L’étude de fonction : corrigés des exercices de maths en 2de.

Exercice 1 : décrire le sens de variation
a) Décrire le sens de variation de la fonction h dont le tableau de variation est donné ci-dessous.

La fonction h est définie sur l’intervalle %5B-4\,%2C\,3%5D.

h est décroissante sur %5B\,-4\,%2C\,-1\,%5D de 4 à -1.
h est croissante sur %5B\,-1\,%2C\,1\,%5D de -1 à 3.
h est décroissante sur %5B\,1\,%2C\,3\,%5D de 3 à 0.

b) Comparer:

h(0) et h(1):

D’après le tableau, h(0)\,\in\,%5B\,-1\,%2C\,3\,%5D. Sachant que la fonction est croissante de x=-1 à x=1, nous avons h(1)=3. Donc, h(0)\,%3C\,h(1).

h(2) et h(2%2C5):

D’après le tableau, h(2)\,\in\,%5B\,0\,%2C\,3\,%5D. Sachant que la fonction est décroissante de x=1 à x=3, nous avons h(2)\,>\,h(2%2C5) dans un repère.

Le tableau de variation indique plusieurs points clés de la courbe que nous pouvons tracer sur un graphique:

– Point de départ à (-4%2C\,4)
– Point (-1%2C\,-1)
– Point (1%2C\,3)
– Point final (3%2C\,0)

En reliant ces points avec les segments appropriés suivant les tendances décrites (décroissance, croissance, puis décroissance), nous obtenons une représentation graphique approximative de la fonction h.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
axis lines = left,
xlabel = x,
ylabel = {h(x)},
domain = -4:3,
samples = 100,
xmin=-5, xmax=4,
ymin=-2, ymax=5
]
% Function graph using piecewise
\draw[ultra thick,blue] plot coordinates {(-4, 4) (-1, -1) (1, 3) (3, 0)};
% Points markers
\addplot[only marks, mark=*] coordinates {(-4, 4) (-1, -1) (1, 3) (3, 0)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Exercice 2 : lire le maximum et le minimum
Pour résoudre cet exercice, nous allons examiner la courbe représentative de la fonction g et déterminer les valeurs maximales et minimales sur les intervalles donnés.

a) %5B-2%3B\,0%5D
Sur l’intervalle %5B-2%3B\,0%5D, la fonction g atteint son maximum en x\,=\,-2 avec g(-2)\,=\,-1, et son minimum en x\,=\,0 avec g(0)\,=\,-3.
Max\,%3A\,g(-2)\,=\,-1\,\quad\,et\,\quad\,Min\,%3A\,g(0)\,=\,-3

b) %5B0%3B\,4%5D
Sur l’intervalle %5B0%3B\,4%5D, la fonction g atteint son maximum en x\,=\,2 avec g(2)\,=\,3, et son minimum en x\,=\,4 avec g(4)\,=\,1.
Max\,%3A\,g(2)\,=\,3\,\quad\,et\,\quad\,Min\,%3A\,g(4)\,=\,1

c) %5B-2%3B\,4%5D
Sur l’intervalle %5B-2%3B\,4%5D, la fonction g atteint son maximum en x\,=\,2 avec g(2)\,=\,3, et son minimum en x\,=\,0 avec g(0)\,=\,-3.
Max\,%3A\,g(2)\,=\,3\,\quad\,et\,\quad\,Min\,%3A\,g(0)\,=\,-3

d) %5B2%3B\,4%5D
Sur l’intervalle %5B2%3B\,4%5D, la fonction g atteint son maximum en x\,=\,2 avec g(2)\,=\,3, et son minimum en x\,=\,4 avec g(4)\,=\,1.
Max\,%3A\,g(2)\,=\,3\,\quad\,et\,\quad\,Min\,%3A\,g(4)\,=\,1

Exercice 3 : tableau de variation et justification
a) Pour tout nombre réel x de %5B-7%3B\,3%5D, -4\,\leq\,\,f(x)\,\leq\,\,2.

Examiner le tableau de variation :

– Sur l’intervalle %5B-7%3B\,-3%5D, la fonction f(x) croît de -4 à 2.
– Sur l’intervalle %5B-3%3B\,3%5D, la fonction f(x) décroît de 2 à 0.

