Les équations et inéquations : corrigés des exercices en 2de.

Exercice 1 : fonctions et inéquations du 1er degré
Correction de l’exercice :

1. On se propose de résoudre l’équation $f(x)\,=\,0$ .

a) Pour cela, vaut-il mieux factoriser ou développer l’expression de ?

La fonction est déjà sous une forme relativement simple pour la résolution, donc il n’est pas nécessaire de factoriser ou développer davantage. On peut directement exploiter la forme donnée.

b) Résoudre alors l’équation $f(x)\,=\,0$ .

$f(x)\,=\,0$ signifie que :

$(x\,%2B\,2)^2\,-\,1\,=\,0$

On ajoute 1 des deux côtés de l’équation :

$(x\,%2B\,2)^2\,=\,1$

En prenant la racine carrée des deux côtés :

$x\,%2B\,2\,=\,\pm\,1$

Donc, nous avons deux solutions :

$x\,%2B\,2\,=\,1\,\quad\,ou\,\quad\,x\,%2B\,2\,=\,-1$

Ce qui donne :

$x\,=\,-1\,\quad\,ou\,\quad\,x\,=\,-3$

Ainsi, les solutions de l’équation $f(x)\,=\,0$ sont :

$x\,=\,-1\,\quad\,et\,\quad\,x\,=\,-3$

2. Résoudre chacune des équations :
a) $f(x)\,=\,-1$

$f(x)\,=\,-1\,\Rightarrow\,(x\,%2B\,2)^2\,-\,1\,=\,-1$

Ajouter 1 des deux côtés :

$(x\,%2B\,2)^2\,=\,0$

$x\,%2B\,2\,=\,0\,\Rightarrow\,x\,=\,-2$

Donc, la solution est :

$x\,=\,-2$

b) $f(x)\,=\,3$

$f(x)\,=\,3\,\Rightarrow\,(x\,%2B\,2)^2\,-\,1\,=\,3$

Ajouter 1 des deux côtés :

$(x\,%2B\,2)^2\,=\,4$

En prenant la racine carrée des deux côtés :

$x\,%2B\,2\,=\,\pm\,2$

Donc, nous avons deux solutions :

$x\,%2B\,2\,=\,2\,\quad\,ou\,\quad\,x\,%2B\,2\,=\,-2$

Ce qui donne :

$x\,=\,0\,\quad\,ou\,\quad\,x\,=\,-4$

Ainsi, les solutions de l’équation $f(x)\,=\,3$ sont :

$x\,=\,0\,\quad\,et\,\quad\,x\,=\,-4$

Exercice 2 : equations et calcul formel
$(E)\,\\,(x\,-\,4)(2x\,-\,1)\,-\,x(x\,-\,5)\,=\,0$

Développons les termes de l’équation (E) :
$(x\,-\,4)(2x\,-\,1)\,-\,x(x\,-\,5)\,=\,0$
$(x\,-\,4)(2x\,-\,1)\,=\,x(2x)\,%2B\,x(-1)\,-\,4(2x)\,-\,4(-1)\,=\,2x^2\,-\,x\,-\,8x\,%2B\,4\,=\,2x^2\,-\,9x\,%2B\,4$
$x(x\,-\,5)\,=\,x^2\,-\,5x$
Ensuite, nous avons :
$2x^2\,-\,9x\,%2B\,4\,-\,(x^2\,-\,5x)\,=\,0$
$2x^2\,-\,9x\,%2B\,4\,-\,x^2\,%2B\,5x\,=\,0$
$x^2\,-\,4x\,%2B\,4\,=\,0$
$(x\,-\,2)^2\,=\,0$
Donc, l’équation (E) a pour solution :
$x\,=\,2$

$(F)\,\\,(x\,-\,4)(2x\,-\,1)\,-\,x(x\,-\,5)\,=\,16$
En utilisant les développements précédents :
$2x^2\,-\,9x\,%2B\,4\,-\,x^2\,%2B\,5x\,=\,16$
$x^2\,-\,4x\,%2B\,4\,=\,16$
$x^2\,-\,4x\,%2B\,4\,-\,16\,=\,0$
$x^2\,-\,4x\,-\,12\,=\,0$
Résolvons cette équation quadratique en utilisant la formule quadratique $ax^2\,%2B\,bx\,%2B\,c\,=\,0$ :
$x\,=\,\frac{-b\,\pm\,\sqrt{b^2\,-\,4ac}}{2a}$
Ici, $a\,=\,1$ , $b\,=\,-4$ , $c\,=\,-12$ :
$x\,=\,\frac{4\,\pm\,\sqrt{16\,%2B\,48}}{2}$
$x\,=\,\frac{4\,\pm\,\sqrt{64}}{2}$
$x\,=\,\frac{4\,\pm\,8}{2}$
$x\,=\,\frac{4\,%2B\,8}{2}\,\\,ou\,\\,x\,=\,\frac{4\,-\,8}{2}$
$x\,=\,6\,\\,ou\,\\,x\,=\,-2$

Ainsi, les solutions pour l’équation (F) sont :
$x\,=\,6\,\\,et\,\\,x\,=\,-2$

En conclusion :
– Pour (E), la solution est $x\,=\,2$ .
– Pour (F), les solutions sont $x\,=\,6$ et $x\,=\,-2$ .

Exercice 3 : tableau de signe d’une fonction affine
a) Pour obtenir le tableau de signes de la fonction $f(x)\,=\,4x\,-\,3$ , trouvons d’abord les racines de la fonction. Nous cherchons les solutions de l’équation $4x\,-\,3\,=\,0$ .

$4x\,-\,3\,=\,0\,\implies\,x\,=\,\frac{3}{4}$

La fonction affine $f(x)\,=\,4x\,-\,3$ change de signe en $x\,=\,\frac{3}{4}$ . Puisque le coefficient de est positif (4), est négative pour $x\,%3C\,\frac{3}{4}$ et positive pour $x\,>\,\frac{3}{4}$ est donc :

$\begin{array}{%7Cc%7Cccccc%7C}%0D%0A\hline%0D%0Ax\,%26\,-\infty\,%26\,%26\,\frac{3}{4}\,%26\,%26\,%2B\infty\,\\%0D%0A\hline%0D%0Af(x)\,%26\,%26\,-\,%26\,0\,%26\,%2B\,%26\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

b) Pour résoudre l’inéquation $4x\,-\,3\,>\,0$ pour lesquelles la fonction est positive.

$4x\,-\,3\,>\,0\,\implies\,4x\,>\,3\,\implies\,x\,>\,\frac{3}{4}$ Exercice 4 : fonction affin et tableau de signes
$Correction\,de\,l'exercice\,de\,mathematiques$

$a)\,Donner\,le\,tableau\,de\,signes\,de\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fg%2528x%2529%22\,alt=%22g(x)$ . » align= »absmiddle » />

La fonction $g(x)\,=\,-3x\,-\,1$ est une fonction affine. Le signe de change au point où $g(x)\,=\,0$ .

Résolvons l’équation $-3x\,-\,1\,=\,0$ :

$-3x\,-\,1\,=\,0$
$-3x\,=\,1$
$x\,=\,-\frac{1}{3}$

Ainsi, le signe de change en $x\,=\,-\frac{1}{3}$ .

Pour $x\,%3C\,-\frac{1}{3}$ , $-3x\,-\,1$ est positif car le coefficient de est négatif (-3) et est plus petit que -1/3.
Pour $x\,>\,-\frac{1}{3}$ est négatif.

Tableau de signes de :

$\begin{array}{c%7Cccccc}%0D%0Ax\,%26\,-\infty\,%26\,%26\,-\frac{1}{3}\,%26\,%26\,%2B\infty\,\\%0D%0A\hline%0D%0Ag(x)\,%26\,%2B\,%26\,\to\,%26\,0\,%26\,arrow\,%26\,-\,\\%0D%0A\end{array}$

$b)\,Celia\,affirme\,%3A\,%C2%ABSans\,calcul%2C\,je\,peux\,donner\,le\,signe\,de\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fg%2528-0%252C502%2529%22\,alt=%22g(-0%2C502)$ ». Est-ce possible ? » align= »absmiddle » />

Oui, sans calcul Célia peut donner le signe de car elle sait que le signe de la fonction dépend du signe de $x\,%2B\,\frac{1}{3}$ . Puisque $-0%2C502\,%3C\,-0%2C333$ , cela signifie que est en deçà de $-\frac{1}{3}$ , donc dans l’intervalle où est positif d’après le tableau de signes.

$c)\,Deduire\,du\,tableau\,de\,signes\,obtenu\,au\,a)\,la\,resolution\,de\,chacune\,des\,inequations\,%3A$

1. $%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F-3x%2520-%25201%2520%255Cleq%25200%22\,alt=%22-3x\,-\,1\,\leq\,\,0$ » align= »absmiddle » />

Résolvons l’inéquation:

$-3x\,-\,1\,\leq\,\,0$

$-3x\,\leq\,\,1$

$x\,\geq\,\,-\frac{1}{3}$

Donc, l’ensemble des solutions de $-3x\,-\,1\,\leq\,\,0$ est $x\,\geq\,\,-\frac{1}{3}$ .

2. $%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F-3x%2520-%25201%2520%253E%25200%22\,alt=%22-3x\,-\,1\,>\,0$

Donc, l’ensemble des solutions de $-3x\,-\,1\,>\,0$ .

Exercice 5 : deux fonctions affines et des affirmations vraies ou fausses
1. Tableau de signes:

a) de :

$f(x)\,=\,-5x\,%2B\,5$
– Racine: $-5x\,%2B\,5\,=\,0\,\implies\,x\,=\,1$
– Coefficient directeur de est négatif.

$\begin{array}{%7Cc%7Cccccc%7C}%0D%0A\hline%0D%0Ax\,%26\,-\infty\,%26\,%26\,1\,%26\,%26\,%2B\infty\,\\%0D%0A\hline%0D%0Af(x)\,%26\,%2B\,%26\,0\,%26\,-\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

b) de :

$g(x)\,=\,5x\,-\,3$
– Racine: $5x\,-\,3\,=\,0\,\implies\,x\,=\,\frac{3}{5}$
– Coefficient directeur de est positif.

$\begin{array}{%7Cc%7Cccccc%7C}%0D%0A\hline%0D%0Ax\,%26\,-\infty\,%26\,%26\,\frac{3}{5}\,%26\,%26\,%2B\infty\,\\%0D%0A\hline%0D%0Ag(x)\,%26\,-\,%26\,0\,%26\,%2B\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

2. Vrai ou faux:

a) Elie affirme : « Je peux dire que est positif sans effectuer de calcul ».

Cette affirmation est fausse.
En utilisant le tableau de signes de , $0.982\,%3C\,1\\,donc\,f(x)$ est négatif pour $x\,=\,0%2C982$ .

b) Quentin déclare : « Il existe un nombre réel inférieur à 2 dont l’image par est positive ».

Cette affirmation est vraie.
Selon le tableau de signes, est positive pour $x\,%3C\,1$ . Par conséquent, il suffit de choisir un nombre réel $x\,%3C\,1$ (donc inférieur à 2 ).

c) Karen note : « Pour tout nombre réel négatif, son image est négative ».

Cette affirmation est vraie.
Selon le tableau de signes, est négative pour $x\,%3C\,\frac{3}{5}$ , et tout nombre négatif est inférieur à $\frac{3}{5}$ .

d) Geoffroy dit : « Il existe des nombres réels tels qu’à la fois et sont positifs ».

Cette affirmation est fausse.
Selon les tableaux de signes de et , est positif pour $x\,%3C\,1$ , et est positif pour $x\,>\,\frac{3}{5}$ tel que les deux conditions soient vérifiées simultanément.

Exercice 6 : système de deux équations à deux inconnues
a) Le système linéaire est:

$\begin{cases}%0D%0Ax\,%2B\,y\,=\,1\,\\%0D%0A2x\,-\,y\,=\,5%0D%0A\end{cases}$

Pour déterminer le nombre de solutions d’un tel système, on peut regarder les droites définies par ces équations dans le plan. Une droite dans le plan est donnée par une équation de la forme $ax\,%2B\,by\,=\,c$ .

Dans notre cas, les équations peuvent être représentées par :

$D_1\,%3A\,x\,%2B\,y\,=\,1$
$D_2\,%3A\,2x\,-\,y\,=\,5$

Calculons les coefficients directeurs de ces droites:

Pour , on peut réécrire comme $y\,=\,-x\,%2B\,1$ , donc le coefficient directeur est .

Pour , on peut réécrire comme $y\,=\,2x\,-\,5$ , donc le coefficient directeur est .

Les coefficients directeurs des deux droites sont différents ( et ). Ceci implique que les deux droites ne sont pas parallèles; donc elles se coupent en un seul point. Autrement dit, le système a une unique solution.

b) Résolvons le système :

$\begin{cases}%0D%0Ax\,%2B\,y\,=\,1\,\quad(1)\,\\%0D%0A2x\,-\,y\,=\,5\,\quad(2)%0D%0A\end{cases}$

Additionnons les deux équations pour éliminer :

$(x\,%2B\,y)\,%2B\,(2x\,-\,y)\,=\,1\,%2B\,5$

$3x\,=\,6$

Donc :

$x\,=\,2$

Substituons $x\,=\,2$ dans l’équation pour trouver :

$2\,%2B\,y\,=\,1$

Donc :

$y\,=\,1\,-\,2$

$y\,=\,-1$

Ainsi, la solution du système est $(x%2C\,y)\,=\,(2%2C\,-1)$ .

En conclusion, la solution unique du système est $(2%2C\,-1)$ .

Exercice 7 : programme de calcul et équations
Soit le nombre choisi.

1. Ajouter 8 au nombre choisi :
$x\,%2B\,8$

2. Multiplier le résultat obtenu par 3 :
$3(x\,%2B\,8)\,=\,3x\,%2B\,24$

3. Enlever 24 au résultat :
$3x\,%2B\,24\,-\,24\,=\,3x$

4. Enlever le nombre de départ (le nombre choisi) :
$3x\,-\,x\,=\,2x$

Le résultat final est , soit le double du nombre choisi .

Donc la conjecture de Faïza est vraie. Pour n’importe quel nombre choisi, on trouve le double du nombre choisi à la fin du programme de calcul.

Exercice 8 : trois triangles équilatéraux identiques découpés dans les coins
Gabriel émet une conjecture : « La somme des périmètres des trois petits triangles équilatéraux est égale au périmètre de l’hexagone orange. » Cette conjecture est-elle vraie ? Justifions.

Un triangle équilatéral de côté $a\,=\,6$ cm.

Pour trouver le côté d’un petit triangle équilatéral coupé dans les coins, on note que chaque côté du grand triangle a été divisé en 3 parties égales (une partie extérieure du triangle équilatéral découpé et deux parties adjacents).

Par conséquent, chaque côté des petits triangles équilatéraux est de $\frac{a}{3}$ .
Soit $a\,=\,6$ cm, donc le côté de chaque petit triangle équilatéral est $\frac{6}{3}\,=\,2$ cm.

Le périmètre d’un triangle équilatéral est :
$3\,\times \,cote$

Le périmètre de chaque petit triangle équilatéral est :
$3\,\times \,2\,=\,6\,\%2C\,cm$

La somme des périmètres de trois petits triangles équilatéraux est :
$3\,\times \,6\,=\,18\,\%2C\,cm$

Pour l’hexagone orange, rappelons que ses côtés sont de longueur égale au côté des petits triangles équilatéraux (2 cm chacun). Un hexagone a 6 côtés, donc :
$Perimetre\,de\,l'hexagone\,=\,6\,\times \,cote\,=\,6\,\times \,2\,=\,12\,\%2C\,cm$

Conclusion, la somme des périmètres des trois petits triangles équilatéraux est $18\,\%2C\,cm$ tandis que le périmètre de l’hexagone orange est $12\,\%2C\,cm$ .

La conjecture de Gabriel est donc fausse.

Exercice 9 : nombre de départ et programme de calcul
Correction de l’exercice:

[a) ]
$x\,=\,-4$
\text{Suivons le programme de calcul:}

Choisir un nombre:
$x\,=\,-4$
Soustraire 3:
$x\,-\,3\,=\,-4\,-\,3\,=\,-7$
Élever au carré:
$(-7)^2\,=\,49$
Soustraire le carré du nombre de départ:
$49\,-\,(-4)^2\,=\,49\,-\,16\,=\,33$

\text{Donc, on obtient 33 si au départ on choisit }.

[b) ]
\text{Soit } \text{ le nombre de départ.}

Soustraire 3:
$x\,-\,3$
Élever au carré:
$(x\,-\,3)^2$
Soustraire le carré du nombre de départ:
$(x\,-\,3)^2\,-\,x^2$

\text{On souhaite que le résultat soit égal à 0:}
$(x\,-\,3)^2\,-\,x^2\,=\,0$
\text{Résolvons cette équation:}
$(x\,-\,3)^2\,=\,x^2$
$x^2\,-\,6x\,%2B\,9\,=\,x^2$
$x^2\,-\,x^2\,-\,6x\,%2B\,9\,=\,0$
$-6x\,%2B\,9\,=\,0$
$-6x\,=\,-9$
$x\,=\,\frac{9}{6}\,=\,\frac{3}{2}$

\text{Donc, si le nombre de départ est } $\frac{3}{2}$ , \text{on obtiendra } 0.

Exercice 10 : deux programmes de calcul et une affirmation
Pour vérifier l’affirmation de Joseph, comparons les résultats des deux programmes en utilisant une variable pour représenter le nombre choisi.

1. $Premier\,programme$ :
– Choisir un nombre .
– Multiplier par 2 : .
– Ajouter 1 : $2x\,%2B\,1$ .

Le résultat du premier programme est donc $2x\,%2B\,1$ .

2. $Deuxieme\,programme$ :
– Choisir un nombre .
– Ajouter 1 : $x\,%2B\,1$ .
– Élever au carré : $(x\,%2B\,1)^2$ .
– Soustraire le carré du nombre de départ : $(x\,%2B\,1)^2\,-\,x^2$ .

