Les équations et inéquations : corrigés des exercices de maths en 2de.

Exercice 1 : fonctions et inéquations du 1er degré
Correction de l’exercice :

1. On se propose de résoudre l’équation f(x)\,=\,0.

a) Pour cela, vaut-il mieux factoriser ou développer l’expression de f(x) ?

La fonction f(x) est déjà sous une forme relativement simple pour la résolution, donc il n’est pas nécessaire de factoriser ou développer davantage. On peut directement exploiter la forme donnée.

b) Résoudre alors l’équation f(x)\,=\,0.

f(x)\,=\,0 signifie que :

(x\,%2B\,2)^2\,-\,1\,=\,0

On ajoute 1 des deux côtés de l’équation :

(x\,%2B\,2)^2\,=\,1

En prenant la racine carrée des deux côtés :

x\,%2B\,2\,=\,\pm\,1

Donc, nous avons deux solutions :

x\,%2B\,2\,=\,1\,\quad\,ou\,\quad\,x\,%2B\,2\,=\,-1

Ce qui donne :

x\,=\,-1\,\quad\,ou\,\quad\,x\,=\,-3

Ainsi, les solutions de l’équation f(x)\,=\,0 sont :

x\,=\,-1\,\quad\,et\,\quad\,x\,=\,-3

2. Résoudre chacune des équations :
a) f(x)\,=\,-1

f(x)\,=\,-1\,\Rightarrow\,(x\,%2B\,2)^2\,-\,1\,=\,-1

Ajouter 1 des deux côtés :

(x\,%2B\,2)^2\,=\,0

x\,%2B\,2\,=\,0\,\Rightarrow\,x\,=\,-2

Donc, la solution est :

x\,=\,-2

b) f(x)\,=\,3

f(x)\,=\,3\,\Rightarrow\,(x\,%2B\,2)^2\,-\,1\,=\,3

Ajouter 1 des deux côtés :

(x\,%2B\,2)^2\,=\,4

En prenant la racine carrée des deux côtés :

x\,%2B\,2\,=\,\pm\,2

Donc, nous avons deux solutions :

x\,%2B\,2\,=\,2\,\quad\,ou\,\quad\,x\,%2B\,2\,=\,-2

Ce qui donne :

x\,=\,0\,\quad\,ou\,\quad\,x\,=\,-4

Ainsi, les solutions de l’équation f(x)\,=\,3 sont :

x\,=\,0\,\quad\,et\,\quad\,x\,=\,-4

Exercice 2 : equations et calcul formel
(E)\,\\,(x\,-\,4)(2x\,-\,1)\,-\,x(x\,-\,5)\,=\,0

Développons les termes de l’équation (E) :
(x\,-\,4)(2x\,-\,1)\,-\,x(x\,-\,5)\,=\,0
(x\,-\,4)(2x\,-\,1)\,=\,x(2x)\,%2B\,x(-1)\,-\,4(2x)\,-\,4(-1)\,=\,2x^2\,-\,x\,-\,8x\,%2B\,4\,=\,2x^2\,-\,9x\,%2B\,4
x(x\,-\,5)\,=\,x^2\,-\,5x
Ensuite, nous avons :
2x^2\,-\,9x\,%2B\,4\,-\,(x^2\,-\,5x)\,=\,0
2x^2\,-\,9x\,%2B\,4\,-\,x^2\,%2B\,5x\,=\,0
x^2\,-\,4x\,%2B\,4\,=\,0
(x\,-\,2)^2\,=\,0
Donc, l’équation (E) a pour solution :
x\,=\,2

(F)\,\\,(x\,-\,4)(2x\,-\,1)\,-\,x(x\,-\,5)\,=\,16
En utilisant les développements précédents :
2x^2\,-\,9x\,%2B\,4\,-\,x^2\,%2B\,5x\,=\,16
x^2\,-\,4x\,%2B\,4\,=\,16
x^2\,-\,4x\,%2B\,4\,-\,16\,=\,0
x^2\,-\,4x\,-\,12\,=\,0
Résolvons cette équation quadratique en utilisant la formule quadratique ax^2\,%2B\,bx\,%2B\,c\,=\,0 :
x\,=\,\frac{-b\,\pm\,\sqrt{b^2\,-\,4ac}}{2a}
Ici, a\,=\,1, b\,=\,-4, c\,=\,-12 :
x\,=\,\frac{4\,\pm\,\sqrt{16\,%2B\,48}}{2}
x\,=\,\frac{4\,\pm\,\sqrt{64}}{2}
x\,=\,\frac{4\,\pm\,8}{2}
x\,=\,\frac{4\,%2B\,8}{2}\,\\,ou\,\\,x\,=\,\frac{4\,-\,8}{2}
x\,=\,6\,\\,ou\,\\,x\,=\,-2

Ainsi, les solutions pour l’équation (F) sont :
x\,=\,6\,\\,et\,\\,x\,=\,-2

En conclusion :
– Pour (E), la solution est x\,=\,2.
– Pour (F), les solutions sont x\,=\,6 et x\,=\,-2.

