Résolution graphique d’équations et inéquations : corrigés des exercices de maths en 2de.

Exercice 1 : ensemble de définition, image et antécédent
a) L’ensemble de définition de V est l’ensemble des valeurs de x pour lesquelles V(x) est défini. D’après le tableau, nous avons :
Dom(V)\,=\,\{\,-1%2C\,0%2C\,2%2C\,3%2C\,7\,\}

b) L’image de 3 par V est la valeur de V pour x\,=\,3. D’après le tableau, nous avons :
V(3)\,=\,-3

c) V(7) est la valeur de V pour x\,=\,7. D’après le tableau, nous avons :
V(7)\,=\,1

d) Les antécédents de 7 par V sont les valeurs de x pour lesquelles V(x)\,=\,7. D’après le tableau, nous avons :
V(-1)\,=\,7
V(2)\,=\,7

Ainsi, les antécédents de 7 par V sont :
\{\,-1%2C\,2\,\}

Exercice 2 : déterminer l’image et l’antécédent
a) Déterminer l’image par f de :
– -3
\sqrt{2}

La fonction f associe à chaque nombre x son opposé -x.

Pour x\,=\,-3, on a :
f(-3)\,=\,-(-3)\,=\,3

Pour x\,=\,\sqrt{2}, on a :
f(\sqrt{2})\,=\,-\sqrt{2}

b) Déterminer l’antécédent de 0,6 par f.

Pour trouver l’antécédent de 0,6, on cherche x tel que f(x)\,=\,0%2C6. Donc :
-x\,=\,0%2C6
x\,=\,-0%2C6

L’antécédent de 0,6 est donc -0%2C6.

c) Existe-t-il un nombre égal à son image par f ?

Pour qu’un nombre soit égal à son image par f, on doit avoir :
f(x)\,=\,x
-x\,=\,x

La seule solution à cette équation est x\,=\,0.

Il existe donc un seul nombre égal à son image par f, et c’est 0.

Exercice 3 : résolution graphique d’inéquation
Correction:

a) Lire les ensembles de définition de f et g.

Pour la fonction f:

L’ensemble de définition est l’ensemble des valeurs de x pour lesquelles la fonction f est définie. D’après la courbe de f, on peut voir que f est définie pour les valeurs de x comprises entre 0 et 2, incluant 0 et 2. L’ensemble de définition de f est donc:
D_f\,=\,%5B0%2C\,2%5D

Pour la fonction g:

De manière similaire, l’ensemble de définition de g est l’ensemble des valeurs de x pour lesquelles la fonction g est définie. D’après la courbe de g, on peut voir que g est définie pour les valeurs de x comprises entre 0 et 2, incluant 0 et 2. L’ensemble de définition de g est donc:
D_g\,=\,%5B0%2C\,2%5D

b) Linda affirme : « g(1)\,>\,f(1) et g(1) à partir des graphes donnés.

D’après la courbe de f:
f(1)\,=\,2

D’après la courbe de g:
g(1)\,=\,1

Ainsi, nous avons:
g(1)\,=\,1\,\quad\,et\,\quad\,f(1)\,=\,2

On peut donc conclure que:
g(1)\,%3C\,f(1)

Linda n’a pas raison, car g(1) n’est pas supérieur à f(1), en fait g(1) est inférieur à f(1).

Exercice 4 : lecture graphique d’une fonction
a) Lire graphiquement l’image de 2 par f.

L’image de 2 par f est -1.

b) Lire graphiquement f(4).

f(4)\,=\,-2.

c) Lire graphiquement les antécédents de 2 par f.

Il y a deux antécédents de 2 par f, ils sont -3 et 3.

d) Reformuler les consignes b) et c) avec une phrase comportant le mot « image ».

b) Lire graphiquement l’image de 4 par f.

c) Lire graphiquement les valeurs pour lesquelles l’image par f est 2.

Exercice 5 : problème de carré et fonctions
a) L’ensemble de définition des fonctions A(x) et P(x) est \mathbb{R^%2B}, c’est-à-dire x\,\in\,%5B0%2C\,%2B\infty%5B.

b)

L’aire du carré de côté 6\,%2B\,x est donnée par :
A(x)\,=\,(6\,%2B\,x)^2.

