Résolution graphique d’équations et inéquations : corrigés des exercices de maths en 2de.

Exercice 11 : solutions des équations et fonctions
\begin{align*}
\text{a) } f(x) = 2 \\
\text{D’après la courbe, la fonction atteint la valeur 2 en } x = 0 \text{ et } x = 6. \\
\text{Donc, les solutions sont } x = 0 \text{ et } x = 6. \\[2ex]

\text{b) } f(x) = 0 \\
\text{D’après la courbe, la fonction atteint la valeur 0 en } x = 1 \text{ et } x = 3. \\
\text{Donc, les solutions sont } x = 1 \text{ et } x = 3. \\[2ex]

\text{c) } f(x) = -1 \\
\text{D’après la courbe, la fonction ne prend jamais la valeur } -1. \\
\text{Donc, il n’y a pas de solutions.} \\[2ex]

\text{d) } f(x) = 1 \\
\text{D’après la courbe, la fonction atteint la valeur 1 en } x = 2, x = 4 \text{ et } x = 7. \\
\text{Donc, les solutions sont } x = 2, x = 4 \text{ et } x = 7.
\end{align*}

Exercice 12 : estimer les olutions des équations
a) \( g(x) = 2 \)

Pour estimer les solutions de \( g(x) = 2 \), nous devons trouver les points où la courbe de \( g \) croise la ligne horizontale \( y = 2 \). D’après le graphique, cela se produit aux points \( x \approx -4 \) et \( x \approx 3 \).

Donc, les solutions sont \( x \approx -4 \) et \( x \approx 3 \).

b) \( g(x) = -3 \)

Pour \( g(x) = -3 \), nous devons trouver les points où la courbe de \( g \) croise la ligne \( y = -3 \). D’après le graphique, il n’y a pas de telles intersections.

Donc, il n’y a pas de solutions.

c) \( g(x) = 4 \)

Pour \( g(x) = 4 \), nous devons trouver les points où la courbe de \( g \) croise la ligne \( y = 4 \). D’après le graphique, cela se produit au point \( x \approx 2 \).

Donc, la solution est \( x \approx 2 \).

d) \( g(x) = -1 \)

Pour \( g(x) = -1 \), nous devons trouver les points où la courbe de \( g \) croise la ligne \( y = -1 \). D’après le graphique, cela se produit aux points \( x \approx -2.5 \) et \( x \approx 0.5 \).

Donc, les solutions sont \( x \approx -2.5 \) et \( x \approx 0.5 \).

Exercice 13 : courbe et équations d’une fonction
a) \( k(x) = 1 \)

Les points d’intersection de la courbe avec la droite \( y = 1 \) sont \( x = -1 \) et \( x = 1 \).

b) \( k(x) = 0 \)

Les points d’intersection de la courbe avec l’axe des abscisses (droite \( y = 0 \)) sont approximativement \( x = -2.5 \), \( x = 0 \) et \( x = 2 \).

c) \( k(x) \geq\, -1 \)

La courbe est au-dessus de la droite \( y = -1 \) sur les intervalles \([-3, 4] \).

d) \( k(x) < 0 \)

La courbe est en dessous de l’axe des abscisses (droite \( y = 0 \)) sur les intervalles \([-3, -2.5) \cup (2, 4] \).

e) \( k(x) \geq\, -2 \)

La fonction \( k(x) \) est toujours supérieure ou égale à \(-2\) sur l’intervalle donné \([-3, 4]\) car la courbe reste au-dessus de la droite \( y = -2 \) sur tout cet intervalle.

f) \( k(x) \geq\, 2 \)

Les points où la courbe de la fonction atteint ou dépasse \( y = 2 \) sont \( x = -3 \) et entre \( x \approx 3.7 \) et \( x \approx 4 \).

Exercice 14 : solutions des inéquations
\[ \text{a) } h(x) \geq\, 0 \]
La fonction \( h(x) \) est positive ou nulle pour \( x \in [-5, -4] \cup [-3, 1] \cup [3, 4] \).

\[ \text{b) } h(x) < -4 \]
La fonction \( h(x) \) n’atteint jamais une valeur inférieure à -4 sur l’intervalle \([-5, 5]\). Par conséquent, il n’y a pas de solutions pour cette inéquation.

\[ \text{c) } h(x) < -2 \]
La fonction \( h(x) \) est inférieure à -2 pour \( x \in [-5, -4.5] \).

\[ \text{d) } h(x) > 2 \]
La fonction \( h(x) \) dépasse 2 pour \( x \in [1, 1.8] \cup [2.2, 3] \).

Exercice 15 : résoudre graphiquement des équations et des inéquations
a) \( g(x) = f(x) \)

Les deux courbes se croisent en \( x = -1 \).

b) \( g(x) \leq\, f(x) \)

La courbe \( g(x) \) est sous ou égale à la courbe \( f(x) \) sur les intervalles:
\[ [-2, -1] \cup [2, 3] \]

c) \( f(x) < -3 \)

La courbe \( f(x) \) est en dessous de -3 sur l’intervalle:
\[ [ -1, \frac{1}{2} ] \]

d) \( g(x) < 2 \)

La courbe \( g(x) \) est en dessous de 2 pour:
\[ x \in [-2, 2[ \]

e) \( f(x) \geq\, -2 \)

La courbe \( f(x) \) est au-dessus ou égale à -2 sur l’intervalle:
\[ [0, 3] \]

Exercice 16 : résolution graphique d’équations et inéquations

[a)] \( f(x) = 8 \)
\begin{align*}
\text{La courbe } \mathcal{C}_f \text{ atteint la valeur } y = 8 \text{ pour } x = -4 \text{ et } x = 3. \\
\boxed{x = -4 \; \text{ou} \; x = 3}
\end{align*}

[b)] \( f(x) < 0 \)
\begin{align*}
\text{La courbe } \mathcal{C}_f \text{ est sous l’axe des abscisses pour } -4 < x < -3 \text{ et } 2 < x < 3. \\
\boxed{-4 < x < -3 \; \text{ou} \; 2 < x < 3}
\end{align*}