Ainsi, sur l’intervalle %5B-7%3B\,3%5D, la valeur minimale de f(x) est -4 à x\,=\,-7, et la valeur maximale de f(x) est 2 à x\,=\,-3. Donc, -4\,\leq\,\,f(x)\,\leq\,\,2.

-4\,\leq\,\,f(x)\,\leq\,\,2

b) Pour tout nombre réel x de %5B-3%3B\,5%5D, 0\,\leq\,\,f(x)\,\leq\,\,3.

Examiner le tableau de variation :

– Sur l’intervalle %5B-3%3B\,3%5D, la fonction f(x) décroît de 2 à 0.
– Sur l’intervalle %5B3%3B\,5%5D, la fonction f(x) croît de 0 à 3.

Ainsi, sur l’intervalle %5B-3%3B\,5%5D, la valeur minimale de f(x) est 0 à x\,=\,3, et la valeur maximale de f(x) est 3 à x\,=\,5. Donc, 0\,\leq\,\,f(x)\,\leq\,\,3.

0\,\leq\,\,f(x)\,\leq\,\,3

En justifiant les propositions à partir des variations et des valeurs extrêmes de la fonction f(x) sur les intervalles spécifiés, les expressions sont correctes.

Exercice 4 : encadrement d’images
a) Pour tout nombre réel x de %5B-2\,%3B\,3%5D,

-1\,\leq\,\,m(x)\,\leq\,\,2

b) Pour tout nombre réel x de %5B0\,%3B\,3%5D,

-1\,\leq\,\,m(x)\,\leq\,\,1

Exercice 5 : dresser le tableau de variation
a) Le fonction f est une fonction affine de la forme f(x)\,=\,ax\,%2B\,b avec a\,=\,-2 et b\,=\,3%2C5. La fonction affine est strictement décroissante lorsque a\,%3C\,0.

Le coefficient directeur a\,=\,-2 étant négatif, la fonction f(x) est décroissante sur \mathbb{R}.

Le tableau de variation est donc :

\begin{array}{c%7Ccc}%0D%0Ax\,%26\,-\infty\,%26\,%2B\infty\,\\%0D%0A\hline%0D%0Af(x)\,%26\,%2B\infty\,%26\,-\infty%0D%0A\end{array}

b) Pour tracer la courbe représentative, on commence par déterminer deux points distincts appartenant à cette droite.

Pour x\,=\,0 :
f(0)\,=\,-2\,\times  \,0\,%2B\,3%2C5\,=\,3%2C5
Le point (0%2C\,3%2C5) appartient à la droite f.

Pour x\,=\,1 :
f(1)\,=\,-2\,\times  \,1\,%2B\,3%2C5\,=\,1%2C5
Le point (1%2C\,1%2C5) appartient aussi à la droite f.

Connectons les deux points (0%2C\,3%2C5) et (1%2C\,1%2C5) pour tracer la droite.

Voici une représentation graphique :

\begin{tikzpicture}%0D%0A\begin{axis}%5B%0D%0Aaxis\,lines\,=\,middle%2C%0D%0Axlabel\,=\,\(x\)%2C%0D%0Aylabel\,=\,{\(f(x)\)}%2C%0D%0Adomain=-1%3A2%2C%0D%0Asamples=100%2C%0D%0Axmin=-1%2C\,xmax=2%2C%0D%0Aymin=-1%2C\,ymax=4%2C%0D%0Agrid=major%2C%0D%0A%5D%0D%0A\addplot%5Bblue%2C\,thick%5D\,{-2%2Ax\,%2B\,3.5}%3B%0D%0A\addplot%5Bmark=%2A%5D\,coordinates\,{(0%2C3.5)\,(1%2C1.5)}%3B%0D%0A\end{axis}%0D%0A\end{tikzpicture},
ylabel = {f(x)},
domain=-1:2,
samples=100,
xmin=-1, xmax=2,
ymin=-1, ymax=4,
grid=major,
]
\addplot[blue, thick] {-2*x + 3.5};
\addplot[mark=*] coordinates {(0,3.5) (1,1.5)};
\end{axis}
\end{tikzpicture} » align= »absmiddle » />

Cette représentation graphique confirme que la fonction est bien décroissante sur \mathbb{R}, comme indiqué dans le tableau de variation.