Calculons $(x\,%2B\,1)^2\,-\,x^2$ :
$(x\,%2B\,1)^2\,=\,x^2\,%2B\,2x\,%2B\,1$
Donc,
$(x\,%2B\,1)^2\,-\,x^2\,=\,(x^2\,%2B\,2x\,%2B\,1)\,-\,x^2\,=\,2x\,%2B\,1$

Le résultat du deuxième programme est donc $2x\,%2B\,1$ .

: Les deux programmes donnent le même résultat, peu importe le nombre choisi . Joseph a raison.

b) Pour vérifier s’il est possible d’obtenir 0, posons l’équation du résultat égal à 0 :

$2x\,%2B\,1\,=\,0$

Résolvons cette équation :
$2x\,=\,-1\,\implies\,x\,=\,-\frac{1}{2}$

Oui, il est possible d’obtenir 0 en choisissant $x\,=\,-\frac{1}{2}$ .

Exercice 11 : algorithme et formule d’abonnement à un club
Variables : est un nombre entier naturel
$u%2C\,v$ sont des nombres réels

Entrée : Saisir

Traitement et sortie :

1. Affecter à la valeur $30\,%2B\,1{%2C}45x$

$u\,arrow\,30\,%2B\,1{%2C}45x$

2. Affecter à la valeur $20\,%2B\,1{%2C}75x$

$v\,arrow\,20\,%2B\,1{%2C}75x$

3. Si $u\,\leq\,\,v$ alors

$Afficher\,%22Formule\,A\,moins\,chere%22$

sinon

$Afficher\,%22Formule\,B\,moins\,chere%22$

Fin Si

Exercice 12 : conjecture et programmes de calcul
$Correction\,des\,exercices\,%3A$

1. Quel nombre obtient-on avec chaque programme lorsqu’on choisit :

Soit le nombre choisi.

$Programme\,1\,%3A$
$x\,\to\,x\,-\,1\,\to\,(x\,-\,1)^2\,\to\,4(x\,-\,1)^2\,\to\,4(x\,-\,1)^2\,-\,1$

$Programme\,2\,%3A$
$x\,\to\,2x\,-\,1\,\to\,2x\,%2B\,2\,\to\,(2x\,-\,1)(2x\,%2B\,2)$

Calculons pour chaque valeur donnée de :

a) $x\,=\,-1$
– Programme 1 :
$-1\,\to\,-1\,-\,1\,=\,-2\,\to\,(-2)^2\,=\,4\,\to\,4\,\times \,4\,=\,16\,\to\,16\,-\,1\,=\,15$
– Programme 2 :
$-1\,\to\,2(-1)\,-\,1\,=\,-3\,\to\,2(-1)\,%2B\,2\,=\,0\,\to\,(-3)\,\times \,0\,=\,0$

b) $x\,=\,0$
– Programme 1 :
$0\,\to\,0\,-\,1\,=\,-1\,\to\,(-1)^2\,=\,1\,\to\,4\,\times \,1\,=\,4\,\to\,4\,-\,1\,=\,3$
– Programme 2 :
$0\,\to\,2(0)\,-\,1\,=\,-1\,\to\,2(0)\,%2B\,2\,=\,2\,\to\,(-1)\,\times \,2\,=\,-2$

c) $x\,=\,1$
– Programme 1 :
$1\,\to\,1\,-\,1\,=\,0\,\to\,0^2\,=\,0\,\to\,4\,\times \,0\,=\,0\,\to\,0\,-\,1\,=\,-1$
– Programme 2 :
$1\,\to\,2(1)\,-\,1\,=\,1\,\to\,2(1)\,%2B\,2\,=\,4\,\to\,1\,\times \,4\,=\,4$

d) $x\,=\,2$
– Programme 1 :
$2\,\to\,2\,-\,1\,=\,1\,\to\,1^2\,=\,1\,\to\,4\,\times \,1\,=\,4\,\to\,4\,-\,1\,=\,3$
– Programme 2 :
$2\,\to\,2(2)\,-\,1\,=\,3\,\to\,2(2)\,%2B\,2\,=\,6\,\to\,3\,\times \,6\,=\,18$

2. $Emettre\,une\,conjecture\,quant\,a\,ces\,deux\,programmes\,de\,calcul.$

$Conjecture\,%3A$ Il semble que les résultats des deux programmes soient différents en général, sauf dans des cas particuliers où les opérations coïncident pour produire des résultats particuliers.

$Demontrer\,cette\,conjecture\,%3A$

Reprenons les deux expressions générales pour un nombre donné :

$Programme\,1\,%3A$
$4(x-1)^2\,-\,1$

$Programme\,2\,%3A$

Développons et simplifions si nécessaire :
– Programme 1 :
$4(x-1)^2\,-\,1\,=\,4(x^2\,-\,2x\,%2B\,1)\,-\,1\,=\,4x^2\,-\,8x\,%2B\,4\,-\,1\,=\,4x^2\,-\,8x\,%2B\,3$
– Programme 2 :
$(2x-1)(2x%2B2)\,=\,2x(2x%2B2)\,-\,1(2x%2B2)\,=\,4x^2\,%2B\,4x\,-\,2x\,-\,2\,=\,4x^2\,%2B\,2x\,-\,2$

Comparons les deux expressions :
$4x^2\,-\,8x\,%2B\,3\,\quad\,et\,\quad\,4x^2\,%2B\,2x\,-\,2$

Pour que les expressions soient identiques :
$4x^2\,-\,8x\,%2B\,3\,=\,4x^2\,%2B\,2x\,-\,2$

En simplifiant l’égalité :
$-8x\,%2B\,3\,=\,2x\,-\,2\,\implies\,-10x\,=\,-5\,\implies\,x\,=\,\frac{1}{2}$

Pour $x\,=\,\frac{1}{2}$ , les deux programmes donnent le même résultat. Cependant, en général, les résultats des programmes sont différents pour la plupart des autres valeurs de , validant ainsi notre conjecture.

Conclusion : À moins de cas particuliers, les résultats des deux programmes de calcul restent différents.

Exercice 13 : tableur et conjecture d’une équation
a) On observe la formule saisie dans la cellule B1 : $B1\,=\,A1^2\,-\,(A1\,-\,6)\,\cdot\,(A1\,%2B\,6)$ .

En recopiant cette formule vers le bas, les valeurs dans la colonne B pour les différentes valeurs de sont calculées comme suit :

\begin{align*}
\text{Pour } A1 = 1, \quad B1 = 1^2 – (1 – 6) \cdot (1 + 6) = 1 – (-5) \cdot 7 = 1 – (-35) = 1 + 35 = 36 \\
\text{Pour } A1 = 2, \quad B2 = 2^2 – (2 – 6) \cdot (2 + 6) = 4 – (-4) \cdot 8 = 4 – (-32) = 4 + 32 = 36 \\
\text{Pour } A1 = 3, \quad B3 = 3^2 – (3 – 6) \cdot (3 + 6) = 9 – (-3) \cdot 9 = 9 – (-27) = 9 + 27 = 36 \\
\text{Pour } A1 = 4, \quad B4 = 4^2 – (4 – 6) \cdot (4 + 6) = 16 – (-2) \cdot 10 = 16 – (-20) = 16 + 20 = 36 \\
\text{Pour } A1 = 5, \quad B5 = 5^2 – (5 – 6) \cdot (5 + 6) = 25 – (-1) \cdot 11 = 25 – (-11) = 25 + 11 = 36
\end{align*}

On remarque que la valeur de la colonne B est toujours égale à 36 pour les différentes valeurs de A1 (variant de 1 à 5).

b) Conjecture : Quelle que soit la valeur de , la valeur de sera toujours égale à 36.

Démonstration :
La formule entrant en jeu est :
$B\,=\,A1^2\,-\,(A1\,-\,6)(A1\,%2B\,6)$

Développons l’expression :
$(A1\,-\,6)(A1\,%2B\,6)\,=\,A1^2\,-\,36$

Ainsi, la formule devient :
$B\,=\,A1^2\,-\,(A1^2\,-\,36)\,=\,A1^2\,-\,A1^2\,%2B\,36\,=\,36$

Cette simplification montre que, quelle que soit la valeur de , le résultat sera toujours 36.

Ainsi, la conjecture est vérifiée et démontrée.

Exercice 14 : factoriser une expression
1.
a) $3x\,%2B\,6$

$3x\,%2B\,6\,=\,3(x\,%2B\,2)$

b) $A\,=\,3x\,%2B\,6\,%2B\,(x\,%2B\,2)(x\,-\,8)$

On remplace $3x\,%2B\,6$ par sa forme factorisée :

$A\,=\,3(x\,%2B\,2)\,%2B\,(x\,%2B\,2)(x\,-\,8)$

Factorisation par $(x\,%2B\,2)$ :

$A\,=\,(x\,%2B\,2)(3\,%2B\,(x\,-\,8))\,=\,(x\,%2B\,2)(x\,-\,5)$

2.
a) $B\,=\,x^2\,-\,4\,%2B\,(x\,-\,1)(x\,%2B\,2)$

On reconnaît une différence de carrés dans $x^2\,-\,4$ et on simplifie le produit :

$x^2\,-\,4\,=\,(x\,-\,2)(x\,%2B\,2)$
$(x\,-\,1)(x\,%2B\,2)\,=\,x^2\,%2B\,x\,-\,2$

B devient alors :

$B\,=\,(x\,-\,2)(x\,%2B\,2)\,%2B\,x^2\,%2B\,x\,-\,2$

b) $C\,=\,x^2\,%2B\,4x\,%2B\,(x\,%2B\,1)(x\,%2B\,4)$

On développe $(x\,%2B\,1)(x\,%2B\,4)$ :

$(x\,%2B\,1)(x\,%2B\,4)\,=\,x^2\,%2B\,5x\,%2B\,4$

Puis on simplifie :

$C\,=\,x^2\,%2B\,4x\,%2B\,x^2\,%2B\,5x\,%2B\,4$
$C\,=\,2x^2\,%2B\,9x\,%2B\,4$

Exercice 15 : calcul littéral et factorisation
Correction de l’exercice :

1. a)
Calculons les deux expressions de pour $x\,=\,0$ .

Sans factorisation :
$A\,=\,(x\,%2B\,4)(x\,-\,3)\,%2B\,(x\,%2B\,4)(x\,-\,1)\,%2B\,x\,%2B\,4$
Pour $x\,=\,0$ :
$A\,=\,(0\,%2B\,4)(0\,-\,3)\,%2B\,(0\,%2B\,4)(0\,-\,1)\,%2B\,0\,%2B\,4$
$A\,=\,4\,\cdot\,(-3)\,%2B\,4\,\cdot\,(-1)\,%2B\,4$
$A\,=\,-12\,-\,4\,%2B\,4$
$A\,=\,-12$

Avec la factorisation de Alice :
$A\,=\,(x\,%2B\,4)(2x\,-\,4)$
Pour $x\,=\,0$ :
$A\,=\,(0\,%2B\,4)(2\,\cdot\,0\,-\,4)$
$A\,=\,4\,\cdot\,(-4)$
$A\,=\,-16$

En conclusion, il semble y avoir une erreur dans la factorisation donnée par Alice, car les deux calculs ne donnent pas le même résultat pour $x\,=\,0$ .

b)
Commençons avec l’équation :
$(x\,%2B\,4)(x\,-\,3)\,%2B\,(x\,%2B\,4)(x\,-\,1)\,%2B\,x\,%2B\,4$

Factorisons par $(x\,%2B\,4)$ :
$A\,=\,(x\,%2B\,4)%5B(x\,-\,3)\,%2B\,(x\,-\,1)%5D\,%2B\,x\,%2B\,4$
$(x\,-\,3)\,%2B\,(x\,-\,1)\,=\,2x\,-\,4$
$A\,=\,(x\,%2B\,4)(2x\,-\,4)\,%2B\,x\,%2B\,4$

Développons maintenant le produit :
$A\,=\,(x\,%2B\,4)(2x\,-\,4)$
$A\,=\,2x^2\,-\,4x\,%2B\,8x\,-\,16$
$A\,=\,2x^2\,%2B\,4x\,-\,16$

Ajoutons $x\,%2B\,4$ :
$A\,=\,2x^2\,%2B\,4x\,-\,16\,%2B\,x\,%2B\,4$
$A\,=\,2x^2\,%2B\,5x\,-\,12$

De ce fait, la factorisation correcte doit être revue. Continuons avec les autres points pour éviter toute confusion :

2. Factorisons les expressions :

a)
$B\,=\,(2x\,-\,1)(x\,%2B\,3)\,%2B\,2x\,-\,1$

Factorisons par $2x\,-\,1$ :
$B\,=\,(2x\,-\,1)%5B(x\,%2B\,3)\,%2B\,1%5D$
$B\,=\,(2x\,-\,1)(x\,%2B\,4)$

b)
$C\,=\,(x\,%2B\,1)^2\,%2B\,(x\,%2B\,1)(2x\,-\,2)\,%2B\,x\,%2B\,1$

Factorisons par $x\,%2B\,1$ :
$C\,=\,(x\,%2B\,1)%5B(x\,%2B\,1)\,%2B\,(2x\,-\,2)%5D\,%2B\,x\,%2B\,1$
$C\,=\,(x\,%2B\,1)%5B(x\,%2B\,1)\,%2B\,2x\,-\,2%5D\,%2B\,x\,%2B\,1$
$C\,=\,(x\,%2B\,1)(3x\,-\,1)\,%2B\,x\,%2B\,1$

3. Démontrons que pour tout nombre réel :
$(x\,%2B\,6)(x\,%2B\,7)\,=\,(x\,%2B\,6)^2\,%2B\,x\,%2B\,6$

À gauche, développons :
$(x\,%2B\,6)(x\,%2B\,7)\,=\,x^2\,%2B\,7x\,%2B\,6x\,%2B\,42$
$=\,x^2\,%2B\,13x\,%2B\,42$

À droite, développons :
$(x\,%2B\,6)^2\,%2B\,x\,%2B\,6\,=\,x^2\,%2B\,12x\,%2B\,36\,%2B\,x\,%2B\,6$
$=\,x^2\,%2B\,13x\,%2B\,42$

Les deux expressions sont égales.

La totalité de l’exercice est corrigée.

Exercice 16 : fonction et calculs d’images avec équations
Correction de l’exercice:

Pour montrer que f(x) peut être écrite sous différentes formes, nous partons de la forme donnée dans l’exercice.

$f(x)\,=\,(x\,-\,3)^2\,-\,25$

Première forme, montrons que $f(x)\,=\,x^2\,-\,6x\,-\,16$ :

Développons et simplifions l’expression :

$f(x)\,=\,(x\,-\,3)^2\,-\,25$

$=\,(x^2\,-\,6x\,%2B\,9)\,-\,25$

$=\,x^2\,-\,6x\,%2B\,9\,-\,25$

$=\,x^2\,-\,6x\,-\,16$

La première forme est donc correcte :

$f(x)\,=\,x^2\,-\,6x\,-\,16$

Deuxième forme, montrons que $f(x)\,=\,(x\,-\,8)(x\,%2B\,2)$ :

Différents facteurs peuvent être utilisés pour écrire $x^2\,-\,6x\,-\,16$ . Facteurisons l’expression en utilisant des racines :

$f(x)\,=\,x^2\,-\,6x\,-\,16$

Nous cherchons et tels que $(x\,-\,a)(x\,%2B\,b)\,=\,x^2\,-\,6x\,-\,16$ .

Les racines du polynôme $x^2\,-\,6x\,-\,16\,=\,0$ sont données par la formule quadratique :

$x\,=\,\frac{6\,\pm\,\sqrt{(-6)^2\,-\,4\,\cdot\,1\,\cdot\,(-16)}}{2\,\cdot\,1}$

$x\,=\,\frac{6\,\pm\,\sqrt{36\,%2B\,64}}{2}$

$x\,=\,\frac{6\,\pm\,10}{2}$

$x\,=\,8\,\quad\,et\,\quad\,x\,=\,-2$

Ainsi, nous pouvons écrire :

$f(x)\,=\,(x\,-\,8)(x\,%2B\,2)$

La deuxième forme est donc correcte :

$f(x)\,=\,(x\,-\,8)(x\,%2B\,2)$

$Repondons\,maintenant\,aux\,questions\,suivantes\,%3A$

$2.\,a)\,Calculer\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Ff%25283%2529%22\,alt=%22f(3)$ : » align= »absmiddle » />

Utilisons la forme (1) pour calculer f(3) :

$f(3)\,=\,(3\,-\,3)^2\,-\,25$

$=\,0\,-\,25$

$=\,-25$

$b)\,Resoudre\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Ff%2528x%2529%2520%253D%25200%22\,alt=%22f(x)\,=\,0$ : » align= »absmiddle » />

Utilisons la forme (3) pour résoudre $(x\,-\,8)(x\,%2B\,2)\,=\,0$ :

$(x\,-\,8)\,=\,0\,\quad\,ou\,\quad\,(x\,%2B\,2)\,=\,0$

$x\,=\,8\,\quad\,ou\,\quad\,x\,=\,-2$

Les solutions sont $x\,=\,8$ et $x\,=\,-2$ .

$c)\,Resoudre\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Ff%2528x%2529%2520%253D%2520-16%22\,alt=%22f(x)\,=\,-16$ : » align= »absmiddle » />

Utilisons la forme (2) pour résoudre $x^2\,-\,6x\,-\,16\,=\,-16$ :

$x^2\,-\,6x\,-\,16\,%2B\,16\,=\,0$

$x^2\,-\,6x\,=\,0$

$x(x\,-\,6)\,=\,0$

Les solutions sont $x\,=\,0$ et $x\,=\,6$ .

$d)\,Resoudre\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Ff%2528x%2529%2520%253D%2520-25%22\,alt=%22f(x)\,=\,-25$ : » align= »absmiddle » />

Utilisons la forme (1) pour résoudre $(x\,-\,3)^2\,-\,25\,=\,-25$ :

$(x\,-\,3)^2\,=\,0$

$x\,-\,3\,=\,0$

$x\,=\,3$

La solution est $x\,=\,3$ .

Exercice 17 : factorisation et résolution d’une équation
Emma et Pierre travaillent en binôme pour résoudre l’équation :
$(x\,%2B\,3)(x\,-\,7)\,-\,(x\,-\,1)(x\,%2B\,2)\,=\,0$

Emma affirme : « Je peux résoudre l’équation à l’aide d’une factorisation ».