[c)] \( f(x) = g(x) \)
\begin{align*}
\text{Les courbes } \mathcal{C}_f \text{ et } \mathcal{C}_g \text{ se croisent en deux points. Ces points correspondent à } x = -1 \text{ et } x = 2. \\
\boxed{x = -1 \; \text{ou} \; x = 2}
\end{align*}

[d)] \( f(x) \leq\, g(x) \)
\begin{align*}
\text{La courbe } \mathcal{C}_f \text{ est sous la courbe } \mathcal{C}_g \text{ entre } x = -4 \text{ et } x = 3 \text{ sauf sur l’intervalle } -1 < x < 2, \\
\text{où elles se croisent.}\\
\boxed{x \in [-4, -1] \cup [2, 3]}
\end{align*}

Exercice 17 : fonctions paires ou impaires
a) La fonction représentée par cette courbe est paire. En effet, elle est symétrique par rapport à l’axe \(y\).

b) La fonction représentée par cette courbe est impaire. En effet, elle est symétrique par rapport à l’origine.

c) La fonction représentée par cette courbe n’est ni paire ni impaire. Elle n’a pas de symétrie particulière ni par rapport à l’axe \(y\) ni par rapport à l’origine.

d) La fonction représentée par cette courbe est impaire. En effet, elle est symétrique par rapport à l’origine.

Exercice 18 : concentration d’un médicament
1. La concentration du médicament après 2 heures est d’environ 0,9 mg/L, donc la bonne réponse est :
\[ \boxed{d} \]

2. L’intervalle de temps où la concentration est au plus égale à 1 mg/L est donné par l’inéquation \( C(t) \leq\, 1 \), donc la bonne réponse est :
\[ \boxed{d} \]

3. La concentration dans le sang est de 0,5 mg/L après environ 0,667 heures, donc la bonne réponse est :
\[ \boxed{c} \]

4. La période d’efficacité est l’intervalle de temps où la concentration dépasse 0,75 mg/L, soit entre 0,75 heures et 2,2 heures, donc la bonne réponse est :
\[ \boxed{d} \]

5. Le médicament atteint sa concentration maximale après environ 1 heure, donc la bonne réponse est :
\[ \boxed{a} \]

6. La concentration maximale atteinte est d’environ 1,5 mg/L, donc la bonne réponse est :
\[ \boxed{c} \]

Exercice 19 : propriétés d’une fonction
La fonction \( f \) a les propriétés suivantes :
– Elle est définie sur \([0, 8]\).
– L’équation \( f(x) = 3 \) a deux solutions : \( x = 1 \) et \( x = 3 \).
– L’image de \( 0 \) est \( 1 \), soit \( f(0) = 1 \).
– L’inéquation \( f(x) \leq\, 0 \) a pour ensemble de solution \([5, 7]\).

Considérons une possible fonction \( f(x) \) qui respecte ces conditions. Une telle fonction pourrait être définie par morceaux pour satisfaire les propriétés données.

Posons une fonction \( f \) qui augmente jusqu’à atteindre 3 en \( x = 1 \), puis redescend à nouveau aussi à 3 en \( x = 3 \), ensuite décroît pour devenir négative entre 5 et 7.

Une telle fonction pourrait ressembler à :
\[
f(x) =
\begin{cases}
1 + 2x \text{pour } 0 \leq\, x \leq\, 1 \\
4 – x \text{pour } 1 < x \leq\, 3 \\
– (x – 6)^2 + 1 \text{pour } 3 < x \leq\, 8
\end{cases}
\]

Vérifions que cette fonction satisfait les conditions :
– Sur \([0, 1]\), \( f(x) = 1 + 2x \), donc \( f(0) = 1 \) et \( f(1) = 3 \).
– Sur \( (1, 3] \), \( f(x) = 4 – x \), donc \( f(3) = 1 \) et \( f(5) \) reste à définir par la troisième pièce.
– Pour \( x \in [5, 7] \), nous vérifions que \( f(x) \leq\, 0 \).

Pour la dernière période de la fonction définie par \( – (x – 6)^2 + 1 \), en \( x = 5 \) et \( x = 7 \), nous avons \( f(x) \leq\, 0 \):
\[
f(5) = -(5 – 6)^2 + 1 = 0
\]
\[
f(7) = -(7 – 6)^2 + 1 = 0
\]

Donc, la fonction \( f \) définie par morceaux satisfait toutes les conditions fournies par l’exercice.

Pour le graphe de cette fonction :
1. Commencez en \( (0, 1) \).
2. Augmentez linéairement jusqu’à \( (1, 3) \).
3. Descendez linéairement jusqu’à \( (3, 1) \).
4. La courbe ensuite descendra et traverse la partie négative entre \( [5, 7] \).

Cette description verbale peut être utilisée pour tracer la courbe sur un repère graphique.

Exercice 20 : trouver les coordonnées et courbes
1. Trouver les coordonnées du ou des points d’intersection des courbes d’équations \( y = 2x^2 + 2x + 6 \) et \( y = 2x^2 – 3x + 7 \).

Nous égalisons les deux équations :

\[ 2x^2 + 2x + 6 = 2x^2 – 3x + 7 \]

Ensuite, nous simplifions l’équation :

\[ 2x + 6 = -3x + 7 \]
\[ 5x = 1 \]
\[ x = \frac{1}{5} \]

Nous substituons \( x = \frac{1}{5} \) dans l’une des équations originales pour trouver \( y \) :

\[ y = 2 (\frac{1}{5})^2 + 2 (\frac{1}{5}) + 6 \]
\[ = 2 (\frac{1}{25}) + \frac{2}{5} + 6 \]
\[ = \frac{2}{25} + \frac{10}{25} + \frac{150}{25} \]
\[ = \frac{162}{25} \]
\[ = 6.48 \]

Donc les points d’intersection sont \( ( \frac{1}{5}, 6.48 ) \).

