Les équations et inéquations : corrigés des exercices de maths en 2de.

Exercice 11 : algorithme et formule d’abonnement à un club
Variables : \( x \) est un nombre entier naturel
\( u, v \) sont des nombres réels

Entrée : Saisir \( x \)

Traitement et sortie :

1. Affecter à \( u \) la valeur \( 30 + 1{,}45x \)

\[
u arrow 30 + 1{,}45x
\]

2. Affecter à \( v \) la valeur \( 20 + 1{,}75x \)

\[
v arrow 20 + 1{,}75x
\]

3. Si \( u \leq\, v \) alors

\[
\text{Afficher « Formule A moins chère »}
\]

sinon

\[
\text{Afficher « Formule B moins chère »}
\]

Fin Si

Exercice 12 : conjecture et programmes de calcul
\[\]Correction des exercices :\[\]

1. Quel nombre obtient-on avec chaque programme lorsqu’on choisit :

Soit \( x \) le nombre choisi.

\[\]Programme 1 :\[\]
\[
x \to x – 1 \to (x – 1)^2 \to 4(x – 1)^2 \to 4(x – 1)^2 – 1
\]

\[\]Programme 2 :\[\]
\[
x \to 2x – 1 \to 2x + 2 \to (2x – 1)(2x + 2)
\]

Calculons pour chaque valeur donnée de \( x \):

a) \( x = -1 \)
– Programme 1 :
\[
-1 \to -1 – 1 = -2 \to (-2)^2 = 4 \to 4 \times 4 = 16 \to 16 – 1 = 15
\]
– Programme 2 :
\[
-1 \to 2(-1) – 1 = -3 \to 2(-1) + 2 = 0 \to (-3) \times 0 = 0
\]

b) \( x = 0 \)
– Programme 1 :
\[
0 \to 0 – 1 = -1 \to (-1)^2 = 1 \to 4 \times 1 = 4 \to 4 – 1 = 3
\]
– Programme 2 :
\[
0 \to 2(0) – 1 = -1 \to 2(0) + 2 = 2 \to (-1) \times 2 = -2
\]

c) \( x = 1 \)
– Programme 1 :
\[
1 \to 1 – 1 = 0 \to 0^2 = 0 \to 4 \times 0 = 0 \to 0 – 1 = -1
\]
– Programme 2 :
\[
1 \to 2(1) – 1 = 1 \to 2(1) + 2 = 4 \to 1 \times 4 = 4
\]

d) \( x = 2 \)
– Programme 1 :
\[
2 \to 2 – 1 = 1 \to 1^2 = 1 \to 4 \times 1 = 4 \to 4 – 1 = 3
\]
– Programme 2 :
\[
2 \to 2(2) – 1 = 3 \to 2(2) + 2 = 6 \to 3 \times 6 = 18
\]

2. \[\]Émettre une conjecture quant à ces deux programmes de calcul.\[\]

\[\]Conjecture :\[\] Il semble que les résultats des deux programmes soient différents en général, sauf dans des cas particuliers où les opérations coïncident pour produire des résultats particuliers.

\[\]Démontrer cette conjecture :\[\]

Reprenons les deux expressions générales pour un nombre \( x \) donné :

\[\]Programme 1 :\[\]
\[
4(x-1)^2 – 1
\]

\[\]Programme 2 :\[\]
\[
(2x-1)(2x+2)
\]

Développons et simplifions si nécessaire :
– Programme 1 :
\[
4(x-1)^2 – 1 = 4(x^2 – 2x + 1) – 1 = 4x^2 – 8x + 4 – 1 = 4x^2 – 8x + 3
\]
– Programme 2 :
\[
(2x-1)(2x+2) = 2x(2x+2) – 1(2x+2) = 4x^2 + 4x – 2x – 2 = 4x^2 + 2x – 2
\]

Comparons les deux expressions :
\[
4x^2 – 8x + 3 \quad \text{et} \quad 4x^2 + 2x – 2
\]

Pour que les expressions soient identiques :
\[
4x^2 – 8x + 3 = 4x^2 + 2x – 2
\]

En simplifiant l’égalité :
\[
-8x + 3 = 2x – 2 \implies -10x = -5 \implies x = \frac{1}{2}
\]

Pour \( x = \frac{1}{2} \), les deux programmes donnent le même résultat. Cependant, en général, les résultats des programmes sont différents pour la plupart des autres valeurs de \( x \), validant ainsi notre conjecture.

Conclusion : À moins de cas particuliers, les résultats des deux programmes de calcul restent différents.

Exercice 13 : tableur et conjecture d’une équation
a) On observe la formule saisie dans la cellule B1 : \( B1 = A1^2 – (A1 – 6) \cdot (A1 + 6) \).

En recopiant cette formule vers le bas, les valeurs dans la colonne B pour les différentes valeurs de \(A1\) sont calculées comme suit :

\begin{align*}
\text{Pour } A1 = 1, \quad B1 = 1^2 – (1 – 6) \cdot (1 + 6) = 1 – (-5) \cdot 7 = 1 – (-35) = 1 + 35 = 36 \\
\text{Pour } A1 = 2, \quad B2 = 2^2 – (2 – 6) \cdot (2 + 6) = 4 – (-4) \cdot 8 = 4 – (-32) = 4 + 32 = 36 \\
\text{Pour } A1 = 3, \quad B3 = 3^2 – (3 – 6) \cdot (3 + 6) = 9 – (-3) \cdot 9 = 9 – (-27) = 9 + 27 = 36 \\
\text{Pour } A1 = 4, \quad B4 = 4^2 – (4 – 6) \cdot (4 + 6) = 16 – (-2) \cdot 10 = 16 – (-20) = 16 + 20 = 36 \\
\text{Pour } A1 = 5, \quad B5 = 5^2 – (5 – 6) \cdot (5 + 6) = 25 – (-1) \cdot 11 = 25 – (-11) = 25 + 11 = 36
\end{align*}

On remarque que la valeur de la colonne B est toujours égale à 36 pour les différentes valeurs de A1 (variant de 1 à 5).

b) Conjecture : Quelle que soit la valeur de \( A1 \), la valeur de \( B \) sera toujours égale à 36.

Démonstration :
La formule entrant en jeu est :
\[ B = A1^2 – (A1 – 6)(A1 + 6) \]

Développons l’expression :
\[ (A1 – 6)(A1 + 6) = A1^2 – 36 \]

Ainsi, la formule devient :
\[ B = A1^2 – (A1^2 – 36) = A1^2 – A1^2 + 36 = 36 \]

Cette simplification montre que, quelle que soit la valeur de \( A1 \), le résultat sera toujours 36.

Ainsi, la conjecture est vérifiée et démontrée.

Exercice 14 : factoriser une expression
1.
a) \( 3x + 6 \)

\[
3x + 6 = 3(x + 2)
\]

b) \( A = 3x + 6 + (x + 2)(x – 8) \)

On remplace \( 3x + 6 \) par sa forme factorisée :

\[
A = 3(x + 2) + (x + 2)(x – 8)
\]

Factorisation par \( (x + 2) \) :

\[
A = (x + 2)(3 + (x – 8)) = (x + 2)(x – 5)
\]

2.
a) \( B = x^2 – 4 + (x – 1)(x + 2) \)

On reconnaît une différence de carrés dans \( x^2 – 4 \) et on simplifie le produit :

\[
x^2 – 4 = (x – 2)(x + 2)
\]
\[
(x – 1)(x + 2) = x^2 + x – 2
\]

B devient alors :

\[
B = (x – 2)(x + 2) + x^2 + x – 2
\]

b) \( C = x^2 + 4x + (x + 1)(x + 4) \)

On développe \( (x + 1)(x + 4) \) :

\[
(x + 1)(x + 4) = x^2 + 5x + 4
\]

Puis on simplifie \( C \) :

\[
C = x^2 + 4x + x^2 + 5x + 4
\]
\[
C = 2x^2 + 9x + 4
\]

Exercice 15 : calcul littéral et factorisation
Correction de l’exercice :

1. a)
Calculons les deux expressions de \( A \) pour \( x = 0 \).