Exercice 3 : tableau de signe d’une fonction affine
a) Pour obtenir le tableau de signes de la fonction f(x)\,=\,4x\,-\,3, trouvons d’abord les racines de la fonction. Nous cherchons les solutions de l’équation 4x\,-\,3\,=\,0.

4x\,-\,3\,=\,0\,\implies\,x\,=\,\frac{3}{4}

La fonction affine f(x)\,=\,4x\,-\,3 change de signe en x\,=\,\frac{3}{4}. Puisque le coefficient de x est positif (4), f(x) est négative pour x\,%3C\,\frac{3}{4} et positive pour x\,>\,\frac{3}{4} est donc :

\begin{array}{%7Cc%7Cccccc%7C}%0D%0A\hline%0D%0Ax\,%26\,-\infty\,%26\,%26\,\frac{3}{4}\,%26\,%26\,%2B\infty\,\\%0D%0A\hline%0D%0Af(x)\,%26\,%26\,-\,%26\,0\,%26\,%2B\,%26\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}

b) Pour résoudre l’inéquation 4x\,-\,3\,>\,0 pour lesquelles la fonction f(x) est positive.

4x\,-\,3\,>\,0\,\implies\,4x\,>\,3\,\implies\,x\,>\,\frac{3}{4}Exercice 4 : fonction affin et tableau de signes
Correction\,de\,l'exercice\,de\,mathematiques

a)\,Donner\,le\,tableau\,de\,signes\,de\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fg%2528x%2529%22\,alt=%22g(x). » align= »absmiddle » />

La fonction g(x)\,=\,-3x\,-\,1 est une fonction affine. Le signe de g(x) change au point où g(x)\,=\,0.

Résolvons l’équation -3x\,-\,1\,=\,0:

-3x\,-\,1\,=\,0
-3x\,=\,1
x\,=\,-\frac{1}{3}

Ainsi, le signe de g(x) change en x\,=\,-\frac{1}{3}.

Pour x\,%3C\,-\frac{1}{3}, -3x\,-\,1 est positif car le coefficient de x est négatif (-3) et x est plus petit que -1/3.
Pour x\,>\,-\frac{1}{3} est négatif.

Tableau de signes de g(x):

\begin{array}{c%7Cccccc}%0D%0Ax\,%26\,-\infty\,%26\,%26\,-\frac{1}{3}\,%26\,%26\,%2B\infty\,\\%0D%0A\hline%0D%0Ag(x)\,%26\,%2B\,%26\,\to\,%26\,0\,%26\,arrow\,%26\,-\,\\%0D%0A\end{array}

b)\,Celia\,affirme\,%3A\,%C2%ABSans\,calcul%2C\,je\,peux\,donner\,le\,signe\,de\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fg%2528-0%252C502%2529%22\,alt=%22g(-0%2C502)». Est-ce possible ? » align= »absmiddle » />

Oui, sans calcul Célia peut donner le signe de g(-0%2C502) car elle sait que le signe de la fonction g(x) dépend du signe de x\,%2B\,\frac{1}{3}. Puisque -0%2C502\,%3C\,-0%2C333, cela signifie que -0%2C502 est en deçà de -\frac{1}{3}, donc dans l’intervalle où g(x) est positif d’après le tableau de signes.

c)\,Deduire\,du\,tableau\,de\,signes\,obtenu\,au\,a)\,la\,resolution\,de\,chacune\,des\,inequations\,%3A

1. %3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F-3x%2520-%25201%2520%255Cleq%25200%22\,alt=%22-3x\,-\,1\,\leq\,\,0 » align= »absmiddle » />

Résolvons l’inéquation:

-3x\,-\,1\,\leq\,\,0

-3x\,\leq\,\,1

x\,\geq\,\,-\frac{1}{3}

Donc, l’ensemble des solutions de -3x\,-\,1\,\leq\,\,0 est x\,\geq\,\,-\frac{1}{3}.

2. %3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F-3x%2520-%25201%2520%253E%25200%22\,alt=%22-3x\,-\,1\,>\,0

Donc, l’ensemble des solutions de -3x\,-\,1\,>\,0.

