Probabilités : corrigé des exercices de maths en 2de.

Exercice 11 : dessiner l’arbre des possibles pondérés
a) L’arbre des possibles pondéré par les probabilités :

\[
\begin{array}{c}
\text{Seconde A} \\
\begin{array}{r}
\text{Filles} \; (16/30 = 8/15) \\
\text{Garçons} \; (14/30 = 7/15) \\
\end{array}
\quad
\{
\begin{array}{c}
\text{Seconde B} \\
\begin{array}{r}
\text{Filles} \; (14/28 = 1/2) \\
\text{Garçons} \; (14/28 = 1/2) \\
\end{array}
\quad
\begin{array}{r}
\text{Seconde B} \\
\begin{array}{r}
\text{Filles} \; (14/28 = 1/2) \\
\text{Garçons} \; (14/28 = 1/2) \\
\end{array}
\end{array}
\end{array}
.
\end{array}
\]

b) Probabilité d’avoir choisi deux filles :

La probabilité de choisir une fille en seconde A puis une fille en seconde B est :

\[
P(\text{Fille en A et Fille en B}) = P(\text{Fille en A}) \times P(\text{Fille en B | Fille en A})
\]

Les probabilités calculées sont :
\[
P(\text{Fille en A}) = \frac{16}{30} = \frac{8}{15}
\]
\[
P(\text{Fille en B | Fille en A}) = \frac{14}{28} = \frac{1}{2}
\]

Ainsi, la probabilité de choisir deux filles est :
\[
P(\text{Fille en A et Fille en B}) = \frac{8}{15} \times \frac{1}{2} = \frac{8}{30} = \frac{4}{15}
\]

La probabilité d’avoir choisi deux filles est donc \(\frac{4}{15}\).

Exercice 12 : probabilité de tirer des jetons au hasard
a) Pour dessiner l’arbre des possibles pondéré par les probabilités, considérons les événements suivants:

– Vert (V) : probabilité \( P(V) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
– Rouge (R) : probabilité \( P(R) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)
– Jaune (J) : probabilité \( P(J) = \frac{1}{6} \)

Voici l’arbre des possibles :

\[
\begin{array}{c}
\text{Premier jet} \\
\end{array}
\begin{array}{rcccc}
P(V) = \frac{1}{2} P(R) = \frac{1}{3} P(J) = \frac{1}{6} \\
\text{1} \longrightarrow V \longrightarrow R \longrightarrow J \\
\downarrow \downarrow \downarrow \\
\text{Deuxième jet} P(V) = \frac{1}{2} P(R) = \frac{1}{3} P(J) = \frac{1}{6} P(V) = \frac{1}{2} P(R) = \frac{1}{3} P(J) = \frac{1}{6} P(V) = \frac{1}{2} P(R) = \frac{1}{3} P(J) = \frac{1}{6} \\
\text{1} \longrightarrow V \longrightarrow R \longrightarrow J \longrightarrow V \longrightarrow R \longrightarrow J \longrightarrow V \longrightarrow R \longrightarrow J \\
\end{array}
\]

Les branches de l’arbre montrent les probabilités pour chaque tirage successif, le premier suivi par le deuxième, notant chaque couleur tirée.

b) Pour trouver la probabilité de tirer deux jetons rouges, nous devons considérer les probabilités cumulées sur deux tirages.

– Tirer un jeton rouge lors du premier tirage : \( P(R) = \frac{1}{3} \)
– Tirer un jeton rouge aussi lors du deuxième tirage, sachant que le jeton a été remis dans le sac : \( P(R) = \frac{1}{3} \)

Ainsi, la probabilité de tirer deux jetons rouges consécutivement est :

\[
P(R \text{ ensuite } R) = P(R) \times P(R) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}
\]

Exercice 13 : algorithme avec expérience aléatoire
Pour déterminer les issues de cette expérience aléatoire et leurs probabilités, on peut suivre les étapes suivantes :

1. \[\]Détermination des issues :\[\]

L’algorithme décrit consiste à affecter à \( d \) un nombre entier aléatoire compris entre 1 et 6, puis à afficher ce nombre. Les valeurs possibles pour \( d \) sont donc \( 1, 2, 3, 4, 5 \) et \( 6 \). On considère chacune de ces valeurs comme une issue de l’expérience aléatoire.