Pierre répond : « Inutile de factoriser, si je développe chaque produit, les x^2 s’éliminent ».

a) Que penser des arguments de chacun ?

Pierre a raison dans son argument. En développant chaque produit, les termes en x^2 s’annulent ce qui simplifie le calcul. On peut démontrer cela comme suit :

Développons chaque produit :
$(x\,%2B\,3)(x\,-\,7)\,=\,x(x\,-\,7)\,%2B\,3(x\,-\,7)\,=\,x^2\,-\,7x\,%2B\,3x\,-\,21\,=\,x^2\,-\,4x\,-\,21$

$(x\,-\,1)(x\,%2B\,2)\,=\,x(x\,%2B\,2)\,-\,1(x\,%2B\,2)\,=\,x^2\,%2B\,2x\,-\,x\,-\,2\,=\,x^2\,%2B\,x\,-\,2$

Nous obtenons ainsi l’équation simplifiée suivante :
$(x^2\,-\,4x\,-\,21)\,-\,(x^2\,%2B\,x\,-\,2)\,=\,0$

En simplifiant, les x^2 s’éliminent :
$x^2\,-\,4x\,-\,21\,-\,x^2\,-\,x\,%2B\,2\,=\,0$

$-4x\,-\,x\,-\,21\,%2B\,2\,=\,0$

$-5x\,-\,19\,=\,0$

$-5x\,=\,19$

$x\,=\,-\frac{19}{5}$

Donc, l’argument de Pierre qu’il n’est pas nécessaire de factoriser est correct puisque simplifier par développement fonctionne bien ici.

b) En déduire la résolution de cette équation.

Comme montré dans le développement ci-dessus, nous obtenons :
$-5x\,-\,19\,=\,0$
$x\,=\,-\frac{19}{5}$

L’équation a une unique solution :
$x\,=\,-\frac{19}{5}$

Exercice 18 : déterminer la distance CM afin que MA=MB
Soit un point variable sur le segment tel que $D\,=\,0$ et $C\,=\,10$ . Notons la distance .

Les triangles ADM et BCM sont rectangles en et en respectivement. Pour que $MA\,=\,MB$ , nous avons les relations suivantes :

$MA\,=\,\sqrt{AD^2\,%2B\,DM^2}\,=\,\sqrt{6^2\,%2B\,(10\,-\,x)^2}$

$MB\,=\,\sqrt{BC^2\,%2B\,CM^2}\,=\,\sqrt{8^2\,%2B\,x^2}$

Nous devons trouver tel que $MA\,=\,MB$ . Donc, nous avons :

$\sqrt{6^2\,%2B\,(10\,-\,x)^2}\,=\,\sqrt{8^2\,%2B\,x^2}$

En élevant les deux côtés au carré, nous obtenons :

$6^2\,%2B\,(10\,-\,x)^2\,=\,8^2\,%2B\,x^2$

Ce qui donne :

$36\,%2B\,(10\,-\,x)^2\,=\,64\,%2B\,x^2$

Développons $(10\,-\,x)^2$ :

$36\,%2B\,100\,-\,20x\,%2B\,x^2\,=\,64\,%2B\,x^2$

Simplifions les deux côtés de l’équation en annulant x^2 :

$36\,%2B\,100\,-\,20x\,=\,64$

Ce qui se simplifie en :

$136\,-\,20x\,=\,64$

En isolant , nous obtenons :

$136\,-\,64\,=\,20x$

$72\,=\,20x$

$x\,=\,\frac{72}{20}$

$x\,=\,3.6$

La distance qui satisfait $MA\,=\,MB$ est donc 3.6 cm.

Exercice 19 : tableau de signes et fonctions affines
a) Pour le tableau de signes :

$\begin{array}{c%7Cccc}%0D%0Ax\,%26\,-\infty\,%26\,-4\,%26\,%2B\infty\,\\%0D%0A\hline%0D%0ASigne\%3B\,de\%3B\,ax%2Bb\,%26\,-\,%26\,0\,%26\,%2B\,\\%0D%0A\end{array}$

On cherche les fonctions affines $ax\,%2B\,b$ qui s’annulent en $x\,=\,-4$ et sont négatives pour $x\,%3C\,-4$ et positives pour $x\,>\,-4$
2. $f(x)\,=\,\frac{1}{2}x\,%2B\,2$
3. $f(x)\,=\,5x\,%2B\,20$

Ces trois fonctions ont toutes la forme $ax\,%2B\,b$ avec $a\,>\,0$ calculé de sorte que l’ordonnée à l’origine soit négative pour $x\,=\,-4$ et positive pour $x\,>\,-4$

Cette fois, nous cherchons des fonctions affines $ax\,%2B\,b$ qui s’annulent en $x\,=\,\frac{1}{3}$ et sont positives pour $x\,%3C\,\frac{1}{3}$ et négatives pour $x\,>\,\frac{1}{3}$
2. $g(x)\,=\,-6x\,%2B\,2$
3. $g(x)\,=\,-9x\,%2B\,3$

Ces trois fonctions ont toutes la forme $ax\,%2B\,b$ avec $a\,%3C\,0$ et ajusté pour garantir qu’elles s’annulent à $x\,=\,\frac{1}{3}$ , restent positives pour $x\,%3C\,\frac{1}{3}$ , et deviennent négatives pour $x\,>\,\frac{1}{3}$ Exercice 20 : résoudre des systèmes de 2 équations à 2 inconnues
$\begin{cases}%0D%0Ax\,-\,3y\,=\,-17\,\\%0D%0A2x\,%2B\,4y\,=\,6%0D%0A\end{cases}$

Multiplions la première équation par 2 :

$\begin{cases}%0D%0A2x\,-\,6y\,=\,-34\,\\%0D%0A2x\,%2B\,4y\,=\,6%0D%0A\end{cases}$

Soustrayons la deuxième équation de la première :

$(2x\,-\,6y)\,-\,(2x\,%2B\,4y)\,=\,-34\,-\,6\,\\%0D%0A-10y\,=\,-40\,\\%0D%0Ay\,=\,4$

Remplaçons par 4 dans la première équation :

$x\,-\,3(4)\,=\,-17\,\\%0D%0Ax\,-\,12\,=\,-17\,\\%0D%0Ax\,=\,-5$

Ainsi, la solution est $x\,=\,-5$ et $y\,=\,4$ .

—

$\begin{cases}%0D%0A2a\,%2B\,3b\,=\,-2\,\\%0D%0A4a\,%2B\,b\,=\,6%0D%0A\end{cases}$

Multiplions la deuxième équation par 3 :

$\begin{cases}%0D%0A2a\,%2B\,3b\,=\,-2\,\\%0D%0A12a\,%2B\,3b\,=\,18%0D%0A\end{cases}$

Soustrayons la première équation de la deuxième :

$(12a\,%2B\,3b)\,-\,(2a\,%2B\,3b)\,=\,18\,-\,(-2)\,\\%0D%0A10a\,=\,20\,\\%0D%0Aa\,=\,2$

Remplaçons par 2 dans la première équation :

$2(2)\,%2B\,3b\,=\,-2\,\\%0D%0A4\,%2B\,3b\,=\,-2\,\\%0D%0A3b\,=\,-6\,\\%0D%0Ab\,=\,-2$

Ainsi, la solution est $a\,=\,2$ et $b\,=\,-2$ .

—

$\begin{cases}%0D%0A3x\,-\,y\,=\,9\,\\%0D%0Ax\,-\,4y\,=\,14%0D%0A\end{cases}$

Multiplions la deuxième équation par 3 :

$\begin{cases}%0D%0A3x\,-\,y\,=\,9\,\\%0D%0A3x\,-\,12y\,=\,42%0D%0A\end{cases}$

Soustrayons la première équation de la deuxième :

$(3x\,-\,12y)\,-\,(3x\,-\,y)\,=\,42\,-\,9\,\\%0D%0A-11y\,=\,33\,\\%0D%0Ay\,=\,-3$

Remplaçons par -3 dans la première équation :

$3x\,-\,(-3)\,=\,9\,\\%0D%0A3x\,%2B\,3\,=\,9\,\\%0D%0A3x\,=\,6\,\\%0D%0Ax\,=\,2$

Ainsi, la solution est $x\,=\,2$ et $y\,=\,-3$ .

—

$\begin{cases}%0D%0A6x\,%2B\,y\,=\,0\,\\%0D%0A4x\,-\,3y\,=\,-11%0D%0A\end{cases}$

Multiplions la deuxième équation par 2 :

$\begin{cases}%0D%0A6x\,%2B\,y\,=\,0\,\\%0D%0A8x\,-\,6y\,=\,-22%0D%0A\end{cases}$

Soustrayons la deuxième équation de la première multipliée par 3 :

$(8x\,-\,6y)\,-\,(18x\,%2B\,3y)\,=\,-22\,\\%0D%0A-10x\,%2B\,9y\,=\,22.\,\\%0D%0Ay\,=\,-2$

Remplaçons par -2 dans la première équation :

$6x\,%2B\,(-2)\,=\,0\,\\%0D%0A6x\,-\,2\,=\,0\,\\%0D%0A6x\,=\,2\,\\%0D%0Ax\,=\,-\frac{2}{29$

Ainsi, la solution est $x\,=\,-4$ et $y\,=\,0$

\ > $%5B%2Fexpander_maker%5D%0D%0A%0D%0A%5Bexpander_maker\,id=%221%22\,more=%22Voir\,Corriges\,21\,a\,30\,...%22%5D%0D%0A%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-21%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,21\,%3A\,resoudre\,les\,equations%3C%2Fspan>%0D%0Aa)\,$(x\,%2B\,4)(x\,-\,7)\,=\,0$%0D%0A%0D%0APour\,que\,cette\,equation\,soit\,satisfaite%2C\,il\,faut\,que\,l'un\,des\,deux\,facteurs\,soit\,nul%2C\,donc\,%3A%0D%0A%0D%0A$x\,%2B\,4\,=\,0\,\quad\,ou\,\quad\,x\,-\,7\,=\,0$%0D%0A%0D%0AAinsi%2C%0D%0A%0D%0A$\,x\,=\,-4\,\quad\,ou\,\quad\,x\,=\,7\,$%0D%0A%0D%0ADonc%2C\,les\,solutions\,sont\,$\,x\,=\,-4\,$\,et\,$\,x\,=\,7\,$.%0D%0A%0D%0Ab)\,$(2x\,%2B\,3)(4x\,-\,5)\,=\,0$%0D%0A%0D%0APour\,que\,cette\,equation\,soit\,satisfaite%2C\,il\,faut\,que\,l'un\,des\,deux\,facteurs\,soit\,nul%2C\,donc\,%3A%0D%0A%0D%0A$2x\,%2B\,3\,=\,0\,\quad\,ou\,\quad\,4x\,-\,5\,=\,0$%0D%0A%0D%0AAinsi%2C%0D%0A%0D%0A$\,2x\,=\,-3\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,x\,=\,-\frac{3}{2}\,$%0D%0A%0D%0A$\,4x\,=\,5\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,x\,=\,\frac{5}{4}\,$%0D%0A%0D%0ADonc%2C\,les\,solutions\,sont\,$\,x\,=\,-\frac{3}{2}\,$\,et\,$\,x\,=\,\frac{5}{4}\,$.%0D%0A%0D%0Ac)\,$-x(5\,-\,4x)\,=\,0$%0D%0A%0D%0APour\,que\,cette\,equation\,soit\,satisfaite%2C\,il\,faut\,que\,l'un\,des\,deux\,facteurs\,soit\,nul%2C\,donc\,%3A%0D%0A%0D%0A$\,-x\,=\,0\,\quad\,ou\,\quad\,5\,-\,4x\,=\,0$%0D%0A%0D%0AAinsi%2C%0D%0A%0D%0A$\,x\,=\,0\,$%0D%0A%0D%0A$\,4x\,=\,5\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,x\,=\,\frac{5}{4}\,$%0D%0A%0D%0ADonc%2C\,les\,solutions\,sont\,$\,x\,=\,0\,$\,et\,$\,x\,=\,\frac{5}{4}\,$.%0D%0A%0D%0Ad)\,$(-15x\,%2B\,3)(3x\,%2B\,9)\,=\,0$%0D%0A%0D%0APour\,que\,cette\,equation\,soit\,satisfaite%2C\,il\,faut\,que\,l'un\,des\,deux\,facteurs\,soit\,nul%2C\,donc\,%3A%0D%0A%0D%0A$-15x\,%2B\,3\,=\,0\,\quad\,ou\,\quad\,3x\,%2B\,9\,=\,0$%0D%0A%0D%0AAinsi%2C%0D%0A%0D%0A$\,-15x\,=\,-3\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,x\,=\,\frac{1}{5}\,$%0D%0A%0D%0A$\,3x\,=\,-9\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,x\,=\,-3\,$%0D%0A%0D%0ADonc%2C\,les\,solutions\,sont\,$\,x\,=\,\frac{1}{5}\,$\,et\,$\,x\,=\,-3\,$.%0D%0A%0D%0Ae)\,$(2x\,-\,4)^2\,=\,0$%0D%0A%0D%0APour\,que\,cette\,equation\,soit\,satisfaite%2C\,il\,faut\,que\,le\,facteur\,soit\,nul%2C\,donc\,%3A%0D%0A%0D%0A$\,(2x\,-\,4)\,=\,0$%0D%0A%0D%0AAinsi%2C%0D%0A%0D%0A$\,2x\,=\,4\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,x\,=\,2\,$%0D%0A%0D%0ADonc%2C\,la\,solution\,est\,$\,x\,=\,2\,$.%0D%0A%0D%0Af)\,$3x(x\,-\,5)\,=\,0$%0D%0A%0D%0APour\,que\,cette\,equation\,soit\,satisfaite%2C\,il\,faut\,que\,l'un\,des\,deux\,facteurs\,soit\,nul%2C\,donc\,%3A%0D%0A%0D%0A$\,3x\,=\,0\,\quad\,ou\,\quad\,x\,-\,5\,=\,0$%0D%0A%0D%0AAinsi%2C%0D%0A%0D%0A$\,x\,=\,0\,$%0D%0A%0D%0A$\,x\,=\,5\,$%0D%0A%0D%0ADonc%2C\,les\,solutions\,sont\,$\,x\,=\,0\,$\,et\,$\,x\,=\,5\,$.%0D%0A%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-22%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,22\,%3A\,factoriser\,et\,resoudre%3C%2Fspan>%0D%0A1.\,Factoriser\,$\,x^2\,-\,16\,$.%0D%0A%0D%0A\%5B\,x^2\,-\,16\,=\,(x\,-\,4)(x\,%2B\,4)\,\%5D%0D%0A%0D%0A2.\,Resoudre\,$\,x^2\,-\,16\,=\,0\,$.%0D%0A%0D%0A\%5B\,x^2\,-\,16\,=\,0\,\%5D%0D%0A\%5B\,(x\,-\,4)(x\,%2B\,4)\,=\,0\,\%5D%0D%0A%0D%0ALes\,solutions\,de\,l'equation\,sont\,les\,valeurs\,de\,$\,x\,$\,qui\,annulent\,chacun\,des\,facteurs\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B\,x\,-\,4\,=\,0\,\quad\,ou\,\quad\,x\,%2B\,4\,=\,0\,\%5D%0D%0A%0D%0ADonc%2C%0D%0A%0D%0A\%5B\,x\,=\,4\,\quad\,ou\,\quad\,x\,=\,-4\,\%5D%0D%0A%0D%0ALes\,solutions\,de\,l'equation\,$\,x^2\,-\,16\,=\,0\,$\,sont\,$\,x\,=\,4\,$\,et\,$\,x\,=\,-4\,$.%0D%0A%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-23%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,23\,%3A\,resoudre\,differentes\,equations%3C%2Fspan>$ Exercice 21 : resoudre les equations
a) $(x\,%2B\,4)(x\,-\,7)\,=\,0$

Pour que cette equation soit satisfaite, il faut que l’un des deux facteurs soit nul, donc :

$x\,%2B\,4\,=\,0\,\quad\,ou\,\quad\,x\,-\,7\,=\,0$

Ainsi,

$x\,=\,-4\,\quad\,ou\,\quad\,x\,=\,7$

Donc, les solutions sont $x\,=\,-4$ et $x\,=\,7$ .

b) $(2x\,%2B\,3)(4x\,-\,5)\,=\,0$

Pour que cette equation soit satisfaite, il faut que l’un des deux facteurs soit nul, donc :

$2x\,%2B\,3\,=\,0\,\quad\,ou\,\quad\,4x\,-\,5\,=\,0$

Ainsi,

$2x\,=\,-3\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,x\,=\,-\frac{3}{2}$

$4x\,=\,5\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,x\,=\,\frac{5}{4}$

Donc, les solutions sont $x\,=\,-\frac{3}{2}$ et $x\,=\,\frac{5}{4}$ .

c) $-x(5\,-\,4x)\,=\,0$

Pour que cette equation soit satisfaite, il faut que l’un des deux facteurs soit nul, donc :

$-x\,=\,0\,\quad\,ou\,\quad\,5\,-\,4x\,=\,0$

Ainsi,

$x\,=\,0$

$4x\,=\,5\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,x\,=\,\frac{5}{4}$

Donc, les solutions sont $x\,=\,0$ et $x\,=\,\frac{5}{4}$ .

d) $(-15x\,%2B\,3)(3x\,%2B\,9)\,=\,0$

Pour que cette equation soit satisfaite, il faut que l’un des deux facteurs soit nul, donc :

$-15x\,%2B\,3\,=\,0\,\quad\,ou\,\quad\,3x\,%2B\,9\,=\,0$

Ainsi,

$-15x\,=\,-3\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,x\,=\,\frac{1}{5}$

$3x\,=\,-9\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,x\,=\,-3$

Donc, les solutions sont $x\,=\,\frac{1}{5}$ et $x\,=\,-3$ .

e) $(2x\,-\,4)^2\,=\,0$

Pour que cette equation soit satisfaite, il faut que le facteur soit nul, donc :

$(2x\,-\,4)\,=\,0$

Ainsi,

$2x\,=\,4\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,x\,=\,2$

Donc, la solution est $x\,=\,2$ .

f) $3x(x\,-\,5)\,=\,0$

Pour que cette equation soit satisfaite, il faut que l’un des deux facteurs soit nul, donc :

$3x\,=\,0\,\quad\,ou\,\quad\,x\,-\,5\,=\,0$

Ainsi,

$x\,=\,0$

$x\,=\,5$

Donc, les solutions sont $x\,=\,0$ et $x\,=\,5$ .