2. Même question pour les courbes d’équations \( y = \frac{1}{x} \) et \( y = \frac{2 + 3x}{x} \).

Nous égalisons les deux équations :

\[ \frac{1}{x} = \frac{2 + 3x}{x} \]

Simplifions l’équation :

\[ 1 = 2 + 3x \]
\[ 3x = -1 \]
\[ x = -\frac{1}{3} \]

Nous substituons \( x = -\frac{1}{3} \) dans l’une des équations originales pour trouver \( y \) :

\[ y = \frac{1}{-\frac{1}{3}} = -3 \]

Donc les points d’intersection sont \( ( -\frac{1}{3}, -3 ) \).

Exercice 21 : résoudre graphiquement
1. Les courbes associées aux deux fonctions:
– La courbe orange est celle de la fonction carré \( f(x) = x^2 \).
– La courbe verte est celle de la fonction affine \( g(x) = x + 6 \).

2. Résoudre graphiquement l’équation \( x^2 = x + 6 \).
– Les points d’intersection des courbes \( f \) et \( g \) donnent les solutions.
– On observe que les courbes se croisent aux points \( x = -2 \) et \( x = 3 \).
– Les solutions graphiques sont donc \( x = -2 \) et \( x = 3 \).

3. a) Développer l’expression \((x – 3)(x + 2)\).
\[
(x – 3)(x + 2) = x^2 + 2x – 3x – 6 = x^2 – x – 6
\]

3. b) Retrouver algébriquement les résultats obtenus à la question 2.
\[
x^2 = x + 6
\]
\[
x^2 – x – 6 = 0
\]
En utilisant la formule quadratique \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \), nous avons:
\[
a = 1, \quad b = -1, \quad c = -6
\]
\[
x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1}
\]
\[
x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}
\]
\[
x = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2}
\]
\[
x = \frac{1 \pm 5}{2}
\]
\[
x = \frac{6}{2} \quad \text{ou} \quad x = \frac{-4}{2}
\]
\[
x = 3 \quad \text{ou} \quad x = -2
\]

Les solutions algébriques sont donc \( x = 3 \) et \( x = -2 \), ce qui correspond aux solutions graphiques trouvées précédemment.

Exercice 22 : repérer des courbes et résoudre graphiquement
1. Pour repérer les courbes associées aux deux fonctions:
– La courbe rouge correspond à la fonction \( f(x) = \frac{1}{x} \).
– La courbe violette correspond à la fonction \( g(x) = 2x+1 \).

2. Pour résoudre graphiquement l’équation \( \frac{1}{x} = 2x+1 \):
Il faut trouver les points d’intersection entre la courbe de \( f(x) = \frac{1}{x} \) et la courbe de \( g(x) = 2x + 1 \). On peut observer qu’il y a deux points d’intersection:
– Le premier point d’intersection se trouve aux alentours de \( x = -1 \).
– Le deuxième point d’intersection se trouve aux alentours de \( x = \frac{1}{2} \).

3. a) Développer l’expression \( (2x-1)(x+1) \):

En utilisant la distributivité, on obtient:

\[ (2x-1)(x+1) = 2x \cdot x + 2x \cdot 1 – 1 \cdot x – 1 \cdot 1 \]
\[ = 2x^2 + 2x – x – 1 \]
\[ = 2x^2 + x – 1 \]

3. b) Retrouver algébriquement les résultats obtenus à la question 2 :

On part de l’équation donnée \( \frac{1}{x} = 2x + 1 \).

Multiplions les deux membres de cette équation par \( x \) (avec \( x \neq 0 \)) pour se débarrasser de la fraction :

\[ 1 = x(2x + 1) \]
\[ 1 = 2x^2 + x \]

En réarrangeant cette équation, on obtient une équation quadratique :

\[ 2x^2 + x – 1 = 0 \]

Pour résoudre cette équation quadratique, nous utilisons la formule quadratique \( ax^2 + bx + c = 0 \):

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]

Ici, \( a = 2 \), \( b = 1 \), et \( c = -1 \). Substitute these values into the formula:

\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} \]
\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} \]
\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{4} \]
\[ x = \frac{-1 \pm 3}{4} \]

Cela donne deux solutions :

\[ x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]
\[ x = \frac{-4}{4} = -1 \]

Ces solutions, \( x = \frac{1}{2} \) et \( x = -1 \), sont cohérentes avec l’observation graphique des points d’intersection.

Exercice 23 : l’étude dune fonction
Les solutions graphiques de l’équation \( f(x) = 1 \) se situent aux alentours de \( x = 0 \) et \( x = 4.7 \) d’après le graphique.

## Correction de l’exercice:

### 1. Estimation graphique des solutions de l’équation \( f(x) = 1 \)
Les solutions graphiques de l’équation \( f(x) = 1 \) apparaissent être approximativement \( x \approx -0.5 \) et \( x \approx 4.3 \).

### 2. Tableau de valeurs de la fonction \( f \)

| \( x \) | 4.5 | 4.6 | 4.7 | 4.8 | 4.9 | 5.0 |
| ——- | —- | — | —– | —- | —– | —– |
| \( f(x) \) | 0.125 | 0.38 | 0.645 | 0.92 | 1.205 | 1.5 |

#### a) Encadrement d’une des solutions de \( f(x) = 1 \)

En observant le tableau, on voit que :

\[ f(4.8) = 0.92 \quad \text{et} \quad f(4.9) = 1.205 \]

Ainsi, une des solutions \( x \) pour laquelle \( f(x) = 1 \) est dans l’intervalle :

\[ 4.8 < x < 4.9 \]

#### b) Précision de cette approximation

L’encadrement \( 4.8 < x < 4.9 \) donne une précision à \(0.1\) près.