Exercice 5 : deux fonctions affines et des affirmations vraies ou fausses
1. Tableau de signes:

a) de f(x):

f(x)\,=\,-5x\,%2B\,5
– Racine: -5x\,%2B\,5\,=\,0\,\implies\,x\,=\,1
– Coefficient directeur de f(x) est négatif.

\begin{array}{%7Cc%7Cccccc%7C}%0D%0A\hline%0D%0Ax\,%26\,-\infty\,%26\,%26\,1\,%26\,%26\,%2B\infty\,\\%0D%0A\hline%0D%0Af(x)\,%26\,%2B\,%26\,0\,%26\,-\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}

b) de g(x):

g(x)\,=\,5x\,-\,3
– Racine: 5x\,-\,3\,=\,0\,\implies\,x\,=\,\frac{3}{5}
– Coefficient directeur de g(x) est positif.

\begin{array}{%7Cc%7Cccccc%7C}%0D%0A\hline%0D%0Ax\,%26\,-\infty\,%26\,%26\,\frac{3}{5}\,%26\,%26\,%2B\infty\,\\%0D%0A\hline%0D%0Ag(x)\,%26\,-\,%26\,0\,%26\,%2B\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}

2. Vrai ou faux:

a) Elie affirme : « Je peux dire que f(0%2C982) est positif sans effectuer de calcul ».

Cette affirmation est fausse.
En utilisant le tableau de signes de f(x), 0.982\,%3C\,1\\,donc\,f(x) est négatif pour x\,=\,0%2C982.

b) Quentin déclare : « Il existe un nombre réel inférieur à 2 dont l’image par f est positive ».

Cette affirmation est vraie.
Selon le tableau de signes, f(x) est positive pour x\,%3C\,1. Par conséquent, il suffit de choisir un nombre réel x\,%3C\,1 (donc inférieur à 2 par).

c) Karen note : « Pour tout nombre réel x négatif, son image g(x) est négative ».

Cette affirmation est vraie.
Selon le tableau de signes, g(x) est négative pour x\,%3C\,\frac{3}{5}, et tout nombre négatif est inférieur à \frac{3}{5}.

d) Geoffroy dit : « Il existe des nombres réels x tels qu’à la fois f(x) et g(x) sont positifs ».

Cette affirmation est fausse.
Selon les tableaux de signes de f(x) et g(x), f(x) est positif pour x\,%3C\,1, et g(x) est positif pour x\,>\,\frac{3}{5} tel que les deux conditions soient vérifiées simultanément.

Exercice 6 : système de deux équations à deux inconnues
a) Le système linéaire (S) est:

\begin{cases}%0D%0Ax\,%2B\,y\,=\,1\,\\%0D%0A2x\,-\,y\,=\,5%0D%0A\end{cases}

Pour déterminer le nombre de solutions d’un tel système, on peut regarder les droites définies par ces équations dans le plan. Une droite dans le plan est donnée par une équation de la forme ax\,%2B\,by\,=\,c.

Dans notre cas, les équations peuvent être représentées par :

D_1\,%3A\,x\,%2B\,y\,=\,1
D_2\,%3A\,2x\,-\,y\,=\,5

Calculons les coefficients directeurs de ces droites:

Pour D_1, on peut réécrire comme y\,=\,-x\,%2B\,1, donc le coefficient directeur est -1.

Pour D_2, on peut réécrire comme y\,=\,2x\,-\,5, donc le coefficient directeur est 2.

Les coefficients directeurs des deux droites sont différents (-1 et 2). Ceci implique que les deux droites ne sont pas parallèles; donc elles se coupent en un seul point. Autrement dit, le système (S) a une unique solution.

b) Résolvons le système (S) :

\begin{cases}%0D%0Ax\,%2B\,y\,=\,1\,\quad(1)\,\\%0D%0A2x\,-\,y\,=\,5\,\quad(2)%0D%0A\end{cases}

Additionnons les deux équations pour éliminer y :

(x\,%2B\,y)\,%2B\,(2x\,-\,y)\,=\,1\,%2B\,5

3x\,=\,6

Donc :

x\,=\,2

Substituons x\,=\,2 dans l’équation (1) pour trouver y :

2\,%2B\,y\,=\,1

Donc :

y\,=\,1\,-\,2

y\,=\,-1

Ainsi, la solution du système est (x%2C\,y)\,=\,(2%2C\,-1).

En conclusion, la solution unique du système (S) est (2%2C\,-1).

Exercice 7 : programme de calcul et équations
Soit x le nombre choisi.

1. Ajouter 8 au nombre choisi :
x\,%2B\,8

2. Multiplier le résultat obtenu par 3 :
3(x\,%2B\,8)\,=\,3x\,%2B\,24

3. Enlever 24 au résultat :
3x\,%2B\,24\,-\,24\,=\,3x

4. Enlever le nombre de départ (le nombre choisi) :
3x\,-\,x\,=\,2x

Le résultat final est 2x, soit le double du nombre choisi x.

Donc la conjecture de Faïza est vraie. Pour n’importe quel nombre choisi, on trouve le double du nombre choisi à la fin du programme de calcul.