Le périmètre du carré de côté 6\,%2B\,x est donné par :
P(x)\,=\,4\,\cdot\,(6\,%2B\,x).

c) Pour P(x)\,=\,51%2C84 :
51%2C84\,=\,4\,\cdot\,(6\,%2B\,x)
51%2C84\,=\,24\,%2B\,4x
4x\,=\,51%2C84\,-\,24
4x\,=\,27%2C84
x\,=\,\frac{27%2C84}{4}
x\,=\,6%2C96

d) Pour P(x)\,=\,32%2C8 :
32%2C8\,=\,4\,\cdot\,(6\,%2B\,x)
32%2C8\,=\,24\,%2B\,4x
4x\,=\,32%2C8\,-\,24
4x\,=\,8%2C8
x\,=\,\frac{8%2C8}{4}
x\,=\,2%2C2

Donc l’aire lorsque x\,=\,2%2C2 est :
A(2%2C2)\,=\,(6\,%2B\,2%2C2)^2
A(2%2C2)\,=\,8%2C2^2
A(2%2C2)\,=\,67%2C24\,\%2C\,cm^2

Exercice 6 : tableau de valeurs d’une fonction
Correction\,de\,l'exercice\,%3A

### a) Parmi les expressions ci-dessous, lesquelles peuvent convenir pour f(x) ?

\begin{array}{%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0Ax\,%26\,f(x)\,\\%0D%0A\hline%0D%0A-1\,%26\,-8\,\\%0D%0A0\,%26\,-1\,\\%0D%0A1\,%26\,0\,\\%0D%0A2\,%26\,1\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}

Vérifions chaque expression pour voir si elle correspond aux valeurs du tableau donné.

1. f(x)\,=\,x\,-\,1

f(-1)\,%26\,=\,-1\,-\,1\,=\,-2\,\quad\,(%E2%89%A0\,-8%2C\,donc\,ce\,n'est\,pas\,la\,bonne\,expression)\,\\%0D%0Af(0)\,%26\,=\,0\,-\,1\,=\,-1\,\\%0D%0Af(1)\,%26\,=\,1\,-\,1\,=\,0\,\\%0D%0Af(2)\,%26\,=\,2\,-\,1\,=\,1\,\\

2. f(x)\,=\,(x\,-\,1)^2

f(-1)\,%26\,=\,(-1\,-\,1)^2\,=\,(-2)^2\,=\,4\,\quad\,(%E2%89%A0\,-8%2C\,donc\,ce\,n'est\,pas\,la\,bonne\,expression)\,\\%0D%0Af(0)\,%26\,=\,(0\,-\,1)^2\,=\,(-1)^2\,=\,1\,\quad\,(%E2%89%A0\,-1%2C\,donc\,ce\,n'est\,pas\,la\,bonne\,expression)\,\\%0D%0Af(1)\,%26\,=\,(1\,-\,1)^2\,=\,0\,\\%0D%0Af(2)\,%26\,=\,(2\,-\,1)^2\,=\,1\,\\

3. f(x)\,=\,(x\,-\,1)^3

f(-1)\,%26\,=\,(-1\,-\,1)^3\,=\,(-2)^3\,=\,-8\,\\%0D%0Af(0)\,%26\,=\,(0\,-\,1)^3\,=\,(-1)^3\,=\,-1\,\\%0D%0Af(1)\,%26\,=\,(1\,-\,1)^3\,=\,0\,\\%0D%0Af(2)\,%26\,=\,(2\,-\,1)^3\,=\,1\,\\

Ainsi, la seule expression convenable qui correspond aux valeurs est f(x)\,=\,(x\,-\,1)^3.

### b) On sait de plus que f(-1)\,=\,-8. Des expressions précédentes, quelle est celle de f(x) ?

L’expression correcte est :

f(x)\,=\,(x\,-\,1)^3

### c) Quelle formule a été saisie dans la cellule B2 ?

La cellule B2 correspond à f(0).

En utilisant la formule trouvée dans la question précédente :

f(0)\,=\,(0\,-\,1)^3\,=\,-1

La formule saisie dans la cellule B2 est :

f(0)\,=\,(-1)^3\,=\,-1

Donc, la formule qui a été saisie dans la cellule B2 est -1.