#### c) Recherche de l’encadrement plus précis avec une calculatrice

Prenons \( x_1 \) et \( x_2 \) tels que \( 4.8 \leq\, x_1 \leq\, 4.9 \) et \( 4.9 \leq\, x_2 \leq\, 5.0 \)

\[ f(x) \approx 1 \]

Pour un encadrement au dixième près (\( x_1 \)):

– Calculons \( f(4.85) \):
\[
f(4.85) = 0.5(4.85)^2 – 2(4.85) – 1 = 4.7025 – 9.7 – 1 = 1.0025
\]

Donc,
\[
4.85 < x_1 < 4.9 \quad \text{car} \quad f(4.85) = 1.0025 \quad \text{et} \quad f(4.8) = 0.92
\]

Pour un encadrement au centième près (\( x_2 \)):

– Calculons \( f(4.84) \):
\[
f(4.84) = 0.5(4.84)^2 – 2(4.84) – 1 = 4.6864 – 9.68 – 1 = 0.9664
\]

– Calculons \( f(4.86) \):
\[
f(4.86) = 0.5(4.86)^2 – 2(4.86) – 1 = 4.7268 – 9.72 – 1 = 1.0068
\]

Ainsi,
\[
f(4.84) < 1 < f(4.86) \Rightarrow 4.84 < x_2 < 4.86
\]

Pour résumer:

– Une solution se trouve entre \( 4.8 < x < 4.9 \), avec une précision à \(0.1\) près.
– Plus précisément \( 4.85 < x < 4.86 \), avec une précision à \(0.01\) près.

\[
\boxed{x \approx 4.85}
\]

Exercice 24 : ensemble de définition et courbe
Pour vérifier si la courbe représentée est celle d’une fonction, il faut vérifier que pour chaque valeur de \(x\) appartenant à l’ensemble de la définition, il existe une unique valeur de \(y\) correspondante.

La courbe représentée satisfait cette condition, car pour chaque valeur de \(x\), il n’y a qu’une seule valeur de \(y\). Ainsi, la courbe dessinée est bien la représentation graphique d’une fonction.

Pour déterminer l’ensemble de définition de cette fonction, nous observons que la courbe est représentée pour les valeurs de \(x\) comprises entre 0 et 3.

Pour \(0 \leq\, x < 2\), la fonction est représentée par une ligne droite montante.
Pour \(2 \leq\, x \leq\, 3\), la fonction est constante.

Ainsi, l’ensemble de définition de cette fonction est :
\[ \mathcal{D}_f = [0, 3] \]

Exercice 25 : représentation graphique d’une fonction
Pour vérifier si une courbe est la représentation graphique d’une fonction, on utilise le test de la « droite verticale ». Si chaque droite verticale (droite parallèle à l’axe des ordonnées) rencontre la courbe en exactement un point, alors la courbe représente une fonction.

Sur le graphique fourni, toute droite verticale quelconque rencontre la courbe en un seul point. Par conséquent, la courbe est bien la représentation graphique d’une fonction.

Pour déterminer l’ensemble de définition de cette fonction, on observe les valeurs de \( x \) pour lesquelles la courbe est tracée. La courbe commence à \( x = -2 \) et se termine à \( x = 2 \).

Ainsi, l’ensemble de définition de cette fonction est \( [-2, 2] \).

En résumé, la courbe représente une fonction dont l’ensemble de définition est \( [-2, 2] \).

Exercice 26 : représentation graphique ou pas ?
La courbe représentée sur le graphique est un cercle centré à l’origine \((0,0)\) avec un rayon de 1. L’équation de ce cercle est :

\[ x^2 + y^2 = 1 \]

Pour déterminer si cette courbe est la représentation graphique d’une fonction, il faut vérifier si chaque abscisse \(x\) correspond à une unique ordonnée \(y\). En d’autres termes, nous devons vérifier si l’équation satisfait au critère de la fonction, c’est-à-dire que pour chaque \( x \) de l’ensemble de définition, il existe un unique \( y \).

Prenons l’équation du cercle :

\[ y^2 = 1 – x^2 \]

Pour un même \( x \) donné, l’équation \( y^2 = 1 – x^2 \) donne deux valeurs possibles pour \( y \) :

\[ y = \sqrt{1 – x^2} \quad \text{ou} \quad y = -\sqrt{1 – x^2} \]

Puisque chaque \( x \) (dans l’intervalle \([ -1, 1 ]\)) correspond à deux valeurs distinctes de \( y \) (une positive et une négative), la courbe ne passe pas le test de la fonction.

Donc, la courbe représentée n’est pas la représentation graphique d’une fonction. En conclusion :

1. La courbe ne représente pas une fonction.
2. Par conséquent, elle n’a pas d’ensemble de définition en tant que fonction.

Exercice 27 : déterminer le signe de f(x)
a. L’ensemble \( D \) de définition de \( f \) est l’intervalle où la fonction est définie. La courbe \( \mathcal{C} \) est tracée pour les valeurs de \( x \) comprises entre \(-4\) et \(4\). Donc :

\[ D = [-4, 4] \]

b. Les points de \( \mathcal{C} \) ayant une ordonnée nulle sont les points où la courbe coupe l’axe des abscisses. Ces points sont \( (-3, 0) \), \( (-1, 0) \) et \( (2, 0) \).

c. Le point de \( \mathcal{C} \) ayant une abscisse nulle est le point où la courbe coupe l’axe des ordonnées. Ce point est \( (0, -3) \).

d. Pour déterminer le signe de \( f(x) \) selon les valeurs du réel \( x \) dans \( D \), on observe le graphe:
– Pour \( x \in [-4, -3] \), \( f(x) \) est négatif.
– Pour \( x \in [-3, -1] \), \( f(x) \) est positif.
– Pour \( x \in [-1, 0] \), \( f(x) \) est négatif.
– Pour \( x \in [0, 2] \), \( f(x) \) est positif.
– Pour \( x \in [2, 4] \), \( f(x) \) est positif.

