L’étude de fonction : corrigés des exercices de maths en 2de.

Exercice 11 : déterminer des antécédents
Pour trouver les antécédents des nombres donnés par la fonction \( h(x) = 3x – 8 \), nous résolvons l’équation \( 3x – 8 = y \) pour chaque valeur de \( y \). La formule pour l’antécédent sera alors \( x = \frac{y + 8}{3} \).

a) Pour \( y = 3 \) :
\[
3x – 8 = 3 \implies 3x = 11 \implies x = \frac{11}{3}
\]
L’antécédent de 3 est donc \( \frac{11}{3} \).

b) Pour \( y = -5 \) :
\[
3x – 8 = -5 \implies 3x = 3 \implies x = 1
\]
L’antécédent de -5 est donc \( 1 \).

c) Pour \( y = \frac{1}{2} \) :
\[
3x – 8 = \frac{1}{2} \implies 3x = \frac{17}{2} \implies x = \frac{17}{6}
\]
L’antécédent de \( \frac{1}{2} \) est donc \( \frac{17}{6} \).

d) Pour \( y = 0,1 \) :
\[
3x – 8 = 0,1 \implies 3x = 8,1 \implies x = \frac{8,1}{3} = 2,7
\]
L’antécédent de 0,1 est donc \( 2,7 \).

Ainsi, les antécédents recherchés sont:
\[
\text{a) } \frac{11}{3}, \quad \text{b) } 1, \quad \text{c) } \frac{17}{6}, \quad \text{d) } 2,7
\]

Exercice 12 : calculer des images

1. Calculons \( f(6) \) et \( f(7) \).

Pour \( f(6) \):
\[
f(x) = \frac{4}{3}x + 5 \implies f(6) = \frac{4}{3} \cdot 6 + 5
\]
\[
f(6) = \frac{24}{3} + 5 = 8 + 5 = 13
\]

Pour \( f(7) \):
\[
f(7) = \frac{4}{3} \cdot 7 + 5
\]
\[
f(7) = \frac{28}{3} + 5 = \frac{28}{3} + \frac{15}{3} = \frac{43}{3}
\]

2. Quelle est l’image de \(-5\) par \( f \) ?

Pour \(-5\):
\[
f(-5) = \frac{4}{3} \cdot (-5) + 5
\]
\[
f(-5) = \frac{-20}{3} + 5 = \frac{-20}{3} + \frac{15}{3} = \frac{-5}{3}
\]

Ainsi, \( f(6) = 13 \), \( f(7) = \frac{43}{3} \) et l’image de \(-5\) par \( f \) est \(\frac{-5}{3} \).

Exercice 13 : antécédents de 0 par f
Pour déterminer les antécédents de 0 par \( f \), nous devons résoudre l’équation \( f(x) = 0 \).

La fonction \( f \) est donnée par :
\[ f(x) = (3 – 2x)(5x – 1) \]

L’équation \( f(x) = 0 \) devient donc :
\[ (3 – 2x)(5x – 1) = 0 \]

Pour que le produit de deux facteurs soit égal à zéro, il faut que l’un des facteurs soit égal à zéro. On a alors deux cas possibles :

1. \( 3 – 2x = 0 \)
2. \( 5x – 1 = 0 \)

Résolvons chaque équation séparément :

1. Pour \( 3 – 2x = 0 \) :
\[ 3 – 2x = 0 \]
\[ -2x = -3 \]
\[ x = \frac{3}{2} \]

2. Pour \( 5x – 1 = 0 \) :
\[ 5x – 1 = 0 \]
\[ 5x = 1 \]
\[ x = \frac{1}{5} \]

Les antécédents de 0 par \( f \) sont donc \( x = \frac{3}{2} \) et \( x = \frac{1}{5} \).

Ainsi, les solutions de l’équation \( f(x) = 0 \) sont :
\[ x = \frac{3}{2} \quad \text{et} \quad x = \frac{1}{5} \]

Exercice 14 : fonction rationnelle et fractions
La fonction \( f \) est définie par :
\[ f(x) = \frac{4x + 2}{1 + x^2} \]

1. \[\]A-t-on \( f(3) = 1 \) ?\[\]

Calculons \( f(3) \) :
\[ f(3) = \frac{4 \cdot 3 + 2}{1 + 3^2} = \frac{12 + 2}{1 + 9} = \frac{14}{10} = 1.4 \]

Donc, \( f(3) \neq 1 \).

2. \[\]Les images de 2 et de 0 par \( f \) sont-elles égales ?\[\]

Calculons \( f(2) \) :
\[ f(2) = \frac{4 \cdot 2 + 2}{1 + 2^2} = \frac{8 + 2}{1 + 4} = \frac{10}{5} = 2 \]

Calculons \( f(0) \) :
\[ f(0) = \frac{4 \cdot 0 + 2}{1 + 0^2} = \frac{2}{1} = 2 \]

Donc, \( f(2) = 2 \) et \( f(0) = 2 \), les images de 2 et de 0 par \( f \) sont égales.

3. \[\]Déterminer l’image de \(\frac{1}{2}\) par \( f \).\[\]

Calculons \( f ( \frac{1}{2} ) \) :
\[ f ( \frac{1}{2} ) = \frac{4 \cdot \frac{1}{2} + 2}{1 + ( \frac{1}{2} )^2} = \frac{2 + 2}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{4}{\frac{5}{4}} = 4 \cdot \frac{4}{5} = \frac{16}{5} = 3.2 \]

Donc, l’image de \(\frac{1}{2}\) par \( f \) est \( 3.2 \).

4. \[\]Déterminer les antécédents de 0 par \( f \).\[\]

Cherchons \( x \) tel que \( f(x) = 0 \) :
\[ \frac{4x + 2}{1 + x^2} = 0 \]

Pour que cette fraction soit égale à 0, il faut que le numérateur soit égal à 0 :
\[ 4x + 2 = 0 \]
\[ 4x = -2 \]
\[ x = -\frac{1}{2} \]

On vérifie que le dénominateur n’est jamais nul, ce qui est vrai car \( 1 + x^2 \) est toujours positif.

Donc, l’antécédent de 0 par \( f \) est \( x = -\frac{1}{2} \).

Exercice 15 : courbe et image, antécédents
a) L’image de \( -1 \) par \( f \) :
\[ f(-1) = 2 \]

b) L’image de \( 0 \) par \( f \) :
\[ f(0) = 3 \]

c) Le (ou les) antécédent(s) de \( 1 \) par \( f \) :
\[ f(x) = 1 \Rightarrow x = -\sqrt{2} \text{ ou } x = \sqrt{2} \]

d) Le (ou les) antécédent(s) de \( 3 \) par \( f \) :
\[ f(x) = 3 \Rightarrow x = 0 \]

Exercice 16 : l’étude d’une courbe représentative
a) \( g(0) \)

En \( x = 0 \), on lit la valeur correspondante de \( g \) sur l’axe des ordonnées (axe \( y \)). Selon la courbe, \( g(0) = 2 \).

b) Les images de 1 et de \(-2\) par \( g \)

Pour \( x = 1 \), on lit la valeur correspondante de \( g \) sur l’axe \( y \). Selon la courbe, \( g(1) = 3 \).

Pour \( x = -2 \), on lit la valeur correspondante de \( g \) sur l’axe \( y \). Selon la courbe, \( g(-2) = 1 \).

c) Les antécédents éventuels de \(-1\), 1 et 5

Pour \( y = -1 \):
On ne trouve aucun point sur la courbe où \( g(x) = -1 \). Donc, il n’y a pas d’antécédent pour \(-1\).

