du contrôle de maths en terminale sur le thème « dérivée seconde et convexité », question par question.
Cette correction suit l’ordre du sujet et rédige chaque réponse comme on l’attend au baccalauréat. Pour chaque fonction, elle détaille d’abord la formule de dérivation utilisée, puis la factorisation qui rend le signe de \(f^{\prime\prime}\) évident. Un tableau de variations et de convexité dessiné accompagne aussi la lecture de la courbe de \(f^{\prime}\).
Un graphique montre en outre la courbe de l’exercice 3 au-dessus de sa tangente, là où la fonction est convexe. Sous chaque exercice, le barème répartit les points entre méthode et résultat. Compare donc ta copie étape par étape, puis note tes erreurs pour les corriger avant le prochain devoir.
L’énoncé complet se trouve ici : Dérivée seconde et convexité : contrôle de maths en terminale.
Barème du contrôle corrigé : dérivée seconde et convexité
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Dérivées de fonctions composées | 4 points |
| 2. Un polynôme et son point d’inflexion | 3,5 points |
| 3. Une fonction avec exponentielle | 4 points |
| 4. Lire la courbe de la dérivée | 3,5 points |
| 5. Convexe, concave ou inflexion ? | 2 points |
| 6. Les ventes d’un jeu vidéo | 3 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : dérivée seconde et convexité
Exercice 1 – Dérivées de fonctions composées (4 points)
- On pose \(u(x) = 3x^2 – x\), donc \(u^{\prime}(x) = 6x – 1\). Or la dérivée de \(\mathrm{e}^{u}\) est \(u^{\prime}\,\mathrm{e}^{u}\).
Donc \(f_1^{\prime}(x) = (6x – 1)\,\mathrm{e}^{3x^2 – x}\). - On pose \(u(x) = x^2 + 5\), strictement positif sur \(\mathbb{R}\), et \(u^{\prime}(x) = 2x\). De plus, la dérivée de \(\sqrt{u}\) est \(\dfrac{u^{\prime}}{2\sqrt{u}}\).
Ainsi \(f_2^{\prime}(x) = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2 + 5}}\).
Après simplification, \(f_2^{\prime}(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 5}}\). - On pose \(u(x) = 2x – 3\), d’où \(u^{\prime}(x) = 2\). Puis la dérivée de \(u^5\) est \(5u^{\prime}u^4\).
Alors \(f_3^{\prime}(x) = 5 \times 2 \times (2x – 3)^4\).
Donc \(f_3^{\prime}(x) = 10(2x – 3)^4\). - On pose \(u(x) = x^2 + 1\), qui ne s’annule pas, et \(u^{\prime}(x) = 2x\). Comme la dérivée de \(u^{-1}\) est \(-u^{\prime}u^{-2}\), on obtient :
\(f_4^{\prime}(x) = -2x\,(x^2 + 1)^{-2}\).
Par conséquent, \(f_4^{\prime}(x) = \dfrac{-2x}{(x^2 + 1)^2}\).
Piège classique : oublier le facteur \(u^{\prime}\), par exemple écrire \(f_3^{\prime}(x) = 5(2x – 3)^4\). Pourtant, la dérivée de \(2x – 3\) vaut 2 et multiplie le résultat.
Exercice 2 – Un polynôme et son point d’inflexion (3,5 points)
- D’abord, on dérive chaque terme du polynôme, puis on dérive encore le résultat. \(g^{\prime}(x) = 3x^2 – 12x + 9\) et \(g^{\prime\prime}(x) = 6x – 12\).
- \(6x – 12 \geq 0\) équivaut à \(x \geq 2\). Donc \(g^{\prime\prime}(x) < 0\) sur \(]-\infty \,;\, 2[\) et \(g^{\prime\prime}(x) > 0\) sur \(]2 \,;\, +\infty[\).
Ainsi \(g\) est concave sur \(]-\infty \,;\, 2]\) et convexe sur \([2 \,;\, +\infty[\). - La dérivée seconde s’annule en 2 en changeant de signe, donc la courbe admet un point d’inflexion d’abscisse 2.
De plus, \(g(2) = 8 – 24 + 18 + 1 = 3\).