Exercice 28 : courbe au-dessus d’une droite
a. Sur quel intervalle a-t-on \( f(x) < g(x) \)?

Pour trouver l’intervalle où \( f(x) < g(x) \), nous devons résoudre l’inéquation \( 2x – 3 < -\frac{1}{2}x + 6 \).

\[
2x – 3 < -\frac{1}{2}x + 6
\]

Ajoutons \(\frac{1}{2}x\) des deux côtés de l’inéquation:

\[
2x + \frac{1}{2}x – 3 < 6
\]

Ce qui se simplifie à:

\[
\frac{5}{2}x – 3 < 6
\]

Ajoutons 3 des deux côtés de l’inéquation:

\[
\frac{5}{2}x < 9
\]

Multipliant les deux côtés par \(\frac{2}{5}\):

\[
x < \frac{18}{5}
\]

Donc, \( f(x) < g(x) \) sur l’intervalle \(( -\infty, \frac{18}{5} )\).

b. Quelles sont les coordonnées du point A d’intersection des courbes représentatives de \( f \) et \( g \) ?

Pour trouver le point d’intersection, nous devons résoudre l’équation \( f(x) = g(x) \):

\[
2x – 3 = -\frac{1}{2}x + 6
\]

Ajoutons \(\frac{1}{2}x\) des deux côtés de l’équation:

\[
2x + \frac{1}{2}x – 3 = 6
\]

Ce qui se simplifie à:

\[
\frac{5}{2}x – 3 = 6
\]

Ajoutons 3 des deux côtés de l’équation:

\[
\frac{5}{2}x = 9
\]

Multipliant les deux côtés par \(\frac{2}{5}\):

\[
x = \frac{18}{5}
\]

Pour trouver l’ordonnée correspondante \( y \), nous substituons cette valeur dans l’une des équations de \( f \) ou \( g \). Utilisons \( f(x) \):

\[
y = 2 ( \frac{18}{5} ) – 3 = \frac{36}{5} – 3 = \frac{36}{5} – \frac{15}{5} = \frac{21}{5}
\]

Donc les coordonnées du point A sont \( ( \frac{18}{5}, \frac{21}{5} ) \).

c. Le point A est-il au-dessus de la courbe d’équation \( y = 4 \)?

Pour déterminer si le point A est au-dessus de la courbe \( y = 4 \), comparons les ordonnées:

\[
\frac{21}{5} \approx 4,2 > 4
\]

Donc, le point A est au-dessus de la courbe \( y = 4 \).

d. Pour quelles valeurs de l’entier relatif k le point A est-il au-dessus de la droite d’équation \( y = k \) ?

Pour que le point A soit au-dessus de la droite d’équation \( y = k \), il faut que:

\[
\frac{21}{5} > k
\]

Comme \(\frac{21}{5} = 4,2\), cette inéquation est équivalente à:

\[
k < 4,2
\]

L’entier relatif \( k \) doit donc être \( 4 \) ou plus petit:

\[
k = 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, \ldots
\]

En résumé, \( k \) doit être un entier relatif strictement plus petit que 4.

Exercice 29 : résoudre graphiquement les inéquations
a. Résoudre graphiquement les inéquations \( f(x) \leq\, g(x) \) et \( f(x) \geq\, h(x) \).

Pour résoudre graphiquement les inéquations \( f(x) \leq\, g(x) \) et \( f(x) \geq\, h(x) \), il faut tracer les courbes des fonctions \( f(x) \), \( g(x) \) et \( h(x) \).

1. La fonction \( f(x) = x^2 \) est une parabole orientée vers le haut.
2. La fonction \( g(x) = 6 \) est une droite horizontale passant par \( y = 6 \).
3. La fonction \( h(x) = 2 \) est une droite horizontale passant par \( y = 2 \).

Intersection de \( f(x) \) et \( g(x) \):
\[ x^2 = 6 \]
\[ x = \pm \sqrt{6} \]
On obtient les points d’intersection \( x = \sqrt{6} \) et \( x = -\sqrt{6} \).

Intersection de \( f(x) \) et \( h(x) \):
\[ x^2 = 2 \]
\[ x = \pm \sqrt{2} \]
On obtient les points d’intersection \( x = \sqrt{2} \) et \( x = -\sqrt{2} \).

Inéquation \( f(x) \leq\, g(x) \):
\[ x^2 \leq\, 6 \]
\[ -\sqrt{6} \leq\, x \leq\, \sqrt{6} \]

Inéquation \( f(x) \geq\, h(x) \):
\[ x^2 \geq\, 2 \]
\[ x \leq\, -\sqrt{2} \quad \text{ou} \quad x \geq\, \sqrt{2} \]

b. Résoudre graphiquement la double inéquation \( h(x) \leq\, f(x) \leq\, g(x) \).

L’ensemble des solutions pour la double inéquation \( h(x) \leq\, f(x) \leq\, g(x) \) est l’intersection des solutions des inéquations précédentes:

Inéquation \( f(x) \leq\, g(x) \):
\[ -\sqrt{6} \leq\, x \leq\, \sqrt{6} \]

Inéquation \( h(x) \leq\, f(x) \):
\[ x \leq\, -\sqrt{2} \quad \text{ou} \quad x \geq\, \sqrt{2} \]

L’intersection de ces deux solutions est:
\[ -\sqrt{6} \leq\, x \leq\, -\sqrt{2} \quad \text{ou} \quad \sqrt{2} \leq\, x \leq\, \sqrt{6} \]

Ainsi, les valeurs de \( x \) pour lesquelles la double inéquation \( h(x) \leq\, f(x) \leq\, g(x) \) est vérifiée sont:
\[ x \in [-\sqrt{6}, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, \sqrt{6}] \]

Exercice 30 : déterminer graphiquement l’ensemble des solutions
\[
f(x) = x^2 – 2
\]
\[
g(x) = 5
\]

\[\]a. Déterminer graphiquement l’ensemble des solutions de l’inéquation \( f(x) \leq\, g(x) \).\[\]