Pour \( y = 1 \):
On lit sur l’axe \( y \) et trouve les points d’intersection de la courbe où \( g(x) = 1 \). Les valeurs correspondantes de \( x \) sont \( -2 \) et \( 2 \). Donc, les antécédents sont \( x = -2 \) et \( x = 2 \).

Pour \( y = 5 \):
On ne trouve aucun point sur la courbe où \( g(x) = 5 \). Donc, il n’y a pas d’antécédent pour 5.

Exercice 17 : la fonction u et étude

{Calculer, si possible, les images par \( u \) de \( 2 \) ; \(-4\) et \( \frac{1}{2} \).}

Rappelons que \( u(n) = 4 + 3n \).

Pour \( n = 2 \) :
\[
u(2) = 4 + 3 \times 2 = 4 + 6 = 10
\]
Donc, l’image de \( 2 \) par \( u \) est \( 10 \).

Pour \( n = -4 \) :
\[
u(-4) = 4 + 3 \times (-4) = 4 – 12 = -8
\]
Donc, l’image de \( -4 \) par \( u \) est \( -8 \).

Pour \( n = \frac{1}{2} \) :
\[
u ( \frac{1}{2} ) = 4 + 3 \times \frac{1}{2} = 4 + \frac{3}{2} = 4 + 1.5 = 5.5
\]
Donc, l’image de \( \frac{1}{2} \) par \( u \) est \( 5.5 \).

{Calculer les antécédents éventuels par \( u \) de \( 40 \) et \( 147 \).}

Pour trouver les antécédents, nous devons résoudre l’équation \( u(n) = y \) pour \( n \), où \( y \) est donné.

Pour \( y = 40 \) :
\[
4 + 3n = 40
\]
\[
3n = 40 – 4 = 36
\]
\[
n = \frac{36}{3} = 12
\]
Donc, l’antécédent de \( 40 \) par \( u \) est \( 12 \).

Pour \( y = 147 \) :
\[
4 + 3n = 147
\]
\[
3n = 147 – 4 = 143
\]
\[
n = \frac{143}{3} = 47.\overline{6}
\]
47.\overline{6} n’est pas un entier naturel, donc il n’y a pas d’antécédent naturel de \( 147 \) par \( u \).

Exercice 18 : fonction sur R et coordonnées de points
1. On doit calculer \( g(2) \).

\[
g(2) = 2 \cdot 2^3 – 3 \cdot 2 + 1
\]
\[
g(2) = 2 \cdot 8 – 6 + 1
\]
\[
g(2) = 16 – 6 + 1
\]
\[
g(2) = 11
\]

2. Les coordonnées d’un point appartenant à la courbe représentative de \( g \) sont donc \((2, g(2))\), soit \((2, 11)\).

3. Proposons un autre point pour \( x = 0 \).

\[
g(0) = 2 \cdot 0^3 – 3 \cdot 0 + 1
\]
\[
g(0) = 2 \cdot 0 – 0 + 1
\]
\[
g(0) = 1
\]

Donc les coordonnées d’un deuxième point appartenant à cette courbe sont \((0, 1)\).

Exercice 19 : point appartenant à une courbe
1. Le point \( M ( \frac{2}{3} ; 5 ) \) appartient-il à \(\mathcal{C}_g\) ?

Pour vérifier si le point \( M ( \frac{2}{3} ; 5 ) \) appartient à la courbe \(\mathcal{C}_g\), il faut vérifier si les coordonnées de ce point vérifient l’équation de la fonction \( g \).

\( g(x) = 5x + 2 \)

Calculons l’image de \( \frac{2}{3} \) par \( g \) :

\[
g ( \frac{2}{3} ) = 5 ( \frac{2}{3} ) + 2 = \frac{10}{3} + 2 = \frac{10}{3} + \frac{6}{3} = \frac{16}{3}
\]

Or, l’ordonnée du point \( M \) est 5, ce qui est différent de \( \frac{16}{3} \).

Donc, le point \( M ( \frac{2}{3} ; 5 ) \) n’appartient pas à \(\mathcal{C}_g\).

2. Calculer l’abscisse du point \( T \) appartenant à \(\mathcal{C}_g\) tel que l’ordonnée de \( T \) soit nulle.

Trouvons \( x \) tel que \( g(x) = 0 \):

\[
g(x) = 5x + 2 = 0 \implies 5x + 2 = 0 \implies 5x = -2 \implies x = -\frac{2}{5}
\]

L’abscisse du point \( T \) où l’ordonnée est nulle est donc \( x = -\frac{2}{5} \).

Exercice 20 : fonction rationnelle et points de courbe
1. Pour vérifier si le point \( A(0 ; 5) \) appartient à \( \mathcal{C}_f \), nous devons calculer \( f(0) \) et voir s’il est égal à 5.
\[
f(0) = \frac{2 \cdot 0 + 4}{0 + 1} = \frac{4}{1} = 4
\]
Comme \( f(0) = 4 \) et non \( 5 \), le point \( A(0 ; 5) \) n’appartient pas à \( \mathcal{C}_f \).

2. Pour trouver l’abscisse du point \( B \) appartenant à \( \mathcal{C}_f \) tel que l’ordonnée de \( B \) soit nulle, nous devons résoudre l’équation \( f(x) = 0 \).
\[
f(x) = 0 \implies \frac{2x + 4}{x + 1} = 0
\]
La fraction est nulle lorsque le numérateur est nul, donc :
\[
2x + 4 = 0
\]
Résolvons cette équation :
\[
2x + 4 = 0 \implies 2x = -4 \implies x = -2
\]
L’abscisse du point \( B \) est \( -2 \).

Exercice 21 : fonction et courbe représentative
1. \text{Le point} \text{A}(-1; 9) \text{appartient-il à} \mathcal{C}_f ?
\[ f(-1) = 3(-1)^2 + 6 = 3 \cdot 1 + 6 = 9. \]
\[ f(-1) = 9, \text{ donc le point } A(-1; 9) \text{ appartient à } \mathcal{C}_f. \]

2. \text{Calculer l’ordonnée du point B d’abscisse 4 qui appartient à} \mathcal{C}_f.
\[ f(4) = 3(4)^2 + 6 = 3 \cdot 16 + 6 = 48 + 6 = 54. \]
\[ \text{L’ordonnée du point B est } 54. \]

3. \text{Existe-t-il des points de } \mathcal{C}_f \text{ dont l’ordonnée est égale à 33 ? Si oui, donner leurs coordonnées.}
\[ f(x) = 33 \]
\[ 3x^2 + 6 = 33 \]
\[ 3x^2 = 33 – 6 \]
\[ 3x^2 = 27 \]
\[ x^2 = \frac{27}{3} \]
\[ x^2 = 9 \]
\[ x = \pm 3 \]

\text{Les points dont l’ordonnée est égale à 33 sont } (3, 33) \text{ et } (-3, 33).

