Équations de cercles dans un repère : corrigé du contrôle de maths en première
Voici le corrigé du contrôle de maths en première sur le thème « équations de cercles dans un repère », question par question.
Cette correction détaille chaque équation de cercle avec la rédaction attendue en première. Pour la forme canonique, elle montre chaque carré complété sur une ligne, car c’est là que se glissent les erreurs de signe.
Les intersections sont traitées par substitution, puis par le discriminant, et chaque point trouvé est vérifié. Par ailleurs, trois figures complètent la correction : la droite sécante avec ses points, la tangente perpendiculaire au rayon et la carte des antennes. Compare ta copie étape par étape, puis compte tes points avec le barème. Enfin, lis les pièges signalés, notamment le signe du centre.
L’énoncé complet se trouve ici : Équations de cercles dans un repère : contrôle de maths en première.
Barème du contrôle corrigé : équations de cercles dans un repère
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Trois cercles à mettre en équation | 4 points |
| 2. Cette équation définit-elle un cercle ? | 4 points |
| 3. Un cercle coupé par une droite | 4,5 points |
| 4. Tangente en un point du cercle | 3 points |
| 5. Deux antennes relais | 4,5 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : équations de cercles dans un repère
Exercice 1 – Trois cercles à mettre en équation (4 points)
- Le cercle de centre \((a \,;\, b)\) et de rayon \(r\) a pour équation \((x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\). Ici \(a = -3\), \(b = 2\) et \(r = 4\), donc \(\mathcal{C}_1 : (x + 3)^2 + (y – 2)^2 = 16\).
- D’abord, \(BD^2 = (1 – (-1))^2 + (7 – 4)^2 = 4 + 9 = 13\).
Le rayon vérifie donc \(r^2 = 13\), c’est-à-dire \(r = \sqrt{13}\).
\(\mathcal{C}_2 : (x + 1)^2 + (y – 4)^2 = 13\). - Le centre \(I\) est le milieu de \([EF]\) : \(I\left(\dfrac{1 + 7}{2} \,;\, \dfrac{-2 + 6}{2}\right)\), soit \(I(4 \,;\, 2)\).
Ensuite, \(EF^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\), donc \(EF = 10\) et le rayon vaut 5.
\(\mathcal{C}_3 : (x – 4)^2 + (y – 2)^2 = 25\). - Pour \(G\) : \((1 – 4)^2 + (6 – 2)^2 = 9 + 16 = 25\), donc \(G\) appartient à \(\mathcal{C}_3\).
Pour \(H\) : \((0 – 4)^2 + (0 – 2)^2 = 16 + 4 = 20\), or \(20 \neq 25\), donc \(H\) n’appartient pas à \(\mathcal{C}_3\).
Piège classique : écrire \((x – 3)^2\) pour un centre d’abscisse \(-3\). En effet, \(x – (-3) = x + 3\).
Exercice 2 – Cette équation définit-elle un cercle ? (4 points)
- On complète les deux carrés :
\(x^2 – 4x = (x – 2)^2 – 4\) et \(y^2 + 6y = (y + 3)^2 – 9\).
L’équation devient \((x – 2)^2 – 4 + (y + 3)^2 – 9 = 12\).
Ainsi \((x – 2)^2 + (y + 3)^2 = 25\).
C’est le cercle de centre \((2 \,;\, -3)\) et de rayon 5. - De même, \(x^2 + 8x = (x + 4)^2 – 16\) et \(y^2 – 2y = (y – 1)^2 – 1\).
On obtient \((x + 4)^2 – 16 + (y – 1)^2 – 1 + 1 = 0\).
Donc \((x + 4)^2 + (y – 1)^2 = 16\).
C’est le cercle de centre \((-4 \,;\, 1)\) et de rayon 4. - Ici, \(x^2 – 6x = (x – 3)^2 – 9\).
L’équation s’écrit alors \((x – 3)^2 – 9 + y^2 + 10 = 0\), soit \((x – 3)^2 + y^2 = -1\).
Or une somme de deux carrés est toujours positive ou nulle, elle ne peut pas valoir \(-1\).
Aucun point ne vérifie l’équation : ce n’est pas un cercle, l’ensemble est vide.
Piège classique : à la question 2, oublier de passer la constante 1 de l’autre côté, ou annoncer un rayon de 16 au lieu de 4.
Exercice 3 – Un cercle coupé par une droite (4,5 points)
- On lit l’équation sous la forme \((x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\) : \(\Omega(1 \,;\, 2)\) et le rayon vaut \(\sqrt{25} = 5\).
- Un point d’intersection vérifie les deux équations. On remplace donc \(y\) par \(x + 2\) dans celle du cercle :
\((x – 1)^2 + (x + 2 – 2)^2 = 25\)
\(x^2 – 2x + 1 + x^2 = 25\)
\(2x^2 – 2x – 24 = 0\).
On divise par 2 : \(x^2 – x – 12 = 0\). - Le discriminant vaut \(\Delta = (-1)^2 – 4 \times 1 \times (-12) = 1 + 48 = 49\).