Pour résoudre \( f(x) \leq\, g(x) \), nous devons résoudre l’inéquation suivante :

\[
x^2 – 2 \leq\, 5
\]

Ce qui équivaut à :

\[
x^2 – 7 \leq\, 0
\]

Ainsi, nous devons trouver les valeurs de \( x \) pour lesquelles \( x^2 \leq\, 7 \).

\[
– \sqrt{7} \leq\, x \leq\, \sqrt{7}
\]

L’ensemble des solutions de l’inéquation \( f(x) \leq\, g(x) \) est donc :

\[
[-\sqrt{7}, \sqrt{7}]
\]

\[\]b. Déterminer graphiquement l’ensemble des solutions de l’inéquation \( 0 \leq\, f(x) \leq\, g(x) \).\[\]

Pour résoudre \( 0 \leq\, f(x) \leq\, g(x) \), nous devons résoudre les inéquations suivantes :

\[
0 \leq\, x^2 – 2
\]

et

\[
x^2 – 2 \leq\, 5
\]

Pour la première inéquation :

\[
x^2 \geq\, 2
\]

\[
x \leq\, -\sqrt{2} \quad \text{ou} \quad x \geq\, \sqrt{2}
\]

Pour la seconde inéquation (comme dans la partie a) :

\[
x^2 \leq\, 7
\]

\[
-\sqrt{7} \leq\, x \leq\, \sqrt{7}
\]

L’ensemble des solutions des deux inéquations combinées est donc :

\[
[-\sqrt{7}, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, \sqrt{7}]
\]

En conclusion, les solutions pour chaque partie sont :

\[\]a.\[\] \( [-\sqrt{7}, \sqrt{7}] \)

\[\]b.\[\] \( [-\sqrt{7}, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, \sqrt{7}] \)

Exercice 31 : tableau de signes et solution de l’inéquation
a. La représentation graphique de la fonction \( f \) définie sur \([-2 ; 4]\) par \( f(x) = (x – 1)^2 \) est une parabole avec son sommet en \( (1,0) \) et qui s’ouvre vers le haut.

b. La représentation graphique de la fonction \( g \) définie sur \(\mathbb{R}\) par \( g(x) = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2} \) est une droite affine de pente \(\frac{1}{2}\) et d’ordonnée à l’origine \(\frac{5}{2} = 2.5\).

c. Pour résoudre graphiquement dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation \( f(x) \leq\, g(x) \), on cherche les points d’intersection des courbes de \( f \) et \( g \), c’est-à-dire les solutions de \( (x – 1)^2 \leq\, \frac{1}{2}x + \frac{5}{2} \).

d. Montrons que pour tout réel \( x \), on a une équation quadratique:

\[
x^2 – \frac{5}{2}x – \frac{3}{2} = ( x + \frac{1}{2} )(x – 3).
\]

Pour ce faire, factorisons l’équation:

\[
x^2 – \frac{5}{2}x – \frac{3}{2} = 0.
\]

Pour résoudre cette équation, on utilise la formule quadratique \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \) où \( a = 1 \), \( b = -\frac{5}{2} \), et \( c = -\frac{3}{2} \):

\[
x = \frac{\frac{5}{2} \pm \sqrt{( -\frac{5}{2} )^2 – 4 \cdot 1 \cdot ( -\frac{3}{2} )}}{2 \cdot 1}
\]

\[
x = \frac{\frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4} + 6}}{2}
\]

\[
x = \frac{\frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{49}{4}}}{2}
\]

\[
x = \frac{\frac{5}{2} \pm \frac{7}{2}}{2}
\]

Les solutions sont :

\[
x = 3 \quad \text{et} \quad x = -\frac{1}{2}.
\]

Ainsi,

\[
x^2 – \frac{5}{2}x – \frac{3}{2} = ( x – 3 ) ( x + \frac{1}{2} ).
\]

e. Grâce à un tableau de signes, nous déterminons les solutions de l’inéquation \( f(x) \leq\, g(x) \):

\- Pour \( x < -\frac{1}{2} \) et \( x > 3 \), \( ( x – 3 ) ( x + \frac{1}{2} ) > 0 \)

\- Pour \( -\frac{1}{2} \leq\, x \leq\, 3 \), \( ( x – 3 ) ( x + \frac{1}{2} ) \leq\, 0 \)

Ainsi, la solution de l’inéquation \( f(x) \leq\, g(x) \) dans \(\mathbb{R}\) est :

\[
-\frac{1}{2} \leq\, x \leq\, 3.
\]

Exercice 32 : déterminer les entiers relatifs p et q
a. La représentation graphique de la fonction \( f(x) = x^2 \) dans un repère orthonormé est une parabole ayant pour sommet l’origine (0,0) et qui s’étend vers le haut. Voici une représentation visuelle:

« `latex
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
axis lines = middle,
xlabel = \(x\),
ylabel = {\(f(x)\)},
domain=-3:3,
restrict y to domain=0:10,
samples=100
]
\addplot [
color=blue,
thick,
]
{x^2};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
« `

b. Nous devons déterminer les entiers relatifs \(p\) et \(q\) tels que les solutions de \( x + q \leq\, f(x) \leq\, x + p \) soient les réels de l’intervalle \([-2; 3]\).

1. Considérons l’inéquation \(x + q \leq\, x^2\):
\[
x^2 – x \geq\, q
\]
Pour chaque valeur \(x \in [-3, 3]\), la valeur minimale de \(x^2 – x\) est atteinte au point d’intersection le plus bas, soit pour \(x = -2\) :
\[
(-2)^2 – (-2) = 4 + 2 = 6
\]
Donc \( q \leq\, 6 \).

2. Considérons l’inéquation \(x^2 \leq\, x + p\):
\[
x^2 – x \leq\, p
\]
Pour chaque valeur \(x \in [-3, 3]\), la valeur maximale de \(x^2 – x\) est atteinte pour \(x = 3\) :
\[
(3)^2 – 3 = 9 – 3 = 6
\]
Donc \( p \geq\, 6 \).