Exercice 22 : constuire le tableau de valeurs
\[\]Correction de l’exercice\[\]

1. \[\]Soit la fonction \( h \) définie sur \([0;5]\) par : \( h(x) = 4 – (x-3)^2 \)\[\]

\[\]a) Tableau de valeurs de \( h \) avec un pas de 0.5 :\[\]

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x h(x) = 4 – (x-3)^2 \\
\hline
0 4 – (0-3)^2 = 4 – 9 = -5 \\
0.5 4 – (0.5-3)^2 = 4 – 6.25 = -2.25 \\
1 4 – (1-3)^2 = 4 – 4 = 0 \\
1.5 4 – (1.5-3)^2 = 4 – 2.25 = 1.75 \\
2 4 – (2-3)^2 = 4 – 1 = 3 \\
2.5 4 – (2.5-3)^2 = 4 – 0.25 = 3.75 \\
3 4 – (3-3)^2 = 4 – 0 = 4 \\
3.5 4 – (3.5-3)^2 = 4 – 0.25 = 3.75 \\
4 4 – (4-3)^2 = 4 – 1 = 3 \\
4.5 4 – (4.5-3)^2 = 4 – 2.25 = 1.75 \\
5 4 – (5-3)^2 = 4 – 4 = 0 \\
\hline
\end{array}
\]

\[\]b) Tracer un repère et placer plusieurs points appartenant à la courbe de \( h \).\[\]

À chacun de ces points correspondants aux valeurs \( x \) de l’intervalle \([0;5]\), on associe les valeurs de \( h(x) \) calculées dans le tableau ci-dessus.

\[\]c) Tracer à main levée la courbe de la fonction \( h \).\[\]

La courbe sera une parabole ayant son sommet au point \((3,4)\) et s’ouvrant vers le bas.

—

2. \[\]Reprendre la question 1 avec la fonction \( h : x \mapsto \frac{3}{x+1} \) sur \([0;5]\)\[\]

\[\]a) Tableau de valeurs de \( h \) avec un pas de 0.5 :\[\]

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x h(x) = \frac{3}{x+1} \\
\hline
0 \frac{3}{0+1} = 3 \\
0.5 \frac{3}{0.5+1} = 2 \\
1 \frac{3}{1+1} = 1.5 \\
1.5 \frac{3}{1.5+1} \approx 1.2 \\
2 \frac{3}{2+1} = 1 \\
2.5 \frac{3}{2.5+1} \approx 0.857 \\
3 \frac{3}{3+1} = 0.75 \\
3.5 \frac{3}{3.5+1} \approx 0.667 \\
4 \frac{3}{4+1} = 0.6 \\
4.5 \frac{3}{4.5+1} \approx 0.545 \\
5 \frac{3}{5+1} = 0.5 \\
\hline
\end{array}
\]

\[\]b) Tracer un repère et placer plusieurs points appartenant à la courbe de \( h \).\[\]

À chacun de ces points correspondants aux valeurs \( x \) de l’intervalle \([0;5]\), on associe les valeurs de \( h(x) \) calculées dans le tableau ci-dessus.

\[\]c) Tracer à main levée la courbe de la fonction \( h \).\[\]

La courbe sera une fonction décroissante de type hyperbole.

Exercice 23 : le prix de l’essence sans plomb
\[\]Correction de l’exercice :\[\]

1. \[\]D’après le contexte de l’exercice, à quel intervalle \( x \) appartient-il ?\[\]

Le réservoir vide de la voiture peut contenir jusqu’à 40 litres, et la station ne délivre pas moins de 5 litres. Donc, l’intervalle des volumes de carburant que Marius peut mettre dans son réservoir est :
\[ 5 \leq\, x \leq\, 40 \]

2. \[\]Quel est l’ensemble de définition de la fonction \( P \) ?\[\]

La fonction \( P \) représente le prix payé par Marius en fonction du nombre de litres \( x \). Comme le volume \( x \) doit être compris entre 5 et 40 litres, l’ensemble de définition de la fonction \( P \) est :
\[ [5 ; 40] \]

3. \[\]Déterminer l’expression algébrique de la fonction \( P \).\[\]

Le prix de l’essence sans plomb est de 1,40 euro le litre. Donc, pour \( x \) litres d’essence, le prix payé \( P(x) \) est donné par :
\[ P(x) = 1,40 \times x \]

Ainsi, l’expression algébrique de la fonction \( P \) est :
\[ P(x) = 1,40x \]

Exercice 24 : un rectangle et une croix bleue
Nous considérons un rectangle de longueur 7 et de largeur 5. Une croix de largeur \( x \) est tracée à l’intérieur de ce rectangle. Voici la correction de l’exercice.

1. À quel intervalle \( x \) appartient-il ?

La largeur \( x \) de la croix doit être positive et ne pas dépasser la largeur du rectangle, soit 5. Donc on a :
\[
0 < x \leq\, 5
\]

2. Exprimer l’aire \( \mathcal{A}(x) \) de la croix bleue en fonction de \( x \).

La croix bleue est composée de deux rectangles superposés, l’un horizontal et l’autre vertical.

– Le rectangle horizontal a pour dimensions \( 7 \) (longueur du grand rectangle) et \( x \) (largeur de la croix).
– Le rectangle vertical a pour dimensions \( 5 \) (largeur du grand rectangle) et \( x \) (largeur de la croix).

Cependant, la partie centrale où les deux rectangles se croisent est comptée deux fois. Cette partie centrale est un carré de côté \( x \).

Donc, l’aire totale de la croix \( \mathcal{A}(x) \) est donnée par :
\[
\mathcal{A}(x) = (7 \times x) + (5 \times x) – x^2 = 12x – x^2
\]

3. Avec la calculatrice, dresser le tableau de valeurs de \( \mathcal{A} \) avec un pas de 1.

Voici le tableau des valeurs de \( \mathcal{A}(x) \) pour \( x \) de 1 à 5 :

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x \mathcal{A}(x) = 12x – x^2 \\
\hline
1 12(1) – (1)^2 = 12 – 1 = 11 \\
2 12(2) – (2)^2 = 24 – 4 = 20 \\
3 12(3) – (3)^2 = 36 – 9 = 27 \\
4 12(4) – (4)^2 = 48 – 16 = 32 \\
5 12(5) – (5)^2 = 60 – 25 = 35 \\
\hline
\end{array}
\]

Ainsi, l’aire de la croix bleue pour différents \( x \) est :

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x \mathcal{A}(x) \\
\hline
1 11 \\
2 20 \\
3 27 \\
4 32 \\
5 35 \\
\hline
\end{array}
\]

Exercice 25 : calculatrice et tableau de valeurs
1. Complétons le tableau en utilisant \( h(x) = (3x + 1)(5 – x) \).

Pour \( x = -2 \) :
\[
h(-2) = (3(-2) + 1)(5 – (-2)) = (-6 + 1)(5 + 2) = (-5)(7) = -35
\]

Pour \( x = -1,5 \) :
\[
h(-1,5) = (3(-1,5) + 1)(5 – (-1,5)) = (-4,5 + 1)(5 + 1,5) = (-3,5)(6,5) = -22,75
\]

Pour \( x = -1 \) :
\[
h(-1) = (3(-1) + 1)(5 – (-1)) = (-3 + 1)(5 + 1) = (-2)(6) = -12
\]

Pour \( x = -0,5 \) :
\[
h(-0,5) = (3(-0,5) + 1)(5 – (-0,5)) = (-1,5 + 1)(5 + 0,5) = (-0,5)(5,5) = -2,75
\]

Pour \( x = 0 \) :
\[
h(0) = (3(0) + 1)(5 – 0) = (0 + 1)(5 – 0) = (1)(5) = 5
\]

Pour \( x = 0,5 \) :
\[
h(0,5) = (3(0,5) + 1)(5 – 0,5) = (1,5 + 1)(5 – 0,5) = (2,5)(4,5) = 11,25
\]