Les issues sont donc : \( \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \).

2. \[\]Calcul des probabilités :\[\]

Puisque le nombre entier \( d \) est attribué de manière aléatoire avec une probabilité égale pour chaque valeur entre 1 et 6, on utilise une distribution uniforme.

La probabilité de chaque issue est donnée par la formule :
\[ P(d = k) = \frac{1}{N} \]
où \( N \) est le nombre total d’issues possibles (ici \( N = 6 \)).

Ainsi, pour chaque \( k \) dans \( \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \), on a :
\[ P(d = k) = \frac{1}{6} \]

En résumé :

– \( P(d = 1) = \frac{1}{6} \)
– \( P(d = 2) = \frac{1}{6} \)
– \( P(d = 3) = \frac{1}{6} \)
– \( P(d = 4) = \frac{1}{6} \)
– \( P(d = 5) = \frac{1}{6} \)
– \( P(d = 6) = \frac{1}{6} \)

Chacune des valeurs possibles pour \( d \) a une probabilité de \( \frac{1}{6} \).

Exercice 14 : algorithme qui consiste à lire l’affichage en sortie
{Correction de l’exercice:}

Soit \( d \) un nombre entier naturel aléatoire compris entre 0 et 20, tiré uniformément. On veut déterminer les issues et leurs probabilités selon l’affichage « Gagné » ou « Perdu » de l’algorithme.

Les nombres pour lesquels \( \frac{d}{3} \) est un nombre entier sont les multiples de 3 compris entre 0 et 20. Ces nombres sont :
\[ 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18 \]
Il y a donc 7 valeurs possibles pour \( d \) qui donnent « Gagné ».

Le nombre total de valeurs possibles pour \( d \) est 21 (de 0 à 20 inclus).

La probabilité de « Gagné » est donc :
\[ P(\text{Gagné}) = \frac{\text{Nombre de cas favorables}}{\text{Nombre total de cas}} = \frac{7}{21} = \frac{1}{3} \]

Pour « Perdu », les valeurs de \( d \) qui ne sont pas multiples de 3 sont:
\[ 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20 \]
Il y a donc 14 valeurs possibles pour \( d \) qui donnent « Perdu ».

La probabilité de « Perdu » est donc :
\[ P(\text{Perdu}) = \frac{\text{Nombre de cas favorables}}{\text{Nombre total de cas}} = \frac{14}{21} = \frac{2}{3} \]

Les issues de cette expérience aléatoire sont donc « Gagné » et « Perdu », avec leurs probabilités respectives :
\[ P(\text{Gagné}) = \frac{1}{3} \]
\[ P(\text{Perdu}) = \frac{2}{3} \]

Exercice 15 : patrons de dés équilibrés et issues possibles
Pour le dé n°1 :
Les issues possibles sont : \(1, 2, 3, 4, 5, 6\).
Les probabilités pour chaque issue sont égales car le dé est équilibré :
\[
P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = \frac{1}{6}
\]

Pour le dé n°2 :
Les issues possibles sont : \(1, 2, 3\).
Les probabilités pour chaque issue sont égales car le dé est équilibré :
\[
P(1) = P(2) = P(3) = \frac{1}{3}
\]

Pour le dé n°3 :
Les issues possibles sont : \(2, 4, 5\).
Les probabilités pour chaque issue sont égales car le dé est équilibré :
\[
P(2) = P(4) = P(5) = \frac{1}{3}
\]

Exercice 16 : faire tourner une roue et équirépartition
\[\]Correction de l’exercice de mathématiques :\[\]

Pour l’exercice donné, les roues sont numérotées de \(1\) à \(3\) pour la roue rouge et de \(0\) à \(2\) pour la roue verte. L’objectif est de trouver quelle distribution de probabilité correspond le mieux aux résultats obtenus expérimentalement.