Pour que les solutions soient dans l’intervalle \([-2, 3]\), nous avons en conclusion:
\[
q \leq\, -2 \quad \text{et} \quad p \geq\, 6
\]

Exercice 33 : plus petite valeur de p pour les solutions de l’inéquation
Soit \( f \) la fonction définie par \( f(x) = \frac{1}{x} \).

Nous devons résoudre l’inéquation \( f(x) \leq\, g(x) \) où \( g(x) = x + p \) et déterminer la plus petite valeur de \( p \) pour laquelle l’ensemble des solutions contient le réel \( 5 \).

L’inéquation à résoudre est donc :
\[ \frac{1}{x} \leq\, x + p. \]

Pour que \( x = 5 \) soit une solution, il doit vérifier :
\[ \frac{1}{5} \leq\, 5 + p. \]

Calculons \( \frac{1}{5} \) :
\[ \frac{1}{5} = 0,2. \]

Il nous reste donc à résoudre :
\[ 0,2 \leq\, 5 + p. \]

Soustrayons 5 des deux côtés :
\[ 0,2 – 5 \leq\, p. \]

Ce qui donne :
\[ -4,8 \leq\, p \]
ou
\[ p \geq\, -4,8. \]

La plus petite valeur de \( p \) pour laquelle l’ensemble des solutions de l’inéquation \( f(x) \leq\, g(x) \) contient le réel \( 5 \) est donc :
\[ p = -4,8. \]

Exercice 34 : déterminer graphiquement f(x)=g(x) et f(x)=k(x)
\[\]a.\[\] La fonction \( f \) est définie par \( f(x) = \frac{1}{2}x^2 – 2x + 2 \). Pour tracer la représentation graphique de cette fonction, on peut utiliser un tableau de valeurs et une calculatrice graphique. On commence par calculer quelques valeurs :

| \( x \) | \( f(x) \) |
|:——:|:———:|
| 0 | 2 |
| 1 | 0.5 |
| 2 | 0 |
| 3 | 0.5 |
| 4 | 2 |

Ensuite, on dessine le graphique en connectant ces points. La courbe obtenue est une parabole qui a un minimum au point \( (2, 0) \).

\[\]b.\[\] Les fonctions \( g \) et \( k \) sont définies par \( g(x) = 1 \) et \( k(x) = \frac{9}{2} = 4.5 \). Les graphiques de ces fonctions sont des droites horizontales. On les place dans le même repère orthonormé :

– \( g(x) = 1 \) (droite horizontale passant par 1 sur l’axe des ordonnées).
– \( k(x) = 4.5 \) (droite horizontale passant par 4.5 sur l’axe des ordonnées).

\[\]c.\[\] Pour déterminer graphiquement les solutions approximatives des équations \( f(x) = g(x) \) et \( f(x) = k(x) \) :

– Pour \( f(x) = g(x) \) :
On cherche les points d’intersection de la parabole \( f(x) \) et de la droite \( y = 1 \).

Approximativement, ces points se situent aux abscisses \( x \approx 0.77 \) et \( x \approx 3.23 \).

– Pour \( f(x) = k(x) \) :
On cherche les points d’intersection de la parabole \( f(x) \) et de la droite \( y = 4.5 \).

Approximativement, ces points se situent aux abscisses \( x \approx -1 \) et \( x \approx 5 \).

\[\]d.\[\] Montrons que pour tout réel \( x \), \( f(x) = \frac{1}{2} (x-2)^2 \) :

\[ f(x) = \frac{1}{2}x^2 – 2x + 2 \]

Nous complétons le carré dans l’expression quadratique :

\[ f(x) = \frac{1}{2}(x^2 – 4x + 4 – 4) + 2 \]
\[ f(x) = \frac{1}{2}((x-2)^2 – 4) + 2 \]
\[ f(x) = \frac{1}{2}(x-2)^2 – 2 + 2 \]
\[ f(x) = \frac{1}{2}(x-2)^2 \]

\[\]e.\[\] Pour retrouver par le calcul les valeurs exactes des solutions des équations \( f(x) = g(x) \) et \( f(x) = k(x) \) :

– Pour \( f(x) = g(x) \) :

\[ \frac{1}{2}(x-2)^2 = 1 \]
\[ (x-2)^2 = 2 \]
\[ x-2 = \pm \sqrt{2} \]
\[ x = 2 \pm \sqrt{2} \]

On obtient \( x = 2 + \sqrt{2} \) et \( x = 2 – \sqrt{2} \).

– Pour \( f(x) = k(x) \) :

\[ \frac{1}{2}(x-2)^2 = 4.5 \]
\[ (x-2)^2 = 9 \]
\[ x-2 = \pm 3 \]
\[ x = 2 \pm 3 \]

On obtient \( x = 5 \) et \( x = -1 \).

\[\]f.\[\] Déterminons les solutions de la double inéquation \( g(x) \leq\, f(x) \leq\, k(x) \) :

\[ 1 \leq\, \frac{1}{2}(x-2)^2 \leq\, 4.5 \]

– Pour \( 1 \leq\, \frac{1}{2}(x-2)^2 \) :

\[ 2 \leq\, (x-2)^2 \]
\[ x-2 \leq\, -\sqrt{2} \quad \text{ou} \quad x-2 \geq\, \sqrt{2} \]
\[ x \leq\, 2-\sqrt{2} \quad \text{ou} \quad x \geq\, 2+\sqrt{2} \]

– Pour \( \frac{1}{2}(x-2)^2 \leq\, 4.5 \) :

\[ (x-2)^2 \leq\, 9 \]
\[ -3 \leq\, x-2 \leq\, 3 \]
\[ -1 \leq\, x \leq\, 5 \]

La solution de la double inéquation est donc :

\[ x \leq\, 2-\sqrt{2} \quad \text{ou} \quad 2+\sqrt{2} \leq\, x \leq\, 5 \]

Exercice 35 : déterminer sur R les solutions de l’inéquation
a. Déterminer graphiquement sur \[\mathbb{R}\] les solutions de la double inéquation \[-3 \leq\, f(x) \leq\, 0.\]

On commence par la représentation graphique de la fonction \[f(x) = (x + 1)^2 – 4\]. Cette fonction est une parabole dont le sommet est le point \[(-1, -4)\] et elle s’ouvre vers le haut. Le point de sommet est obtenu en mettant l’expression quadratique sous forme canonique.