Exercice 7 : représenter des intervalles
a) 3\,\leq\,\,x\,\leq\,\,7

b) -3\,\leq\,\,x\,%3C\,5

c) x\,%3C\,5

d) x\,\geq\,\,0

e) -2\,\leq\,\,x\,%3C\,1

f) x\,\leq\,\,-4

Pour traduire les intervalles par des inégalités :

a) x\,\in\,%5B-3\,%3B\,4%5D

-3\,\leq\,\,x\,\leq\,\,4

b) x\,\in\,%5D0\,%3B\,4%5D

0\,%3C\,x\,\leq\,\,4

c) x\,\in\,%5B1\,%3B\,100%5B

1\,\leq\,\,x\,%3C\,100

d) x\,\in\,%5D-\,\infty\,%3B\,10%5B

x\,%3C\,10

e) x\,\in\,%5B5\,%3B\,%2B\,\infty\,%5B

x\,\geq\,\,5

f) x\,\in\,%5D-\,\infty\,%3B\,0%5D

x\,\leq\,\,0

Exercice 8 : résoudre graphiquement les inéquations
a)\,\,f(x)\,\geq\,\,1

En observant la courbe, on remarque que f(x)\,\geq\,\,1 pour:
x\,\in\,%5B0%2C\,1%2F2%5D

b)\,\,f(x)\,>\,0

c)\,\,f(x)\,\leq\,\,-1

En observant la courbe, f(x)\,\leq\,\,-1 pour:
x\,\in\,%5B-4%2C\,-2%5D\,\cup\,%5B1%2C\,2%5D

Exercice 9 : réssoudre les inéquations graphiquement

[a)] Résolution de $f(x) \geq\, g(x)$
\begin{align*}
\text{On cherche les intervalles pour lesquels la courbe } c_f \text{ est au-dessus ou sur } c_g. \\
\text{En observant le graphique, on remarque que } f(x) = g(x) \text{ lorsque } x \in \{-3, 1\}. \\
\text{La courbe } c_f \text{ est au-dessus de } c_g \text{ pour les intervalles } [-3, -1] \text{ et } [1, 3].
\end{align*}
Solution: -3\,\leq\,\,x\,\leq\,\,-1\,\,ou\,\,1\,\leq\,\,x\,\leq\,\,3

[b)] Résolution de $f(x) > g(x)$
\begin{align*}
\text{On cherche les intervalles pour lesquels la courbe } c_f \text{ est au-dessus de } c_g. \\
\text{En observant le graphique, on remarque que } f(x) = g(x) \text{ lorsque } x \in \{-3, 1\}. \\
\text{La courbe } c_f \text{ est au-dessus de } c_g \text{ pour les intervalles } (-3, -1] \text{ et } (1, 3].
\end{align*}
Solution: -3\,%3C\,x\,%3C\,-1\,\,ou\,\,1\,%3C\,x\,%3C\,3

[c)] Résolution de $f(x) \leq\, g(x)$
\begin{align*}
\text{On cherche les intervalles pour lesquels la courbe } c_f \text{ est en-dessous ou sur } c_g. \\
\text{En observant le graphique, on remarque que } f(x) = g(x) \text{ lorsque } x \in \{-3, 1\}. \\
\text{La courbe } c_f \text{ est en-dessous de } c_g \text{ pour l’intervalle } [-1, 1] \text{ ou } [3, 3].
\end{align*}
Solution: -1\,\leq\,\,x\,\leq\,\,1\,\,ou\,\,x\,=\,3

Exercice 10 : problème sur les fonctions et inéquations
a) Montrer que pour tout x\,>\,0%E2%80%B3\,align=%C2%A0%C2%BBabsmiddle%C2%A0%C2%BB\,%2F>%2C\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255Cmathcal%257BA%257D%2528x%2529%2520%253C%2520%255Cmathcal%257BB%257D%2528x%2529%2520%253D%25202x%2520%252B%25201%22\,alt=%22\mathcal{A}(x)\,%3C\,\mathcal{B}(x)\,=\,2x\,%2B\,1.

Pour démontrer cela, nous allons calculer les aires respectives des deux figures géométriques.

1. Aire de ABCD:

ABCD est un carré de côté x.

\mathcal{A}(x)\,=\,x^2

2. Aire du polygone BCDGFE:

On remarque qu’il se compose du carré ABCD, auquel on a ajouté une bande de largeur 1 sur deux côtés adjacents. La nouvelle figure, AFEGBD, est alors un carré de côté x\,%2B\,1, mais nous devons soustraire l’aire du carré ADE de côté 1 que nous avons ajouté deux fois (en G et F).