Pour \( x = 1 \) :
\[
h(1) = (3(1) + 1)(5 – 1) = (3 + 1)(5 – 1) = (4)(4) = 16
\]

Pour \( x = 1,5 \) :
\[
h(1,5) = (3(1,5) + 1)(5 – 1,5) = (4,5 + 1)(5 – 1,5) = (5,5)(3,5) = 19,25
\]

Pour \( x = 2 \) :
\[
h(2) = (3(2) + 1)(5 – 2) = (6 + 1)(5 – 2) = (7)(3) = 21
\]

Le tableau complété est donc :
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 \\
\hline
h(x) -35 -22,75 -12 -2,75 5 11,25 16 19,25 21 \\
\hline
\end{array}
\]

2. Déterminons tous les antécédents de 0 par \( h \).

On résout l’équation suivante:
\[
h(x) = (3x + 1)(5 – x) = 0
\]

Cette équation est satisfaite si et seulement si l’un des facteurs est nul :
\[
3x + 1 = 0 \quad \text{ou} \quad 5 – x = 0
\]

Pour \( 3x + 1 = 0 \) :
\[
3x + 1 = 0 \implies 3x = -1 \implies x = -\frac{1}{3}
\]

Pour \( 5 – x = 0 \) :
\[
5 – x = 0 \implies x = 5
\]

Les antécédents de 0 par \( h \) sont donc :
\[
x = -\frac{1}{3} \quad \text{et} \quad x = 5
\]

Exercice 26 : algorithme et fonctions
1. Pour déterminer le ou les antécédents de \( -2 \) par \( f \), on résout l’équation suivante :
\[ f(x) = -2 \]
\[ -2x + 5 = -2 \]
\[
\begin{align*}
-2x + 5 = -2 \\
-2x = -2 – 5 \\
-2x = -7 \\
x = \frac{-7}{-2} \\
x = \frac{7}{2}
\end{align*}
\]
L’antécédent de \( -2 \) par \( f \) est donc \( x = \frac{7}{2} \).

2. Algorithme en pseudocode :
« `
Début
Demander à l’utilisateur d’entrer une valeur b
Lire b
Calculer x en utilisant la formule x = (5 – b) / 2
Afficher « L’antécédent de », b, « par la fonction f est », x
Fin
« `

En Python, cet algorithme pourrait être écrit de la manière suivante :
« `python
# Demander à l’utilisateur d’entrer une valeur pour b
b = float(input(« Entrez une valeur pour b: « ))

# Calculer l’antécédent en utilisant la formule x = (5 – b) / 2
x = (5 – b) / 2

# Afficher le résultat
print(f »L’antécédent de {b} par la fonction f est {x} »)
« `

Exercice 27 : déterminer a et b pour un tableau de valeurs
\[ h(x) = x^2 + ax + b \]

1. Déterminer \( a \) et \( b \) pour que le tableau soit un tableau de valeurs d’une fonction \( h(x) = x^2 + ax + b \) :

Pour \( x = -1 \), \( h(-1) = -9 \) :
\[ (-1)^2 – a + b = -9 \]
\[ 1 – a + b = -9 \]
\[ -a + b = -10 \quad \text{(1)} \]

Pour \( x = 0 \), \( h(0) = -7 \) :
\[ 0^2 + 0 + b = -7 \]
\[ b = -7 \quad \text{(2)} \]

Substituons l’équation (2) dans l’équation (1) :
\[ -a – 7 = -10 \]
\[ -a = -3 \]
\[ a = 3 \]

Pour vérifier, calculons pour \( x = 1 \) :
\[ h(1) = 1^2 + 3 \cdot 1 – 7 \]
\[ h(1) = 1 + 3 – 7 \]
\[ h(1) = -3 \]

Et pour \( x = 2 \) :
\[ h(2) = 2^2 + 3 \cdot 2 – 7 \]
\[ h(2) = 4 + 6 – 7 \]
\[ h(2) = 3 \]

Ainsi, \( a = 3 \) et \( b = -7 \).

2. Déterminer si la fonction \( h \) est paire ou impaire :

Une fonction est paire si pour tout \( x \) :
\[ h(-x) = h(x) \]

Une fonction est impaire si pour tout \( x \) :
\[ h(-x) = -h(x) \]

Calculons \( h(-x) \) :
\[ h(-x) = (-x)^2 + 3(-x) – 7 \]
\[ h(-x) = x^2 – 3x – 7 \]

Comparons avec \( h(x) \) :
\[ h(x) = x^2 + 3x – 7 \]

Donc \( h(-x) \neq h(x) \) et \( h(-x) \neq -h(x) \).

La fonction \( h \) n’est ni paire ni impaire.

3. Déterminer les antécédents de \(-7\) par \( h \) :

Nous avons déjà les antécédents \(-1\) et \( 0 \) du tableau :
\[ h(-1) = -9 \quad \text{et} \quad h(0) = -7 \]

Il nous faut résoudre l’équation suivante pour trouver les autres antécédents de \(-7\) :
\[ x^2 + 3x – 7 = -7 \]
\[ x^2 + 3x = 0 \]
\[ x(x + 3) = 0 \]

Les solutions sont :
\[ x = 0 \quad \text{ou} \quad x = -3 \]

Les antécédents de \(-7\) par \( h \) sont donc \( x = 0 \) et \( x = -3 \).

Exercice 28 : déterminer l’expression d’une fonction
La fonction \( f \) est de la forme \( f(x) = ax^2 + b \). À partir de la courbe, nous pouvons identifier les points par lesquels passe le graphe. Par exemple, notons que \( f(0) = 1 \), ce qui donne :

\[ f(0) = a \cdot 0^2 + b = 1 \Longrightarrow b = 1 \]

Nous savons également que \( f(1) = 2 \), donc :

\[ f(1) = a \cdot 1^2 + 1 = 2 \Longrightarrow a + 1 = 2 \Longrightarrow a = 1 \]

La fonction \( f \) est donc de la forme :

\[ f(x) = x^2 + 1 \]

Nous cherchons les antécédents de \( 10 \) par \( f \), donc nous devons résoudre l’équation :

\[ f(x) = 10 \Longrightarrow x^2 + 1 = 10 \Longrightarrow x^2 = 9 \Longrightarrow x = \pm 3 \]

Ainsi, les antécédents de \( 10 \) par \( f \) sont :

\[ x = 3 \quad \text{et} \quad x = -3 \]

Exercice 29 : un carré avec des coins découpés
A. Un cas particulier
1. Construire le patron d’une boîte en choisissant \( BM = 3 \) cm.

On découpe des carrés de côté 3 cm dans chaque coin. Ainsi, la base de la boîte aura une dimension de \( 15 – 2 \times 3 = 9 \) cm.

2. Calculer son volume.

Le volume de la boîte est donné par \( V = \text{base}^2 \times \text{hauteur} \).
\[
V = 9 \times 9 \times 3 = 243 \text{ cm}^3
\]

3. Peut-on réaliser une boîte sachant que \( BM = 8 \) cm ? Expliquer.

Non, il n’est pas possible de réaliser une boîte avec \( BM = 8 \) cm car il faudrait découper des carrés de 8 cm dans chaque coin, ce qui donnerait \( 15 – 2 \times 8 = -1 \) cm pour la base. La longueur de la base ne peut pas être négative.