En traçant cette parabole, on cherche les valeurs de \[x\] pour lesquelles \[-3 \leq\, f(x) \leq\, 0\]. On note que les points où la courbe coupe l’axe des \[\text{x}\] sont les solutions de \[f(x) = 0\], et les points où la courbe coupe la ligne horizontale \[y = -3\] sont les solutions de \[f(x) = -3\].

b. Retrouver par le calcul les solutions précédentes.

Pour résoudre la double inéquation, on doit résoudre deux inéquations séparées et ensuite trouver l’intersection des solutions.

1. Résoudre \[f(x) \leq\, 0\] :
\[
f(x) \leq\, 0 \implies (x+1)^2 – 4 \leq\, 0 \implies (x+1)^2 \leq\, 4
\]
En prenant la racine carrée des deux côtés (et rappelant que nous devons considérer les deux solutions possibles de la racine carrée) :
\[
-2 \leq\, x + 1 \leq\, 2
\]
En soustrayant 1 de chaque terme :
\[
-3 \leq\, x \leq\, 1
\]

2. Résoudre \[f(x) \geq\, -3\] :
\[
f(x) \geq\, -3 \implies (x+1)^2 – 4 \geq\, -3 \implies (x+1)^2 \geq\, 1
\]
En prenant la racine carrée des deux côtés (et rappelant que nous devons considérer les deux solutions possibles de la racine carrée) :
\[
(x+1)^2 \geq\, 1 \implies x+1 \geq\, 1 \quad \text{ou} \quad x+1 \leq\, -1
\]
En simplifiant :
\[
x \geq\, 0 \quad \text{ou} \quad x \leq\, -2
\]

L’intersection des solutions des deux inéquations sont les valeurs de \[x\] qui satisfont \[-3 \leq\, f(x) \leq\, 0\]. En comparant les intervalles :
\[
[-3, 1] \cap (-\infty, -2] \cup [0, \infty) = [-3, -2] \cup [0, 1]
\]

Donc, les solutions à la double inéquation \[-3 \leq\, f(x) \leq\, 0\] sont :
\[
x \in [-3, -2] \cup [0, 1]
\]

Exercice 36 : résoudre graphiquement l’équation avec des valeurs absolues
\[ f(x) = -2 |x + 1| + 3 |x – 1| + 2x \]

\[\]a. Représentation graphique de \( f \) sur l’intervalle \([-10; 10]\) :\[\]

Pour tracer la fonction \( f \), nous devons tenir compte des points de non-dérivabilité qui sont les points où les expressions à l’intérieur des valeurs absolues s’annulent, soit \( x = -1 \) et \( x = 1 \).

Pour \( x < -1 \) :
\[ |x + 1| = -(x + 1) = -x – 1 \]
\[ |x – 1| = -(x – 1) = -x + 1 \]
D’où :
\[ f(x) = -2(-x – 1) + 3(-x + 1) + 2x = 2x + 2 – 3x + 3 + 2x = x + 5 \]

Pour \( -1 \leq\, x \leq\, 1 \) :
\[ |x + 1| = x + 1 \]
\[ |x – 1| = -(x – 1) = -x + 1 \]
D’où :
\[ f(x) = -2(x + 1) + 3(-x + 1) + 2x = -2x – 2 – 3x + 3 + 2x = -3x + 1 \]

Pour \( x > 1 \) :
\[ |x + 1| = x + 1 \]
\[ |x – 1| = x – 1 \]
D’où :
\[ f(x) = -2(x + 1) + 3(x – 1) + 2x = -2x – 2 + 3x – 3 + 2x = 3x – 5 \]

La fonction \( f \) est donc définie par morceaux :
\[ f(x) =
\begin{cases}
x + 5 \text{si} \; x < -1, \\
-3x + 1 \text{si} \; -1 \leq\, x \leq\, 1, \\
3x – 5 \text{si} \; x > 1.
\end{cases}
\]

Pour la représentation graphique, nous pouvons construire le graphe des trois segments sur l’intervalle \([-10, 10]\).

\[\]b. Résolution graphique de \( f(x) = \lambda \) :\[\]

Pour chaque valeur de \( \lambda \), nous regardons les intersections entre la droite horizontale \( y = \lambda \) et la fonction \( f(x) \).

– Si \( \lambda \leq\, -2 \), il n’y a pas d’intersection.
– Si \(-2 < \lambda \leq\, 5 \), il y aura une solution unique dans le domaine \( x < -1 \), où \( f(x) = x + 5 \).
\[\lambda = x + 5 \Rightarrow x = \lambda – 5 \]

– Si \(\lambda = 5\), on vérifie qu’il y a une solution en \( x = 0 \).

– Si \( -2 < \lambda < 1 \), il y a deux solutions supplémentaires pour \( -1 \leq\, x \leq\, 1 \) , où \( f(x) = -3x + 1 \) et \( x > 1 \), où \( f(x) = 3x – 5 \).

Pour \( -3x + 1 = \lambda \)
\[ -3x = \lambda – 1 \Rightarrow x = \frac{1 – \lambda}{3} \]

Pour \( 3x – 5 = \lambda \)
\[ 3x = \lambda + 5 \Rightarrow x = \frac{\lambda + 5}{3} \]

Donc :
– Pour chaque \(\lambda\), nous pouvons trouver les valeurs de \(x\) en utilisant les équations définies par morceaux ci-dessus.