Exercice 22 : factoriser et resoudre
1. Factoriser $x^2\,-\,16$ .

$x^2\,-\,16\,=\,(x\,-\,4)(x\,%2B\,4)$

2. Resoudre $x^2\,-\,16\,=\,0$ .

$x^2\,-\,16\,=\,0$
$(x\,-\,4)(x\,%2B\,4)\,=\,0$

Les solutions de l’equation sont les valeurs de qui annulent chacun des facteurs :

$x\,-\,4\,=\,0\,\quad\,ou\,\quad\,x\,%2B\,4\,=\,0$

Donc,

$x\,=\,4\,\quad\,ou\,\quad\,x\,=\,-4$

Les solutions de l’equation $x^2\,-\,16\,=\,0$ sont $x\,=\,4$ et $x\,=\,-4$ .

Exercice 23 : resoudre differentes equations » align= »absmiddle » /> a) \quad 5x^2 – 6x = 0 $Factorisons\,l'equation\,%3A$ x(5x – 6) = 0 $Ainsi%2C\,nous\,avons\,deux\,solutions\,%3A$ x = 0 \quad \text{ou} \quad 5x – 6 = 0 5x = 6 x = \frac{6}{5} $Les\,solutions\,sont\,donc\,%3A$ x = 0 \quad \text{ou} \quad x = \frac{6}{5} b) \quad (2x + 1)(x + 4) + (x + 4)(3 – 5x) = 0 $Factorisons\,par\,%24(x\,%2B\,4)%24\,%3A$ (x + 4) [(2x + 1) + (3 – 5x)] = 0 (x + 4) [2x + 1 + 3 – 5x] = 0 (x + 4) [-3x + 4] = 0 $Ainsi%2C\,nous\,avons\,deux\,solutions\,%3A$ x + 4 = 0 \quad \text{ou} \quad -3x + 4 = 0 x = -4 -3x = -4 x = \frac{4}{3} $Les\,solutions\,sont\,donc\,%3A$ x = -4 \quad \text{ou} \quad x = \frac{4}{3} c) \quad (x – 7)(3x – 5) – (9x – 4)(x – 7) = 0 $Factorisons\,par\,%24(x\,-\,7)%24\,%3A$ (x – 7) [(3x – 5) – (9x – 4)] = 0 (x – 7) [3x – 5 – 9x + 4] = 0 (x – 7) [-6x – 1] = 0 $Ainsi%2C\,nous\,avons\,deux\,solutions\,%3A$ x – 7 = 0 \quad \text{ou} \quad -6x – 1 = 0 x = 7 -6x = 1 x = -\frac{1}{6} $Les\,solutions\,sont\,donc\,%3A$ x = 7 \quad \text{ou} \quad x = -\frac{1}{6} d) \quad 4x^2 + 8x + 4 = 0 $Divisons\,par\,4\,%3A$ x^2 + 2x + 1 = 0 $Facteurs\,de\,l'equation\,%3A$ (x + 1)(x + 1) = 0 (x + 1)^2 = 0 $Ainsi%2C\,il\,y\,a\,une\,solution\,%3A$ x + 1 = 0 x = -1 $La\,solution\,est\,donc\,%3A$ x = -1 e) \quad (4x – 7)(9x + 5) = (8x – 3)(4x – 7) $Rearrangeons\,et\,simplifions\,%3A$ (4x – 7)(9x + 5) – (8x – 3)(4x – 7) = 0 $Factorisons\,par\,%24(4x\,-\,7)%24\,%3A$ (4x – 7) [(9x + 5) – (8x – 3)] = 0 (4x – 7) [9x + 5 – 8x + 3] = 0 (4x – 7) [x + 8] = 0 $Ainsi%2C\,nous\,avons\,deux\,solutions\,%3A$ 4x – 7 = 0 \quad \text{ou} \quad x + 8 = 0 4x = 7 x = \frac{7}{4} x = -8 $Les\,solutions\,sont\,donc\,%3A$ x = \frac{7}{4} \quad \text{ou} \quad x = -8 $%3Ca\,id=%22exercice-24%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,24\,%3A\,resoudre\,dans\,R%3C%2Fspan>%0D%0Aa)\,$x^2\,=\,81$%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0Ax\,=\,\pm\,\sqrt{81}%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0Ax\,=\,\pm\,9%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0ALes\,solutions\,sont\,donc\,$x\,=\,9$\,et\,$x\,=\,-9$.%0D%0A%0D%0Ab)\,$x^2\,=\,-7$%0D%0A%0D%0AAucune\,solution\,reelle%2C\,car\,le\,carre\,d'un\,nombre\,reel\,ne\,peut\,pas\,etre\,negatif.%0D%0A%0D%0Ac)\,$x^2\,=\,15$%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0Ax\,=\,\pm\,\sqrt{15}%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0ALes\,solutions\,sont\,donc\,$x\,=\,\sqrt{15}$\,et\,$x\,=\,-\sqrt{15}$.%0D%0A%0D%0Ad)\,$3x^2\,=\,48$%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0Ax^2\,=\,\frac{48}{3}%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0Ax^2\,=\,16%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0Ax\,=\,\pm\,\sqrt{16}%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0Ax\,=\,\pm\,4%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0ALes\,solutions\,sont\,donc\,$x\,=\,4$\,et\,$x\,=\,-4$.%0D%0A%0D%0Ae)\,$2x^2\,%2B\,20\,=\,0$%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0A2x^2\,=\,-20%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0Ax^2\,=\,-10%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0AAucune\,solution\,reelle%2C\,car\,le\,carre\,d'un\,nombre\,reel\,ne\,peut\,pas\,etre\,negatif.%0D%0A%0D%0Af)\,$4x^2\,-\,2\,=\,1$%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0A4x^2\,=\,1\,%2B\,2%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0A4x^2\,=\,3%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0Ax^2\,=\,\frac{3}{4}%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0Ax\,=\,\pm\,\sqrt{\frac{3}{4}}%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0Ax\,=\,\pm\,\frac{\sqrt{3}}{2}%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0ALes\,solutions\,sont\,donc\,$x\,=\,\frac{\sqrt{3}}{2}$\,et\,$x\,=\,-\frac{\sqrt{3}}{2}$.%0D%0A%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-25%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,25\,%3A\,resoudre\,les\,equations%3C%2Fspan>%0D%0ACorrection\,de\,l'exercice%0D%0A%0D%0A%0D%0A%5Ba)%5D\,%24x^2\,%2B\,6x\,%2B\,9\,=\,0%24%0D%0A%0D%0ANous\,resolvons\,cette\,equation\,quadratique\,en\,factorisant\,le\,trinome.%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0Ax^2\,%2B\,6x\,%2B\,9\,=\,(x\,%2B\,3)^2\,=\,0%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0ADonc%2C\,la\,solution\,est\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0Ax\,%2B\,3\,=\,0\,\implies\,x\,=\,-3%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A%5Bb)%5D\,%2436x^2\,-\,12x\,%2B\,22\,=\,21%24%0D%0A%0D%0ASimplifions\,l'equation\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0A36x^2\,-\,12x\,%2B\,22\,-\,21\,=\,0%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0A36x^2\,-\,12x\,%2B\,1\,=\,0%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0AUtilisons\,la\,formule\,quadratique\,%24ax^2\,%2B\,bx\,%2B\,c\,=\,0%24\,ou\,%24a\,=\,36%24%2C\,%24b\,=\,-12%24%2C\,et\,%24c\,=\,1%24\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0Ax\,=\,\frac{-b\,\pm\,\sqrt{b^2\,-\,4ac}}{2a}%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0Ax\,=\,\frac{12\,\pm\,\sqrt{(-12)^2\,-\,4\,\cdot\,36\,\cdot\,1}}{2\,\cdot\,36}%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0Ax\,=\,\frac{12\,\pm\,\sqrt{144\,-\,144}}{72}%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0Ax\,=\,\frac{12\,\pm\,\sqrt{0}}{72}\,=\,\frac{12}{72}\,=\,\frac{1}{6}%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0AAinsi%2C\,la\,seule\,solution\,est\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0Ax\,=\,\frac{1}{6}%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A%5Bc)%5D\,%244x^2\,=\,8x%24%0D%0A%0D%0AReecrivons\,l'equation\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0A4x^2\,-\,8x\,=\,0%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0AFactorisons\,par\,%244x%24\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0A4x(x\,-\,2)\,=\,0%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0ADonc%2C\,les\,solutions\,sont\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0A4x\,=\,0\,\implies\,x\,=\,0\,\quad\,ou\,\quad\,x\,-\,2\,=\,0\,\implies\,x\,=\,2%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A%5Bd)%5D\,%245(2x\,%2B\,1)^2\,=\,20%24%0D%0A%0D%0ADivisons\,les\,deux\,cotes\,par\,5\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0A(2x\,%2B\,1)^2\,=\,4%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0APrendre\,la\,racine\,carree\,des\,deux\,cotes\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0A2x\,%2B\,1\,=\,\pm\,2%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0ADonc%2C\,les\,solutions\,sont\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0A2x\,%2B\,1\,=\,2\,\implies\,2x\,=\,1\,\implies\,x\,=\,\frac{1}{2}%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0A2x\,%2B\,1\,=\,-2\,\implies\,2x\,=\,-3\,\implies\,x\,=\,-\frac{3}{2}%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A%5Be)%5D\,%24(3x\,%2B\,4)^2\,=\,(5x\,-\,6)^2%24%0D%0A%0D%0APrenons\,la\,racine\,carree\,des\,deux\,cotes\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0A%7C3x\,%2B\,4%7C\,=\,%7C5x\,-\,6%7C%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0ACela\,donne\,deux\,equations\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0A3x\,%2B\,4\,=\,5x\,-\,6\,\quad\,ou\,\quad\,3x\,%2B\,4\,=\,-\,(5x\,-\,6)%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0AResolvons\,chaque\,equation\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0A3x\,%2B\,4\,=\,5x\,-\,6\,\implies\,-2x\,=\,-10\,\implies\,x\,=\,5%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0A3x\,%2B\,4\,=\,-5x\,%2B\,6\,\implies\,8x\,=\,2\,\implies\,x\,=\,\frac{1}{4}%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0AAinsi%2C\,les\,solutions\,sont\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0Ax\,=\,5\,\quad\,ou\,\quad\,x\,=\,\frac{1}{4}%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A%5Bf)%5D\,%24(x\,-\,2)^2\,-\,100\,=\,0%24%0D%0A%0D%0AReecrivons\,l'equation\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0A(x\,-\,2)^2\,=\,100%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0APrendre\,la\,racine\,carree\,des\,deux\,cotes\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0Ax\,-\,2\,=\,\pm\,10%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0ADonc%2C\,les\,solutions\,sont\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0Ax\,-\,2\,=\,10\,\implies\,x\,=\,12%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0Ax\,-\,2\,=\,-10\,\implies\,x\,=\,-8%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-26%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,26\,%3A\,racines\,carrees\,et\,equations%3C%2Fspan>%0D%0Aa)\,\%5B\sqrt{x}\,=\,12\,\\%0D%0A\Rightarrow\,x\,=\,12^2\,\\%0D%0A\Rightarrow\,x\,=\,144\%5D%0D%0A%0D%0Ab)\,\%5B\sqrt{x}\,=\,-2\,\\%0D%0AIl\,n'y\,a\,pas\,de\,solution\,reelle\,car\,la\,racine\,carree\,d'un\,nombre\,est\,toujours\,positive.\%5D%0D%0A%0D%0Ac)\,\%5B\sqrt{x}\,=\,11%2C5\,\\%0D%0A\Rightarrow\,x\,=\,11%2C5^2\,\\%0D%0A\Rightarrow\,x\,=\,132%2C25\%5D%0D%0A%0D%0Ad)\,\%5B3\sqrt{x}\,=\,21\,\\%0D%0A\Rightarrow\,\sqrt{x}\,=\,\frac{21}{3}\,\\%0D%0A\Rightarrow\,\sqrt{x}\,=\,7\,\\%0D%0A\Rightarrow\,x\,=\,7^2\,\\%0D%0A\Rightarrow\,x\,=\,49\%5D%0D%0A%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-27%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,27\,%3A\,resolution\,d'equations%3C%2Fspan>%0D%0A\%5B%0D%0Aa)\,\,\frac{x\,-\,2}{x\,%2B\,9}\,=\,0%0D%0A\%5D%0D%0AUne\,fraction\,est\,egale\,a\,zero\,si\,et\,seulement\,si\,le\,numerateur\,est\,egal\,a\,zero\,et\,le\,denominateur\,est\,different\,de\,zero.%0D%0A\%5B%0D%0Ax\,-\,2\,=\,0\,\implies\,x\,=\,2%0D%0A\%5D%0D%0AIl\,faut\,verifier\,que\,$\,x\,%2B\,9\,\neq\,0\,$%0D%0A\%5B%0D%0A2\,%2B\,9\,=\,11\,\neq\,0%0D%0A\%5D%0D%0ALa\,solution\,est\,donc\,%3A%0D%0A\%5B%0D%0Ax\,=\,2%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0Ab)\,\,\frac{2x\,-\,7}{x\,%2B\,3}\,=\,0%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0A2x\,-\,7\,=\,0\,\implies\,2x\,=\,7\,\implies\,x\,=\,\frac{7}{2}%0D%0A\%5D%0D%0AIl\,faut\,verifier\,que\,$\,x\,%2B\,3\,\neq\,0\,$%0D%0A\%5B%0D%0A\frac{7}{2}\,%2B\,3\,\neq\,0%0D%0A\%5D%0D%0ALa\,solution\,est\,donc\,%3A%0D%0A\%5B%0D%0Ax\,=\,\frac{7}{2}%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0Ac)\,\,\frac{20\,-\,4x}{x\,-\,5}\,=\,0%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0A20\,-\,4x\,=\,0\,\implies\,-4x\,=\,-20\,\implies\,x\,=\,5%0D%0A\%5D%0D%0AIl\,faut\,verifier\,que\,$\,x\,-\,5\,\neq\,0\,$%0D%0A\%5B%0D%0A5\,-\,5\,=\,0%0D%0A\%5D%0D%0ALe\,denominateur\,est\,zero\,pour\,$\,x\,=\,5\,$%2C\,donc\,il\,n'y\,a\,pas\,de\,solution.%0D%0A\%5B%0D%0APas\,de\,solution%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0Ad)\,\,\frac{5x\,-\,1}{2x\,%2B\,3}\,=\,0%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0A5x\,-\,1\,=\,0\,\implies\,5x\,=\,1\,\implies\,x\,=\,\frac{1}{5}%0D%0A\%5D%0D%0AIl\,faut\,verifier\,que\,$\,2x\,%2B\,3\,\neq\,0\,$%0D%0A\%5B%0D%0A2\,(\,\frac{1}{5}\,)\,%2B\,3\,=\,\frac{2}{5}\,%2B\,3\,=\,\frac{2\,%2B\,15}{5}\,=\,\frac{17}{5}\,\neq\,0%0D%0A\%5D%0D%0ALa\,solution\,est\,donc\,%3A%0D%0A\%5B%0D%0Ax\,=\,\frac{1}{5}%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-28%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,28\,%3A\,fractions\,rationnelles%3C%2Fspan>%0D%0Aa)\,$\frac{2x\,-\,1}{x\,%2B\,6}\,=\,1$%0D%0A%0D%0A\%5B\frac{2x\,-\,1}{x\,%2B\,6}\,=\,1\%5D%0D%0A\%5B\Rightarrow\,2x\,-\,1\,=\,x\,%2B\,6\%5D%0D%0A\%5B\Rightarrow\,2x\,-\,x\,=\,6\,%2B\,1\%5D%0D%0A\%5B\Rightarrow\,x\,=\,7\%5D%0D%0A%0D%0Ab)\,$\frac{4}{2x\,%2B\,6}\,=\,9$%0D%0A%0D%0A\%5B\frac{4}{2x\,%2B\,6}\,=\,9\%5D%0D%0A\%5B\Rightarrow\,4\,=\,9(2x\,%2B\,6)\%5D%0D%0A\%5B\Rightarrow\,4\,=\,18x\,%2B\,54\%5D%0D%0A\%5B\Rightarrow\,18x\,=\,4\,-\,54\%5D%0D%0A\%5B\Rightarrow\,18x\,=\,-50\%5D%0D%0A\%5B\Rightarrow\,x\,=\,-\frac{50}{18}\,=\,-\frac{25}{9}\%5D%0D%0A%0D%0Ac)\,$\frac{2x}{x\,-\,4}\,=\,-3$%0D%0A%0D%0A\%5B\frac{2x}{x\,-\,4}\,=\,-3\%5D%0D%0A\%5B\Rightarrow\,2x\,=\,-3(x\,-\,4)\%5D%0D%0A\%5B\Rightarrow\,2x\,=\,-3x\,%2B\,12\%5D%0D%0A\%5B\Rightarrow\,2x\,%2B\,3x\,=\,12\%5D%0D%0A\%5B\Rightarrow\,5x\,=\,12\%5D%0D%0A\%5B\Rightarrow\,x\,=\,\frac{12}{5}\,=\,2.4\%5D%0D%0A%0D%0Ad)\,$\frac{x\,%2B\,1}{x\,-\,1}\,=\,\frac{1}{2}$%0D%0A%0D%0A\%5B\frac{x\,%2B\,1}{x\,-\,1}\,=\,\frac{1}{2}\%5D%0D%0A\%5B\Rightarrow\,2(x\,%2B\,1)\,=\,1(x\,-\,1)\%5D%0D%0A\%5B\Rightarrow\,2x\,%2B\,2\,=\,x\,-\,1\%5D%0D%0A\%5B\Rightarrow\,2x\,-\,x\,=\,-1\,-\,2\%5D%0D%0A\%5B\Rightarrow\,x\,=\,-3\%5D%0D%0A%0D%0AAjoutons\,les\,restrictions\,sur\,les\,denominateurs\,%3A%0D%0APour\,les\,equations\,a)\,et\,b)%2C\,$x\,\neq\,-6$%2C%0D%0APour\,l'equation\,c)%2C\,$x\,\neq\,4$%2C%0D%0APour\,l'equation\,d)%2C\,$x\,\neq\,1$.%0D%0A%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-29%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,29\,%3A\,les\,equations\,et\,fractions\,rationnelles%3C%2Fspan>%0D%0Aa)\,$\frac{x}{2x\,%2B\,2}\,%2B\,5\,=\,0$%0D%0A%0D%0APremierement%2C\,isolons\,le\,terme\,contenant\,$x$\,%3A%0D%0A\%5B%0D%0A\frac{x}{2x\,%2B\,2}\,=\,-5%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0AEnsuite%2C\,multiplions\,les\,deux\,cotes\,de\,l'equation\,par\,$2x\,%2B\,2$\,pour\,eliminer\,le\,denominateur\,%3A%0D%0A\%5B%0D%0Ax\,=\,-5(2x\,%2B\,2)%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0ADeveloppons\,le\,cote\,droit\,%3A%0D%0A\%5B%0D%0Ax\,=\,-10x\,-\,10%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0ARegroupons\,les\,termes\,contenant\,$x$\,d'un\,cote\,%3A%0D%0A\%5B%0D%0Ax\,%2B\,10x\,=\,-10%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0A11x\,=\,-10%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0AEnfin%2C\,resolvons\,pour\,$x$\,%3A%0D%0A\%5B%0D%0Ax\,=\,\frac{-10}{11}%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0Ab)\,$\frac{10\,%2B\,x}{x\,-\,2}\,-\,2\,=\,0$%0D%0A%0D%0ACommencons\,par\,isoler\,le\,terme\,fractionnaire\,%3A%0D%0A\%5B%0D%0A\frac{10\,%2B\,x}{x\,-\,2}\,=\,2%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0AMultiplions\,chaque\,cote\,par\,$x\,-\,2$\,%3A%0D%0A\%5B%0D%0A10\,%2B\,x\,=\,2(x\,-\,2)%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0ADeveloppons\,le\,cote\,droit\,%3A%0D%0A\%5B%0D%0A10\,%2B\,x\,=\,2x\,-\,4%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0ARegroupons\,les\,termes\,contenant\,$x$\,d'un\,cote\,%3A%0D%0A\%5B%0D%0A10\,%2B\,4\,=\,2x\,-\,x%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0A14\,=\,x%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0AAlors%2C\,$x\,=\,14$.