Sans factorisation :
\[
A = (x + 4)(x – 3) + (x + 4)(x – 1) + x + 4
\]
Pour \( x = 0 \) :
\[
A = (0 + 4)(0 – 3) + (0 + 4)(0 – 1) + 0 + 4
\]
\[
A = 4 \cdot (-3) + 4 \cdot (-1) + 4
\]
\[
A = -12 – 4 + 4
\]
\[
A = -12
\]

Avec la factorisation de Alice :
\[
A = (x + 4)(2x – 4)
\]
Pour \( x = 0 \) :
\[
A = (0 + 4)(2 \cdot 0 – 4)
\]
\[
A = 4 \cdot (-4)
\]
\[
A = -16
\]

En conclusion, il semble y avoir une erreur dans la factorisation donnée par Alice, car les deux calculs ne donnent pas le même résultat pour \( x = 0 \).

b)
Commençons avec l’équation :
\[
(x + 4)(x – 3) + (x + 4)(x – 1) + x + 4
\]

Factorisons par \( (x + 4) \):
\[
A = (x + 4)[(x – 3) + (x – 1)] + x + 4
\]
\(
(x – 3) + (x – 1) = 2x – 4
\)
\[
A = (x + 4)(2x – 4) + x + 4
\]

Développons maintenant le produit :
\[
A = (x + 4)(2x – 4)
\]
\[
A = 2x^2 – 4x + 8x – 16
\]
\[
A = 2x^2 + 4x – 16
\]

Ajoutons \( x + 4 \) :
\[
A = 2x^2 + 4x – 16 + x + 4
\]
\[
A = 2x^2 + 5x – 12
\]

De ce fait, la factorisation correcte doit être revue. Continuons avec les autres points pour éviter toute confusion :

2. Factorisons les expressions :

a)
\[
B = (2x – 1)(x + 3) + 2x – 1
\]

Factorisons par \( 2x – 1 \) :
\[
B = (2x – 1)[(x + 3) + 1]
\]
\[
B = (2x – 1)(x + 4)
\]

b)
\[
C = (x + 1)^2 + (x + 1)(2x – 2) + x + 1
\]

Factorisons par \( x + 1 \) :
\[
C = (x + 1)[(x + 1) + (2x – 2)] + x + 1
\]
\[
C = (x + 1)[(x + 1) + 2x – 2] + x + 1
\]
\[
C = (x + 1)(3x – 1) + x + 1
\]

3. Démontrons que pour tout nombre réel \( x \) :
\[
(x + 6)(x + 7) = (x + 6)^2 + x + 6
\]

À gauche, développons :
\[
(x + 6)(x + 7) = x^2 + 7x + 6x + 42
\]
\[
= x^2 + 13x + 42
\]

À droite, développons :
\[
(x + 6)^2 + x + 6 = x^2 + 12x + 36 + x + 6
\]
\[
= x^2 + 13x + 42
\]

Les deux expressions sont égales.

La totalité de l’exercice est corrigée.

Exercice 16 : fonction et calculs d’images avec équations
Correction de l’exercice:

Pour montrer que \( f(x) \) peut être écrite sous différentes formes, nous partons de la forme donnée dans l’exercice.

\[
f(x) = (x – 3)^2 – 25
\]

Première forme, montrons que \( f(x) = x^2 – 6x – 16 \) :

Développons et simplifions l’expression :

\[
f(x) = (x – 3)^2 – 25
\]

\[
= (x^2 – 6x + 9) – 25
\]

\[
= x^2 – 6x + 9 – 25
\]

\[
= x^2 – 6x – 16
\]

La première forme est donc correcte :

\[
f(x) = x^2 – 6x – 16
\]

Deuxième forme, montrons que \( f(x) = (x – 8)(x + 2) \) :

Différents facteurs peuvent être utilisés pour écrire \( x^2 – 6x – 16 \). Facteurisons l’expression en utilisant des racines :

\[
f(x) = x^2 – 6x – 16
\]

Nous cherchons \(a\) et \(b\) tels que \( (x – a)(x + b) = x^2 – 6x – 16 \).

Les racines du polynôme \( x^2 – 6x – 16 = 0 \) sont données par la formule quadratique :

\[
x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-16)}}{2 \cdot 1}
\]

\[
x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2}
\]

\[
x = \frac{6 \pm 10}{2}
\]

\[
x = 8 \quad \text{et} \quad x = -2
\]

Ainsi, nous pouvons écrire :

\[
f(x) = (x – 8)(x + 2)
\]

La deuxième forme est donc correcte :

\[
f(x) = (x – 8)(x + 2)
\]

\[\]Répondons maintenant aux questions suivantes :\[\]

\[\]2. a) Calculer \( f(3) \) :\[\]

Utilisons la forme (1) pour calculer \( f(3) \) :

\[
f(3) = (3 – 3)^2 – 25
\]

\[
= 0 – 25
\]

\[
= -25
\]

\[\]b) Résoudre \( f(x) = 0 \) :\[\]

Utilisons la forme (3) pour résoudre \( (x – 8)(x + 2) = 0 \) :

\[
(x – 8) = 0 \quad \text{ou} \quad (x + 2) = 0
\]

\[
x = 8 \quad \text{ou} \quad x = -2
\]

Les solutions sont \( x = 8 \) et \( x = -2 \).

\[\]c) Résoudre \( f(x) = -16 \) :\[\]

Utilisons la forme (2) pour résoudre \( x^2 – 6x – 16 = -16 \) :

\[
x^2 – 6x – 16 + 16 = 0
\]

\[
x^2 – 6x = 0
\]

\[
x(x – 6) = 0
\]

Les solutions sont \( x = 0 \) et \( x = 6 \).

\[\]d) Résoudre \( f(x) = -25 \) :\[\]

Utilisons la forme (1) pour résoudre \( (x – 3)^2 – 25 = -25 \) :

\[
(x – 3)^2 = 0
\]

\[
x – 3 = 0
\]

\[
x = 3
\]

La solution est \( x = 3 \).

Exercice 17 : factorisation et résolution d’une équation
Emma et Pierre travaillent en binôme pour résoudre l’équation :
\[ (x + 3)(x – 7) – (x – 1)(x + 2) = 0 \]

Emma affirme : « Je peux résoudre l’équation à l’aide d’une factorisation ».

Pierre répond : « Inutile de factoriser, si je développe chaque produit, les \(x^2\) s’éliminent ».

a) Que penser des arguments de chacun ?

Pierre a raison dans son argument. En développant chaque produit, les termes en \(x^2\) s’annulent ce qui simplifie le calcul. On peut démontrer cela comme suit :

Développons chaque produit :
\[ (x + 3)(x – 7) = x(x – 7) + 3(x – 7) = x^2 – 7x + 3x – 21 = x^2 – 4x – 21 \]

\[ (x – 1)(x + 2) = x(x + 2) – 1(x + 2) = x^2 + 2x – x – 2 = x^2 + x – 2 \]

Nous obtenons ainsi l’équation simplifiée suivante :
\[ (x^2 – 4x – 21) – (x^2 + x – 2) = 0 \]

En simplifiant, les \(x^2\) s’éliminent :
\[ x^2 – 4x – 21 – x^2 – x + 2 = 0 \]

\[ -4x – x – 21 + 2 = 0 \]

\[ -5x – 19 = 0 \]

\[ -5x = 19 \]

\[ x = -\frac{19}{5} \]

Donc, l’argument de Pierre qu’il n’est pas nécessaire de factoriser est correct puisque simplifier par développement fonctionne bien ici.

b) En déduire la résolution de cette équation.

Comme montré dans le développement ci-dessus, nous obtenons :
\[ -5x – 19 = 0 \]
\[ x = -\frac{19}{5} \]

L’équation a une unique solution :
\[ x = -\frac{19}{5} \]

Exercice 18 : déterminer la distance CM afin que MA=MB
Soit \( M \) un point variable sur le segment \([CD]\) tel que \( D = 0 \) et \( C = 10 \). Notons \( x \) la distance \( CM \).

Les triangles \( ADM \) et \( BCM \) sont rectangles en \( D \) et en \( C \) respectivement. Pour que \( MA = MB \), nous avons les relations suivantes :

\[
MA = \sqrt{AD^2 + DM^2} = \sqrt{6^2 + (10 – x)^2}
\]

\[
MB = \sqrt{BC^2 + CM^2} = \sqrt{8^2 + x^2}
\]

Nous devons trouver \( x \) tel que \( MA = MB \). Donc, nous avons :

\[
\sqrt{6^2 + (10 – x)^2} = \sqrt{8^2 + x^2}
\]

En élevant les deux côtés au carré, nous obtenons :

\[
6^2 + (10 – x)^2 = 8^2 + x^2
\]

Ce qui donne :

\[
36 + (10 – x)^2 = 64 + x^2
\]

Développons \((10 – x)^2\) :

\[
36 + 100 – 20x + x^2 = 64 + x^2
\]

Simplifions les deux côtés de l’équation en annulant \(x^2\) :

\[
36 + 100 – 20x = 64
\]

Ce qui se simplifie en :

\[
136 – 20x = 64
\]

En isolant \(x\), nous obtenons :

\[
136 – 64 = 20x
\]

\[
72 = 20x
\]

\[
x = \frac{72}{20}
\]

\[
x = 3.6
\]

La distance \( CM \) qui satisfait \( MA = MB \) est donc \( 3.6 \) cm.

Exercice 19 : tableau de signes et fonctions affines
a) Pour le tableau de signes :

\[
\begin{array}{c|ccc}
x -\infty -4 +\infty \\
\hline
Signe\; de\; ax+b – 0 + \\
\end{array}
\]

On cherche les fonctions affines \( ax + b \) qui s’annulent en \( x = -4 \) et sont négatives pour \( x < -4 \) et positives pour \( x > -4 \). Voici trois propositions :

1. \( f(x) = 2x + 8 \)
2. \( f(x) = \frac{1}{2}x + 2 \)
3. \( f(x) = 5x + 20 \)

Ces trois fonctions ont toutes la forme \( ax + b \) avec \( a > 0 \) et \( b \) calculé de sorte que l’ordonnée à l’origine soit négative pour \( x = -4 \) et positive pour \( x > -4 \).

b) Pour le tableau de signes :

\[
\begin{array}{c|ccc}
x -\infty \frac{1}{3} +\infty \\
\hline
Signe\; de\; ax+b + 0 – \\
\end{array}
\]

Cette fois, nous cherchons des fonctions affines \( ax + b \) qui s’annulent en \( x = \frac{1}{3} \) et sont positives pour \( x < \frac{1}{3} \) et négatives pour \( x > \frac{1}{3} \). Voici trois propositions :

1. \( g(x) = -3x + 1 \)
2. \( g(x) = -6x + 2 \)
3. \( g(x) = -9x + 3 \)

Ces trois fonctions ont toutes la forme \( ax + b \) avec \( a < 0 \) et \( b \) ajusté pour garantir qu’elles s’annulent à \( x = \frac{1}{3} \), restent positives pour \( x < \frac{1}{3} \), et deviennent négatives pour \( x > \frac{1}{3} \).