### Partie a)

#### Table des Fréquences Observées :
| Somme | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Total |
|——-|—–|—–|—–|—–|—–|——-|
| Fréquence | 0.118 | 0.228 | 0.326 | 0.222 | 0.106 | 1 |

Nous avons comme résultats expérimentaux :

\[
\begin{array}{c|cccccc}
\text{Somme} 1 2 3 4 5 \text{Total}\\
\hline
\text{Fréquence} 0.118 0.228 0.326 0.222 0.106 1
\end{array}
\]

Comparons les fréquences obtenues aux modèles théoriques.

#### Modèle 1 : Équipartition sur \(E = \{0, 1, 2, 3\}\)

Ce modèle n’inclut pas les résultats 4 et 5 donc il ne correspond pas aux données obtenues.

#### Modèle 2 : Équipartition sur \(E = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}\)

Pour ce modèle, on suppose que les éléments \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\) sont équiprobables.

\[
P(\text{X} = \text{k}) = \frac{1}{6} \text{ pour tous k}
\]

Cela signifie que chaque somme a une probabilité de \( \frac{1}{6} \approx 0.167 \), ce qui ne correspond pas non plus aux fréquences expérimentales.

#### Modèle 3 :

| Issue | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|————-|:–:|:–:|:–:|:–:|:–:|
| Probabilité | \(\frac{1}{9}\) | \(\frac{2}{9}\) | \(\frac{3}{9}\) | \(\frac{2}{9}\) | \(\frac{1}{9}\) |

Les probabilités de ce modèle sont beaucoup plus similaires aux fréquences observées. Les calculs montrent :

\[
\begin{array}{c|ccccc}
\text{Somme} 1 2 3 4 5 \\
\hline
\text{Probabilité} \frac{1}{9} \approx 0.111 \frac{2}{9} \approx 0.222 \frac{3}{9} \approx 0.333 \frac{2}{9} \approx 0.222 \frac{1}{9} \approx 0.111
\end{array}
\]

Ces probabilités sont proches des fréquences expérimentales.

\[\]Conclusion pour a) :\[\]
Le modèle 3 est celui qui représente le mieux les données expérimentales.

### Partie b)

Calculons la somme de chaque combinaison possible :

| | 0 | 1 | 2 |
|———-|—|—|—|
| \[\]1\[\] | 1 | 2 | 3 |
| \[\]2\[\] | 2 | 3 | 4 |
| \[\]3\[\] | 3 | 4 | 5 |

Ensuite, nous déterminons la fréquence de chaque somme de la probabilité des combinaisons :

\[
\begin{array}{c|cccccc}
\text{Somme} 1 2 3 4 5 \\
\hline
\text{Fréquence} \frac{1}{9} \frac{2}{9} \frac{3}{9} \frac{2}{9} \frac{1}{9}
\end{array}
\]

\[\]Tableau complété pour partie b) :\[\]

| Somme | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|——-|—–|—–|—–|—–|—–|
| Fréquence | 0.111 | 0.222 | 0.333 | 0.222 | 0.111 |

Ce tableau confirme que le \[\]modèle 3\[\] est le plus adapté.

\[
\boxed{\text{Modèle 3 est le mieux adapté.}}
\]

Exercice 17 : une roue équilibrée et lancer d’un dé trétraédrique
a) Voici l’arbre des possibles complété :

\[
\begin{array}{l}
\text{Roue} \quad \text{Dé} \\
A \to 1 \\
\to 2 \\
\to 3 \\
\to 4 \\
B \to 1 \\
\to 2 \\
\to 3 \\
\to 4 \\
C \to 1 \\
\to 2 \\
\to 3 \\
\to 4
\end{array}
\]

b) L’ensemble des issues de cette expérience aléatoire, noté \( \Omega \), est composé des couples obtenus en associant une lettre (A, B, C) et un numéro (1 à 4) :

\[
\Omega = \{ (A1), (A2), (A3), (A4), (B1), (B2), (B3), (B4), (C1), (C2), (C3), (C4) \}
\]

Chaque éventualité est donc notée ainsi : (lettre, chiffre).