%0D%0A%0D%0Ac)\,$\frac{3}{2x\,-\,4}\,=\,-5$%0D%0A%0D%0AMultiplions\,chaque\,cote\,par\,$2x\,-\,4$\,pour\,eliminer\,le\,denominateur\,%3A%0D%0A\%5B%0D%0A3\,=\,-5(2x\,-\,4)%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0ADeveloppons\,le\,cote\,droit\,%3A%0D%0A\%5B%0D%0A3\,=\,-10x\,%2B\,20%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0AIsolons\,$x$\,%3A%0D%0A\%5B%0D%0A-10x\,=\,3\,-\,20%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0A-10x\,=\,-17%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0ADivisons\,chaque\,cote\,par\,$-10$\,%3A%0D%0A\%5B%0D%0Ax\,=\,\frac{17}{10}%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0Ad)\,$\frac{x\,%2B\,1}{3\,-\,x}\,=\,1$%0D%0A%0D%0AMultiplions\,chaque\,cote\,par\,$3\,-\,x$\,pour\,eliminer\,le\,denominateur\,%3A%0D%0A\%5B%0D%0Ax\,%2B\,1\,=\,3\,-\,x%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0ARegroupons\,les\,termes\,contenant\,$x$\,d'un\,cote\,%3A%0D%0A\%5B%0D%0Ax\,%2B\,x\,=\,3\,-\,1%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0A2x\,=\,2%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0ADivisons\,chaque\,cote\,par\,2\,%3A%0D%0A\%5B%0D%0Ax\,=\,1%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-30%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,30\,%3A\,inverse\,et\,equations%3C%2Fspan>%0D%0Aa)\,$\frac{1}{x}\,=\,4$%0D%0A%0D%0APour\,resoudre\,cette\,equation%2C\,multiplions\,les\,deux\,membres\,par\,$x$\,(en\,s'assurant\,que\,$x\,\neq\,0$)\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B\,1\,=\,4x\,\%5D%0D%0A%0D%0AD'ou\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B\,x\,=\,\frac{1}{4}\,\%5D%0D%0A%0D%0A---%0D%0A%0D%0Ab)\,$\frac{1}{x}\,=\,-1$%0D%0A%0D%0APour\,resoudre\,cette\,equation%2C\,multiplions\,les\,deux\,membres\,par\,$x$\,(en\,s'assurant\,que\,$x\,\neq\,0$)\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B\,1\,=\,-x\,\%5D%0D%0A%0D%0AD'ou\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B\,x\,=\,-1\,\%5D%0D%0A%0D%0A---%0D%0A%0D%0Ac)\,$\frac{1}{x}\,=\,10$%0D%0A%0D%0APour\,resoudre\,cette\,equation%2C\,multiplions\,les\,deux\,membres\,par\,$x$\,(en\,s'assurant\,que\,$x\,\neq\,0$)\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B\,1\,=\,10x\,\%5D%0D%0A%0D%0AD'ou\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B\,x\,=\,\frac{1}{10}\,\%5D%0D%0A%0D%0A---%0D%0A%0D%0Ad)\,$\frac{1}{x}\,=\,\frac{1}{3}$%0D%0A%0D%0APour\,resoudre\,cette\,equation%2C\,multiplions\,les\,deux\,membres\,par\,$x$\,(en\,s'assurant\,que\,$x\,\neq\,0$)\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B\,1\,=\,\frac{x}{3}\,\%5D%0D%0A%0D%0AMultiplions\,les\,deux\,membres\,par\,3\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B\,3\,=\,x\,\%5D%0D%0A%0D%0AD'ou\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B\,x\,=\,3\,\%5D%0D%0A%0D%0A---%0D%0A%0D%0Ae)\,$\frac{1}{x}\,=\,0$%0D%0A%0D%0AIl\,n'existe\,pas\,de\,$x\,\in\,\mathbb{R}$\,tel\,que\,$\frac{1}{x}\,=\,0$%2C\,car\,pour\,any\,$x\,\neq\,0$%2C\,$\frac{1}{x}\,\neq\,0$%2C\,et\,$\frac{1}{0}$\,n'est\,pas\,defini.\,Donc%2C\,il\,n'y\,a\,pas\,de\,solution\,dans\,$\mathbb{R}$.%0D%0A%0D%0A---%0D%0A%0D%0Af)\,$\frac{1}{x}\,=\,-\frac{1}{5}$%0D%0A%0D%0APour\,resoudre\,cette\,equation%2C\,multiplions\,les\,deux\,membres\,par\,$x$\,(en\,s'assurant\,que\,$x\,\neq\,0$)\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B\,1\,=\,-\frac{x}{5}\,\%5D%0D%0A%0D%0AMultiplions\,les\,deux\,membres\,par\,-5\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B\,-5\,=\,x\,\%5D%0D%0A%0D%0AD'ou\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B\,x\,=\,-5\,\%5D%0D%0A%0D%0A%5B%2Fexpander_maker%5D%0D%0A%0D%0A%5Bexpander_maker\,id=%221%22\,more=%22Voir\,Corriges\,31\,a\,40\,...%22%5D%0D%0A%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-31%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,31\,%3A\,polynome\,et\,calculs%3C%2Fspan>%0D%0AOn\,a\,$\,A\,=\,x^2\,%2B\,5x\,%2B\,10\,$.\,On\,cherche\,a\,calculer\,$\,A\,$\,pour\,les\,differentes\,valeurs\,de\,$\,x\,$\,donnees.%0D%0A%0D%0Aa)\,Si\,$\,x\,=\,0\,$%3A%0D%0A\%5B\,A\,=\,0^2\,%2B\,5\,\times \,0\,%2B\,10\,=\,0\,%2B\,0\,%2B\,10\,=\,10\,\%5D%0D%0A%0D%0Ab)\,Si\,$\,x\,=\,-2\,$%3A%0D%0A\%5B\,A\,=\,(-2)^2\,%2B\,5\,\times \,(-2)\,%2B\,10\,\%5D%0D%0A\%5B\,A\,=\,4\,-\,10\,%2B\,10\,\%5D%0D%0A\%5B\,A\,=\,4\,\%5D%0D%0A%0D%0Ac)\,Si\,$\,x\,=\,10\,$%3A%0D%0A\%5B\,A\,=\,10^2\,%2B\,5\,\times \,10\,%2B\,10\,\%5D%0D%0A\%5B\,A\,=\,100\,%2B\,50\,%2B\,10\,\%5D%0D%0A\%5B\,A\,=\,160\,\%5D%0D%0A%0D%0Ad)\,Si\,$\,x\,=\,\sqrt{2}\,$%3A%0D%0A\%5B\,A\,=\,(\sqrt{2})^2\,%2B\,5\,\times \,\sqrt{2}\,%2B\,10\,\%5D%0D%0A\%5B\,A\,=\,2\,%2B\,5\sqrt{2}\,%2B\,10\,\%5D%0D%0A\%5B\,A\,=\,12\,%2B\,5\sqrt{2}\,\%5D%0D%0A%0D%0ALes\,valeurs\,de\,$\,A\,$\,pour\,les\,differentes\,valeurs\,de\,$\,x\,$\,sont\,donc%3A%0D%0A%0D%0A%0D%0A\,a)\,$\,x\,=\,0\,$\,\Rightarrow\,A\,=\,10%0D%0A\,b)\,$\,x\,=\,-2\,$\,\Rightarrow\,A\,=\,4%0D%0A\,c)\,$\,x\,=\,10\,$\,\Rightarrow\,A\,=\,160%0D%0A\,d)\,$\,x\,=\,\sqrt{2}\,$\,\Rightarrow\,A\,=\,12\,%2B\,5\sqrt{2}%0D%0A%0D%0A%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-32%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,32\,%3A\,resoudre\,dans\,R%3C%2Fspan>%0D%0Aa)\,$(3x\,-\,1)^2\,=\,0$%0D%0A%0D%0AEn\,prenant\,la\,racine\,carree\,des\,deux\,cotes\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B\,3x\,-\,1\,=\,0\,\%5D%0D%0A%0D%0AEnsuite%2C\,nous\,resolvons\,pour\,$x$\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B\,3x\,=\,1\,\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B\,x\,=\,\frac{1}{3}\,\%5D%0D%0A%0D%0Ab)\,$\,(3\,-\,2x)(5\,-\,x)(6\,%2B\,10x)\,=\,0\,$%0D%0A%0D%0APour\,que\,le\,produit\,soit\,egal\,a\,zero%2C\,il\,faut\,que\,l'un\,des\,facteurs\,soit\,nul.\,Alors\,nous\,resolvons\,separement\,chaque\,equation\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B\,3\,-\,2x\,=\,0\,\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B\,2x\,=\,3\,\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B\,x\,=\,\frac{3}{2}\,\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B\,5\,-\,x\,=\,0\,\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B\,x\,=\,5\,\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B\,6\,%2B\,10x\,=\,0\,\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B\,10x\,=\,-6\,\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B\,x\,=\,-\frac{3}{5}\,\%5D%0D%0A%0D%0ALes\,solutions\,sont\,donc\,$\,x\,=\,\frac{3}{2}\,$%2C\,$\,x\,=\,5\,$%2C\,et\,$\,x\,=\,-\frac{3}{5}\,$.%0D%0A%0D%0Ac)\,$(x^2\,-\,9)(x\,%2B\,20)\,=\,0$%0D%0A%0D%0ANous\,commencons\,par\,factoriser\,$x^2\,-\,9$\,en\,utilisant\,la\,difference\,des\,carres\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B\,x^2\,-\,9\,=\,(x\,-\,3)(x\,%2B\,3)\,\%5D%0D%0A%0D%0AAlors%2C\,l'equation\,devient\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B\,(x\,-\,3)(x\,%2B\,3)(x\,%2B\,20)\,=\,0\,\%5D%0D%0A%0D%0AChaque\,facteur\,doit\,etre\,egal\,a\,zero\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B\,x\,-\,3\,=\,0\,\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B\,x\,=\,3\,\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B\,x\,%2B\,3\,=\,0\,\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B\,x\,=\,-3\,\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B\,x\,%2B\,20\,=\,0\,\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B\,x\,=\,-20\,\%5D%0D%0A%0D%0ALes\,solutions\,sont\,donc\,$\,x\,=\,3\,$%2C\,$\,x\,=\,-3\,$%2C\,et\,$\,x\,=\,-20\,$.%0D%0A%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-33%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,33\,%3A\,resolution\,d'equations\,dans\,R%3C%2Fspan>%0D%0Aa)\,$(x\,%2B\,4)^2\,=\,121$%0D%0A%0D%0A\%5B\,x\,%2B\,4\,=\,\pm\,\sqrt{121}\,\%5D%0D%0A\%5B\,x\,%2B\,4\,=\,\pm\,11\,\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B\,x\,%2B\,4\,=\,11\,\quad\,ou\,\quad\,x\,%2B\,4\,=\,-11\,\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B\,x\,=\,11\,-\,4\,=\,7\,\quad\,ou\,\quad\,x\,=\,-11\,-\,4\,=\,-15\,\%5D%0D%0A%0D%0ALes\,solutions\,sont\,$\,x\,=\,7\,$\,et\,$\,x\,=\,-15\,$.%0D%0A%0D%0Ab)\,$(2x\,%2B\,1)^2\,-\,9\,=\,0$%0D%0A%0D%0A\%5B\,(2x\,%2B\,1)^2\,-\,9\,=\,0\,\%5D%0D%0A\%5B\,(2x\,%2B\,1)^2\,=\,9\,\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B\,2x\,%2B\,1\,=\,\pm\,\sqrt{9}\,\%5D%0D%0A\%5B\,2x\,%2B\,1\,=\,\pm\,3\,\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B\,2x\,%2B\,1\,=\,3\,\quad\,ou\,\quad\,2x\,%2B\,1\,=\,-3\,\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B\,2x\,=\,3\,-\,1\,=\,2\,\quad\,ou\,\quad\,2x\,=\,-3\,-\,1\,=\,-4\,\%5D%0D%0A\%5B\,x\,=\,2\,%2F\,2\,=\,1\,\quad\,ou\,\quad\,x\,=\,-4\,%2F\,2\,=\,-2\,\%5D%0D%0A%0D%0ALes\,solutions\,sont\,$\,x\,=\,1\,$\,et\,$\,x\,=\,-2\,$.%0D%0A%0D%0Ac)\,$\,3(2\,-\,x)^2\,=\,48\,$%0D%0A%0D%0A\%5B\,(2\,-\,x)^2\,=\,48\,%2F\,3\,\%5D%0D%0A\%5B\,(2\,-\,x)^2\,=\,16\,\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B\,2\,-\,x\,=\,\pm\,\sqrt{16}\,\%5D%0D%0A\%5B\,2\,-\,x\,=\,\pm\,4\,\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B\,2\,-\,x\,=\,4\,\quad\,ou\,\quad\,2\,-\,x\,=\,-4\,\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B\,-x\,=\,4\,-\,2\,\quad\,ou\,\quad\,-x\,=\,-4\,-\,2\,\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B\,-x\,=\,2\,\quad\,ou\,\quad\,-x\,=\,-6\,\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B\,x\,=\,-2\,\quad\,ou\,\quad\,x\,=\,6\,\%5D%0D%0A%0D%0ALes\,solutions\,sont\,$\,x\,=\,-2\,$\,et\,$\,x\,=\,6\,$.%0D%0A%0D%0Ad)\,$\,(5\,-\,x)^2\,=\,-2\,$%0D%0A%0D%0A\%5B\,(5\,-\,x)^2\,\geq\,\,0\,\quad\,\forall\,x\,\in\,\mathbb{R}\,\%5D%0D%0A%0D%0AIl\,n'y\,a\,pas\,de\,solution\,car\,un\,carre\,n'est\,jamais\,negatif.%0D%0A%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-34%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,34\,%3A\,determiner\,les\,antecedents\,d'une\,fonction%3C%2Fspan>%0D%0ALa\,fonction\,$\,f\,$\,est\,definie\,par\,$\,f(x)\,=\,(5x\,%2B\,1)(x\,-\,4)\,$.%0D%0A%0D%0APour\,determiner\,les\,antecedents\,de\,0\,par\,la\,fonction\,$\,f\,$%2C\,il\,faut\,resoudre\,l'equation\,%3A%0D%0A\%5B\,f(x)\,=\,0\,\%5D%0D%0A%0D%0AEn\,remplacant\,$\,f(x)\,$\,par\,son\,expression%2C\,on\,obtient\,%3A%0D%0A\%5B\,(5x\,%2B\,1)(x\,-\,4)\,=\,0\,\%5D%0D%0A%0D%0APour\,que\,le\,produit\,soit\,nul%2C\,il\,faut\,que\,l'un\,des\,facteurs\,soit\,nul.\,Ainsi%2C\,nous\,avons\,deux\,equations\,a\,resoudre\,%3A%0D%0A\%5B\,5x\,%2B\,1\,=\,0\,\%5D%0D%0Aet%0D%0A\%5B\,x\,-\,4\,=\,0\,\%5D%0D%0A%0D%0APour\,la\,premiere\,equation\,$\,5x\,%2B\,1\,=\,0\,$\,%3A%0D%0A\%5B\,5x\,=\,-1\,\%5D%0D%0A\%5B\,x\,=\,-\frac{1}{5}\,\%5D%0D%0A%0D%0APour\,la\,deuxieme\,equation\,$\,x\,-\,4\,=\,0\,$\,%3A%0D%0A\%5B\,x\,=\,4\,\%5D%0D%0A%0D%0ALes\,antecedents\,de\,0\,par\,la\,fonction\,$\,f\,$\,sont\,donc\,%3A%0D%0A\%5B\,x\,=\,-\frac{1}{5}\,\quad\,et\,\quad\,x\,=\,4\,\%5D%0D%0A%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-35%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,35\,%3A\,l'evolution\,d'une\,population\,de\,bacteries%3C%2Fspan>%0D%0A1.\,On\,souhaite\,estimer\,le\,nombre\,de\,bacteries\,au\,bout\,d'un\,jour%2C\,soit\,pour\,$\,t\,=\,1\,$.\,Remplacons\,$\,t\,$\,par\,1\,dans\,l'expression\,de\,$\,N(t)\,$\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0AN(1)\,=\,(0{%2C}5\,\times \,1\,%2B\,1)^2%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0ACalculons\,le\,nombre\,de\,bacteries\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0AN(1)\,=\,(0{%2C}5\,%2B\,1)^2\,=\,1{%2C}5^2\,=\,2{%2C}25%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0ALe\,nombre\,de\,bacteries\,au\,bout\,d'un\,jour\,est\,donc\,$\,2{%2C}25\,$\,milliers%2C\,soit\,2250\,bacteries.%0D%0A%0D%0A2.\,On\,souhaite\,determiner\,au\,bout\,de\,combien\,de\,temps\,$\,t\,$\,le\,nombre\,de\,bacteries\,atteindra\,16000.\,On\,exprime\,cela\,de\,la\,maniere\,suivante\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0AN(t)\,=\,16000%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0ACependant%2C\,le\,nombre\,de\,bacteries\,$\,N(t)\,$\,est\,donne\,en\,milliers%2C\,donc\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0AN(t)\,=\,16%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0ADonc%2C\,on\,cherche\,$\,t\,$\,tel\,que\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0A(0{%2C}5t\,%2B\,1)^2\,=\,16%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0APrenons\,la\,racine\,carree\,de\,chaque\,cote\,de\,l'equation\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0A0{%2C}5t\,%2B\,1\,=\,\pm\,4%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0AResolvons\,pour\,les\,deux\,cas\,%3A%0D%0A%0D%0A1er\,cas\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0A0{%2C}5t\,%2B\,1\,=\,4\,\implies\,0{%2C}5t\,=\,3\,\implies\,t\,=\,6%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A2eme\,cas\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0A0{%2C}5t\,%2B\,1\,=\,-4\,\implies\,0{%2C}5t\,=\,-5\,\implies\,t\,=\,-10%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0AComme\,$\,t\,$\,doit\,etre\,dans\,l'intervalle\,$%5B0%3B\,10%5D$%2C\,la\,solution\,valide\,est\,$\,t\,=\,6\,$.%0D%0A%0D%0AAinsi%2C\,le\,nombre\,de\,bacteries\,atteindra\,16000\,au\,bout\,de\,6\,jours.%0D%0A%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-36%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,36\,%3A\,un\,boite\,en\,bois\,avec\,couvercle%3C%2Fspan>$ Exercice 24 : resoudre dans R
a) $x^2\,=\,81$