Le point d’inflexion est \(A(2 \,;\, 3)\). - On calcule \(g^{\prime}(2) = 12 – 24 + 9 = -3\).
La tangente en \(A\) a pour équation \(y = g^{\prime}(2)(x – 2) + g(2)\), soit \(y = -3(x – 2) + 3\).
Donc la tangente en \(A\) a pour équation \(y = -3x + 9\).
Exercice 3 – Une fonction avec exponentielle (4 points)
- On dérive un produit \(uv\) avec \(u(x) = x + 1\) et \(v(x) = \mathrm{e}^{-x}\) ; ainsi \(u^{\prime}(x) = 1\) et \(v^{\prime}(x) = -\mathrm{e}^{-x}\).
\(h^{\prime}(x) = 1 \times \mathrm{e}^{-x} + (x + 1) \times \left(-\mathrm{e}^{-x}\right) = \mathrm{e}^{-x}(1 – x – 1)\).
Donc \(h^{\prime}(x) = -x\,\mathrm{e}^{-x}\). - On dérive de nouveau le produit, avec \(u(x) = -x\) et \(v(x) = \mathrm{e}^{-x}\).
\(h^{\prime\prime}(x) = -1 \times \mathrm{e}^{-x} + (-x) \times \left(-\mathrm{e}^{-x}\right) = \mathrm{e}^{-x}(-1 + x)\).
Ainsi \(h^{\prime\prime}(x) = (x – 1)\,\mathrm{e}^{-x}\). - Comme \(\mathrm{e}^{-x} > 0\) pour tout réel \(x\), le signe de \(h^{\prime\prime}(x)\) est celui de \(x – 1\).
Donc \(h^{\prime\prime}(x) < 0\) pour \(x < 1\) et \(h^{\prime\prime}(x) > 0\) pour \(x > 1\).
La fonction \(h\) est concave sur \(]-\infty \,;\, 1]\), convexe sur \([1 \,;\, +\infty[\), et sa courbe admet un point d’inflexion d’abscisse 1. - D’une part, \(h(1) = 2\,\mathrm{e}^{-1} = \dfrac{2}{\mathrm{e}}\) ; d’autre part, \(h^{\prime}(1) = -\mathrm{e}^{-1} = -\dfrac{1}{\mathrm{e}}\).
Ainsi \(T : y = -\dfrac{1}{\mathrm{e}}(x – 1) + \dfrac{2}{\mathrm{e}} = \dfrac{-x + 1 + 2}{\mathrm{e}} = \dfrac{3 – x}{\mathrm{e}}\).
Or \(h\) est convexe sur \([1 \,;\, +\infty[\), donc sa courbe y est au-dessus de ses tangentes, notamment de \(T\).
Par conséquent, pour tout \(x \geq 1\), \(h(x) \geq \dfrac{3 – x}{\mathrm{e}}\).
Piège classique : développer \(h^{\prime\prime}(x)\) au lieu de le factoriser par \(\mathrm{e}^{-x}\). En effet, seule la forme factorisée donne le signe immédiatement.
Exercice 4 – Lire la courbe de la dérivée (3,5 points)
- La courbe de \(f^{\prime}\) est au-dessus de l’axe des abscisses sur \([-2 \,;\, -1]\) et sur \([3 \,;\, 4]\), mais en dessous sur \([-1 \,;\, 3]\).
Donc \(f^{\prime}(x) \geq 0\) sur \([-2 \,;\, -1]\) et sur \([3 \,;\, 4]\), alors que \(f^{\prime}(x) \leq 0\) sur \([-1 \,;\, 3]\).
Ainsi \(f\) est croissante sur \([-2 \,;\, -1]\), décroissante sur \([-1 \,;\, 3]\), puis croissante sur \([3 \,;\, 4]\).
- La dérivée seconde \(f^{\prime\prime}\) est la dérivée de \(f^{\prime}\). Or \(f^{\prime}\) est décroissante sur \([-2 \,;\, 1]\), donc \(f^{\prime\prime} \leq 0\) sur cet intervalle ; ensuite, \(f^{\prime}\) est croissante sur \([1 \,;\, 4]\), donc \(f^{\prime\prime} \geq 0\).