Exercice 6 : tableau de variation de fonctions affines
Pour chaque fonction affine, nous allons examiner le coefficient directeur pour déterminer les variations.

1. Pour f\,%3A\,x\,\mapsto  \,-\frac{1}{2}x\,%2B\,1 :
– Le coefficient directeur est -\frac{1}{2} (négatif), donc la fonction est décroissante.

\begin{array}{c%7Ccc}%0D%0Ax\,%26\,-\infty\,%26\,%2B\infty\,\\%0D%0A\hline%0D%0Af(x)\,%26\,%2B\infty\,%26\,-\infty\,\\%0D%0A\end{array}

2. Pour g\,%3A\,x\,\mapsto  \,-2x\,-\,\frac{1}{4} :
– Le coefficient directeur est -2 (négatif), donc la fonction est décroissante.

\begin{array}{c%7Ccc}%0D%0Ax\,%26\,-\infty\,%26\,%2B\infty\,\\%0D%0A\hline%0D%0Ag(x)\,%26\,%2B\infty\,%26\,-\infty\,\\%0D%0A\end{array}

3. Pour h\,%3A\,x\,\mapsto  \,\frac{1}{5}x\,-\,2 :
– Le coefficient directeur est \frac{1}{5} (positif), donc la fonction est croissante.

\begin{array}{c%7Ccc}%0D%0Ax\,%26\,-\infty\,%26\,%2B\infty\,\\%0D%0A\hline%0D%0Ah(x)\,%26\,-\infty\,%26\,%2B\infty\,\\%0D%0A\end{array}

4. Pour k\,%3A\,x\,\mapsto  \,-x\,%2B\,1 :
– Le coefficient directeur est -1 (négatif), donc la fonction est décroissante.

\begin{array}{c%7Ccc}%0D%0Ax\,%26\,-\infty\,%26\,%2B\infty\,\\%0D%0A\hline%0D%0Ak(x)\,%26\,%2B\infty\,%26\,-\infty\,\\%0D%0A\end{array}

Exercice 7 : droites et représentation graphique
Correction de l’exercice :

Soient les quatre fonctions affines données :

j(x)\,=\,4x\,-\,2%2C
k(x)\,=\,-2x%2C
\ell(x)\,=\,2%2C
m(x)\,=\,-0%2C5x\,%2B\,1.

a) Vérifions si la droite d_2 représente la fonction m.

La fonction m est définie par :

m(x)\,=\,-0%2C5x\,%2B\,1.

Le coefficient directeur de m est -0%2C5 et l’ordonnée à l’origine est 1. La droite d_2 passe par les points (0%2C\,1) et (2%2C\,0). Calculons le coefficient directeur de la droite passant par ces deux points :

Coefficient\,directeur\,de\,\,d_2\,=\,\frac{0\,-\,1}{2\,-\,0}\,=\,-0%2C5.

Le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine sont les mêmes que ceux de la fonction m. Ainsi, la droite d_2 représente bien la fonction m. Donc, l’affirmation d’Andréa est vraie.

b) Associons chaque fonction affine à la droite correspondante :

1. Pour la fonction j :

j(x)\,=\,4x\,-\,2.

Le coefficient directeur est 4 et l’ordonnée à l’origine est -2. La droite correspondant à j doit donc être celle qui passe par le point (0%2C\,-2) avec une pente de 4. Cela correspond à la droite d_3.

2. Pour la fonction k :

k(x)\,=\,-2x.

Le coefficient directeur est -2 et l’ordonnée à l’origine est 0. La droite correspondant à k doit donc être celle qui passe par l’origine et qui a une pente de -2. Cela correspond à la droite d_1.

3. Pour la fonction \ell :

\ell(x)\,=\,2.

Cette fonction est une constante et représente une droite horizontale passant par y\,=\,2. Cela correspond à la droite d_4.

4. Pour la fonction m :

m(x)\,=\,-0%2C5x\,%2B\,1.

Comme déjà déterminé, cette fonction est représentée par la droite d_2.