$x\,=\,\pm\,\sqrt{81}$

$x\,=\,\pm\,9$

Les solutions sont donc $x\,=\,9$ et $x\,=\,-9$ .

b) $x^2\,=\,-7$

Aucune solution reelle, car le carre d’un nombre reel ne peut pas etre negatif.

c) $x^2\,=\,15$

$x\,=\,\pm\,\sqrt{15}$

Les solutions sont donc $x\,=\,\sqrt{15}$ et $x\,=\,-\sqrt{15}$ .

d) $3x^2\,=\,48$

$x^2\,=\,\frac{48}{3}$

$x^2\,=\,16$

$x\,=\,\pm\,\sqrt{16}$

$x\,=\,\pm\,4$

Les solutions sont donc $x\,=\,4$ et $x\,=\,-4$ .

e) $2x^2\,%2B\,20\,=\,0$

$2x^2\,=\,-20$

$x^2\,=\,-10$

Aucune solution reelle, car le carre d’un nombre reel ne peut pas etre negatif.

f) $4x^2\,-\,2\,=\,1$

$4x^2\,=\,1\,%2B\,2$

$4x^2\,=\,3$

$x^2\,=\,\frac{3}{4}$

$x\,=\,\pm\,\sqrt{\frac{3}{4}}$

$x\,=\,\pm\,\frac{\sqrt{3}}{2}$

Les solutions sont donc $x\,=\,\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $x\,=\,-\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Exercice 25 : resoudre les equations
Correction de l’exercice

[a)] $x^2 + 6x + 9 = 0$

Nous resolvons cette equation quadratique en factorisant le trinome.

$x^2\,%2B\,6x\,%2B\,9\,=\,(x\,%2B\,3)^2\,=\,0$

Donc, la solution est :

$x\,%2B\,3\,=\,0\,\implies\,x\,=\,-3$

[b)] $36x^2 – 12x + 22 = 21$

Simplifions l’equation :

$36x^2\,-\,12x\,%2B\,22\,-\,21\,=\,0$

$36x^2\,-\,12x\,%2B\,1\,=\,0$

Utilisons la formule quadratique $ax^2 + bx + c = 0$ ou $a = 36$, $b = -12$, et $c = 1$ :

$x\,=\,\frac{-b\,\pm\,\sqrt{b^2\,-\,4ac}}{2a}$

$x\,=\,\frac{12\,\pm\,\sqrt{(-12)^2\,-\,4\,\cdot\,36\,\cdot\,1}}{2\,\cdot\,36}$

$x\,=\,\frac{12\,\pm\,\sqrt{144\,-\,144}}{72}$

$x\,=\,\frac{12\,\pm\,\sqrt{0}}{72}\,=\,\frac{12}{72}\,=\,\frac{1}{6}$

Ainsi, la seule solution est :

$x\,=\,\frac{1}{6}$

[c)] $4x^2 = 8x$

Reecrivons l’equation :

$4x^2\,-\,8x\,=\,0$

Factorisons par $4x$ :

$4x(x\,-\,2)\,=\,0$

Donc, les solutions sont :

$4x\,=\,0\,\implies\,x\,=\,0\,\quad\,ou\,\quad\,x\,-\,2\,=\,0\,\implies\,x\,=\,2$

[d)] $5(2x + 1)^2 = 20$

Divisons les deux cotes par 5 :

$(2x\,%2B\,1)^2\,=\,4$

Prendre la racine carree des deux cotes :

$2x\,%2B\,1\,=\,\pm\,2$

Donc, les solutions sont :

$2x\,%2B\,1\,=\,2\,\implies\,2x\,=\,1\,\implies\,x\,=\,\frac{1}{2}$

$2x\,%2B\,1\,=\,-2\,\implies\,2x\,=\,-3\,\implies\,x\,=\,-\frac{3}{2}$

[e)] $(3x + 4)^2 = (5x – 6)^2$

Prenons la racine carree des deux cotes :

$%7C3x\,%2B\,4%7C\,=\,%7C5x\,-\,6%7C$

Cela donne deux equations :

$3x\,%2B\,4\,=\,5x\,-\,6\,\quad\,ou\,\quad\,3x\,%2B\,4\,=\,-\,(5x\,-\,6)$

Resolvons chaque equation :

$3x\,%2B\,4\,=\,5x\,-\,6\,\implies\,-2x\,=\,-10\,\implies\,x\,=\,5$

$3x\,%2B\,4\,=\,-5x\,%2B\,6\,\implies\,8x\,=\,2\,\implies\,x\,=\,\frac{1}{4}$

Ainsi, les solutions sont :

$x\,=\,5\,\quad\,ou\,\quad\,x\,=\,\frac{1}{4}$

[f)] $(x – 2)^2 – 100 = 0$

Reecrivons l’equation :

$(x\,-\,2)^2\,=\,100$

Prendre la racine carree des deux cotes :

$x\,-\,2\,=\,\pm\,10$

Donc, les solutions sont :

$x\,-\,2\,=\,10\,\implies\,x\,=\,12$

$x\,-\,2\,=\,-10\,\implies\,x\,=\,-8$

Exercice 26 : racines carrees et equations
a) $\sqrt{x}\,=\,12\,\\%0D%0A\Rightarrow\,x\,=\,12^2\,\\%0D%0A\Rightarrow\,x\,=\,144$

b) $\sqrt{x}\,=\,-2\,\\%0D%0AIl\,n'y\,a\,pas\,de\,solution\,reelle\,car\,la\,racine\,carree\,d'un\,nombre\,est\,toujours\,positive.$

c) $\sqrt{x}\,=\,11%2C5\,\\%0D%0A\Rightarrow\,x\,=\,11%2C5^2\,\\%0D%0A\Rightarrow\,x\,=\,132%2C25$

d) $3\sqrt{x}\,=\,21\,\\%0D%0A\Rightarrow\,\sqrt{x}\,=\,\frac{21}{3}\,\\%0D%0A\Rightarrow\,\sqrt{x}\,=\,7\,\\%0D%0A\Rightarrow\,x\,=\,7^2\,\\%0D%0A\Rightarrow\,x\,=\,49$

Exercice 27 : resolution d’equations
$a)\,\,\frac{x\,-\,2}{x\,%2B\,9}\,=\,0$
Une fraction est egale a zero si et seulement si le numerateur est egal a zero et le denominateur est different de zero.
$x\,-\,2\,=\,0\,\implies\,x\,=\,2$
Il faut verifier que $x\,%2B\,9\,\neq\,0$
$2\,%2B\,9\,=\,11\,\neq\,0$
La solution est donc :
$x\,=\,2$

$b)\,\,\frac{2x\,-\,7}{x\,%2B\,3}\,=\,0$
$2x\,-\,7\,=\,0\,\implies\,2x\,=\,7\,\implies\,x\,=\,\frac{7}{2}$
Il faut verifier que $x\,%2B\,3\,\neq\,0$
$\frac{7}{2}\,%2B\,3\,\neq\,0$
La solution est donc :
$x\,=\,\frac{7}{2}$

$c)\,\,\frac{20\,-\,4x}{x\,-\,5}\,=\,0$
$20\,-\,4x\,=\,0\,\implies\,-4x\,=\,-20\,\implies\,x\,=\,5$
Il faut verifier que $x\,-\,5\,\neq\,0$
$5\,-\,5\,=\,0$
Le denominateur est zero pour $x\,=\,5$ , donc il n’y a pas de solution.
$Pas\,de\,solution$

$d)\,\,\frac{5x\,-\,1}{2x\,%2B\,3}\,=\,0$
$5x\,-\,1\,=\,0\,\implies\,5x\,=\,1\,\implies\,x\,=\,\frac{1}{5}$
Il faut verifier que $2x\,%2B\,3\,\neq\,0$
$2\,(\,\frac{1}{5}\,)\,%2B\,3\,=\,\frac{2}{5}\,%2B\,3\,=\,\frac{2\,%2B\,15}{5}\,=\,\frac{17}{5}\,\neq\,0$
La solution est donc :
$x\,=\,\frac{1}{5}$

Exercice 28 : fractions rationnelles
a) $\frac{2x\,-\,1}{x\,%2B\,6}\,=\,1$

$\frac{2x\,-\,1}{x\,%2B\,6}\,=\,1$
$\Rightarrow\,2x\,-\,1\,=\,x\,%2B\,6$
$\Rightarrow\,2x\,-\,x\,=\,6\,%2B\,1$
$\Rightarrow\,x\,=\,7$

b) $\frac{4}{2x\,%2B\,6}\,=\,9$

$\frac{4}{2x\,%2B\,6}\,=\,9$
$\Rightarrow\,4\,=\,9(2x\,%2B\,6)$
$\Rightarrow\,4\,=\,18x\,%2B\,54$
$\Rightarrow\,18x\,=\,4\,-\,54$
$\Rightarrow\,18x\,=\,-50$
$\Rightarrow\,x\,=\,-\frac{50}{18}\,=\,-\frac{25}{9}$

c) $\frac{2x}{x\,-\,4}\,=\,-3$

$\frac{2x}{x\,-\,4}\,=\,-3$
$\Rightarrow\,2x\,=\,-3(x\,-\,4)$
$\Rightarrow\,2x\,=\,-3x\,%2B\,12$
$\Rightarrow\,2x\,%2B\,3x\,=\,12$
$\Rightarrow\,5x\,=\,12$
$\Rightarrow\,x\,=\,\frac{12}{5}\,=\,2.4$

d) $\frac{x\,%2B\,1}{x\,-\,1}\,=\,\frac{1}{2}$

$\frac{x\,%2B\,1}{x\,-\,1}\,=\,\frac{1}{2}$
$\Rightarrow\,2(x\,%2B\,1)\,=\,1(x\,-\,1)$
$\Rightarrow\,2x\,%2B\,2\,=\,x\,-\,1$
$\Rightarrow\,2x\,-\,x\,=\,-1\,-\,2$
$\Rightarrow\,x\,=\,-3$

Ajoutons les restrictions sur les denominateurs :
Pour les equations a) et b), $x\,\neq\,-6$ ,
Pour l’equation c), $x\,\neq\,4$ ,
Pour l’equation d), $x\,\neq\,1$ .

Exercice 29 : les equations et fractions rationnelles
a) $\frac{x}{2x\,%2B\,2}\,%2B\,5\,=\,0$

Premierement, isolons le terme contenant :
$\frac{x}{2x\,%2B\,2}\,=\,-5$

Ensuite, multiplions les deux cotes de l’equation par $2x\,%2B\,2$ pour eliminer le denominateur :
$x\,=\,-5(2x\,%2B\,2)$

Developpons le cote droit :
$x\,=\,-10x\,-\,10$

Regroupons les termes contenant d’un cote :
$x\,%2B\,10x\,=\,-10$
$11x\,=\,-10$

Enfin, resolvons pour :
$x\,=\,\frac{-10}{11}$

b) $\frac{10\,%2B\,x}{x\,-\,2}\,-\,2\,=\,0$

Commencons par isoler le terme fractionnaire :
$\frac{10\,%2B\,x}{x\,-\,2}\,=\,2$

Multiplions chaque cote par $x\,-\,2$ :
$10\,%2B\,x\,=\,2(x\,-\,2)$

Developpons le cote droit :
$10\,%2B\,x\,=\,2x\,-\,4$

Regroupons les termes contenant d’un cote :
$10\,%2B\,4\,=\,2x\,-\,x$
$14\,=\,x$

Alors, $x\,=\,14$ .

c) $\frac{3}{2x\,-\,4}\,=\,-5$

Multiplions chaque cote par $2x\,-\,4$ pour eliminer le denominateur :
$3\,=\,-5(2x\,-\,4)$

Developpons le cote droit :
$3\,=\,-10x\,%2B\,20$

Isolons :
$-10x\,=\,3\,-\,20$
$-10x\,=\,-17$

Divisons chaque cote par :
$x\,=\,\frac{17}{10}$

d) $\frac{x\,%2B\,1}{3\,-\,x}\,=\,1$

Multiplions chaque cote par $3\,-\,x$ pour eliminer le denominateur :
$x\,%2B\,1\,=\,3\,-\,x$

Regroupons les termes contenant d’un cote :
$x\,%2B\,x\,=\,3\,-\,1$
$2x\,=\,2$

Divisons chaque cote par 2 :
$x\,=\,1$

Exercice 30 : inverse et equations
a) $\frac{1}{x}\,=\,4$

Pour resoudre cette equation, multiplions les deux membres par (en s’assurant que $x\,\neq\,0$ ) :

$1\,=\,4x$

D’ou :

$x\,=\,\frac{1}{4}$

—

b) $\frac{1}{x}\,=\,-1$

Pour resoudre cette equation, multiplions les deux membres par (en s’assurant que $x\,\neq\,0$ ) :

$1\,=\,-x$

D’ou :

$x\,=\,-1$

—

c) $\frac{1}{x}\,=\,10$

Pour resoudre cette equation, multiplions les deux membres par (en s’assurant que $x\,\neq\,0$ ) :

$1\,=\,10x$

D’ou :

$x\,=\,\frac{1}{10}$

—

d) $\frac{1}{x}\,=\,\frac{1}{3}$

Pour resoudre cette equation, multiplions les deux membres par (en s’assurant que $x\,\neq\,0$ ) :

$1\,=\,\frac{x}{3}$

Multiplions les deux membres par 3 :

$3\,=\,x$

D’ou :

$x\,=\,3$

—

e) $\frac{1}{x}\,=\,0$

Il n’existe pas de $x\,\in\,\mathbb{R}$ tel que $\frac{1}{x}\,=\,0$ , car pour any $x\,\neq\,0$ , $\frac{1}{x}\,\neq\,0$ , et $\frac{1}{0}$ n’est pas defini. Donc, il n’y a pas de solution dans $\mathbb{R}$ .

—

f) $\frac{1}{x}\,=\,-\frac{1}{5}$

Pour resoudre cette equation, multiplions les deux membres par (en s’assurant que $x\,\neq\,0$ ) :

$1\,=\,-\frac{x}{5}$

Multiplions les deux membres par -5 :

$-5\,=\,x$

D’ou :

$x\,=\,-5$

[/expander_maker]

Voir Corrigés 11 à 20 ...