Pour déterminer les probabilités :

La roue a 3 secteurs identiques, donc la probabilité de chaque lettre est \( \frac{1}{3} \).

Le tétraèdre a 4 faces, donc la probabilité de chaque chiffre est \( \frac{1}{4} \).

Les événements étant indépendants, la probabilité de chacune des 12 issues est le produit des probabilités individuelles :

\[
P((A1)) = P(A) \times P(1) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{12}
\]

Ainsi, chaque issue a la même probabilité, à savoir \( \frac{1}{12} \).

\[
P((A2)) = P((A3)) = P((A4)) = P((B1)) = P((B2)) = P((B3)) = P((B4)) = P((C1)) = P((C2)) = P((C3)) = P((C4)) = \frac{1}{12}
\]

Exercice 18 : ballon d’or et probabilités
Soit \[ \Omega \] l’ensemble des noms donnés :

\[\]
\Omega = \{ \text{Cruyff, Beckenbauer, Platini, Weah, Zidane, Figo, Ronaldinho, Cannavaro, Messi, Ronaldo} \}
\[\]

Nous allons déterminer les événements \[A\] et \[B\] et calculer leurs probabilités.

\[\]Événement \[A\] : « Le nom prélevé comporte moins de 6 lettres »\[\]

Les noms dans \[\Omega\] ayant moins de 6 lettres sont :

\[\]
\text{Cruyff, Weah, Zidane, Figo, Messi}
\[\]

Soit :

\[\]
A = \{ \text{Cruyff, Weah, Zidane, Figo, Messi} \}
\[\]

Le nombre de noms dans \[A\] est \[ |A| = 5 \]. La probabilité de \[A\] est donc :

\[\]
P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{5}{10} = 0{,}5
\[\]

\[\]Événement \[B\] : « Le nom prélevé ne comporte pas la lettre a »\[\]

Les noms dans \[\Omega\] ne comportant pas la lettre « a » sont :

\[\]
\text{Cruyff, Platini, Zidane, Figo, Messi}
\[\]

Soit :

\[\]
B = \{ \text{Cruyff, Platini, Zidane, Figo, Messi} \}
\[\]

Le nombre de noms dans \[B\] est \[ |B| = 5 \]. La probabilité de \[B\] est donc :

\[\]
P(B) = \frac{|B|}{|\Omega|} = \frac{5}{10} = 0{,}5
\[\]

En conclusion, les événements et leurs probabilités sont :

– Événement \[A\] : « Le nom prélevé comporte moins de 6 lettres »
Issues : {Cruyff, Weah, Zidane, Figo, Messi}
Probabilité : \[0{,}5\]

– Événement \[B\] : « Le nom prélevé ne comporte pas la lettre a »
Issues : {Cruyff, Platini, Zidane, Figo, Messi}
Probabilité : \[0{,}5\]

Exercice 19 : pales d’une éolienne et arbre des possibles
Correction de l’exercice de mathématiques :

### a) Reproduction et complétion de l’arbre des possibles :

L’arbre complété est le suivant :
\[
\begin{array}{c}
1\text{ère éolienne} \quad 2\text{e éolienne} \\
\begin{array}{l}
A \to A \\
A \to B \\
A \to C \\
B \to A \\
B \to B \\
B \to C \\
C \to A \\
C \to B \\
C \to C \\
\end{array}
\end{array}
\]

### b) Utilisation de l’arbre pour obtenir l’ensemble \( E \) de toutes les issues :

L’ensemble des issues est :
\[
E = \{(A, A), (A, B), (A, C), (B, A), (B, B), (B, C), (C, A), (C, B), (C, C)\}
\]

Chaque éolienne peut prendre trois positions différentes (A, B, C). Ainsi, il y a \( 3 \times 3 = 9 \) issues possibles.