B. Une fonction
1. Déterminer une expression de la fonction \( V \).

Le côté de la base est \( 15 – 2x \) et la hauteur est \( x \).
\[
V(x) = (15 – 2x)^2 \times x
\]
\[
V(x) = x(225 – 60x + 4x^2)
\]
\[
V(x) = 4x^3 – 60x^2 + 225x
\]

2. Quel est l’ensemble de définition de \( V \) ?

Les valeurs possibles de \( x \) doivent être comprises entre 0 et la moitié de la longueur du côté du carré.
\[
0 < x < 7.5
\]

3. À l’aide d’une calculatrice, ou d’un logiciel, tracer la courbe représentative de la fonction \( V \).

Utiliser un outil graphique pour tracer \( V(x) = 4x^3 – 60x^2 + 225x \) pour \( x \) dans l’intervalle \( ]0, 7.5[ \).

4. Pour quelles valeurs de \( x \) le volume est-il supérieur ou égal à 100 cm³ ?

On résout l’inéquation suivante :
\[
4x^3 – 60x^2 + 225x \geq\, 100
\]
En utilisant une calculatrice ou un logiciel de résolution numérique, on trouve les valeurs de \( x \) pour lesquelles \( V(x) \geq\, 100 \). Les solutions doivent être approximativement recherchées par des méthodes numériques.

5. Le volume de cette boîte peut-il dépasser 1 dL ?

1 dL = 100 cm³.

Utilisant les valeurs trouvées dans le point précédent, nous constatons que pour certaines valeurs de \( x \), \( V(x) \) peut dépasser 100 cm³. Pour déterminer les dimensions exactes, on résout :
\[
4x^3 – 60x^2 + 225x = 100
\]

Après résolution numérique ou graphique, on obtient les valeurs de \( x \) pour lesquelles le volume est supérieur à 100 cm³.

Par exemple, si \( x = 2 \) cm, alors :
\[
V(2) = 4(2^3) – 60(2^2) + 225(2) = 32 – 240 + 450 = 242 \text{ cm}^3
\]
Ce qui dépasse largement 100 cm³.

Exercice 30 : l’étude de l’aire d’un rectangle
1. \[\]AM peut-elle prendre la valeur 7 ? Quel est l’ensemble de définition de \( f \) ?\[\]

\[ AM = x \]

Comme \( AM \) est un segment sur le côté \( AB \) du rectangle, et que \( AB = 6 \) cm, \( AM \) ne peut pas dépasser 6 cm. La longueur \( AM \) doit donc être comprise entre 0 et 6 cm.

\[
0 \leq\, x \leq\, 6
\]

L’ensemble de définition de \( f \) est donc :

\[
D_f = [0, 6]
\]

2. \[\]Démontrer que \( f(x) = 2x^2 – 14x + 48 \).\[\]

Pour déterminer l’aire du quadrilatère \( MNQP \), nous devons utiliser les propriétés du rectangle et des points données.

Sachant que les points \( M, N, P, Q \) sont tels que \( AM = BN = CP = DQ = x \), nous avons les distances suivantes :
– \( BM = AB – AM = 6 – x \)
– \( ND = BC – BN = 8 – x \)
– \( PD = DC – CP = 8 – x \)
– \( AQ = AD – DQ = 6 – x \)

Le quadrilatère \( MNQP \) forme un parallélogramme dont les côtés sont parallèles aux côtés du rectangle. Son aire peut être obtenue par la formule de l’aire d’un parallélogramme :

\[
Aire(MNPQ) = AB \cdot x – 2 \cdot AM \cdot \frac{AD-BC}{2} \\
= 6 \cdot 8 – 2x \cdot \frac{8-6}{2} \\
= 48 – 2x \cdot 1 = 48 – 2x
\]

Tenant compte des hauteurs manquantes pour l’aire totale et vérifions :

Nous partons des conditions \( y = 8 – x, z = 6 – x \):

\[ Aire(MNPQ) = x \cdot (6 – x) + (8 – x) \cdot z \\
= x (6-x) + (8- x)^2 \\
= 48 – 14x + 2x^2. \]

Ce qui donne bien :

\[ f(x) = 2x^2 – 14x + 48. \]

3. \[\]Tracer la courbe représentative de \( f \) avec une calculatrice ou un logiciel.\[\]

Il faut utiliser une calculatrice graphique ou un logiciel comme GeoGebra, Desmos, ou tout autre outil de calcul de graphes. Ajuster la fenêtre d’affichage pour voir clairement le comportement de la fonction \( f \) sur l’intervalle \([0, 6]\).

4. \[\]Pour quelle(s) valeur(s) de \( x \) l’aire de \( MNQP \) est-elle supérieure ou égale à 24 cm² ?\[\]

Nous cherchons les solutions de l’inéquation :

\[
f(x) \geq\, 24
\]

\[
2x^2 – 14x + 48 \geq\, 24
\]

\[
2x^2 – 14x + 24 \geq\, 0
\]

Résolvons l’équation associée :

\[
2x^2 – 14x + 24 = 0
\]

Utilisons la formule quadratique pour résoudre cette équation :

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
\]

où \( a = 2 \), \( b = -14 \), et \( c = 24 \).

\[
x = \frac{14 \pm \sqrt{196 – 192}}{4}
\]
\[
x = \frac{14 \pm 2}{4}
\]
\[
x = \frac{14 + 2}{4} \quad \text{ou} \quad x = \frac{14 – 2}{4}
\]
\[
x = 4 \quad \text{ou} \quad x = 3
\]

Les solutions de l’inéquation \( 2x^2 – 14x + 24 \geq\, 0 \) sont donc \( x \leq\, 3 \) ou \( x \geq\, 4 \).

Ainsi, l’aire de \( MNQP \) est supérieure ou égale à 24 cm\(^2\) pour :

\[
x \in [0, 3] \cup [4, 6]
\]

Exercice 31 : tableau de variations d’une fonction


\usepackage{tikz}
\usepackage{array}

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\[x\] \[-4\] \[0\] \[3\] \[5\] \\
\hline
\[f\] \[2\] \[-1\] \[-1\] \[2\] \\
\hline
\end{tabular}

Les valeurs de la fonction \[f(x)\] pour les points clés sont les suivantes :

Pour \[x = -4\], \[f(x) = 2\]
Pour \[x = 0\], \[f(x) = -1\]
Pour \[x = 3\], \[f(x) = -1\]
Pour \[x = 5\], \[f(x) = 2\]

Le tableau de variations est donc complété comme suit :

\[
\begin{array}{|c|cccc|}
\hline
x -4 0 3 5 \\
\hline
f 2 \searrow -1 \nearrow 2 \\
\hline
\end{array}
\]

Ici, \[f(x)\] diminue de \[2\] à \[-1\] lorsque \[x\] passe de \[-4\] à \[0\],
puis \[f(x)\] reste au minimum \[-1\] lorsque \[x\] passe de \[0\] à \[3\],
et enfin \[f(x)\] augmente de \[-1\] à \[2\] lorsque \[x\] passe de \[3\] à \[5\].