Exercice 20 : résoudre des systèmes de 2 équations à 2 inconnues
\[
\begin{cases}
x – 3y = -17 \\
2x + 4y = 6
\end{cases}
\]

Multiplions la première équation par 2 :

\[
\begin{cases}
2x – 6y = -34 \\
2x + 4y = 6
\end{cases}
\]

Soustrayons la deuxième équation de la première :

\[
(2x – 6y) – (2x + 4y) = -34 – 6 \\
-10y = -40 \\
y = 4
\]

Remplaçons \( y \) par 4 dans la première équation :

\[
x – 3(4) = -17 \\
x – 12 = -17 \\
x = -5
\]

Ainsi, la solution est \( x = -5 \) et \( y = 4 \).

—

\[
\begin{cases}
2a + 3b = -2 \\
4a + b = 6
\end{cases}
\]

Multiplions la deuxième équation par 3 :

\[
\begin{cases}
2a + 3b = -2 \\
12a + 3b = 18
\end{cases}
\]

Soustrayons la première équation de la deuxième :

\[
(12a + 3b) – (2a + 3b) = 18 – (-2) \\
10a = 20 \\
a = 2
\]

Remplaçons \( a \) par 2 dans la première équation :

\[
2(2) + 3b = -2 \\
4 + 3b = -2 \\
3b = -6 \\
b = -2
\]

Ainsi, la solution est \( a = 2 \) et \( b = -2 \).

—

\[
\begin{cases}
3x – y = 9 \\
x – 4y = 14
\end{cases}
\]

Multiplions la deuxième équation par 3 :

\[
\begin{cases}
3x – y = 9 \\
3x – 12y = 42
\end{cases}
\]

Soustrayons la première équation de la deuxième :

\[
(3x – 12y) – (3x – y) = 42 – 9 \\
-11y = 33 \\
y = -3
\]

Remplaçons \( y \) par -3 dans la première équation :

\[
3x – (-3) = 9 \\
3x + 3 = 9 \\
3x = 6 \\
x = 2
\]

Ainsi, la solution est \( x = 2 \) et \( y = -3 \).

—

\[
\begin{cases}
6x + y = 0 \\
4x – 3y = -11
\end{cases}
\]

Multiplions la deuxième équation par 2 :

\[
\begin{cases}
6x + y = 0 \\
8x – 6y = -22
\end{cases}
\]

Soustrayons la deuxième équation de la première multipliée par 3 :

\[
(8x – 6y) – (18x + 3y) = -22 \\
-10x + 9y = 22. \\
y = -2
\]

Remplaçons \( y \) par -2 dans la première équation :

\[
6x + (-2) = 0 \\
6x – 2 = 0 \\
6x = 2 \\
x = -\frac{2}{29
\]

Ainsi, la solution est \( x = -4 \) et \( y = 0 \)

\]

\ >\[\]

Exercice 21 : résoudre les équations
a) \((x + 4)(x – 7) = 0\)

Pour que cette équation soit satisfaite, il faut que l’un des deux facteurs soit nul, donc :

\(x + 4 = 0 \quad \text{ou} \quad x – 7 = 0\)

Ainsi,

\( x = -4 \quad \text{ou} \quad x = 7 \)

Donc, les solutions sont \( x = -4 \) et \( x = 7 \).

b) \((2x + 3)(4x – 5) = 0\)

Pour que cette équation soit satisfaite, il faut que l’un des deux facteurs soit nul, donc :

\(2x + 3 = 0 \quad \text{ou} \quad 4x – 5 = 0\)

Ainsi,

\( 2x = -3 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{3}{2} \)

\( 4x = 5 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{5}{4} \)

Donc, les solutions sont \( x = -\frac{3}{2} \) et \( x = \frac{5}{4} \).

c) \(-x(5 – 4x) = 0\)

Pour que cette équation soit satisfaite, il faut que l’un des deux facteurs soit nul, donc :

\( -x = 0 \quad \text{ou} \quad 5 – 4x = 0\)

Ainsi,

\( x = 0 \)

\( 4x = 5 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{5}{4} \)

Donc, les solutions sont \( x = 0 \) et \( x = \frac{5}{4} \).

d) \((-15x + 3)(3x + 9) = 0\)

Pour que cette équation soit satisfaite, il faut que l’un des deux facteurs soit nul, donc :

\(-15x + 3 = 0 \quad \text{ou} \quad 3x + 9 = 0\)

Ainsi,

\( -15x = -3 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{5} \)

\( 3x = -9 \quad \Rightarrow \quad x = -3 \)

Donc, les solutions sont \( x = \frac{1}{5} \) et \( x = -3 \).

e) \((2x – 4)^2 = 0\)

Pour que cette équation soit satisfaite, il faut que le facteur soit nul, donc :

\( (2x – 4) = 0\)

Ainsi,

\( 2x = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \)

Donc, la solution est \( x = 2 \).

f) \(3x(x – 5) = 0\)

Pour que cette équation soit satisfaite, il faut que l’un des deux facteurs soit nul, donc :

\( 3x = 0 \quad \text{ou} \quad x – 5 = 0\)

Ainsi,

\( x = 0 \)

\( x = 5 \)

Donc, les solutions sont \( x = 0 \) et \( x = 5 \).

Exercice 22 : factoriser et résoudre
1. Factoriser \( x^2 – 16 \).

\[ x^2 – 16 = (x – 4)(x + 4) \]

2. Résoudre \( x^2 – 16 = 0 \).

\[ x^2 – 16 = 0 \]
\[ (x – 4)(x + 4) = 0 \]

Les solutions de l’équation sont les valeurs de \( x \) qui annulent chacun des facteurs :

\[ x – 4 = 0 \quad \text{ou} \quad x + 4 = 0 \]

Donc,

\[ x = 4 \quad \text{ou} \quad x = -4 \]

Les solutions de l’équation \( x^2 – 16 = 0 \) sont \( x = 4 \) et \( x = -4 \).

Exercice 23 : résoudre différentes équations
\[\] {a)} \quad 5x^2 – 6x = 0 \[\]

Factorisons l’équation :
\[\] x(5x – 6) = 0 \[\]

Ainsi, nous avons deux solutions :
\[\] x = 0 \quad \text{ou} \quad 5x – 6 = 0 \[\]
\[\] 5x = 6 \[\]
\[\] x = \frac{6}{5} \[\]

Les solutions sont donc :
\[\] x = 0 \quad \text{ou} \quad x = \frac{6}{5} \[\]

—

\[\] {b)} \quad (2x + 1)(x + 4) + (x + 4)(3 – 5x) = 0 \[\]

Factorisons par \[(x + 4)\] :
\[\] (x + 4) [(2x + 1) + (3 – 5x)] = 0 \[\]
\[\] (x + 4) [2x + 1 + 3 – 5x] = 0 \[\]
\[\] (x + 4) [-3x + 4] = 0 \[\]

Ainsi, nous avons deux solutions :
\[\] x + 4 = 0 \quad \text{ou} \quad -3x + 4 = 0 \[\]
\[\] x = -4 \[\]
\[\] -3x = -4 \[\]
\[\] x = \frac{4}{3} \[\]

Les solutions sont donc :
\[\] x = -4 \quad \text{ou} \quad x = \frac{4}{3} \[\]

—

\[\] {c)} \quad (x – 7)(3x – 5) – (9x – 4)(x – 7) = 0 \[\]

Factorisons par \[(x – 7)\] :
\[\] (x – 7) [(3x – 5) – (9x – 4)] = 0 \[\]
\[\] (x – 7) [3x – 5 – 9x + 4] = 0 \[\]
\[\] (x – 7) [-6x – 1] = 0 \[\]

Ainsi, nous avons deux solutions :
\[\] x – 7 = 0 \quad \text{ou} \quad -6x – 1 = 0 \[\]
\[\] x = 7 \[\]
\[\] -6x = 1 \[\]
\[\] x = -\frac{1}{6} \[\]

Les solutions sont donc :
\[\] x = 7 \quad \text{ou} \quad x = -\frac{1}{6} \[\]

—

\[\] {d)} \quad 4x^2 + 8x + 4 = 0 \[\]

Divisons par 4 :
\[\] x^2 + 2x + 1 = 0 \[\]

Facteurs de l’équation :
\[\] (x + 1)(x + 1) = 0 \[\]
\[\] (x + 1)^2 = 0 \[\]

Ainsi, il y a une solution :
\[\] x + 1 = 0 \[\]
\[\] x = -1 \[\]

La solution est donc :
\[\] x = -1 \[\]

—

\[\] {e)} \quad (4x – 7)(9x + 5) = (8x – 3)(4x – 7) \[\]

Réarrangeons et simplifions :
\[\] (4x – 7)(9x + 5) – (8x – 3)(4x – 7) = 0 \[\]

Factorisons par \[(4x – 7)\] :
\[\] (4x – 7) [(9x + 5) – (8x – 3)] = 0 \[\]
\[\] (4x – 7) [9x + 5 – 8x + 3] = 0 \[\]
\[\] (4x – 7) [x + 8] = 0 \[\]