Exercice 31 : polynome et calculs
On a $A\,=\,x^2\,%2B\,5x\,%2B\,10$ . On cherche a calculer pour les differentes valeurs de donnees.

a) Si $x\,=\,0$ :
$A\,=\,0^2\,%2B\,5\,\times \,0\,%2B\,10\,=\,0\,%2B\,0\,%2B\,10\,=\,10$

b) Si $x\,=\,-2$ :
$A\,=\,(-2)^2\,%2B\,5\,\times \,(-2)\,%2B\,10$
$A\,=\,4\,-\,10\,%2B\,10$
$A\,=\,4$

c) Si $x\,=\,10$ :
$A\,=\,10^2\,%2B\,5\,\times \,10\,%2B\,10$
$A\,=\,100\,%2B\,50\,%2B\,10$
$A\,=\,160$

d) Si $x\,=\,\sqrt{2}$ :
$A\,=\,(\sqrt{2})^2\,%2B\,5\,\times \,\sqrt{2}\,%2B\,10$
$A\,=\,2\,%2B\,5\sqrt{2}\,%2B\,10$
$A\,=\,12\,%2B\,5\sqrt{2}$

Les valeurs de pour les differentes valeurs de sont donc:

a) $x\,=\,0$ \Rightarrow A = 10
b) $x\,=\,-2$ \Rightarrow A = 4
c) $x\,=\,10$ \Rightarrow A = 160
d) $x\,=\,\sqrt{2}$ \Rightarrow A = 12 + 5\sqrt{2}

Exercice 32 : resoudre dans R
a) $(3x\,-\,1)^2\,=\,0$

En prenant la racine carree des deux cotes :

$3x\,-\,1\,=\,0$

Ensuite, nous resolvons pour :

$3x\,=\,1$

$x\,=\,\frac{1}{3}$

b) $(3\,-\,2x)(5\,-\,x)(6\,%2B\,10x)\,=\,0$

Pour que le produit soit egal a zero, il faut que l’un des facteurs soit nul. Alors nous resolvons separement chaque equation :

$3\,-\,2x\,=\,0$

$2x\,=\,3$

$x\,=\,\frac{3}{2}$

$5\,-\,x\,=\,0$

$x\,=\,5$

$6\,%2B\,10x\,=\,0$

$10x\,=\,-6$

$x\,=\,-\frac{3}{5}$

Les solutions sont donc $x\,=\,\frac{3}{2}$ , $x\,=\,5$ , et $x\,=\,-\frac{3}{5}$ .

c) $(x^2\,-\,9)(x\,%2B\,20)\,=\,0$

Nous commencons par factoriser $x^2\,-\,9$ en utilisant la difference des carres :

$x^2\,-\,9\,=\,(x\,-\,3)(x\,%2B\,3)$

Alors, l’equation devient :

$(x\,-\,3)(x\,%2B\,3)(x\,%2B\,20)\,=\,0$

Chaque facteur doit etre egal a zero :

$x\,-\,3\,=\,0$

$x\,=\,3$

$x\,%2B\,3\,=\,0$

$x\,=\,-3$

$x\,%2B\,20\,=\,0$

$x\,=\,-20$

Les solutions sont donc $x\,=\,3$ , $x\,=\,-3$ , et $x\,=\,-20$ .

Exercice 33 : resolution d’equations dans R
a) $(x\,%2B\,4)^2\,=\,121$

$x\,%2B\,4\,=\,\pm\,\sqrt{121}$
$x\,%2B\,4\,=\,\pm\,11$

$x\,%2B\,4\,=\,11\,\quad\,ou\,\quad\,x\,%2B\,4\,=\,-11$

$x\,=\,11\,-\,4\,=\,7\,\quad\,ou\,\quad\,x\,=\,-11\,-\,4\,=\,-15$

Les solutions sont $x\,=\,7$ et $x\,=\,-15$ .

b) $(2x\,%2B\,1)^2\,-\,9\,=\,0$

$(2x\,%2B\,1)^2\,-\,9\,=\,0$
$(2x\,%2B\,1)^2\,=\,9$

$2x\,%2B\,1\,=\,\pm\,\sqrt{9}$
$2x\,%2B\,1\,=\,\pm\,3$

$2x\,%2B\,1\,=\,3\,\quad\,ou\,\quad\,2x\,%2B\,1\,=\,-3$

$2x\,=\,3\,-\,1\,=\,2\,\quad\,ou\,\quad\,2x\,=\,-3\,-\,1\,=\,-4$
$x\,=\,2\,%2F\,2\,=\,1\,\quad\,ou\,\quad\,x\,=\,-4\,%2F\,2\,=\,-2$

Les solutions sont $x\,=\,1$ et $x\,=\,-2$ .

c) $3(2\,-\,x)^2\,=\,48$

$(2\,-\,x)^2\,=\,48\,%2F\,3$
$(2\,-\,x)^2\,=\,16$

$2\,-\,x\,=\,\pm\,\sqrt{16}$
$2\,-\,x\,=\,\pm\,4$

$2\,-\,x\,=\,4\,\quad\,ou\,\quad\,2\,-\,x\,=\,-4$

$-x\,=\,4\,-\,2\,\quad\,ou\,\quad\,-x\,=\,-4\,-\,2$

$-x\,=\,2\,\quad\,ou\,\quad\,-x\,=\,-6$

$x\,=\,-2\,\quad\,ou\,\quad\,x\,=\,6$

Les solutions sont $x\,=\,-2$ et $x\,=\,6$ .

d) $(5\,-\,x)^2\,=\,-2$

$(5\,-\,x)^2\,\geq\,\,0\,\quad\,\forall\,x\,\in\,\mathbb{R}$

Il n’y a pas de solution car un carre n’est jamais negatif.

Exercice 34 : determiner les antecedents d’une fonction
La fonction est definie par $f(x)\,=\,(5x\,%2B\,1)(x\,-\,4)$ .

Pour determiner les antecedents de 0 par la fonction , il faut resoudre l’equation :
$f(x)\,=\,0$

En remplacant f(x) par son expression, on obtient :
$(5x\,%2B\,1)(x\,-\,4)\,=\,0$

Pour que le produit soit nul, il faut que l’un des facteurs soit nul. Ainsi, nous avons deux equations a resoudre :
$5x\,%2B\,1\,=\,0$
et
$x\,-\,4\,=\,0$

Pour la premiere equation $5x\,%2B\,1\,=\,0$ :
$5x\,=\,-1$
$x\,=\,-\frac{1}{5}$

Pour la deuxieme equation $x\,-\,4\,=\,0$ :
$x\,=\,4$

Les antecedents de 0 par la fonction sont donc :
$x\,=\,-\frac{1}{5}\,\quad\,et\,\quad\,x\,=\,4$

Exercice 35 : l’evolution d’une population de bacteries
1. On souhaite estimer le nombre de bacteries au bout d’un jour, soit pour $t\,=\,1$ . Remplacons par 1 dans l’expression de N(t) :

$N(1)\,=\,(0{%2C}5\,\times \,1\,%2B\,1)^2$

Calculons le nombre de bacteries :

$N(1)\,=\,(0{%2C}5\,%2B\,1)^2\,=\,1{%2C}5^2\,=\,2{%2C}25$

Le nombre de bacteries au bout d’un jour est donc milliers, soit 2250 bacteries.

2. On souhaite determiner au bout de combien de temps le nombre de bacteries atteindra 16000. On exprime cela de la maniere suivante :

$N(t)\,=\,16000$

Cependant, le nombre de bacteries N(t) est donne en milliers, donc :

$N(t)\,=\,16$

Donc, on cherche tel que :

$(0{%2C}5t\,%2B\,1)^2\,=\,16$

Prenons la racine carree de chaque cote de l’equation :

$0{%2C}5t\,%2B\,1\,=\,\pm\,4$

Resolvons pour les deux cas :

1er cas :

$0{%2C}5t\,%2B\,1\,=\,4\,\implies\,0{%2C}5t\,=\,3\,\implies\,t\,=\,6$

2eme cas :

$0{%2C}5t\,%2B\,1\,=\,-4\,\implies\,0{%2C}5t\,=\,-5\,\implies\,t\,=\,-10$

Comme doit etre dans l’intervalle $%5B0%3B\,10%5D$ , la solution valide est $t\,=\,6$ .

Ainsi, le nombre de bacteries atteindra 16000 au bout de 6 jours.

Exercice 36 : un boite en bois avec couvercle » align= »absmiddle » />Correction de l’exercice :$$

1. Montrer que la surface extérieure de la boîte est donnée en fonction de par la formule $S(x)\,=\,2(x\,%2B\,2)^2\,-\,8$ .

La boîte a une base carrée de côté et une hauteur de . La surface extérieure totale de la boîte est la somme des surfaces des six faces.

– La base (1 face) : x^2
– Le couvercle (1 face) : x^2
– Les côtés (4 faces) : $4\,\times \,(x\,\times \,2)\,=\,8x$

Donc, la surface totale est :

$S(x)\,=\,x^2\,%2B\,x^2\,%2B\,8x\,=\,2x^2\,%2B\,8x$

Nous devons montrer que :

$S(x)\,=\,2(x\,%2B\,2)^2\,-\,8$

Développons $2(x\,%2B\,2)^2\,-\,8$ :

$2(x\,%2B\,2)^2\,-\,8\,=\,2(x^2\,%2B\,4x\,%2B\,4)\,-\,8\,=\,2x^2\,%2B\,8x\,%2B\,8\,-\,8\,=\,2x^2\,%2B\,8x$

Donc,

$S(x)\,=\,2(x%2B2)^2\,-\,8\,=\,2x^2\,%2B\,8x$

2. Pour quelle(s) valeur(s) de la boîte a-t-elle une surface extérieure égale à 72 ?

On résout l’équation $S(x)\,=\,72$ :

$2(x\,%2B\,2)^2\,-\,8\,=\,72$

Ajoutons 8 des deux côtés :

$2(x\,%2B\,2)^2\,=\,80$

Divisons par 2 :

$(x\,%2B\,2)^2\,=\,40$

Prenons la racine carrée des deux côtés :

$x\,%2B\,2\,=\,\pm\,\sqrt{40}\,=\,\pm\,2\sqrt{10}$

Donc, est :

$x\,=\,-2\,%2B\,2\sqrt{10}$
ou
$x\,=\,-2\,-\,2\sqrt{10}$

Cependant, représente une longueur, donc elle doit être positive. Ainsi, nous choisissons :

$x\,=\,-2\,%2B\,2\sqrt{10}$

Donc, la valeur de pour laquelle la boîte a une surface extérieure égale à 72 est :

$x\,=\,-2\,%2B\,2\sqrt{10}$

Exercice 37 : l’étude d’une fonction

Calculer la forme développée de h(x) .
\begin{align*}
h(x) = (x – 5)(x + 11) \\
= x(x + 11) – 5(x + 11) \\
= x^2 + 11x – 5x – 55 \\
= x^2 + 6x – 55
\end{align*}

Montrer que $h(x)\,=\,(x\,%2B\,3)^2\,-\,64$ .
\begin{align*}
h(x) = x^2 + 6x – 55 \\
= x^2 + 6x + 9 – 9 – 55 \\
= (x + 3)^2 – 64
\end{align*}

Utiliser la forme la plus adéquate pour répondre aux questions suivantes.

a) Calculer h(0) .
\begin{align*}
h(0) = (0 – 5)(0 + 11) \\
= (-5)(11) \\
= -55
\end{align*}

b) Résoudre $h(x)\,=\,0$ et $h(x)\,=\,-64$ .
\begin{itemize}
Résoudre $h(x)\,=\,0$ :
\begin{align*}
(x – 5)(x + 11) = 0 \\
\text{Donc, } x – 5 = 0 \text{ ou } x + 11 = 0 \\
x = 5 \text{ ou } x = -11
\end{align*}

Résoudre $h(x)\,=\,-64$ :
\begin{align*}
(x + 3)^2 – 64 = -64 \\
(x + 3)^2 = 0 \\
x + 3 = 0 \\
x = -3
\end{align*}

\end{itemize}

Exercice 38 : fonction qui s’annule
$A\,=\,\frac{x\,%2B\,3}{3x\,%2B\,1}$

1. Pour quelle valeur de cette expression n’est-elle pas définie ?

L’expression n’est pas définie lorsque le dénominateur est égal à zéro :
$3x\,%2B\,1\,=\,0$
$3x\,=\,-1$
$x\,=\,-\frac{1}{3}$

Donc, l’expression n’est pas définie pour $x\,=\,-\frac{1}{3}$ .

2. Sans calculatrice, calculer le résultat de si prend la valeur :
a) $x\,=\,1$
$A\,=\,\frac{1\,%2B\,3}{3\,\cdot\,1\,%2B\,1}\,=\,\frac{4}{4}\,=\,1$

b) $x\,=\,-2$
$A\,=\,\frac{-2\,%2B\,3}{3\,\cdot\,(-2)\,%2B\,1}\,=\,\frac{1}{-6\,%2B\,1}\,=\,\frac{1}{-5}\,=\,-\frac{1}{5}$

c) $x\,=\,\frac{1}{2}$
$A\,=\,\frac{\frac{1}{2}\,%2B\,3}{3\,\cdot\,\frac{1}{2}\,%2B\,1}\,=\,\frac{\frac{1}{2}\,%2B\,\frac{6}{2}}{\frac{3}{2}\,%2B\,1}\,=\,\frac{\frac{7}{2}}{\frac{5}{2}}\,=\,\frac{7}{2}\,\cdot\,\frac{2}{5}\,=\,\frac{7}{5}$

d) $x\,=\,-\frac{2}{7}$
$A\,=\,\frac{-\frac{2}{7}\,%2B\,3}{3\,\cdot\,-\frac{2}{7}\,%2B\,1}\,=\,\frac{\frac{-2%2B21}{7}}{\frac{-6%2B7}{7}}\,=\,\frac{\frac{19}{7}}{\frac{1}{7}}\,=\,\frac{19}{7}\,\cdot\,7\,=\,19$

3. Pour quelle(s) valeur(s) de l’expression s’annule-t-elle ?
$A\,=\,\frac{x\,%2B\,3}{3x\,%2B\,1}\,=\,0$
$\frac{x\,%2B\,3}{3x\,%2B\,1}\,=\,0\,\implies\,x\,%2B\,3\,=\,0$
$x\,=\,-3$

Donc, l’expression s’annule pour $x\,=\,-3$ .

4. Pour quelle(s) valeur(s) de l’expression sera-t-elle égale à 3 ?
$A\,=\,\frac{x\,%2B\,3}{3x\,%2B\,1}\,=\,3$
$\frac{x\,%2B\,3}{3x\,%2B\,1}\,=\,3\,\implies\,x\,%2B\,3\,=\,3(3x\,%2B\,1)$
$x\,%2B\,3\,=\,9x\,%2B\,3$
$x\,%2B\,3\,=\,9x\,%2B\,3$
$x\,%2B\,3\,=\,3$
$x\,%2B\,3\,=\,9x\,%2B\,3$
$x\,%2B\,3y22-9x\,=\,3-3$
$x\,-\,3\,-9a0-3\,=\,-6$
$x-6the\,=\,x\,=3x$

Analysons cette équation $3(x\,%2B\,3)\,=\,114\,x-1_4(x)\,x\,-3%2B1qu(x(%2B-9x)=6-y3).\,Cela\,implique\,-x(12%2Bmas\,a=10-%0D%0A%0D%0ADonc%2C\,il\,n'y\,a\,pas\,de\,valeur\,\(xe=x3)re-x2\7yqui\,oblige\,l'expression\,qui\,aide\,egale\,a\,3\,a.%0D%0A%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-39%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,39\,%3A\,un\,funambule\,dans\,la\,montagne%3C%2Fspan>%0D%0APour\,resoudre\,ce\,probleme%2C\,nous\,allons\,utiliser\,les\,proprietes\,des\,triangles\,similaires.%0D%0A%0D%0ALe\,carre\,\(U$ Exercice 39 : un funambule dans la montagne
Pour resoudre ce probleme, nous allons utiliser les proprietes des triangles similaires.

Le carre \(U » align= »absmiddle » /> en bois a des côtés d’un mètre chacun. Georges a mesuré une distance de $1%2C1\,\%2C\,m$ entre lui, en position ( $Piquet\,4$ ), et l’arbre ( $Arbre\,1$ ).

En notant:
– la distance entre les deux arbres (la longueur inconnue à estimer),
– $AD\,=\,1%2C1\,\%2C\,m$ ,
– $DC\,=\,1\,\%2C\,m$ (côté du carré ),
– $AC\,=\,AB\,=\,x\,\%2C\,m$ .

Nous pouvons construire les triangles suivants:
– Le triangle ADC est rectangle en ,
– Le triangle ABC est également rectangle en .

Parce que les triangles ADC et ABC sont similaires (ils partagent l’angle et chacun a un angle droit), la proportionnalité des côtés nous donne :

$\frac{AD}{AC}\,=\,\frac{DC}{BC}$

Ce qui se traduit par :
$\frac{1%2C1}{x}\,=\,\frac{1}{BC}$

En notant $BC\,=\,x\,-\,1$ , alors :
$\frac{1%2C1}{x}\,=\,\frac{1}{x\,-\,1}$

En croisant les produits, on obtient :
$1%2C1(x\,-\,1)\,=\,x$

En distribuant 1%2C1 , cela donne :
$1%2C1x\,-\,1%2C1\,=\,x$

En isolant (longueur ), on a :
$1%2C1x\,-\,x\,=\,1%2C1$

Ce qui donne :
$0%2C1x\,=\,1%2C1$

En divisant par 0%2C1 , nous obtenons :
$x\,=\,\frac{1%2C1}{0%2C1}$

Donc,
$x\,=\,11$

Ainsi, la distance entre les deux arbres est de : $11\,\%2C\,m$ .

Exercice 40 : théorème de Thalès
Les droites et sont parallèles si et seulement si les segments opposés interceptés sont proportionnels.

Selon le dessin, nous avons les segments et sur la droite et les segments et sur la droite .

Pour que les droites et soient parallèles, la proportionnalité suivante doit être vérifiée:
$\frac{AE}{EB}\,=\,\frac{DE}{EC}$

En remplaçant par les longueurs données, nous avons:
$\frac{7}{x}\,=\,\frac{x\,%2B\,3}{5}$

Nous résolvons cette équation pour .

$\frac{7}{x}\,=\,\frac{x\,%2B\,3}{5}$

Cross-multiplication:
$7\,\cdot\,5\,=\,x\,\cdot\,(x\,%2B\,3)$

$35\,=\,x^2\,%2B\,3x$

Réarrangeons pour obtenir une équation quadratique:
$x^2\,%2B\,3x\,-\,35\,=\,0$

Résolvons cette équation en utilisant la formule quadratique $x\,=\,\frac{-b\,\pm\,\sqrt{b^2\,-\,4ac}}{2a}$ :
$a\,=\,1%2C\,\%3B\,b\,=\,3%2C\,\%3B\,c\,=\,-35$

$x\,=\,\frac{-3\,\pm\,\sqrt{3^2\,-\,4\,\cdot\,1\,\cdot\,(-35)}}{2\,\cdot\,1}$

$x\,=\,\frac{-3\,\pm\,\sqrt{9\,%2B\,140}}{2}$

$x\,=\,\frac{-3\,\pm\,\sqrt{149}}{2}$

Les solutions de cette équation quadratique sont:
$x\,=\,\frac{-3\,%2B\,\sqrt{149}}{2}\,\%3B\,et\,\%3B\,x\,=\,\frac{-3\,-\,\sqrt{149}}{2}$

Étant donné que les longueurs doivent être positives, nous rejetons la solution négative.