\mathcal{B}(x)\,=\,(x\,%2B\,1)^2\,-\,1^2

Simplifions cette expression:

\mathcal{B}(x)\,=\,(x\,%2B\,1)^2\,-\,1\,=\,x^2\,%2B\,2x\,%2B\,1\,-\,1\,=\,x^2\,%2B\,2x

Ainsi, nous avons:

\mathcal{A}(x)\,=\,x^2\,\quad\,et\,\quad\,\mathcal{B}(x)\,=\,x^2\,%2B\,2x

Calculons la différence entre les deux:

\mathcal{B}(x)\,-\,\mathcal{A}(x)\,=\,(x^2\,%2B\,2x)\,-\,x^2\,=\,2x

Comme x\,>\,0

b) Affichons les courbes représentatives des fonctions \mathcal{A} et \mathcal{B}.

Pour x\,>\,0%E2%80%B3\,align=%C2%A0%C2%BBabsmiddle%C2%A0%C2%BB\,%2F>%2C\,les\,courbes\,de\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255Cmathcal%257BA%257D%2528x%2529%2520%253D%2520x%255E2%22\,alt=%22\mathcal{A}(x)\,=\,x^2 et \mathcal{B}(x)\,=\,2x\,%2B\,1 sont les suivantes:

(À chaque réponse, l’élève doit vérifier sur la calculatrice ou utiliser un outil de graphe en ligne pour dessiner les courbes respectives. La courbe de x^2 est une parabole qui passe par l’origine et la courbe de 2x\,%2B\,1 est une droite verticale.)

c) Vérification avec un logiciel de calcul formel :

Comme indiqué dans l’image avec l’utilisation d’un logiciel ou d’une calculatrice formelle nous obtenons: x^2\,=\,2x\,%2B\,1

x^2\,-\,2x\,-\,1\,=\,0

Résolvons pour x:

x\,=\,\frac{2\,\pm\,\sqrt{4\,%2B\,4}}{2}\,=\,\frac{2\,\pm\,\sqrt{8}}{2}\,=\,1\,\pm\,\sqrt{2}

Maintenant, nous avons deux solutions: x_1\,=\,1\,%2B\,\sqrt{2} et x_2\,=\,1\,-\,\sqrt{2}. Mais nous devons vérifier que x est positif x\,>\,0 ou x\,>\,1\,%2B\,\sqrt{2} est une solution négative et ne correspond pas à x\,>\,0