En résumé :

j(x)\,=\,4x\,-\,2\,\quad\,correspond\,a\,\quad\,d_3%2C
k(x)\,=\,-2x\,\quad\,correspond\,a\,\quad\,d_1%2C
\ell(x)\,=\,2\,\quad\,correspond\,a\,\quad\,d_4%2C
m(x)\,=\,-0%2C5x\,%2B\,1\,\quad\,correspond\,a\,\quad\,d_2.

Exercice 8 : associer fonction et tableau de variation
a) La courbe susceptible de représenter graphiquement g doit respecter les points et variations indiqués dans le tableau. La courbe passe par les points suivants :

(-1%2C\,1)
(0%2C\,3)
(1%2C\,0)
(3%2C\,-1)
(4%2C\,0)
(6%2C\,2)

Entre ces points, la courbe doit respecter les variations (croissante ou décroissante). La fonction est croissante de x\,=\,-1 à x\,=\,0, puis décroissante de x\,=\,0 à x\,=\,3, puis croissante de x\,=\,3 à x\,=\,4, et enfin, croissante de x\,=\,4 à x\,=\,6.

b) Pour déterminer tous les nombres réels dont l’image par la fonction g est négative ou nulle, nous devons observer les valeurs de g(x) dans le tableau et à partir du graphe.

Les valeurs de g(x) sont négatives ou nulles dans les intervalles où la courbe passe en dessous ou touche l’axe x:

x\,=\,1: g(1)\,=\,0
x entre 1 et 4: g(x) devient négative, atteignant un minimum de -1 à x\,=\,3, puis revient à 0 à x\,=\,4

Donc, les intervalles pour lesquels g(x) est négative ou nulle sont x\,\in\,%5B1%2C\,4%5D.

Réponse :

x\,\in\,%5B1%2C\,4%5D

Exercice 9 : déterminer les nombres réels et images d’une fonction
Pour résoudre cet exercice, nous devons déterminer tous les nombres réels x tels que l’image par la fonction h soit supérieure ou égale à 2.

Le tableau de variation de la fonction h nous indique les valeurs de h(x) à différents points.

Analysons les points où h(x)\,\geq\,\,2 :

1. Pour x\,=\,-1, h(x)\,=\,2.
2. Pour x\,=\,4.5, h(x)\,=\,2.
3. Lorsque x\,\geq\,\,4.5 et jusqu’à x\,=\,6, h(x) est croissant et donc h(x)\,\geq\,\,2.

En résumé, les valeurs de x pour lesquelles h(x)\,\geq\,\,2 sont (en utilisant l’intervalle) :
x\,\in\,\{\,-1\,\}\,\cup\,%5B4.5%2C\,6%5D

On peut aussi le formuler de la manière suivante :
x\,\in\,\{\,-1\,\}\,\cup\,%5B\,4.5%2C\,6\,%5D

Ainsi, les nombres réels dont l’image par la fonction h est supérieure ou égale à 2 sont :
\{\,-1\,\\,\cup\,%5B\,4.5%2C\,6\,%5D}

Exercice 10 : problème d’un trapèze et fonctions
a) En observant la figure, on peut conjecturer que la fonction f est décroissante lorsque M se déplace de A vers B.

b) On exprime f(x) en fonction de x.

Pour x\,\in\,%5B0%3B5%5D:
f(x) représente l’aire du rectangle jaune qui est :

f(x)\,=\,5\,\times  \,x

Pour x\,\in\,%5B5%3B8%5D:
L’aire jaune est composée de deux figures :
– Un rectangle de largeur 5 et de hauteur x.
– Un triangle de base x\,-\,5 et de hauteur 3.

L’aire du rectangle est donc 5\,\times  \,5\,=\,25.

L’aire du triangle est :

\frac{1}{2}\,\times  \,(x\,-\,5)\,\times  \,3\,=\,\frac{3}{2}\,(x-5)

Ainsi,

f(x)\,=\,25\,%2B\,\frac{3}{2}(x\,-\,5)

Donc, nous avons :

f(x)\,=%0D%0A\begin{cases}%0D%0A5x\,%26\,si\,\,x\,\in\,%5B0%3B5%5D\,\\%0D%0A25\,%2B\,\frac{3}{2}(x\,-\,5)\,%26\,si\,\,x\,\in\,%5B5%3B8%5D%0D%0A\end{cases}

Finalement, f(x) est définie par deux expressions selon la valeur de x.

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