Exercice 8 : trois triangles équilatéraux identiques découpés dans les coins
Gabriel émet une conjecture : « La somme des périmètres des trois petits triangles équilatéraux est égale au périmètre de l’hexagone orange. » Cette conjecture est-elle vraie ? Justifions.

Un triangle équilatéral de côté a\,=\,6 cm.

Pour trouver le côté d’un petit triangle équilatéral coupé dans les coins, on note que chaque côté du grand triangle a été divisé en 3 parties égales (une partie extérieure du triangle équilatéral découpé et deux parties adjacents).

Par conséquent, chaque côté des petits triangles équilatéraux est de \frac{a}{3}.
Soit a\,=\,6 cm, donc le côté de chaque petit triangle équilatéral est \frac{6}{3}\,=\,2 cm.

Le périmètre d’un triangle équilatéral est :
3\,\times  \,cote

Le périmètre de chaque petit triangle équilatéral est :
3\,\times  \,2\,=\,6\,\%2C\,cm

La somme des périmètres de trois petits triangles équilatéraux est :
3\,\times  \,6\,=\,18\,\%2C\,cm

Pour l’hexagone orange, rappelons que ses côtés sont de longueur égale au côté des petits triangles équilatéraux (2 cm chacun). Un hexagone a 6 côtés, donc :
Perimetre\,de\,l'hexagone\,=\,6\,\times  \,cote\,=\,6\,\times  \,2\,=\,12\,\%2C\,cm

Conclusion, la somme des périmètres des trois petits triangles équilatéraux est 18\,\%2C\,cm tandis que le périmètre de l’hexagone orange est 12\,\%2C\,cm.

La conjecture de Gabriel est donc fausse.

Exercice 9 : nombre de départ et programme de calcul
Correction de l’exercice:

[a) ]
x\,=\,-4
\text{Suivons le programme de calcul:}

Choisir un nombre:
x\,=\,-4
Soustraire 3:
x\,-\,3\,=\,-4\,-\,3\,=\,-7
Élever au carré:
(-7)^2\,=\,49
Soustraire le carré du nombre de départ:
49\,-\,(-4)^2\,=\,49\,-\,16\,=\,33

\text{Donc, on obtient 33 si au départ on choisit }-4.

[b) ]
\text{Soit } x \text{ le nombre de départ.}

Soustraire 3:
x\,-\,3
Élever au carré:
(x\,-\,3)^2
Soustraire le carré du nombre de départ:
(x\,-\,3)^2\,-\,x^2

\text{On souhaite que le résultat soit égal à 0:}
(x\,-\,3)^2\,-\,x^2\,=\,0
\text{Résolvons cette équation:}
(x\,-\,3)^2\,=\,x^2
x^2\,-\,6x\,%2B\,9\,=\,x^2
x^2\,-\,x^2\,-\,6x\,%2B\,9\,=\,0
-6x\,%2B\,9\,=\,0
-6x\,=\,-9
x\,=\,\frac{9}{6}\,=\,\frac{3}{2}

\text{Donc, si le nombre de départ est } \frac{3}{2}, \text{on obtiendra } 0.

Exercice 10 : deux programmes de calcul et une affirmation
Pour vérifier l’affirmation de Joseph, comparons les résultats des deux programmes en utilisant une variable x pour représenter le nombre choisi.

1. Premier\,programme :
– Choisir un nombre x.
– Multiplier par 2 : 2x.
– Ajouter 1 : 2x\,%2B\,1.

Le résultat du premier programme est donc 2x\,%2B\,1.

2. Deuxieme\,programme :
– Choisir un nombre x.
– Ajouter 1 : x\,%2B\,1.
– Élever au carré : (x\,%2B\,1)^2.
– Soustraire le carré du nombre de départ : (x\,%2B\,1)^2\,-\,x^2.

Calculons (x\,%2B\,1)^2\,-\,x^2 :
(x\,%2B\,1)^2\,=\,x^2\,%2B\,2x\,%2B\,1
Donc,
(x\,%2B\,1)^2\,-\,x^2\,=\,(x^2\,%2B\,2x\,%2B\,1)\,-\,x^2\,=\,2x\,%2B\,1

Le résultat du deuxième programme est donc 2x\,%2B\,1.

Conclusion : Les deux programmes donnent le même résultat, peu importe le nombre choisi x. Joseph a raison.

b) Pour vérifier s’il est possible d’obtenir 0, posons l’équation du résultat égal à 0 :

2x\,%2B\,1\,=\,0

Résolvons cette équation :
2x\,=\,-1\,\implies\,x\,=\,-\frac{1}{2}

Oui, il est possible d’obtenir 0 en choisissant x\,=\,-\frac{1}{2}.

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