Exercice 11 : solutions des équations et fonctions
\begin{align*}
\text{a) } f(x) = 2 \\
\text{D’après la courbe, la fonction atteint la valeur 2 en } x = 0 \text{ et } x = 6. \\
\text{Donc, les solutions sont } x = 0 \text{ et } x = 6. \2ex%5D%0D%0A%0D%0Ab)\,\,%26\,f(x)\,=\,0\,\\%0D%0A%26\,D'apres\,la\,courbe%2C\,la\,fonction\,atteint\,la\,valeur\,0\,en\,\,x\,=\,1\,\,et\,\,x\,=\,3.\,\\%0D%0A%26\,Donc%2C\,les\,solutions\,sont\,\,x\,=\,1\,\,et\,\,x\,=\,3.\,\\%5B2ex%5D%0D%0A%0D%0Ac)\,\,%26\,f(x)\,=\,-1\,\\%0D%0A%26\,D'apres\,la\,courbe%2C\,la\,fonction\,ne\,prend\,jamais\,la\,valeur\,\,-1.\,\\%0D%0A%26\,Donc%2C\,il\,n'y\,a\,pas\,de\,solutions.\,\\%5B2ex%5D%0D%0A%0D%0Ad)\,\,%26\,f(x)\,=\,1\,\\%0D%0A%26\,D'apres\,la\,courbe%2C\,la\,fonction\,atteint\,la\,valeur\,1\,en\,\,x\,=\,2%2C\,x\,=\,4\,\,et\,\,x\,=\,7.\,\\%0D%0A%26\,Donc%2C\,les\,solutions\,sont\,\,x\,=\,2%2C\,x\,=\,4\,\,et\,\,x\,=\,7.%0D%0A\end{align%2A}%0D%0A%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-12%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,12\,%3A\,estimer\,les\,olutions\,des\,equations%3C%2Fspan>%0D%0Aa)\,\(\,g(x)\,=\,2\,\)%0D%0A%0D%0APour\,estimer\,les\,solutions\,de\,\(\,g(x)\,=\,2\,\)%2C\,nous\,devons\,trouver\,les\,points\,ou\,la\,courbe\,de\,\(\,g\,\)\,croise\,la\,ligne\,horizontale\,\(\,y\,=\,2\,\).\,D'apres\,le\,graphique%2C\,cela\,se\,produit\,aux\,points\,\(\,x\,\approx\,-4\,\)\,et\,\(\,x\,\approx\,3\,\).%0D%0A%0D%0ADonc%2C\,les\,solutions\,sont\,\(\,x\,\approx\,-4\,\)\,et\,\(\,x\,\approx\,3\,\).%0D%0A%0D%0Ab)\,\(\,g(x)\,=\,-3\,\)%0D%0A%0D%0APour\,\(\,g(x)\,=\,-3\,\)%2C\,nous\,devons\,trouver\,les\,points\,ou\,la\,courbe\,de\,\(\,g\,\)\,croise\,la\,ligne\,\(\,y\,=\,-3\,\).\,D'apres\,le\,graphique%2C\,il\,n'y\,a\,pas\,de\,telles\,intersections.%0D%0A%0D%0ADonc%2C\,il\,n'y\,a\,pas\,de\,solutions.%0D%0A%0D%0Ac)\,\(\,g(x)\,=\,4\,\)%0D%0A%0D%0APour\,\(\,g(x)\,=\,4\,\)%2C\,nous\,devons\,trouver\,les\,points\,ou\,la\,courbe\,de\,\(\,g\,\)\,croise\,la\,ligne\,\(\,y\,=\,4\,\).\,D'apres\,le\,graphique%2C\,cela\,se\,produit\,au\,point\,\(\,x\,\approx\,2\,\).%0D%0A%0D%0ADonc%2C\,la\,solution\,est\,\(\,x\,\approx\,2\,\).%0D%0A%0D%0Ad)\,\(\,g(x)\,=\,-1\,\)%0D%0A%0D%0APour\,\(\,g(x)\,=\,-1\,\)%2C\,nous\,devons\,trouver\,les\,points\,ou\,la\,courbe\,de\,\(\,g\,\)\,croise\,la\,ligne\,\(\,y\,=\,-1\,\).\,D'apres\,le\,graphique%2C\,cela\,se\,produit\,aux\,points\,\(\,x\,\approx\,-2.5\,\)\,et\,\(\,x\,\approx\,0.5\,\).%0D%0A%0D%0ADonc%2C\,les\,solutions\,sont\,\(\,x\,\approx\,-2.5\,\)\,et\,\(\,x\,\approx\,0.5\,\).%0D%0A%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-13%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,13\,%3A\,courbe\,et\,equations\,d'une\,fonction%3C%2Fspan>%0D%0Aa)\,\(\,k(x)\,=\,1\,\)%0D%0A%0D%0ALes\,points\,d'intersection\,de\,la\,courbe\,avec\,la\,droite\,\(\,y\,=\,1\,\)\,sont\,\(\,x\,=\,-1\,\)\,et\,\(\,x\,=\,1\,\).%0D%0A%0D%0Ab)\,\(\,k(x)\,=\,0\,\)%0D%0A%0D%0ALes\,points\,d'intersection\,de\,la\,courbe\,avec\,l'axe\,des\,abscisses\,(droite\,\(\,y\,=\,0\,\))\,sont\,approximativement\,\(\,x\,=\,-2.5\,\)%2C\,\(\,x\,=\,0\,\)\,et\,\(\,x\,=\,2\,\).%0D%0A%0D%0Ac)\,\(\,k(x)\,\geq\,\,-1\,\)%0D%0A%0D%0ALa\,courbe\,est\,au-dessus\,de\,la\,droite\,\(\,y\,=\,-1\,\)\,sur\,les\,intervalles\,\(%5B-3%2C\,4%5D\,\).%0D%0A%0D%0Ad)\,\(\,k(x)\,%3C\,0\,\)%0D%0A%0D%0ALa\,courbe\,est\,en\,dessous\,de\,l'axe\,des\,abscisses\,(droite\,\(\,y\,=\,0\,\))\,sur\,les\,intervalles\,\(%5B-3%2C\,-2.5)\,\cup\,(2%2C\,4%5D\,\).%0D%0A%0D%0Ae)\,\(\,k(x)\,\geq\,\,-2\,\)%0D%0A%0D%0ALa\,fonction\,\(\,k(x)\,\)\,est\,toujours\,superieure\,ou\,egale\,a\,\(-2\)\,sur\,l'intervalle\,donne\,\(%5B-3%2C\,4%5D\)\,car\,la\,courbe\,reste\,au-dessus\,de\,la\,droite\,\(\,y\,=\,-2\,\)\,sur\,tout\,cet\,intervalle.%0D%0A%0D%0Af)\,\(\,k(x)\,\geq\,\,2\,\)%0D%0A%0D%0ALes\,points\,ou\,la\,courbe\,de\,la\,fonction\,atteint\,ou\,depasse\,\(\,y\,=\,2\,\)\,sont\,\(\,x\,=\,-3\,\)\,et\,entre\,\(\,x\,\approx\,3.7\,\)\,et\,\(\,x\,\approx\,4\,\).%0D%0A%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-14%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,14\,%3A\,solutions\,des\,inequations%3C%2Fspan>%0D%0A\%5B\,a)\,\,h(x)\,\geq\,\,0Exercice 12 : estimer les olutions des equations
a) g(x)\,=\,2