Ainsi, nous avons deux solutions :
\[\] 4x – 7 = 0 \quad \text{ou} \quad x + 8 = 0 \[\]
\[\] 4x = 7 \[\]
\[\] x = \frac{7}{4} \[\]
\[\] x = -8 \[\]

Les solutions sont donc :
\[\] x = \frac{7}{4} \quad \text{ou} \quad x = -8 \[\]

Exercice 24 : résoudre dans R
a) \(x^2 = 81\)

\[
x = \pm \sqrt{81}
\]

\[
x = \pm 9
\]

Les solutions sont donc \(x = 9\) et \(x = -9\).

b) \(x^2 = -7\)

Aucune solution réelle, car le carré d’un nombre réel ne peut pas être négatif.

c) \(x^2 = 15\)

\[
x = \pm \sqrt{15}
\]

Les solutions sont donc \(x = \sqrt{15}\) et \(x = -\sqrt{15}\).

d) \(3x^2 = 48\)

\[
x^2 = \frac{48}{3}
\]

\[
x^2 = 16
\]

\[
x = \pm \sqrt{16}
\]

\[
x = \pm 4
\]

Les solutions sont donc \(x = 4\) et \(x = -4\).

e) \(2x^2 + 20 = 0\)

\[
2x^2 = -20
\]

\[
x^2 = -10
\]

Aucune solution réelle, car le carré d’un nombre réel ne peut pas être négatif.

f) \(4x^2 – 2 = 1\)

\[
4x^2 = 1 + 2
\]

\[
4x^2 = 3
\]

\[
x^2 = \frac{3}{4}
\]

\[
x = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}
\]

\[
x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

Les solutions sont donc \(x = \frac{\sqrt{3}}{2}\) et \(x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Exercice 25 : résoudre les équations
{Correction de l’exercice}

[a)] \[x^2 + 6x + 9 = 0\]

Nous résolvons cette équation quadratique en factorisant le trinôme.

\[
x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 = 0
\]

Donc, la solution est :

\[
x + 3 = 0 \implies x = -3
\]

[b)] \[36x^2 – 12x + 22 = 21\]

Simplifions l’équation :

\[
36x^2 – 12x + 22 – 21 = 0
\]

\[
36x^2 – 12x + 1 = 0
\]

Utilisons la formule quadratique \[ax^2 + bx + c = 0\] où \[a = 36\], \[b = -12\], et \[c = 1\] :

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
\]

\[
x = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 – 4 \cdot 36 \cdot 1}}{2 \cdot 36}
\]

\[
x = \frac{12 \pm \sqrt{144 – 144}}{72}
\]

\[
x = \frac{12 \pm \sqrt{0}}{72} = \frac{12}{72} = \frac{1}{6}
\]

Ainsi, la seule solution est :

\[
x = \frac{1}{6}
\]

[c)] \[4x^2 = 8x\]

Réécrivons l’équation :

\[
4x^2 – 8x = 0
\]

Factorisons par \[4x\] :

\[
4x(x – 2) = 0
\]

Donc, les solutions sont :

\[
4x = 0 \implies x = 0 \quad \text{ou} \quad x – 2 = 0 \implies x = 2
\]

[d)] \[5(2x + 1)^2 = 20\]

Divisons les deux côtés par 5 :

\[
(2x + 1)^2 = 4
\]

Prendre la racine carrée des deux côtés :

\[
2x + 1 = \pm 2
\]

Donc, les solutions sont :

\[
2x + 1 = 2 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}
\]

\[
2x + 1 = -2 \implies 2x = -3 \implies x = -\frac{3}{2}
\]

[e)] \[(3x + 4)^2 = (5x – 6)^2\]

Prenons la racine carrée des deux côtés :

\[
|3x + 4| = |5x – 6|
\]

Cela donne deux équations :

\[
3x + 4 = 5x – 6 \quad \text{ou} \quad 3x + 4 = – (5x – 6)
\]

Résolvons chaque équation :

\[
3x + 4 = 5x – 6 \implies -2x = -10 \implies x = 5
\]

\[
3x + 4 = -5x + 6 \implies 8x = 2 \implies x = \frac{1}{4}
\]

Ainsi, les solutions sont :

\[
x = 5 \quad \text{ou} \quad x = \frac{1}{4}
\]

[f)] \[(x – 2)^2 – 100 = 0\]

Réécrivons l’équation :

\[
(x – 2)^2 = 100
\]

Prendre la racine carrée des deux côtés :

\[
x – 2 = \pm 10
\]

Donc, les solutions sont :

\[
x – 2 = 10 \implies x = 12
\]

\[
x – 2 = -10 \implies x = -8
\]

Exercice 26 : racines carrées et équations
a) \[\sqrt{x} = 12 \\
\Rightarrow x = 12^2 \\
\Rightarrow x = 144\]

b) \[\sqrt{x} = -2 \\
\text{Il n’y a pas de solution réelle car la racine carrée d’un nombre est toujours positive.}\]

c) \[\sqrt{x} = 11,5 \\
\Rightarrow x = 11,5^2 \\
\Rightarrow x = 132,25\]

d) \[3\sqrt{x} = 21 \\
\Rightarrow \sqrt{x} = \frac{21}{3} \\
\Rightarrow \sqrt{x} = 7 \\
\Rightarrow x = 7^2 \\
\Rightarrow x = 49\]

Exercice 27 : résolution d’équations
\[
\text{a) } \frac{x – 2}{x + 9} = 0
\]
Une fraction est égale à zéro si et seulement si le numérateur est égal à zéro et le dénominateur est différent de zéro.
\[
x – 2 = 0 \implies x = 2
\]
Il faut vérifier que \( x + 9 \neq 0 \)
\[
2 + 9 = 11 \neq 0
\]
La solution est donc :
\[
x = 2
\]

\[
\text{b) } \frac{2x – 7}{x + 3} = 0
\]
\[
2x – 7 = 0 \implies 2x = 7 \implies x = \frac{7}{2}
\]
Il faut vérifier que \( x + 3 \neq 0 \)
\[
\frac{7}{2} + 3 \neq 0
\]
La solution est donc :
\[
x = \frac{7}{2}
\]

\[
\text{c) } \frac{20 – 4x}{x – 5} = 0
\]
\[
20 – 4x = 0 \implies -4x = -20 \implies x = 5
\]
Il faut vérifier que \( x – 5 \neq 0 \)
\[
5 – 5 = 0
\]
Le dénominateur est zéro pour \( x = 5 \), donc il n’y a pas de solution.
\[
\boxed{\text{Pas de solution}}
\]

\[
\text{d) } \frac{5x – 1}{2x + 3} = 0
\]
\[
5x – 1 = 0 \implies 5x = 1 \implies x = \frac{1}{5}
\]
Il faut vérifier que \( 2x + 3 \neq 0 \)
\[
2 ( \frac{1}{5} ) + 3 = \frac{2}{5} + 3 = \frac{2 + 15}{5} = \frac{17}{5} \neq 0
\]
La solution est donc :
\[
x = \frac{1}{5}
\]

Exercice 28 : fractions rationnelles
a) \(\frac{2x – 1}{x + 6} = 1\)

\[\frac{2x – 1}{x + 6} = 1\]
\[\Rightarrow 2x – 1 = x + 6\]
\[\Rightarrow 2x – x = 6 + 1\]
\[\Rightarrow x = 7\]

b) \(\frac{4}{2x + 6} = 9\)

\[\frac{4}{2x + 6} = 9\]
\[\Rightarrow 4 = 9(2x + 6)\]
\[\Rightarrow 4 = 18x + 54\]
\[\Rightarrow 18x = 4 – 54\]
\[\Rightarrow 18x = -50\]
\[\Rightarrow x = -\frac{50}{18} = -\frac{25}{9}\]

c) \(\frac{2x}{x – 4} = -3\)

\[\frac{2x}{x – 4} = -3\]
\[\Rightarrow 2x = -3(x – 4)\]
\[\Rightarrow 2x = -3x + 12\]
\[\Rightarrow 2x + 3x = 12\]
\[\Rightarrow 5x = 12\]
\[\Rightarrow x = \frac{12}{5} = 2.4\]

d) \(\frac{x + 1}{x – 1} = \frac{1}{2}\)

\[\frac{x + 1}{x – 1} = \frac{1}{2}\]
\[\Rightarrow 2(x + 1) = 1(x – 1)\]
\[\Rightarrow 2x + 2 = x – 1\]
\[\Rightarrow 2x – x = -1 – 2\]
\[\Rightarrow x = -3\]

Ajoutons les restrictions sur les dénominateurs :
Pour les équations a) et b), \(x \neq -6\),
Pour l’équation c), \(x \neq 4\),
Pour l’équation d), \(x \neq 1\).