Comme \(\Delta > 0\), il y a deux solutions : \(x_1 = \dfrac{1 – 7}{2} = -3\) et \(x_2 = \dfrac{1 + 7}{2} = 4\).
Ensuite, \(y = x + 2\) donne \(y_1 = -1\) et \(y_2 = 6\).
\(M(-3 \,;\, -1)\) et \(N(4 \,;\, 6)\).
Vérification : \((-4)^2 + (-3)^2 = 25\) et \(3^2 + 4^2 = 25\). - On remplace \(y\) par 8 : \((x – 1)^2 + 6^2 = 25\), donc \((x – 1)^2 = -11\).
Un carré ne peut pas être négatif, alors cette équation n’a pas de solution. La droite \(d^{\prime}\) ne coupe pas le cercle. D’ailleurs, le point le plus haut du cercle a pour ordonnée \(2 + 5 = 7\), qui est inférieure à 8.
Piège classique : s’arrêter aux abscisses \(-3\) et 4 sans calculer les ordonnées. Pourtant, un point se donne toujours avec ses deux coordonnées.
Exercice 4 – Tangente en un point du cercle (3 points)
- Le rayon est la distance \(KT\) : \(KT^2 = (5 – 2)^2 + (5 – 1)^2 = 9 + 16 = 25\), donc \(KT = 5\).
\(\Gamma : (x – 2)^2 + (y – 1)^2 = 25\). - La tangente \(\Delta\) est perpendiculaire au rayon \([KT]\). Par conséquent, le vecteur \(\overrightarrow{KT}\), qui dirige ce rayon, est orthogonal à \(\Delta\) : c’est un vecteur normal de \(\Delta\).
- On a \(\overrightarrow{KT}\left(3 \,;\, 4\right)\). Une droite de vecteur normal \(\vec{n}(a \,;\, b)\) a une équation de la forme \(ax + by + c = 0\), donc \(\Delta : 3x + 4y + c = 0\).
Puisque \(T\) est sur \(\Delta\) : \(3 \times 5 + 4 \times 5 + c = 0\), soit \(35 + c = 0\), donc \(c = -35\).
\(\Delta : 3x + 4y – 35 = 0\).
Autre méthode : \(M(x \,;\, y)\) est sur \(\Delta\) si et seulement si \(\overrightarrow{KT} \cdot \overrightarrow{TM} = 0\), c’est-à-dire \(3(x – 5) + 4(y – 5) = 0\), ce qui donne la même équation.
Piège classique : prendre \(\overrightarrow{KT}\) comme vecteur directeur de la tangente. Or il lui est perpendiculaire, et la droite obtenue serait alors le rayon prolongé.
Exercice 5 – Deux antennes relais (4,5 points)
- Chaque zone couverte est un disque de rayon 5. Le cercle autour de \(A\) a pour équation \(x^2 + y^2 = 25\) et celui autour de \(B\), \((x – 8)^2 + y^2 = 25\).
- Pour \(V\) et l’antenne \(A\) : \(3^2 + 4^2 = 25\), donc \(AV = 5\). Le village est exactement à la limite de la zone, il est donc couvert par \(A\).
Pour \(F\) et l’antenne \(A\) : \(6^2 + (-2)^2 = 40\), or \(40 > 25\), donc \(F\) n’est pas couverte par \(A\).
Pour \(F\) et l’antenne \(B\) : \((6 – 8)^2 + (-2)^2 = 4 + 4 = 8\), or \(8 \leq 25\). La ferme est couverte par l’antenne \(B\) seulement. - Un point commun vérifie les deux équations. On soustrait la seconde de la première :
\(x^2 – (x – 8)^2 = 0\)
\(x^2 – x^2 + 16x – 64 = 0\)
\(16x = 64\), donc \(x = 4\).
Ensuite, \(16 + y^2 = 25\) donne \(y^2 = 9\), soit \(y = 3\) ou \(y = -3\).
Les deux cercles se coupent en \((4 \,;\, 3)\) et \((4 \,;\, -3)\). - Sur la route, \(y = 6\). Pour l’antenne \(A\), il faudrait \(x^2 + 36 \leq 25\), c’est-à-dire \(x^2 \leq -11\) : c’est impossible. De même, pour \(B\), il faudrait \((x – 8)^2 \leq -11\), ce qui est aussi impossible. L’automobiliste ne capte aucune des deux antennes sur cette route.
Piège classique : comparer la distance \(AF^2 = 40\) directement à 5 au lieu de 25. Il faut en effet comparer des carrés entre eux.
À retenir de ce contrôle
- Le cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r a pour équation (x − a)² + (y − b)² = r² dans un repère orthonormé.
- Pour reconnaître un cercle, on écrit x² − 2ax = (x − a)² − a², puis on regroupe les constantes ; un membre de droite négatif ne donne aucun point.
- Pour couper un cercle par une droite, on remplace y par son expression en x, puis on étudie le discriminant du trinôme obtenu.
- La tangente en un point T d’un cercle de centre K est perpendiculaire au rayon, donc le vecteur KT en est un vecteur normal.
- Un point est dans le disque de centre Ω et de rayon r lorsque le carré de sa distance à Ω est inférieur ou égal à r².
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