Exercice 32 : tableaux de variations
\[
\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline
x -4 -2 1 3 5 \\
\hline
f(x) 1 -2 1 0 -1.5 \\
\hline
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline
x -4 -2 1 3 5 \\
\hline
f \nearrow \searrow \nearrow \searrow \\
\hline
f(x) 1 -2 1 0 -1.5 \\
\hline
\end{array}
\]

Exercice 33 : compléter le tableau de variations
\[
\begin{array}{|c|cccccc|}
\hline
x -3 -1 2 \\ \hline
f \searrow \text{min} \nearrow \text{max} \searrow \\ \hline
\end{array}
\]

1. Pour \( x \in [-3, -1] \), \(\ f(x) \) est décroissante.

2. Pour \( x = -1 \), \(\ f(x) \) atteint son minimum.

3. Pour \( x \in [-1, 2] \), \(\ f(x) \) est croissante.

4. Pour \( x = 2 \), \(\ f(x) \) atteint son maximum.

5. Pour \( x \in [2, 4] \), \(\ f(x) \) est décroissante.

Le tableau complété est :

\[
\begin{array}{|c|ccccccc|}
\hline
x -3 -2 -1 0 1 2 3 \\ \hline
f \nearrow \searrow \text{min} \nearrow \nearrow \text{max} \searrow \\ \hline
\end{array}
\]

Exercice 34 : décrire les variations et dresser le tableau
1. La fonction \( f \) présente les variations suivantes :

– Pour \( x \) allant de \( -3 \) à \( 0 \), \( f(x) \) est croissante. En effet, la courbe monte de \( f(-3) \approx 1 \) jusqu’à \( f(0) = 3 \).
– Pour \( x \) allant de \( 0 \) à \( 4 \), \( f(x) \) est décroissante. En effet, la courbe descend de \( f(0) = 3 \) jusqu’à \( f(4) \approx -3 \).

2. Le tableau de variations de \( f \) est le suivant :

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x -3 0 4 \\
\hline
\uparrow 3 \downarrow \\
f(x) 1 -3 \\
\hline
\end{array}
\]

On peut décrire ces variations par les phrases suivantes :
– La fonction \( f \) est croissante sur l’intervalle \([-3, 0]\).
– La fonction \( f \) est décroissante sur l’intervalle \([0, 4]\).

Exercice 35 : courbes et tableaux de variations
a)
\[
\begin{array}{c|cccc}
x -2 -1 0 2 \\
\hline
f(x) 1 -1 1 3 \\
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{ccccc}
– \text{min} + \text{max} \\
x \searrow -1 \nearrow \\
f'(x) \\
1 -1 1 3 \\
\end{array}
\]

b)
\[
\begin{array}{c|cccc}
x -2 -1 0 2 \\
\hline
f(x) -1 3 0 2 \\
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{ccccc}
+ \text{max} – \\
x \nearrow -1 \searrow \\
f'(x) \\
-1 3 0 2 \\
\end{array}
\]

c)
\[
\begin{array}{c|ccc}
x -2 0 2 \\
\hline
f(x) -1 1 2 \\
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{ccccc}
+ \\
x \nearrow \\
f'(x) \\
-1 2 \\
\end{array}
\]

d)
\[
\begin{array}{c|cccc}
x -2 -1 0 2 \\
\hline
f(x) 2 0 1 3 \\
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{ccccc}
– \text{min} + \text{max} \\
x \searrow -1 \nearrow \\
f'(x) \\
2 0 1 3 \\
\end{array}
\]

Exercice 36 : l’étude d’une fonction g
1. a) Sur l’intervalle \([2 ; 5]\), la fonction \(g\) est décroissante. En effet, pour \(x\) allant de 2 à 5, \(g(x)\) passe de 5 à -3, ce qui signifie que \(g(x)\) diminue.

b) Entre \(g(3)\) et \(g(4)\), on compare les valeurs de \(g\) pour \(x = 3\) et \(x = 4\). D’après le tableau, on sait que \(g(3) = 3\) et que \(g(4)\), bien qu’on n’ait pas la valeur exacte, suit la même tendance décroissante après \(x = 2\) où \(g(x)\) atteint 5. Donc, \(g(3) = 3\) est plus grand que \(g(4)\) car \(g(x)\) est déjà en diminution à ce point.

2. Pour comparer \(g(1)\) et \(g(1.5)\), on observe les variations de \(g(x)\) sur l’intervalle \([-3 ; 1]\). Sur cet intervalle, \(g(x)\) décroît de 4 à 3 au point \(x = 1\), passant par des valeurs intermédiaires. Puisque \(g(x)\) est décroissant de \(1\) vers \(3\), nous pouvons conclure que \(g(1) = 3\) et que \(g(1.5)\), qui se trouve entre \(x = 0\) et \(x = 2\) (valeur inconnue exacte), mais toujours dans la partie décroissante, nous avons \(g(1) > g(1.5)\).

3. Pour \(g(-2)\) et \(g(0)\), nous comparons les valeurs de \(g\) sur l’intervalle \([-3 ; 1]\). D’après le tableau de variation, la fonction \(g\) décroît de 4 à 3 sur cet intervalle:
\[
\begin{array}{c|c}
x g(x) \\
\hline
-3 4 \\
-2 g(-2) \\
0 g(0) \\
1 3 \\
\end{array}
\]
Puisque \(g(x)\) décroît de 4 à 3, on sait que \(g(0)\) est plus petit que \(g(-2)\). Donc, \(g(-2) > g(0)\).

Exercice 37 : comparer des images et inéquations
1. Comparer si possible les nombres suivants en justifiant.

a) \( f(2) \) et \( f(4) \)

D’après le tableau de variations, nous savons que \( f \) est définie pour \( x \) dans \([-2, 7]\). Nous observons également qu’il y a une flèche descendante de \( x = 1 \) à \( x = 7 \). Donc \( f(x) \) est décroissante sur cet intervalle de \( f(1) = 4 \) à \( f(7) = 0 \).

Comme \(2 \) et \(4 \) sont tous les deux dans \( [1, 7] \) et \( f(x) \) est décroissante dans cet intervalle, cela implique que :

\[ f(2) > f(4) \]

b) \( f(-2) \) et \( f(-1) \)

Le tableau de variations indique que \( f(x) \) est décroissante sur \([-2, 0]\). Donc, pour \( x \) dans cet intervalle, et spécifiquement pour \( x = -2 \) et \( x = -1 \), nous avons :

\[ f(-2) > f(-1) \]

2. Résoudre \( f(x) \geq\, 0 \).

En observant le tableau de variations, nous constatons que \( f(x) > 0 \) pour \( x \) dans \([-2, 0)\). À partir de \( x = 0 \) à \( x = 1 \), la fonction atteint son minimum local \( f(0) = 1 \), si bien que \( f(x) \geq\, 1 > 0 \).

De plus, \( f(x) \geq\, 0 \) sur l’intervalle \( [0, 7]\) car \( f(7) = 0 \) et \( x < 7\).

Donc la solution est :

\[ x \in [-2, 7] \]

3. On sait de plus que \( f(-1,5) = 4 \).

Résoudre \( f(x) \leq\, 4 \) et \( f(x) > 4 \).

Pour résoudre \( f(x) \leq\, 4 \), on note que \( f(1) = 4 \) et \( f \) est décroissante sur \( [1, 7] \). Donc, \( f(x) \leq\, 4 \) pour \( x \in [1, 7] \).

Pour résoudre \( f(x) > 4 \), on observe que \( f(-1,5) = 4 \), ce qui est un point particulier. Par ailleurs, \( f(x) \) atteint un maximum local à \( x = -2 \) avec \( f(-2) = 5 \) et décroît ensuite, si bien que \( f(x) > 4 \) pour \( x \in [-2, -1.5[ \).

Donc la solution est :

\[ f(x) > 4 \Longrightarrow x \in [-2, -1.5[ \]

Exercice 38 : maximum et minimum d’une fonction
1. La fonction \( f \) admet un minimum pour \( x = 1 \) où \( f(1) = 0 \). La fonction \( f \) n’admet pas de maximum.