Pour estimer les solutions de g(x)\,=\,2, nous devons trouver les points ou la courbe de g croise la ligne horizontale y\,=\,2. D’apres le graphique, cela se produit aux points x\,\approx\,-4 et x\,\approx\,3.

Donc, les solutions sont x\,\approx\,-4 et x\,\approx\,3.

b) g(x)\,=\,-3

Pour g(x)\,=\,-3, nous devons trouver les points ou la courbe de g croise la ligne y\,=\,-3. D’apres le graphique, il n’y a pas de telles intersections.

Donc, il n’y a pas de solutions.

c) g(x)\,=\,4

Pour g(x)\,=\,4, nous devons trouver les points ou la courbe de g croise la ligne y\,=\,4. D’apres le graphique, cela se produit au point x\,\approx\,2.

Donc, la solution est x\,\approx\,2.

d) g(x)\,=\,-1

Pour g(x)\,=\,-1, nous devons trouver les points ou la courbe de g croise la ligne y\,=\,-1. D’apres le graphique, cela se produit aux points x\,\approx\,-2.5 et x\,\approx\,0.5.

Donc, les solutions sont x\,\approx\,-2.5 et x\,\approx\,0.5.

Exercice 13 : courbe et equations d’une fonction
a) k(x)\,=\,1

Les points d’intersection de la courbe avec la droite y\,=\,1 sont x\,=\,-1 et x\,=\,1.

b) k(x)\,=\,0

Les points d’intersection de la courbe avec l’axe des abscisses (droite y\,=\,0) sont approximativement x\,=\,-2.5, x\,=\,0 et x\,=\,2.

c) k(x)\,\geq\,\,-1

La courbe est au-dessus de la droite y\,=\,-1 sur les intervalles %5B-3%2C\,4%5D.

d) k(x)\,%3C\,0

La courbe est en dessous de l’axe des abscisses (droite y\,=\,0) sur les intervalles %5B-3%2C\,-2.5)\,\cup\,(2%2C\,4%5D.

e) k(x)\,\geq\,\,-2

La fonction k(x) est toujours superieure ou egale a -2 sur l’intervalle donne %5B-3%2C\,4%5D car la courbe reste au-dessus de la droite y\,=\,-2 sur tout cet intervalle.

f) k(x)\,\geq\,\,2

Les points ou la courbe de la fonction atteint ou depasse y\,=\,2 sont x\,=\,-3 et entre x\,\approx\,3.7 et x\,\approx\,4.

Exercice 14 : solutions des inequations
\[ a) h(x) \geq\, 0″ align= »absmiddle » />
La fonction h(x) est positive ou nulle pour x\,\in\,%5B-5%2C\,-4%5D\,\cup\,%5B-3%2C\,1%5D\,\cup\,%5B3%2C\,4%5D.

b)\,\,h(x)\,%3C\,-4
La fonction h(x) n’atteint jamais une valeur inférieure à -4 sur l’intervalle %5B-5%2C\,5%5D. Par conséquent, il n’y a pas de solutions pour cette inéquation.

c)\,\,h(x)\,%3C\,-2
La fonction h(x) est inférieure à -2 pour x\,\in\,%5B-5%2C\,-4.5%5D.

d)\,\,h(x)\,>\,2 dépasse 2 pour x\,\in\,%5B1%2C\,1.8%5D\,\cup\,%5B2.2%2C\,3%5D.