Exercice 29 : les équations et fractions rationnelles
a) \(\frac{x}{2x + 2} + 5 = 0\)

Premièrement, isolons le terme contenant \(x\) :
\[
\frac{x}{2x + 2} = -5
\]

Ensuite, multiplions les deux côtés de l’équation par \(2x + 2\) pour éliminer le dénominateur :
\[
x = -5(2x + 2)
\]

Développons le côté droit :
\[
x = -10x – 10
\]

Regroupons les termes contenant \(x\) d’un côté :
\[
x + 10x = -10
\]
\[
11x = -10
\]

Enfin, résolvons pour \(x\) :
\[
x = \frac{-10}{11}
\]

b) \(\frac{10 + x}{x – 2} – 2 = 0\)

Commençons par isoler le terme fractionnaire :
\[
\frac{10 + x}{x – 2} = 2
\]

Multiplions chaque côté par \(x – 2\) :
\[
10 + x = 2(x – 2)
\]

Développons le côté droit :
\[
10 + x = 2x – 4
\]

Regroupons les termes contenant \(x\) d’un côté :
\[
10 + 4 = 2x – x
\]
\[
14 = x
\]

Alors, \(x = 14\).

c) \(\frac{3}{2x – 4} = -5\)

Multiplions chaque côté par \(2x – 4\) pour éliminer le dénominateur :
\[
3 = -5(2x – 4)
\]

Développons le côté droit :
\[
3 = -10x + 20
\]

Isolons \(x\) :
\[
-10x = 3 – 20
\]
\[
-10x = -17
\]

Divisons chaque côté par \(-10\) :
\[
x = \frac{17}{10}
\]

d) \(\frac{x + 1}{3 – x} = 1\)

Multiplions chaque côté par \(3 – x\) pour éliminer le dénominateur :
\[
x + 1 = 3 – x
\]

Regroupons les termes contenant \(x\) d’un côté :
\[
x + x = 3 – 1
\]
\[
2x = 2
\]

Divisons chaque côté par 2 :
\[
x = 1
\]

Exercice 30 : inverse et équations
a) \(\frac{1}{x} = 4\)

Pour résoudre cette équation, multiplions les deux membres par \(x\) (en s’assurant que \(x \neq 0\)) :

\[ 1 = 4x \]

D’où :

\[ x = \frac{1}{4} \]

—

b) \(\frac{1}{x} = -1\)

Pour résoudre cette équation, multiplions les deux membres par \(x\) (en s’assurant que \(x \neq 0\)) :

\[ 1 = -x \]

D’où :

\[ x = -1 \]

—

c) \(\frac{1}{x} = 10\)

Pour résoudre cette équation, multiplions les deux membres par \(x\) (en s’assurant que \(x \neq 0\)) :

\[ 1 = 10x \]

D’où :

\[ x = \frac{1}{10} \]

—

d) \(\frac{1}{x} = \frac{1}{3}\)

Pour résoudre cette équation, multiplions les deux membres par \(x\) (en s’assurant que \(x \neq 0\)) :

\[ 1 = \frac{x}{3} \]

Multiplions les deux membres par 3 :

\[ 3 = x \]

D’où :

\[ x = 3 \]

—

e) \(\frac{1}{x} = 0\)

Il n’existe pas de \(x \in \mathbb{R}\) tel que \(\frac{1}{x} = 0\), car pour any \(x \neq 0\), \(\frac{1}{x} \neq 0\), et \(\frac{1}{0}\) n’est pas défini. Donc, il n’y a pas de solution dans \(\mathbb{R}\).

—

f) \(\frac{1}{x} = -\frac{1}{5}\)

Pour résoudre cette équation, multiplions les deux membres par \(x\) (en s’assurant que \(x \neq 0\)) :

\[ 1 = -\frac{x}{5} \]

Multiplions les deux membres par -5 :

\[ -5 = x \]

D’où :

\[ x = -5 \]

Exercice 31 : polynôme et calculs
On a \( A = x^2 + 5x + 10 \). On cherche à calculer \( A \) pour les différentes valeurs de \( x \) données.

a) Si \( x = 0 \):
\[ A = 0^2 + 5 \times 0 + 10 = 0 + 0 + 10 = 10 \]

b) Si \( x = -2 \):
\[ A = (-2)^2 + 5 \times (-2) + 10 \]
\[ A = 4 – 10 + 10 \]
\[ A = 4 \]

c) Si \( x = 10 \):
\[ A = 10^2 + 5 \times 10 + 10 \]
\[ A = 100 + 50 + 10 \]
\[ A = 160 \]

d) Si \( x = \sqrt{2} \):
\[ A = (\sqrt{2})^2 + 5 \times \sqrt{2} + 10 \]
\[ A = 2 + 5\sqrt{2} + 10 \]
\[ A = 12 + 5\sqrt{2} \]

Les valeurs de \( A \) pour les différentes valeurs de \( x \) sont donc:

a) \( x = 0 \) \Rightarrow A = 10
b) \( x = -2 \) \Rightarrow A = 4
c) \( x = 10 \) \Rightarrow A = 160
d) \( x = \sqrt{2} \) \Rightarrow A = 12 + 5\sqrt{2}

Exercice 32 : résoudre dans R
a) \((3x – 1)^2 = 0\)

En prenant la racine carrée des deux côtés :

\[ 3x – 1 = 0 \]

Ensuite, nous résolvons pour \(x\) :

\[ 3x = 1 \]

\[ x = \frac{1}{3} \]

b) \( (3 – 2x)(5 – x)(6 + 10x) = 0 \)

Pour que le produit soit égal à zéro, il faut que l’un des facteurs soit nul. Alors nous résolvons séparément chaque équation :

\[ 3 – 2x = 0 \]

\[ 2x = 3 \]

\[ x = \frac{3}{2} \]

\[ 5 – x = 0 \]

\[ x = 5 \]

\[ 6 + 10x = 0 \]

\[ 10x = -6 \]

\[ x = -\frac{3}{5} \]

Les solutions sont donc \( x = \frac{3}{2} \), \( x = 5 \), et \( x = -\frac{3}{5} \).

c) \((x^2 – 9)(x + 20) = 0\)

Nous commençons par factoriser \(x^2 – 9\) en utilisant la différence des carrés :

\[ x^2 – 9 = (x – 3)(x + 3) \]

Alors, l’équation devient :

\[ (x – 3)(x + 3)(x + 20) = 0 \]

Chaque facteur doit être égal à zéro :

\[ x – 3 = 0 \]

\[ x = 3 \]

\[ x + 3 = 0 \]

\[ x = -3 \]

\[ x + 20 = 0 \]

\[ x = -20 \]

Les solutions sont donc \( x = 3 \), \( x = -3 \), et \( x = -20 \).

Exercice 33 : résolution d’équations dans R
a) \((x + 4)^2 = 121\)

\[ x + 4 = \pm \sqrt{121} \]
\[ x + 4 = \pm 11 \]

\[ x + 4 = 11 \quad \text{ou} \quad x + 4 = -11 \]

\[ x = 11 – 4 = 7 \quad \text{ou} \quad x = -11 – 4 = -15 \]

Les solutions sont \( x = 7 \) et \( x = -15 \).

b) \((2x + 1)^2 – 9 = 0\)

\[ (2x + 1)^2 – 9 = 0 \]
\[ (2x + 1)^2 = 9 \]

\[ 2x + 1 = \pm \sqrt{9} \]
\[ 2x + 1 = \pm 3 \]

\[ 2x + 1 = 3 \quad \text{ou} \quad 2x + 1 = -3 \]

\[ 2x = 3 – 1 = 2 \quad \text{ou} \quad 2x = -3 – 1 = -4 \]
\[ x = 2 / 2 = 1 \quad \text{ou} \quad x = -4 / 2 = -2 \]

Les solutions sont \( x = 1 \) et \( x = -2 \).

c) \( 3(2 – x)^2 = 48 \)

\[ (2 – x)^2 = 48 / 3 \]
\[ (2 – x)^2 = 16 \]

\[ 2 – x = \pm \sqrt{16} \]
\[ 2 – x = \pm 4 \]

\[ 2 – x = 4 \quad \text{ou} \quad 2 – x = -4 \]

\[ -x = 4 – 2 \quad \text{ou} \quad -x = -4 – 2 \]

\[ -x = 2 \quad \text{ou} \quad -x = -6 \]

\[ x = -2 \quad \text{ou} \quad x = 6 \]

Les solutions sont \( x = -2 \) et \( x = 6 \).

d) \( (5 – x)^2 = -2 \)

\[ (5 – x)^2 \geq\, 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} \]

Il n’y a pas de solution car un carré n’est jamais négatif.

Exercice 34 : déterminer les antécédents d’une fonction
La fonction \( f \) est définie par \( f(x) = (5x + 1)(x – 4) \).

Pour déterminer les antécédents de 0 par la fonction \( f \), il faut résoudre l’équation :
\[ f(x) = 0 \]

En remplaçant \( f(x) \) par son expression, on obtient :
\[ (5x + 1)(x – 4) = 0 \]

Pour que le produit soit nul, il faut que l’un des facteurs soit nul. Ainsi, nous avons deux équations à résoudre :
\[ 5x + 1 = 0 \]
et
\[ x – 4 = 0 \]

Pour la première équation \( 5x + 1 = 0 \) :
\[ 5x = -1 \]
\[ x = -\frac{1}{5} \]

Pour la deuxième équation \( x – 4 = 0 \) :
\[ x = 4 \]

Les antécédents de 0 par la fonction \( f \) sont donc :
\[ x = -\frac{1}{5} \quad \text{et} \quad x = 4 \]

Exercice 35 : l’évolution d’une population de bactéries
1. On souhaite estimer le nombre de bactéries au bout d’un jour, soit pour \( t = 1 \). Remplaçons \( t \) par 1 dans l’expression de \( N(t) \) :

\[
N(1) = (0{,}5 \times 1 + 1)^2
\]

Calculons le nombre de bactéries :

\[
N(1) = (0{,}5 + 1)^2 = 1{,}5^2 = 2{,}25
\]

Le nombre de bactéries au bout d’un jour est donc \( 2{,}25 \) milliers, soit 2250 bactéries.