Par conséquent, \(f\) est concave sur \([-2 \,;\, 1]\) et convexe sur \([1 \,;\, 4]\). - La convexité change en \(x = 1\), là où \(f^{\prime}\) atteint son minimum. Ainsi le coefficient directeur de la tangente vaut \(f^{\prime}(1) = -4\).
Le point d’inflexion a pour abscisse 1, et la tangente y a pour coefficient directeur \(-4\).
Piège classique : lire la courbe comme celle de \(f\) et dire que \(f\) est convexe partout, car la parabole est tournée vers le haut. Or c’est \(f^{\prime}\) qui est convexe, pas \(f\).
Exercice 5 – Convexe, concave ou inflexion ? (2 points)
- Sur la courbe 1, chaque tangente se trouve en dessous de la courbe : la fonction 1 est convexe.
Au contraire, sur la courbe 2, les tangentes sont toutes au-dessus : la fonction 2 est concave.
Enfin, sur la courbe 3, la tangente de gauche passe au-dessus de la courbe et celle de droite en dessous : la courbe 3 présente un point d’inflexion, là où la courbure change. - Au point d’inflexion, la tangente traverse la courbe : elle passe d’un côté de la courbe à l’autre. La courbe est d’abord en dessous de sa tangente, puis au-dessus.
Exercice 6 – Les ventes d’un jeu vidéo (3 points)
- \(N^{\prime}(t) = -3t^2 + 30t\) et \(N^{\prime\prime}(t) = -6t + 30\).
Or \(-6t + 30 \geq 0\) équivaut à \(t \leq 5\).
Donc \(N\) est convexe sur \([0 \,;\, 5]\) et concave sur \([5 \,;\, 10]\). - La dérivée seconde s’annule en \(t = 5\) en changeant de signe, donc la courbe de \(N\) admet un point d’inflexion d’abscisse 5.
Ensuite, \(N(5) = -125 + 15 \times 25 = -125 + 375 = 250\).
Le point d’inflexion a pour coordonnées \((5 \,;\, 250)\) : au bout de 5 semaines, 250 000 exemplaires sont vendus. - Comme \(N^{\prime\prime} \geq 0\) sur \([0 \,;\, 5]\), la vitesse \(N^{\prime}\) augmente ; puis elle diminue sur \([5 \,;\, 10]\), car \(N^{\prime\prime} \leq 0\). Elle est donc maximale en \(t = 5\).
De plus, \(N^{\prime}(5) = -3 \times 25 + 30 \times 5 = -75 + 150 = 75\).
Les ventes progressent le plus vite à la 5e semaine, au rythme de 75 000 exemplaires par semaine.
Piège classique : confondre le maximum des ventes totales et le maximum de la vitesse de vente. Ici, \(N\) croît jusqu’à la 10e semaine, tandis que sa vitesse culmine à la 5e.
À retenir de ce contrôle
- Une fonction deux fois dérivable est convexe sur un intervalle où sa dérivée seconde est positive, et concave là où elle est négative.
- Un point d’inflexion correspond à un changement de signe de la dérivée seconde, et la tangente y traverse la courbe.
- Sur la courbe de f′, le signe donne les variations de f, alors que les variations de f′ donnent la convexité de f.
- Pour étudier le signe de la dérivée seconde, on factorise par l’exponentielle, qui reste toujours strictement positive.
- Une fonction convexe sur un intervalle a sa courbe au-dessus de chacune de ses tangentes sur cet intervalle.
Revenir à l’énoncé du contrôle
Consolider dérivée seconde et convexité après ce corrigé
Pour ne plus perdre de points sur ce thème, relis la leçon fonctions convexe ou concave.
D’autres évaluations corrigées t’attendent sur la page contrôles de maths en terminale.
Autres corrigés sur le même thème
Télécharger ou imprimer cette fiche «dérivée seconde et convexité : corrigé du contrôle de maths en terminale» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.
Ressources de maths en Terminale
Cours
Tout voir
Exercices corrigés
Tout voir
Contrôles
Tout voir
QCM
Tout voir