Exercice 15 : résoudre graphiquement des équations et des inéquations
a) g(x)\,=\,f(x)

Les deux courbes se croisent en x\,=\,-1.

b) g(x)\,\leq\,\,f(x)

La courbe g(x) est sous ou égale à la courbe f(x) sur les intervalles:
%5B-2%2C\,-1%5D\,\cup\,%5B2%2C\,3%5D

c) f(x)\,%3C\,-3

La courbe f(x) est en dessous de -3 sur l’intervalle:
%5B\,-1%2C\,\frac{1}{2}\,%5D

d) g(x)\,%3C\,2

La courbe g(x) est en dessous de 2 pour:
x\,\in\,%5B-2%2C\,2%5B

e) f(x)\,\geq\,\,-2

La courbe f(x) est au-dessus ou égale à -2 sur l’intervalle:
%5B0%2C\,3%5D

Exercice 16 : résolution graphique d’équations et inéquations

[a)] f(x)\,=\,8
\begin{align*}
\text{La courbe } \mathcal{C}_f \text{ atteint la valeur } y = 8 \text{ pour } x = -4 \text{ et } x = 3. \\
\boxed{x = -4 \; \text{ou} \; x = 3}
\end{align*}

[b)] f(x)\,%3C\,0
\begin{align*}
\text{La courbe } \mathcal{C}_f \text{ est sous l’axe des abscisses pour } -4 < x < -3 \text{ et } 2 < x < 3. \\
\boxed{-4 < x < -3 \; \text{ou} \; 2 < x < 3}
\end{align*}

[c)] f(x)\,=\,g(x)
\begin{align*}
\text{Les courbes } \mathcal{C}_f \text{ et } \mathcal{C}_g \text{ se croisent en deux points. Ces points correspondent à } x = -1 \text{ et } x = 2. \\
\boxed{x = -1 \; \text{ou} \; x = 2}
\end{align*}

[d)] f(x)\,\leq\,\,g(x)
\begin{align*}
\text{La courbe } \mathcal{C}_f \text{ est sous la courbe } \mathcal{C}_g \text{ entre } x = -4 \text{ et } x = 3 \text{ sauf sur l’intervalle } -1 < x < 2, \\
\text{où elles se croisent.}\\
\boxed{x \in [-4, -1] \cup [2, 3]}
\end{align*}

Exercice 17 : fonctions paires ou impaires
a) La fonction représentée par cette courbe est paire. En effet, elle est symétrique par rapport à l’axe y.

b) La fonction représentée par cette courbe est impaire. En effet, elle est symétrique par rapport à l’origine.

c) La fonction représentée par cette courbe n’est ni paire ni impaire. Elle n’a pas de symétrie particulière ni par rapport à l’axe y ni par rapport à l’origine.

d) La fonction représentée par cette courbe est impaire. En effet, elle est symétrique par rapport à l’origine.

Exercice 18 : concentration d’un médicament
1. La concentration du médicament après 2 heures est d’environ 0,9 mg/L, donc la bonne réponse est :
d

2. L’intervalle de temps où la concentration est au plus égale à 1 mg/L est donné par l’inéquation C(t)\,\leq\,\,1, donc la bonne réponse est :
d

3. La concentration dans le sang est de 0,5 mg/L après environ 0,667 heures, donc la bonne réponse est :
c

4. La période d’efficacité est l’intervalle de temps où la concentration dépasse 0,75 mg/L, soit entre 0,75 heures et 2,2 heures, donc la bonne réponse est :
d

5. Le médicament atteint sa concentration maximale après environ 1 heure, donc la bonne réponse est :
a

6. La concentration maximale atteinte est d’environ 1,5 mg/L, donc la bonne réponse est :
c

Exercice 19 : propriétés d’une fonction
La fonction f a les propriétés suivantes :
– Elle est définie sur %5B0%2C\,8%5D.
– L’équation f(x)\,=\,3 a deux solutions : x\,=\,1 et x\,=\,3.
– L’image de 0 est 1, soit f(0)\,=\,1.
– L’inéquation f(x)\,\leq\,\,0 a pour ensemble de solution %5B5%2C\,7%5D.

Considérons une possible fonction f(x) qui respecte ces conditions. Une telle fonction pourrait être définie par morceaux pour satisfaire les propriétés données.