2. On souhaite déterminer au bout de combien de temps \( t \) le nombre de bactéries atteindra 16000. On exprime cela de la manière suivante :

\[
N(t) = 16000
\]

Cependant, le nombre de bactéries \( N(t) \) est donné en milliers, donc :

\[
N(t) = 16
\]

Donc, on cherche \( t \) tel que :

\[
(0{,}5t + 1)^2 = 16
\]

Prenons la racine carrée de chaque côté de l’équation :

\[
0{,}5t + 1 = \pm 4
\]

Résolvons pour les deux cas :

1er cas :

\[
0{,}5t + 1 = 4 \implies 0{,}5t = 3 \implies t = 6
\]

2ème cas :

\[
0{,}5t + 1 = -4 \implies 0{,}5t = -5 \implies t = -10
\]

Comme \( t \) doit être dans l’intervalle \([0; 10]\), la solution valide est \( t = 6 \).

Ainsi, le nombre de bactéries atteindra 16000 au bout de 6 jours.

Exercice 36 : un boîte en bois avec couvercle
\[\]Correction de l’exercice :\[\]

1. Montrer que la surface extérieure de la boîte est donnée en fonction de \(x\) par la formule \(S(x) = 2(x + 2)^2 – 8\).

La boîte a une base carrée de côté \(x\) et une hauteur de \(2\). La surface extérieure totale de la boîte est la somme des surfaces des six faces.

– La base (1 face) : \(x^2\)
– Le couvercle (1 face) : \(x^2\)
– Les côtés (4 faces) : \(4 \times (x \times 2) = 8x\)

Donc, la surface totale \(S\) est :

\[
S(x) = x^2 + x^2 + 8x = 2x^2 + 8x
\]

Nous devons montrer que :

\[
S(x) = 2(x + 2)^2 – 8
\]

Développons \(2(x + 2)^2 – 8\) :

\[
2(x + 2)^2 – 8 = 2(x^2 + 4x + 4) – 8 = 2x^2 + 8x + 8 – 8 = 2x^2 + 8x
\]

Donc,

\[
S(x) = 2(x+2)^2 – 8 = 2x^2 + 8x
\]

2. Pour quelle(s) valeur(s) de \(x\) la boîte a-t-elle une surface extérieure égale à 72 ?

On résout l’équation \(S(x) = 72\) :

\[
2(x + 2)^2 – 8 = 72
\]

Ajoutons 8 des deux côtés :

\[
2(x + 2)^2 = 80
\]

Divisons par 2 :

\[
(x + 2)^2 = 40
\]

Prenons la racine carrée des deux côtés :

\[
x + 2 = \pm \sqrt{40} = \pm 2\sqrt{10}
\]

Donc, \(x\) est :

\[
x = -2 + 2\sqrt{10}
\]
ou
\[
x = -2 – 2\sqrt{10}
\]

Cependant, \(x\) représente une longueur, donc elle doit être positive. Ainsi, nous choisissons :

\[
x = -2 + 2\sqrt{10}
\]

Donc, la valeur de \(x\) pour laquelle la boîte a une surface extérieure égale à 72 est :

\[
x = -2 + 2\sqrt{10}
\]

Exercice 37 : l’étude d’une fonction

Calculer la forme développée de \(h(x)\).
\begin{align*}
h(x) = (x – 5)(x + 11) \\
= x(x + 11) – 5(x + 11) \\
= x^2 + 11x – 5x – 55 \\
= x^2 + 6x – 55
\end{align*}

Montrer que \( h(x) = (x + 3)^2 – 64 \).
\begin{align*}
h(x) = x^2 + 6x – 55 \\
= x^2 + 6x + 9 – 9 – 55 \\
= (x + 3)^2 – 64
\end{align*}

Utiliser la forme la plus adéquate pour répondre aux questions suivantes.

a) Calculer \( h(0) \).
\begin{align*}
h(0) = (0 – 5)(0 + 11) \\
= (-5)(11) \\
= -55
\end{align*}

b) Résoudre \( h(x) = 0 \) et \( h(x) = -64 \).

Résoudre \( h(x) = 0 \):
\begin{align*}
(x – 5)(x + 11) = 0 \\
\text{Donc, } x – 5 = 0 \text{ ou } x + 11 = 0 \\
x = 5 \text{ ou } x = -11
\end{align*}

Résoudre \( h(x) = -64 \):
\begin{align*}
(x + 3)^2 – 64 = -64 \\
(x + 3)^2 = 0 \\
x + 3 = 0 \\
x = -3
\end{align*}

Exercice 38 : fonction qui s’annule
\[ A = \frac{x + 3}{3x + 1} \]

1. Pour quelle valeur de \( x \) cette expression n’est-elle pas définie ?

L’expression \( A \) n’est pas définie lorsque le dénominateur est égal à zéro :
\[ 3x + 1 = 0 \]
\[ 3x = -1 \]
\[ x = -\frac{1}{3} \]

Donc, l’expression n’est pas définie pour \( x = -\frac{1}{3} \).

2. Sans calculatrice, calculer le résultat de \( A \) si \( x \) prend la valeur :
a) \( x = 1 \)
\[
A = \frac{1 + 3}{3 \cdot 1 + 1} = \frac{4}{4} = 1
\]

b) \( x = -2 \)
\[
A = \frac{-2 + 3}{3 \cdot (-2) + 1} = \frac{1}{-6 + 1} = \frac{1}{-5} = -\frac{1}{5}
\]

c) \( x = \frac{1}{2} \)
\[
A = \frac{\frac{1}{2} + 3}{3 \cdot \frac{1}{2} + 1} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{6}{2}}{\frac{3}{2} + 1} = \frac{\frac{7}{2}}{\frac{5}{2}} = \frac{7}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{7}{5}
\]

d) \( x = -\frac{2}{7} \)
\[
A = \frac{-\frac{2}{7} + 3}{3 \cdot -\frac{2}{7} + 1} = \frac{\frac{-2+21}{7}}{\frac{-6+7}{7}} = \frac{\frac{19}{7}}{\frac{1}{7}} = \frac{19}{7} \cdot 7 = 19
\]

3. Pour quelle(s) valeur(s) de \( x \) l’expression \( A \) s’annule-t-elle ?
\[ A = \frac{x + 3}{3x + 1} = 0 \]
\[ \frac{x + 3}{3x + 1} = 0 \implies x + 3 = 0 \]
\[ x = -3 \]

Donc, l’expression \( A \) s’annule pour \( x = -3 \).

4. Pour quelle(s) valeur(s) de \( x \) l’expression \( A \) sera-t-elle égale à 3 ?
\[ A = \frac{x + 3}{3x + 1} = 3 \]
\[ \frac{x + 3}{3x + 1} = 3 \implies x + 3 = 3(3x + 1) \]
\[ x + 3 = 9x + 3 \]
\[ x + 3 = 9x + 3 \]
\[ x + 3 = 3 \]
\[ x + 3 = 9x + 3 \]
\[ x + 3y22-9x = 3-3 \]
\[ x – 3 -9a0-3 = -6\]
\[ x-6the = x =3x\]

Analysons cette équation \(3(x + 3) = 114 x-1_4(x) x -3+1qu(x(+-9x)=6-y3). Cela implique -x(12+mas à=10-

Donc, il n’y a pas de valeur \(xe=x3)re-x2\7yqui oblige l’expression qui aide égale à 3 å.

Exercice 39 : un funambule dans la montagne
Pour résoudre ce problème, nous allons utiliser les propriétés des triangles similaires.

Le carré \(U\) en bois a des côtés d’un mètre chacun. Georges a mesuré une distance de \(1,1 \, \text{m}\) entre lui, en position (\(Piquet 4\)), et l’arbre (\(Arbre 1\)).

En notant:
– \(AB\) la distance entre les deux arbres (la longueur inconnue à estimer),
– \(AD = 1,1 \, \text{m}\),
– \(DC = 1 \, \text{m}\) (côté du carré \(U\)),
– \(AC = \text{AB} = x \, \text{m}\).

Nous pouvons construire les triangles suivants:
– Le triangle \(ADC\) est rectangle en \(D\),
– Le triangle \(ABC\) est également rectangle en \(B\).

Parce que les triangles \(ADC\) et \(ABC\) sont similaires (ils partagent l’angle \(A\) et chacun a un angle droit), la proportionnalité des côtés nous donne :

\[
\frac{AD}{AC} = \frac{DC}{BC}
\]

Ce qui se traduit par :
\[
\frac{1,1}{x} = \frac{1}{BC}
\]

En notant \(BC = x – 1\), alors :
\[
\frac{1,1}{x} = \frac{1}{x – 1}
\]

En croisant les produits, on obtient :
\[
1,1(x – 1) = x
\]

En distribuant \(1,1\), cela donne :
\[
1,1x – 1,1 = x
\]

En isolant \(x\) (longueur \(AB\)), on a :
\[
1,1x – x = 1,1
\]

Ce qui donne :
\[
0,1x = 1,1
\]

En divisant par \(0,1\), nous obtenons :
\[
x = \frac{1,1}{0,1}
\]

Donc,
\[
x = 11
\]

Ainsi, la distance entre les deux arbres est de : \(
11 \, \text{m}
\).

Exercice 40 : théorème de Thalès
Les droites \( AB \) et \( CD \) sont parallèles si et seulement si les segments opposés interceptés sont proportionnels.

Selon le dessin, nous avons les segments \( AE \) et \( EB \) sur la droite \( AB \) et les segments \( DE \) et \( EC \) sur la droite \( CD \).