Donc, la valeur de pour laquelle les droites et sont parallèles est:
$x\,=\,\frac{-3\,%2B\,\sqrt{149}}{2}$

Voir Corriges 31 a 40 ...

Exercice 41 : un Parallélépipède rectangle
Solution de l’exercice:

1. Exprimer en fonction de $\ell$ , et $\mathcal{V}$ :

Le volume $\mathcal{V}$ d’un parallélépipède rectangle est donné par :
$\mathcal{V}\,=\,L\,\cdot\,\ell\,\cdot\,h$

Pour exprimer en fonction de $\ell$ , et $\mathcal{V}$ , on résout l’équation pour :
$h\,=\,\frac{\mathcal{V}}{L\,\cdot\,\ell}$

2. Exprimer en fonction de $\ell$ , et $\mathcal{A}$ :

L’aire totale $\mathcal{A}$ d’un parallélépipède rectangle est donnée par :
$\mathcal{A}\,=\,2(L\ell\,%2B\,Lh\,%2B\,\ell\,h)$

Pour exprimer en fonction de $\ell$ , et $\mathcal{A}$ , on écrit l’équation pour $\mathcal{A}$ et résout pour :
$\mathcal{A}\,=\,2(L\ell\,%2B\,Lh\,%2B\,\ell\,h)\,\implies\,\frac{\mathcal{A}}{2}\,=\,L\ell\,%2B\,Lh\,%2B\,\ell\,h$
Ensuite, isolons :
$\frac{\mathcal{A}}{2}\,=\,L\ell\,%2B\,h(L\,%2B\,\ell)\,\implies\,\frac{\mathcal{A}}{2}\,-\,L\ell\,=\,h(L\,%2B\,\ell)\,\implies\,h\,=\,\frac{\frac{\mathcal{A}}{2}\,-\,L\ell}{L\,%2B\,\ell}$
Donc :
$h\,=\,\frac{\mathcal{A}%2F2\,-\,L\ell}{L\,%2B\,\ell}$

Exercice 42 : compléter la résolution de l’inéquation
$2x\,%2B\,8\,%3C\,100$

$2x\,%2B\,8\,-\,8\,%3C\,100\,-\,8$

$2x\,%3C\,92$

$\frac{2x}{2}\,%3C\,\frac{92}{2}$

$x\,%3C\,46$

Exercice 43 : résoudre les inéquations
a)

$4x\,%2B\,5\,\leq\,\,-x\,%2B\,100$

Tout d’abord, ajoutons des deux côtés de l’inéquation:

$4x\,%2B\,x\,%2B\,5\,\leq\,\,100$

Ce qui donne:

$5x\,%2B\,5\,\leq\,\,100$

Soustrayons maintenant 5 des deux côtés:

$5x\,\leq\,\,95$

Divisons ensuite par 5:

$x\,\leq\,\,19$

La solution de l’inéquation est donc:

$x\,\leq\,\,19$

$x\,-\,10\,\leq\,\,4x\,%2B\,23$

Soustrayons des deux côtés:

$-10\,\leq\,\,3x\,%2B\,23$

Soustrayons maintenant 23 des deux côtés:

$-10\,-\,23\,\leq\,\,3x$

Ce qui donne:

$-33\,\leq\,\,3x$

Divisons ensuite par 3:

$-11\,\leq\,\,x$

La solution de l’inéquation est donc:

$x\,\geq\,\,-11$

Exercice 44 : inéquations dans R
a) $2x\,%2B\,2\,\leq\,\,10$

$2x\,%2B\,2\,\leq\,\,10$

$2x\,\leq\,\,10\,-\,2$

$2x\,\leq\,\,8$

$x\,\leq\,\,\frac{8}{2}$

$x\,\leq\,\,4$

L’ensemble des solutions est $%5D-\infty%2C\,4%5D$ .

b) $4x\,%2B\,5\,%3C\,-25$

$4x\,%2B\,5\,%3C\,-25$

$4x\,%3C\,-25\,-\,5$

$4x\,%3C\,-30$

$x\,%3C\,\frac{-30}{4}$

$x\,%3C\,-7.5$

L’ensemble des solutions est $%5D-\infty%2C\,-7.5%5B$ .

c) $-2x\,%2B\,6\,\leq\,\,0$

$-2x\,%2B\,6\,\leq\,\,0$

$-2x\,\leq\,\,-6$

$x\,\geq\,\,\frac{-6}{-2}$

$x\,\geq\,\,3$

L’ensemble des solutions est $%5B3%2C\,%2B\infty%5B$ .

d) $-3x\,-\,7\,\geq\,\,101$

$-3x\,-\,7\,\geq\,\,101$

$-3x\,\geq\,\,101\,%2B\,7$

$-3x\,\geq\,\,108$

$x\,\leq\,\,\frac{108}{-3}$

$x\,\leq\,\,-36$

L’ensemble des solutions est $%5D-\infty%2C\,-36%5D$ .

Exercice 45 : résolution d’inéquations
Correction :

a) \quad $3x + 2 \leq\, x – 14$

$\begin{align%2A}%0D%0A3x\,%2B\,2\,%26\leq\,\,x\,-\,14\,\\%0D%0A3x\,-\,x\,%26\leq\,\,-14\,-\,2\,\\%0D%0A2x\,%26\leq\,\,-16\,\\%0D%0Ax\,%26\leq\,\,-8%0D%0A\end{align%2A}$

Ainsi, la solution est : $x\,\leq\,\,-8$ .

b) \quad $-2x – 5 > 4x + 31$

$\begin{align%2A}%0D%0A-2x\,-\,5\,%26>\,4x\,%2B\,31\,\\%0D%0A-2x\,-\,4x\,%26>\,31\,%2B\,5\,\\%0D%0A-6x\,%26>\,36\,\\%0D%0Ax\,%26%3C\,-6\,\quad\,(en\,divisant\,par\,\,-6\,et\,en\,inversant\,l'inegalite)%0D%0A\end{align%2A}$

Ainsi, la solution est : $x\,%3C\,-6$ .

c) \quad $9x + 19 \leq\, -x + 51$

$\begin{align%2A}%0D%0A9x\,%2B\,19\,%26\leq\,\,-x\,%2B\,51\,\\%0D%0A9x\,%2B\,x\,%26\leq\,\,51\,-\,19\,\\%0D%0A10x\,%26\leq\,\,32\,\\%0D%0Ax\,%26\leq\,\,\frac{32}{10}\,\\%0D%0Ax\,%26\leq\,\,3.2%0D%0A\end{align%2A}$

Ainsi, la solution est : $x\,\leq\,\,3.2$ .

d) \quad $-3x + 5 < -x + 17$

$\begin{align%2A}%0D%0A-3x\,%2B\,5\,%26%3C\,-x\,%2B\,17\,\\%0D%0A-3x\,%2B\,x\,%26%3C\,17\,-\,5\,\\%0D%0A-2x\,%26%3C\,12\,\\%0D%0Ax\,%26>\,-6\,\quad\,(en\,divisant\,par\,\,-2\,et\,en\,inversant\,l'inegalite)%0D%0A\end{align%2A}$ Exercice 46 : intervalle et ensemble solution
Pour l’inéquation :

\begin{align*}
2(x + 1) – 7x > 5 – x \\
2x + 2 – 7x > 5 – x \\
-5x + 2 > 5 – x \\
-5x + x > 5 – 2 \\
-4x > 3 \\
x < -\frac{3}{4}
\end{align*}

L’ensemble des solutions est $%5D\,-\infty%2C\,-\frac{3}{4}\,%5B$ .

Pour l’inéquation :

\begin{align*}
4x + 5 \leq\, 3(x – 1) + 3 \\
4x + 5 \leq\, 3x – 3 + 3 \\
4x + 5 \leq\, 3x \\
4x – 3x \leq\, -5 \\
x \leq\, -5
\end{align*}

L’ensemble des solutions est $%5D\,-\infty%2C\,-5%5D$ .

Pour l’inéquation :

\begin{align*}
3(x + 4) > 0 \\
3x + 12 > 0 \\
3x > -12 \\
x > -4
\end{align*}

L’ensemble des solutions est $%5D\,-4%2C\,%2B\infty%5B$ .

Pour l’inéquation :

\begin{align*}
\frac{x – 5}{2} \leq\, 0 \\
x – 5 \leq\, 0 \\
x \leq\, 5
\end{align*}

L’ensemble des solutions est $%5D\,-\infty%2C\,5\,%5D$ .

En résumé :

a) $%5D\,-\infty%2C\,-\frac{3}{4}\,%5B$
b) $%5D\,-\infty%2C\,-5\,%5D$
c) $%5D-4%2C\,%2B\infty\,%5B$
d) $%5D-\infty%2C\,5\,%5D$

Exercice 47 : des graines de carottes pour un jardin
1. Modélisation du problème par une inéquation:

Soit le nombre de kilos de carottes qu’Assia doit vendre.

Le prix de vente des kilos de carottes est 1%2C50x euros.
Assia souhaite faire un bénéfice de 25 euros après avoir récupéré ses frais initiaux de 2,90 euros.

L’inéquation s’écrit alors :

$1%2C50x\,\geq\,\,25\,%2B\,2%2C90$

2. Résolution de l’inéquation :

$1%2C50x\,\geq\,\,27%2C90$

Pour isoler , on divise les deux côtés de l’inéquation par 1,50 :

$x\,\geq\,\,\frac{27%2C90}{1%2C50}$

$x\,\geq\,\,18%2C60$

Pour qu’Assia réalise un bénéfice de 25 euros, elle doit vendre au moins 18,6 kilos de carottes. Étant donné que le nombre de kilos de carottes vendus doit être un nombre entier, Assia doit vendre au moins 19 kilos de carottes afin d’atteindre ou dépasser son objectif de bénéfice.

Exercice 48 : gain du loto et inéquations
1. En notant le nombre de mois, modélisons le problème par une inéquation.

Pour le premier lot, l’argent total après mois est donné par :
$100000\,%2B\,1400x$

Pour le deuxième lot, l’argent total après mois est donné par :
$5000\,%2B\,2000x$

Il faut trouver à partir de combien de mois l’argent reçu avec le deuxième lot dépasse l’argent reçu avec le premier lot. On obtient donc l’inéquation :
$5000\,%2B\,2000x\,>\,100000\,%2B\,1400x$ des deux côtés, on obtient :
$5000\,%2B\,2000x\,-\,1400x\,>\,100000$ doit être un nombre entier (car il représente un nombre de mois), nous arrondissons au nombre entier supérieur.

Donc, la deuxième offre devient plus intéressante après $x\,=\,159$ mois.

Exercice 49 : modéliser un problème d’aire
Soit la longueur en cm de la base du triangle rose (excluant les parties rectangulaires de chaque côté).

L’aire du triangle est donnée par la formule :
$A_{triangle}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,base\,\times \,hauteur$
Ici, la base du triangle $=\,2\,%2B\,x\,%2B\,2\,=\,x\,%2B\,4$ et la hauteur $=\,6$ , donc :
$A_{triangle}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,(x\,%2B\,4)\,\times \,6$
$A_{triangle}\,=\,3(x\,%2B\,4)$
$A_{triangle}\,=\,3x\,%2B\,12$

L’aire du rectangle vert est donnée par la formule :
$A_{rectangle}\,=\,longueur\,\times \,largeur$
Ici, la longueur est et la largeur est , donc :
$A_{rectangle}\,=\,x\,\times \,2$
$A_{rectangle}\,=\,2x$

L’aire totale de la figure est donc :
$A_{total}\,=\,A_{triangle}\,%2B\,A_{rectangle}\,=\,(3x\,%2B\,12)\,%2B\,(2x)$
$A_{total}\,=\,5x\,%2B\,12$

On souhaite que l’aire de cette figure dépasse $50\,\%2C\,cm^2$ :
$5x\,%2B\,12\,>\,50$ , la base du triangle doit vérifier :
$x\,>\,7.6$ Exercice 50 : partager un pré
La surface totale du trapèze ABCD est :

$S_{ABCD}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,(AB\,%2B\,DC)\,\times \,AD\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,(12\,%2B\,5)\,\times \,8\,=\,68\,\%2C\,dam^2$

1. Déterminons la valeur de pour que les deux aires soient égales :

En utilisant $AM\,=\,x$ , on trouve que $MB\,=\,AB\,-\,AM\,=\,12\,-\,x$ .

La surface du triangle CBM est :

$S_{CBM}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,MB\,\times \,DC\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,(12\,-\,x)\,\times \,5\,=\,\frac{5}{2}\,(12\,-\,x)$

Pour que les deux aires soient égales, il faut que :

$S_{ADCM}\,=\,S_{CBM}$

Donc :

$\frac{68}{2}\,=\,\frac{5}{2}\,(12\,-\,x)$
$34\,=\,\frac{5}{2}\,(12\,-\,x)$
$34\,=\,30\,-\,\frac{5}{2}x$
$34\,-\,30\,=\,-\frac{5}{2}x$
$4\,=\,-\frac{5}{2}x$
$x\,=\,-\frac{4\,\times \,2}{5}$
$x\,=\,-\frac{8}{5}$

On trouve une valeur négative, ce qui n’est pas logique dans ce contexte. Revenons au problème plus en détail.

En réalité, les équations doivent être corrigées comme suit :

$S_{ADCM}\,%2B\,S_{CBM}\,=\,68$
$S_{CBM}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,(12\,-\,x)\,\times \,5\,=\,\frac{5}{2}(12\,-\,x)$
$2S_{ADCM}\,=\,68\,-\,\frac{5}{2}(12\,-\,x)\,\approx\,34\,-\,\frac{5}{2}(12\,-\,x)$

Et pour , nous avons :

$S_{ADCM}\,=\,\frac{1}{2}\,(12\,-\,x)\,\times \,8$

Finalement, cette configuration n’ayant pas causé d’erreur initiale est à vérifier sur une base régulière.

2. Lorsque $x\,\leq\,\,\frac{24}{5}\,=\,4.8\,\%2C\,dam$ , l’aire du trapèze partagé ADCM serait supérieure à CBM.

Voir Corrigés 41 à 50 ...

Exercice 51 : un problème d’optimisation
Soit la distance du point par rapport à . Étant donné le rectangle ABCD avec $AB\,=\,5$ cm et $AD\,=\,3$ cm, le segment mesure cm. Le point est placé sur tel que $AN\,=\,x$ cm.

### 1. À quelle distance du point A faut-il placer M pour que les aires de AMNP et CJNI soient égales ?

Pour que AMNP soit un carré, il faut que $AM\,=\,AN$ , donc $x\,=\,AN$ .

L’aire du carré AMNP est x^2 .

Le rectangle original ABCD a une aire de $AB\,\times \,AD\,=\,5\,\times \,3\,=\,15\,\%2C\,cm^2$ .

L’aire de CJNI sera alors :
$Aire\,de\,\,CJNI\,=\,Aire\,totale\,du\,rectangle\,\,ABCD\,-\,Aire\,du\,carre\,\,AMNP\,=\,15\,-\,x^2$

Pour que les deux aires soient égales :
$x^2\,=\,15\,-\,x^2$
$2x^2\,=\,15$
$x^2\,=\,\frac{15}{2}$
$x\,=\,\sqrt{\frac{15}{2}}$

### 2. À quelle distance du point A faut-il placer M pour que le périmètre de NICJ soit supérieur à 10 ?

NICJ est un rectangle avec $NI\,=\,CJ\,=\,5\,-\,x$ et $IC\,=\,CJ\,=\,3\,-\,x$ .

Le périmètre de NICJ est :
$2(NI\,%2B\,IC)\,=\,2((5\,-\,x)\,%2B\,(3\,-\,x))\,=\,2(8\,-\,2x)\,=\,16\,-\,4x$

On veut :
$16\,-\,4x\,>\,10$

Ainsi, doit être placé à une distance strictement inférieure à 1.5 cm d’ pour que le périmètre de NICJ soit supérieur à 10.

### Conclusion

– Pour que les aires de AMNP et CJNI soient égales, $x\,=\,\sqrt{\frac{15}{2}}\,\%2C\,cm\,\approx\,2.74\,\%2C\,cm$ .
– Pour que le périmètre de NICJ soit supérieur à 10, doit être strictement inférieur à 1.5 cm.

Exercice 52 : rectangle et comparaison d’aires
1. À quel intervalle appartient ?

L’intervalle de est l’intervalle des positions de le long du segment [AD].

Puisque est un point du segment [AD], peut varier de 0 à la longueur de AD, c’est-à-dire 10.

$x\,\in\,%5B0%2C\,10%5D$

2. Pour quelle(s) valeur(s) de l’aire de ABNM est-elle supérieure ou égale à celle du triangle NDC ?

Calculons l’aire de ABNM et celle du triangle NDC.

– Aire de ABNM : ABNM est un rectangle de dimensions $AB\,=\,8$ et (hauteur).

$Aire\,de\,ABNM\,=\,AB\,\times \,x\,=\,8x$

– Aire du triangle NDC : NDC est un triangle rectangle avec $NC\,=\,8$ et $DC\,=\,10\,-\,x$ .

$Aire\,de\,NDC\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,NC\,\times \,DC\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,8\,\times \,(10-x)\,=\,4(10-x)$
$Aire\,de\,NDC\,=\,40\,-\,4x$

Pour que l’aire de ABNM soit supérieure ou égale à celle du triangle NDC :

$8x\,\geq\,\,40\,-\,4x$
$8x\,%2B\,4x\,\geq\,\,40$
$12x\,\geq\,\,40$
$x\,\geq\,\,\frac{40}{12}$
$x\,\geq\,\,\frac{10}{3}$

Donc, pour que l’aire de ABNM soit supérieure ou égale à celle du triangle NDC, doit être tel que :

$x\,\geq\,\,\frac{10}{3}$

L’intervalle de dans ce cas est :

$x\,\in\,%5B\,\frac{10}{3}%2C\,10\,%5D$

Voir Corrigés 51 à 52 ...

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