Posons une fonction f qui augmente jusqu’à atteindre 3 en x\,=\,1, puis redescend à nouveau aussi à 3 en x\,=\,3, ensuite décroît pour devenir négative entre 5 et 7.

Une telle fonction pourrait ressembler à :
f(x)\,=%0D%0A\begin{cases}%0D%0A1\,%2B\,2x\,%26\,pour\,\,0\,\leq\,\,x\,\leq\,\,1\,\\%0D%0A4\,-\,x\,%26\,pour\,\,1\,%3C\,x\,\leq\,\,3\,\\%0D%0A-\,(x\,-\,6)^2\,%2B\,1\,%26\,pour\,\,3\,%3C\,x\,\leq\,\,8%0D%0A\end{cases}

Vérifions que cette fonction satisfait les conditions :
– Sur %5B0%2C\,1%5D, f(x)\,=\,1\,%2B\,2x, donc f(0)\,=\,1 et f(1)\,=\,3.
– Sur (1%2C\,3%5D, f(x)\,=\,4\,-\,x, donc f(3)\,=\,1 et f(5) reste à définir par la troisième pièce.
– Pour x\,\in\,%5B5%2C\,7%5D, nous vérifions que f(x)\,\leq\,\,0.

Pour la dernière période de la fonction définie par -\,(x\,-\,6)^2\,%2B\,1, en x\,=\,5 et x\,=\,7, nous avons f(x)\,\leq\,\,0:
f(5)\,=\,-(5\,-\,6)^2\,%2B\,1\,=\,0
f(7)\,=\,-(7\,-\,6)^2\,%2B\,1\,=\,0

Donc, la fonction f définie par morceaux satisfait toutes les conditions fournies par l’exercice.

Pour le graphe de cette fonction :
1. Commencez en (0%2C\,1).
2. Augmentez linéairement jusqu’à (1%2C\,3).
3. Descendez linéairement jusqu’à (3%2C\,1).
4. La courbe ensuite descendra et traverse la partie négative entre %5B5%2C\,7%5D.

Cette description verbale peut être utilisée pour tracer la courbe sur un repère graphique.

Exercice 20 : trouver les coordonnées et courbes
1. Trouver les coordonnées du ou des points d’intersection des courbes d’équations y\,=\,2x^2\,%2B\,2x\,%2B\,6 et y\,=\,2x^2\,-\,3x\,%2B\,7.

Nous égalisons les deux équations :

2x^2\,%2B\,2x\,%2B\,6\,=\,2x^2\,-\,3x\,%2B\,7

Ensuite, nous simplifions l’équation :

2x\,%2B\,6\,=\,-3x\,%2B\,7
5x\,=\,1
x\,=\,\frac{1}{5}

Nous substituons x\,=\,\frac{1}{5} dans l’une des équations originales pour trouver y :

y\,=\,2\,(\frac{1}{5})^2\,%2B\,2\,(\frac{1}{5})\,%2B\,6
=\,2\,(\frac{1}{25})\,%2B\,\frac{2}{5}\,%2B\,6
=\,\frac{2}{25}\,%2B\,\frac{10}{25}\,%2B\,\frac{150}{25}
=\,\frac{162}{25}
=\,6.48

Donc les points d’intersection sont (\,\frac{1}{5}%2C\,6.48\,).

2. Même question pour les courbes d’équations y\,=\,\frac{1}{x} et y\,=\,\frac{2\,%2B\,3x}{x}.

Nous égalisons les deux équations :

\frac{1}{x}\,=\,\frac{2\,%2B\,3x}{x}

Simplifions l’équation :

1\,=\,2\,%2B\,3x
3x\,=\,-1
x\,=\,-\frac{1}{3}

Nous substituons x\,=\,-\frac{1}{3} dans l’une des équations originales pour trouver y :

y\,=\,\frac{1}{-\frac{1}{3}}\,=\,-3

Donc les points d’intersection sont (\,-\frac{1}{3}%2C\,-3\,).

[/expander_maker]

Voir Corrigés 21 à 30 ...
Voir Corrigés 31 à 36 ...

Réviser les cours et exercices de maths avec nos Q.C.M :


D'autres outils pour progresser en autonomie :



Nombre de fichiers PDF téléchargés.  Maths PDF c'est 12 971 004 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 4 250 exercices.

Maths PDF

GRATUIT
VOIR