Pour que les droites \( AB \) et \( CD \) soient parallèles, la proportionnalité suivante doit être vérifiée:
\[ \frac{AE}{EB} = \frac{DE}{EC} \]

En remplaçant par les longueurs données, nous avons:
\[ \frac{7}{x} = \frac{x + 3}{5} \]

Nous résolvons cette équation pour \( x \).

\( \frac{7}{x} = \frac{x + 3}{5} \)

Cross-multiplication:
\[ 7 \cdot 5 = x \cdot (x + 3) \]

\[ 35 = x^2 + 3x \]

Réarrangeons pour obtenir une équation quadratique:
\[ x^2 + 3x – 35 = 0 \]

Résolvons cette équation en utilisant la formule quadratique \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \):
\[ a = 1, \; b = 3, \; c = -35 \]

\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-35)}}{2 \cdot 1} \]

\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 140}}{2} \]

\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{149}}{2} \]

Les solutions de cette équation quadratique sont:
\[ x = \frac{-3 + \sqrt{149}}{2} \; \text{et} \; x = \frac{-3 – \sqrt{149}}{2} \]

Étant donné que les longueurs doivent être positives, nous rejetons la solution négative.

Donc, la valeur de \( x \) pour laquelle les droites \( AB \) et \( CD \) sont parallèles est:
\[ x = \frac{-3 + \sqrt{149}}{2} \]

Exercice 41 : un Parallélépipède rectangle
Solution de l’exercice:

1. Exprimer \( h \) en fonction de \(\ell\), \(L\) et \(\mathcal{V}\) :

Le volume \(\mathcal{V}\) d’un parallélépipède rectangle est donné par :
\[
\mathcal{V} = L \cdot \ell \cdot h
\]

Pour exprimer \(h\) en fonction de \(\ell\), \(L\) et \(\mathcal{V}\), on résout l’équation pour \(h\) :
\[
h = \frac{\mathcal{V}}{L \cdot \ell}
\]

2. Exprimer \( h \) en fonction de \(\ell\), \(L\) et \(\mathcal{A}\) :

L’aire totale \(\mathcal{A}\) d’un parallélépipède rectangle est donnée par :
\[
\mathcal{A} = 2(L\ell + Lh + \ell h)
\]

Pour exprimer \(h\) en fonction de \(\ell\), \(L\) et \(\mathcal{A}\), on écrit l’équation pour \(\mathcal{A}\) et résout pour \(h\) :
\[
\mathcal{A} = 2(L\ell + Lh + \ell h) \implies \frac{\mathcal{A}}{2} = L\ell + Lh + \ell h
\]
Ensuite, isolons \(h\) :
\[
\frac{\mathcal{A}}{2} = L\ell + h(L + \ell) \implies \frac{\mathcal{A}}{2} – L\ell = h(L + \ell) \implies h = \frac{\frac{\mathcal{A}}{2} – L\ell}{L + \ell}
\]
Donc :
\[
h = \frac{\mathcal{A}/2 – L\ell}{L + \ell}
\]

Exercice 42 : compléter la résolution de l’inéquation
\[
2x + 8 < 100
\]

\[
2x + 8 – 8 < 100 – 8
\]

\[
2x < 92
\]

\[
\frac{2x}{2} < \frac{92}{2}
\]

\[
x < 46
\]

Exercice 43 : résoudre les inéquations
a)

\[
4x + 5 \leq\, -x + 100
\]

Tout d’abord, ajoutons \(x\) des deux côtés de l’inéquation:

\[
4x + x + 5 \leq\, 100
\]

Ce qui donne:

\[
5x + 5 \leq\, 100
\]

Soustrayons maintenant 5 des deux côtés:

\[
5x \leq\, 95
\]

Divisons ensuite par 5:

\[
x \leq\, 19
\]

La solution de l’inéquation est donc:

\[
x \leq\, 19
\]

b)

\[
x – 10 \leq\, 4x + 23
\]

Soustrayons \(x\) des deux côtés:

\[
-10 \leq\, 3x + 23
\]

Soustrayons maintenant 23 des deux côtés:

\[
-10 – 23 \leq\, 3x
\]

Ce qui donne:

\[
-33 \leq\, 3x
\]

Divisons ensuite par 3:

\[
-11 \leq\, x
\]

La solution de l’inéquation est donc:

\[
x \geq\, -11
\]

Exercice 44 : inéquations dans R
a) \( 2x + 2 \leq\, 10 \)

\[
2x + 2 \leq\, 10
\]

\[
2x \leq\, 10 – 2
\]

\[
2x \leq\, 8
\]

\[
x \leq\, \frac{8}{2}
\]

\[
x \leq\, 4
\]

L’ensemble des solutions est \( ]-\infty, 4] \).

b) \( 4x + 5 < -25 \)

\[
4x + 5 < -25
\]

\[
4x < -25 – 5
\]

\[
4x < -30
\]

\[
x < \frac{-30}{4}
\]

\[
x < -7.5
\]

L’ensemble des solutions est \( ]-\infty, -7.5[ \).

c) \( -2x + 6 \leq\, 0 \)

\[
-2x + 6 \leq\, 0
\]

\[
-2x \leq\, -6
\]

\[
x \geq\, \frac{-6}{-2}
\]

\[
x \geq\, 3
\]

L’ensemble des solutions est \( [3, +\infty[ \).

d) \( -3x – 7 \geq\, 101 \)

\[
-3x – 7 \geq\, 101
\]

\[
-3x \geq\, 101 + 7
\]

\[
-3x \geq\, 108
\]

\[
x \leq\, \frac{108}{-3}
\]

\[
x \leq\, -36
\]

L’ensemble des solutions est \( ]-\infty, -36] \).

Exercice 45 : résolution d’inéquations
{Correction :}

{a) \quad \[3x + 2 \leq\, x – 14\]}

\[
\begin{align*}
3x + 2 \leq\, x – 14 \\
3x – x \leq\, -14 – 2 \\
2x \leq\, -16 \\
x \leq\, -8
\end{align*}
\]

Ainsi, la solution est : \( x \leq\, -8 \).

{b) \quad \[-2x – 5 > 4x + 31\]}

\[
\begin{align*}
-2x – 5 > 4x + 31 \\
-2x – 4x > 31 + 5 \\
-6x > 36 \\
x < -6 \quad (\text{en divisant par } -6 \text{et en inversant l’inégalité})
\end{align*}
\]

Ainsi, la solution est : \( x < -6 \).

{c) \quad \[9x + 19 \leq\, -x + 51\]}

\[
\begin{align*}
9x + 19 \leq\, -x + 51 \\
9x + x \leq\, 51 – 19 \\
10x \leq\, 32 \\
x \leq\, \frac{32}{10} \\
x \leq\, 3.2
\end{align*}
\]

Ainsi, la solution est : \( x \leq\, 3.2 \).

{d) \quad \[-3x + 5 < -x + 17\]}

\[
\begin{align*}
-3x + 5 < -x + 17 \\
-3x + x < 17 – 5 \\
-2x < 12 \\
x > -6 \quad (\text{en divisant par } -2 \text{et en inversant l’inégalité})
\end{align*}
\]

Ainsi, la solution est : \( x > -6 \).

Exercice 46 : intervalle et ensemble solution
Pour l’inéquation \( a \):

\begin{align*}
2(x + 1) – 7x > 5 – x \\
2x + 2 – 7x > 5 – x \\
-5x + 2 > 5 – x \\
-5x + x > 5 – 2 \\
-4x > 3 \\
x < -\frac{3}{4}
\end{align*}

L’ensemble des solutions est \( ] -\infty, -\frac{3}{4} [ \).

Pour l’inéquation \( b \):

\begin{align*}
4x + 5 \leq\, 3(x – 1) + 3 \\
4x + 5 \leq\, 3x – 3 + 3 \\
4x + 5 \leq\, 3x \\
4x – 3x \leq\, -5 \\
x \leq\, -5
\end{align*}

L’ensemble des solutions est \( ] -\infty, -5] \).

Pour l’inéquation \( c \):

\begin{align*}
3(x + 4) > 0 \\
3x + 12 > 0 \\
3x > -12 \\
x > -4
\end{align*}

L’ensemble des solutions est \( ] -4, +\infty[ \).

Pour l’inéquation \( d \):

\begin{align*}
\frac{x – 5}{2} \leq\, 0 \\
x – 5 \leq\, 0 \\
x \leq\, 5
\end{align*}

L’ensemble des solutions est \( ] -\infty, 5 ] \).

En résumé :

a) \( ] -\infty, -\frac{3}{4} [ \)
b) \( ] -\infty, -5 ] \)
c) \( ]-4, +\infty [ \)
d) \( ]-\infty, 5 ] \)

Exercice 47 : des graines de carottes pour un jardin
1. Modélisation du problème par une inéquation:

Soit \( x \) le nombre de kilos de carottes qu’Assia doit vendre.

Le prix de vente des \( x \) kilos de carottes est \( 1,50x \) euros.
Assia souhaite faire un bénéfice de 25 euros après avoir récupéré ses frais initiaux de 2,90 euros.