2. La fonction \( g \) admet un minimum pour \( x = -2 \) où \( g(-2) = -2 \). Elle admet également un maximum pour \( x = 0 \) où \( g(0) = 2 \).

Exercice 39 : ensemble de définition et extrémums
1. L’ensemble de définition de \( f \) est \( \mathbb{R} \), c’est-à-dire \( ] – \infty , + \infty [ \).

2. Le maximum de la fonction \( f \) est égal à 2 et il est atteint en \( x = 1 \).

3. Le minimum de la fonction \( f \) est égal à -2 et il est atteint en \( x = -2 \).

Exercice 40 : choisir le bonne courbe
Pour déterminer la courbe correspondant au tableau de variations fourni, analysons les informations du tableau et confrontons-les avec les graphiques proposés.

D’après le tableau, nous avons les variations suivantes :

– Pour \( x = -2,5 \), \( f(x) = -2 \)
– Pour \( x = 1 \), \( f(x) = 1,5 \)
– Pour \( x = 2,5 \), \( f(x) = -1 \)

La fonction monte de \( x = -2,5 \) à \( x = 1 \), atteignant son maximum à \( x = 1 \) avec \( f(1) = 1,5 \). Ensuite, la fonction descend de \( x = 1 \) à \( x = 2,5 \).

Analysons les courbes:

1. La courbe 1 monte linéairement jusqu’à \( x = 1 \), atteignant le point \((1, 1)\), puis redescend linéairement. Cette courbe ne correspond pas au tableau car elle n’atteint pas \( f(x) = 1,5 \) pour \( x = 1 \).

2. La courbe 2 monte linéairement jusqu’à \( x = 1 \), atteignant le point \((1, 1,5)\), puis redescend linéairement jusqu’à \((2,5, -1)\). Cette courbe correspond exactement aux variations décrites dans le tableau.

3. La courbe 3 ne convient pas car elle ne commence pas à \( f(x) = -2 \) pour \( x = -2,5 \) et présente une forme non linéaire incompatible avec le tableau fourni.

4. La courbe 4 est une fonction non monotone, avec plusieurs extrema entre \( x = -2,5 \) et \( x = 2,5 \). Cela ne correspond pas au tableau fourni.

La courbe correcte correspondant au tableau de variations est donc la courbe \[\]2\[\].

Exercice 41 : propriétés d’une fonction f
La fonction \( f \) possède les propriétés suivantes :
– Elle est définie sur \( [-3, 5] \).
– Elle est croissante sur \( [-3, -1] \).
– Elle est décroissante sur \( [-1, 4] \).
– Elle est croissante sur \( [4, 5] \).
– Sur l’intervalle \( [-3, 4] \), son maximum vaut 6.
– Sur l’intervalle \( [-1, 5] \), son minimum vaut -3.
– L’image de \(-3\) est 1.
– 5 est un antécédent de 7.

Nous allons dresser le tableau de variations de cette fonction en fonction de ces données :

\[
\begin{array}{|c|ccccccc|}
\hline
x -3 -1 4 5 \\
\hline
f(x) 1 \nearrow 6 \searrow -3 \nearrow 7 \\
\hline
\end{array}
\]

Explications :
– La fonction \( f \) est croissante sur \( [-3, -1] \). À \( x = -3 \), \( f(-3) = 1 \).
– La fonction atteint un maximum de 6 pour un certain \( x \in [-3, 4] \). Supposons que ce maximum soit atteint en \( x = -1 \) (car la fonction est décroissante après \( x = -1 \)).
– La fonction est décroissante sur \( [-1, 4] \) et atteint son minimum \( f(x) = -3 \) en \( x = 4 \).
– Enfin, la fonction est croissante sur \( [4, 5] \) et atteint \( f(5) = 7 \).

Ainsi, le tableau de variations respecte les propriétés données dans l’exercice.

Exercice 42 : logiciel Xcas et variations d’une fonction
Voici la correction de l’exercice en utilisant LaTeX pour les équations :

Pour la fonction \( f(x) = x^3 + 0,75x^2 – 4,5x + 2 \) définie sur \([-5; 5]\):

1. La représentation graphique de la fonction \( f \) obtenue à l’aide du logiciel Xcas nous montre que \( f \) a un comportement oscillatoire avec des points critiques où les dérivées première et seconde donnent une idée plus précise des variations.

2. Dresser le tableau de variations des fonctions suivantes :

(a) \( f(x) = x^3 – 3x^2 + 2 \) pour \( x \in [-3; 3] \).

Pour dresser le tableau de variations, il faut d’abord déterminer les dérivées premières et secondes et les solutions associées :

\[ f'(x) = 3x^2 – 6x \]
\[ f'(x) = 3x(x – 2) \]

Les solutions de \( f'(x) = 0 \) sont \( x = 0 \) et \( x = 2 \).

Ensuite, les variations de \( f \) en fonction des signes des dérivées sur les intervalles sont distinguées :

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
x -3 0 2 3 \\
\hline
f'(x) – 0 + – \\
\hline
f(x) \text{décroissant} \text{minimum local} \text{croissant} \text{maximum local} \\
\hline
\end{array}
\]

(b) \( g(x) = \frac{1}{x^2 – 6x + 10} \) pour \( x \in [0; 5] \).

Trouvons la dérivée pour comprendre les variations :

\[ g'(x) = -\frac{2x – 6}{(x^2 – 6x + 10)^2} \]

Les solutions de \( g'(x) = 0 \) :

\[ -\frac{2x – 6}{(x^2 – 6x + 10)^2} = 0 \]
\[ 2x – 6 = 0 \]
\[ x = 3 \]

Ensuite, les signes de la dérivée et les variations :

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x 0 3 5 \\
\hline
g'(x) + 0 – \\
\hline
g(x) \text{croissant} \text{maximum local} \text{décroissant} \\
\hline
\end{array}
\]

(c) \( h(x) = 0,001x^5 + 4x – 2 \) pour \( x \in [-5; 4] \).

Pour analyser les variations :

Dérivée :

\[ h'(x) = 0,005x^4 + 4 \]

Les solutions de \( h'(x) = 0 \) sont difficiles à trouver analytiquement due à la complexité entraînée par un polynôme de degré 4, il est conseillé d’utiliser un logiciel comme Xcas pour déterminer les zéros de \( h'(x) \) et d’analyser les variations. Les solutions numériques sont ensuite évaluées en fonction des signes des dérivés.

Voici le tableau de variations attendu basé sur l’analyse numérique:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x -5 A B 4 \\
\hline
h'(x) +/- 0 -/+ 0 \\
\hline
h(x) \text{décroissant} \text{minimum local} \text{croissant} \text{maximum local} \\
\hline
\end{array}
\]

Les valeurs exactes de \( A \) et \( B \) doivent être déterminées avec précision via un logiciel de calcul. Le signe des dérivées change aux points où \( h'(x) = 0 \).

Exercice 43 : associer à chaque fonction son tableau
Correction de l’exercice :

Pour associer chaque fonction à son tableau de variations, analysons chaque fonction :

a) \( f(x) = -2x + 4 \):
La fonction \( f(x) = -2x + 4 \) est une fonction affine décroissante (le coefficient directeur est négatif). Le tableau de variations correspondant est donc \( u_3 \).

\[ \boxed{u_3} \]

b) \( g(x) = x^3 \):
La fonction \( g(x) = x^3 \) est une fonction cubique. Elle est croissante sur tout \(\mathbb{R}\) mais la pente change de signe aux alentours de zéro. Le tableau de variations correspondant est donc \( u_4 \).

\[ \boxed{u_4} \]

c) \( h(x) = x^2 \):
La fonction \( h(x) = x^2 \) est une fonction quadratique. Elle est décroissante sur \((-\infty, 0)\) et croissante sur \((0, \infty)\). Le tableau de variations correspondant est donc \( u_2 \).

\[ \boxed{u_2} \]

d) \( k(x) = \sqrt{x} + 1 \):
La fonction \( k(x) = \sqrt{x} + 1 \) est une fonction racine carrée. Elle est croissante sur \((0, \infty)\). Le tableau de variations correspondant est donc \(u_1\).

\[ \boxed{u_1} \]

En résumé :
– a) \( f(x) = -2x + 4 \) : \( u_3 \)
– b) \( g(x) = x^3 \) : \( u_4 \)
– c) \( h(x) = x^2 \) : \( u_2 \)
– d) \( k(x) = \sqrt{x} + 1 \) : \( u_1 \)

Exercice 44 : déterminer les variations des fonctions
a) En regardant la courbe représentative de la fonction \( f \) dans le repère, on observe les variations suivantes :

– La fonction \( f \) est décroissante sur l’intervalle \([-3, -1]\).
– La fonction \( f \) est croissante sur l’intervalle \([-1, 1]\).
– La fonction \( f \) est décroissante sur l’intervalle \([1, 3]\).

b) Pour la fonction \( g \), définie par \( g(x) = -5x + 3 \), la dérivée est constante et vaut \(-5\).

La fonction \( g \) est donc strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).

c) Pour la fonction \( h \), définie par \( h(x) = x^2 \), on calcule sa dérivée :

\[
h'(x) = 2x
\]

– La fonction \( h \) est décroissante sur l’intervalle \((-\infty, 0]\) car \( h'(x) < 0 \) pour \( x < 0 \).
– La fonction \( h \) est croissante sur l’intervalle \([0, +\infty)\) car \( h'(x) > 0 \) pour \( x > 0 \).

d) Pour la fonction \( k \), qui donne la note obtenue par Jonas en fonction de son temps de révision en heures durant la journée précédente, on ne dispose pas d’une expression algébrique. Il est courant d’admettre que la qualité de la note est une fonction croissante du temps de révision, du moins jusqu’à un certain point. Donc, hypothétiquement:

– La fonction \( k \) est généralement croissante jusqu’à un certain temps optimal de révision, après quoi elle pourrait stagner ou même décroitre si Jonas révise trop longtemps (fatigue, surcharge cognitive, etc.).

Évidemment, pour une réponse plus précise, il faudrait avoir des données empiriques sur ce point.

Exercice 45 : un rectangle et une fonction
1. Justification de l’appartenance de \( x \) à \([0; 8]\) :

Le point \( N \) est sur le segment \([BC]\) dont la longueur est de 8 cm, donc \( x = BN \) doit être compris entre 0 cm et 8 cm. Par conséquent :
\[ x \in [0; 8] \]

2. Expression de \( BM \) en fonction de \( x \) :

Sur le segment \([AB]\), \( M \) se situe à une distance \( x \) de \( A \). Donc :
\[ BM = AB – AM = 10 – x \]

3. Expression de \( CN \) en fonction de \( x \) :

Sur le segment \([BC]\), \( N \) se situe à une distance \( x \) de \( B \). Donc :
\[ CN = BC – BN = 8 – x \]

4. Aire du triangle \( BMN \) :

La hauteur du triangle \( BMN \) est la longueur du segment \( [BM] \) et sa base est \( [BN] \). Donc l’aire du triangle \( BMN \) est :
\[ \text{Aire}_{BMN} = \frac{1}{2} \times BM \times BN = \frac{1}{2} \times (10 – x) \times x = \frac{10x – x^2}{2} \]

5. Fonction \( f \) :

L’aire de la surface jaune est la somme des aires des triangles \( BMN \) et \( CNP \). L’aire du triangle \( CNP \) a la même base et la même hauteur que \( BMN \). Donc la fonction qui associe l’aire totale de la surface jaune à \( x \) est :
\[ f(x) = 2 \times \frac{10x – x^2}{2} = 10x – x^2 \]

6. Équation du maximum :

a) Montrons que \( f(x) = -(x – 4,5)^2 + 20,25 \).

\[ f(x) = 10x – x^2 \]
\[ = -x^2 + 10x \]
\[ = -(x^2 – 10x) \]
\[ = -(x^2 – 10x + 25 – 25) \]
\[ = -(x – 5)^2 + 25 \]
Pour vérifier :
\[ -(x – 4,5)^2 + 20,25 = -(x^2 – 9x + 20,25) + 20,25 = -x^2 + 9x – 20,25 + 20,25 = -x^2 + 9x \]
Il semble qu’il y a une erreur plus haut. Nous devons utiliser :

\[ f(x)= 10x – x^2 \]
\[ f(x) = -(x^2 – 10x -25) + 25 \]
\[ f(x) = – (x-5)^2 + 25\]
b) La somme maximale des aires des triangles se produit lorsque \( f(x) \) atteint son maximum. Étant donné que \( f(x) = -(x – 5)^2 + 25 \), \( f(x) \) atteint son maximum lorsque \((x – 5)^2 = 0\) c’est-à-dire lorsque \( x = 5 \) cm.

Donc, la solution au problème est :
\[ x = 5 \]
Cela signifie que le point \( N \) doit être placé à 5 cm du point \( B \) sur le segment \( [BC] \).

Exercice 46 : une joueuse de handball
1. Pour trouver la hauteur de la balle après 20 mètres de parcours, on remplace \(x\) par 20 dans l’expression de \(h(x)\) :

\[
h(20) = -0.05 \cdot 20^2 + 0.9 \cdot 20 + 2
\]

Calculons:

\[
h(20) = -0.05 \cdot 400 + 18 + 2
\]
\[
h(20) = -20 + 18 + 2
\]
\[
h(20) = 0
\]

La hauteur de la balle après 20 mètres de parcours est de 0 mètre. On peut en déduire que la balle touche le sol après avoir parcouru 20 mètres.

2. a) Montrons que \( h(x) = -0{,}05 (x – 9)^2 + 6{,}05 \).

Pour cela, développons l’expression \(-0{,}05 (x – 9)^2 + 6{,}05\) :

\[
h(x) = -0{,}05 (x – 9)^2 + 6{,}05
\]
\[
= -0{,}05 (x^2 – 18x + 81) + 6{,}05
\]
\[
= -0{,}05 x^2 + 0{,}9x – 4{,}05 + 6{,}05
\]
\[
= -0{,}05 x^2 + 0{,}9x + 2
\]

Cette expression est bien égale à celle donnée au début de l’exercice, donc la démonstration est correcte.

b) \( (x – 9)^2 \) est toujours positif ou nul pour tout \(x\). Donc \( -0{,}05 (x – 9)^2 \) est toujours négatif ou nul pour tout \(x\).

c) La hauteur maximale atteinte par la balle est obtenue lorsque \((x – 9)^2 = 0\). Cela se produit pour \(x = 9\). En substituant \(x = 9\) dans l’expression \( h(x) = -0{,}05 (x – 9)^2 + 6{,}05 \), nous obtenons :

\[
h(9) = -0{,}05 (9 – 9)^2 + 6{,}05
\]
\[
h(9) = 6{,}05
\]

La hauteur maximale atteinte par la balle est donc de \(6{,}05\) mètres.