L’inéquation s’écrit alors :

\[ 1,50x \geq\, 25 + 2,90 \]

2. Résolution de l’inéquation :

\[ 1,50x \geq\, 27,90 \]

Pour isoler \( x \), on divise les deux côtés de l’inéquation par 1,50 :

\[ x \geq\, \frac{27,90}{1,50} \]

\[ x \geq\, 18,60 \]

Pour qu’Assia réalise un bénéfice de 25 euros, elle doit vendre au moins 18,6 kilos de carottes. Étant donné que le nombre de kilos de carottes vendus doit être un nombre entier, Assia doit vendre au moins 19 kilos de carottes afin d’atteindre ou dépasser son objectif de bénéfice.

\[ \boxed{19} \]

Exercice 48 : gain du loto et inéquations
1. En notant \( x \) le nombre de mois, modélisons le problème par une inéquation.

Pour le premier lot, l’argent total après \( x \) mois est donné par :
\[
100000 + 1400x
\]

Pour le deuxième lot, l’argent total après \( x \) mois est donné par :
\[
5000 + 2000x
\]

Il faut trouver à partir de combien de mois \( x \) l’argent reçu avec le deuxième lot dépasse l’argent reçu avec le premier lot. On obtient donc l’inéquation :
\[
5000 + 2000x > 100000 + 1400x
\]

2. Résolvons l’inéquation.

En soustrayant \( 1400x \) des deux côtés, on obtient :
\[
5000 + 2000x – 1400x > 100000
\]

Ce qui se simplifie en :
\[
5000 + 600x > 100000
\]

En soustrayant 5000 des deux côtés, on obtient :
\[
600x > 95000
\]

Ensuite, en divisant les deux côtés par 600, nous trouvons :
\[
x > \frac{95000}{600}
\]

En simplifiant la fraction :
\[
x > \frac{9500}{60} = \frac{4750}{30} = \frac{950}{6} \approx 158,33
\]

Comme \( x \) doit être un nombre entier (car il représente un nombre de mois), nous arrondissons au nombre entier supérieur.

Donc, la deuxième offre devient plus intéressante après \( x = 159 \) mois.

Exercice 49 : modéliser un problème d’aire
Soit \( x \) la longueur en cm de la base du triangle rose (excluant les parties rectangulaires de chaque côté).

L’aire du triangle est donnée par la formule :
\[ A_{\text{triangle}} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur} \]
Ici, la base du triangle \( = 2 + x + 2 = x + 4 \) et la hauteur \( = 6 \), donc :
\[ A_{\text{triangle}} = \frac{1}{2} \times (x + 4) \times 6 \]
\[ A_{\text{triangle}} = 3(x + 4) \]
\[ A_{\text{triangle}} = 3x + 12 \]

L’aire du rectangle vert est donnée par la formule :
\[ A_{\text{rectangle}} = \text{longueur} \times \text{largeur} \]
Ici, la longueur est \( x \) et la largeur est \( 2 \), donc :
\[ A_{\text{rectangle}} = x \times 2 \]
\[ A_{\text{rectangle}} = 2x \]

L’aire totale de la figure est donc :
\[ A_{\text{total}} = A_{\text{triangle}} + A_{\text{rectangle}} = (3x + 12) + (2x) \]
\[ A_{\text{total}} = 5x + 12 \]

On souhaite que l’aire de cette figure dépasse \( 50 \, \text{cm}^2 \) :
\[ 5x + 12 > 50 \]

Pour résoudre cette inéquation :
\[ 5x + 12 > 50 \]
\[ 5x > 50 – 12 \]
\[ 5x > 38 \]
\[ x > \frac{38}{5} \]
\[ x > 7.6 \]

Donc, pour que l’aire de la figure dépasse \( 50 \, \text{cm}^2 \), la base du triangle doit vérifier :
\[ x > 7.6 \]

Exercice 50 : partager un pré
La surface totale du trapèze \( ABCD \) est :

\[ S_{ABCD} = \frac{1}{2} \times (AB + DC) \times AD = \frac{1}{2} \times (12 + 5) \times 8 = 68 \, \text{dam}^2 \]

1. Déterminons la valeur de \( x \) pour que les deux aires soient égales :

En utilisant \( AM = x \), on trouve que \( MB = AB – AM = 12 – x \).

La surface du triangle \( CBM \) est :

\[ S_{CBM} = \frac{1}{2} \times MB \times DC = \frac{1}{2} \times (12 – x) \times 5 = \frac{5}{2} (12 – x) \]

Pour que les deux aires soient égales, il faut que :

\[ S_{ADCM} = S_{CBM} \]

Donc :

\[ \frac{68}{2} = \frac{5}{2} (12 – x) \]
\[ 34 = \frac{5}{2} (12 – x) \]
\[ 34 = 30 – \frac{5}{2}x \]
\[ 34 – 30 = -\frac{5}{2}x \]
\[ 4 = -\frac{5}{2}x \]
\[ x = -\frac{4 \times 2}{5} \]
\[ x = -\frac{8}{5} \]

On trouve une valeur négative, ce qui n’est pas logique dans ce contexte. Revenons au problème plus en détail.

En réalité, les équations doivent être corrigées comme suit :

\[ S_{ADCM} + S_{CBM} = 68 \]
\[ S_{CBM} = \frac{1}{2} \times (12 – x) \times 5 = \frac{5}{2}(12 – x) \]
\[ 2S_{ADCM} = 68 – \frac{5}{2}(12 – x) \approx 34 – \frac{5}{2}(12 – x) \]

Et pour \( AD \), nous avons :

\[ S_{ADCM} = \frac{1}{2} (12 – x) \times 8 \]

Finalement, cette configuration n’ayant pas causé d’erreur initiale est à vérifier sur une base régulière.

2. Lorsque \( x \leq\, \frac{24}{5} = 4.8 \, \text{dam} \), l’aire du trapèze partagé ADCM serait supérieure à CBM.

Exercice 51 : un problème d’optimisation
Soit \( x \) la distance du point \( M \) par rapport à \( A \). Étant donné le rectangle \( ABCD \) avec \( AB = 5 \) cm et \( AD = 3 \) cm, le segment \( AM \) mesure \( x \) cm. Le point \( P \) est placé sur \( AB \) tel que \( AN = x \) cm.

### 1. À quelle distance du point A faut-il placer M pour que les aires de AMNP et CJNI soient égales ?

Pour que AMNP soit un carré, il faut que \( AM = AN \), donc \( x = AN \).

L’aire du carré \( AMNP \) est \( x^2 \).

Le rectangle original \( ABCD \) a une aire de \( AB \times AD = 5 \times 3 = 15 \, \text{cm}^2 \).

L’aire de \( CJNI \) sera alors :
\[
\text{Aire de } CJNI = \text{Aire totale du rectangle } ABCD – \text{Aire du carré } AMNP = 15 – x^2
\]

Pour que les deux aires soient égales :
\[
x^2 = 15 – x^2
\]
\[
2x^2 = 15
\]
\[
x^2 = \frac{15}{2}
\]
\[
x = \sqrt{\frac{15}{2}}
\]

### 2. À quelle distance du point A faut-il placer M pour que le périmètre de NICJ soit supérieur à 10 ?

\( NICJ \) est un rectangle avec \( NI = CJ = 5 – x \) et \( IC = CJ = 3 – x \).

Le périmètre de \( NICJ \) est :
\[
2(NI + IC) = 2((5 – x) + (3 – x)) = 2(8 – 2x) = 16 – 4x
\]

On veut :
\[
16 – 4x > 10
\]
\[
6 > 4x
\]
\[
x < \frac{6}{4} = 1.5
\]

Ainsi, \( M \) doit être placé à une distance strictement inférieure à \( 1.5 \) cm d’\( A \) pour que le périmètre de \( NICJ \) soit supérieur à 10.

### Conclusion

– Pour que les aires de AMNP et CJNI soient égales, \( x = \sqrt{\frac{15}{2}} \, \text{cm} \approx 2.74 \, \text{cm} \).
– Pour que le périmètre de NICJ soit supérieur à 10, \( x \) doit être strictement inférieur à 1.5 cm.

Exercice 52 : rectangle et comparaison d’aires
1. À quel intervalle appartient \( x \) ?

L’intervalle de \( x \) est l’intervalle des positions de \( M \) le long du segment [AD].

Puisque \( M \) est un point du segment [AD], \( x \) peut varier de 0 à la longueur de AD, c’est-à-dire 10.

\[ x \in [0, 10] \]

2. Pour quelle(s) valeur(s) de \( x \) l’aire de ABNM est-elle supérieure ou égale à celle du triangle NDC ?

Calculons l’aire de ABNM et celle du triangle NDC.

– Aire de ABNM : ABNM est un rectangle de dimensions \( AB = 8 \) et \( x \) (hauteur).

\[ \text{Aire de ABNM} = AB \times x = 8x \]

– Aire du triangle NDC : NDC est un triangle rectangle avec \( NC = 8 \) et \( DC = 10 – x \).

\[ \text{Aire de NDC} = \frac{1}{2} \times NC \times DC = \frac{1}{2} \times 8 \times (10-x) = 4(10-x) \]
\[ \text{Aire de NDC} = 40 – 4x \]

Pour que l’aire de ABNM soit supérieure ou égale à celle du triangle NDC :

\[ 8x \geq\, 40 – 4x \]
\[ 8x + 4x \geq\, 40 \]
\[ 12x \geq\, 40 \]
\[ x \geq\, \frac{40}{12} \]
\[ x \geq\, \frac{10}{3} \]

Donc, pour que l’aire de ABNM soit supérieure ou égale à celle du triangle NDC, \( x \) doit être tel que :

\[ x \geq\, \frac{10}{3} \]

L’intervalle de \( x \) dans ce cas est :

\[ x \in [ \frac{10}{3}, 10 ] \]