### c) Calcul des probabilités des événements :

\[\]Événement \( M \) : « Les éoliennes s’arrêtent sur la même lettre »\[\]

On dénombre les issues où les éoliennes s’arrêtent sur la même lettre :
\[
M = \{(A, A), (B, B), (C, C)\}
\]

Il y a donc 3 issues favorables sur 9 :
\[
P(M) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}
\]

\[\]Événement \( N \) : « Les éoliennes s’arrêtent sur une consonne »\[\]

Les consonnes parmi \( A, B, C \) sont \( B \) et \( C \). On dénombre les issues où les éoliennes s’arrêtent sur les lettres \( B \) ou \( C \) :
\[
N = \{(B, B), (B, C), (B, A), (C, C), (C, A), (C, B)\}
\]

Il y a donc 6 issues favorables sur 9 :
\[
P(N) = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}
\]

Exercice 20 : la répartition des adhérents d’un club de volley-ball
Soit la probabilité \(P(A)\) de l’événement \(A\). On rappelle que la probabilité d’un événement est donnée par

\[
P(A) = \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}.
\]

Dans ce cas, le nombre total de cas possibles est 100.

### a) Une femme

Le nombre total de femmes est de 43.

\[
P(\text{femme}) = \frac{43}{100} = 0.43
\]

### b) Un jeune

Le nombre total de jeunes est de 41.

\[
P(\text{jeune}) = \frac{41}{100} = 0.41
\]

### c) Un homme jeune

Le nombre total d’hommes jeunes est de 27.

\[
P(\text{homme jeune}) = \frac{27}{100} = 0.27
\]

### d) Un homme ou un jeune

Pour calculer cette probabilité, on utilise la formule de l’union des événements :

\[
P(\text{homme} \cup \text{jeune}) = P(\text{homme}) + P(\text{jeune}) – P(\text{homme et jeune})
\]

Le nombre total d’hommes est 57 et le nombre total de jeunes est 41. Le nombre d’hommes jeunes est 27.

\[
P(\text{homme}) = \frac{57}{100} = 0.57
\]
\[
P(\text{jeune}) = \frac{41}{100} = 0.41
\]
\[
P(\text{homme et jeune}) = \frac{27}{100} = 0.27
\]

Ainsi,

\[
P(\text{homme} \cup \text{jeune}) = 0.57 + 0.41 – 0.27 = 0.71
\]

### e) Ni un homme ni un jeune

Pour trouver cette probabilité, nous pouvons utiliser la complémentarité de l’événement :

\[
P(\neg(\text{homme} \cup \text{jeune})) = 1 – P(\text{homme} \cup \text{jeune})
\]

Comme calculé précédemment,

\[
P(\text{homme} \cup \text{jeune}) = 0.71
\]

Donc,

\[
P(\neg(\text{homme} \cup \text{jeune})) = 1 – 0.71 = 0.29
\]

Exercice 21 : une boule dans une urne et probabilités
1. Lorsqu’on s’intéresse à la couleur de la boule, l’univers associé à cette expérience aléatoire est l’ensemble des couleurs présentes dans l’urne.

Soit \( U \) l’ensemble des couleurs des boules :

\[ U = \{\text{rouge}, \text{bleu}, \text{vert}\} \]

2. Lorsqu’on s’intéresse au nombre inscrit sur la boule, l’univers associé à cette expérience aléatoire est l’ensemble des nombres inscrits sur les boules.

Soit \( V \) l’ensemble des nombres inscrits sur les boules :

\[ V = \{1, 2, 4\} \]

Exercice 22 : une carte piochée au hasard

Calculer \( \mathbb{P}(F) \).

Dans un jeu de 32 cartes, il y a 12 figures (Roi, Dame et Valet dans chaque couleur) :
\[
\mathbb{P}(F) = \frac{12}{32} = \frac{3}{8}
\]

Calculer \( \mathbb{P}(F \cap T) \).

Il y a 3 figures parmi les trèfles (Roi de trèfle, Dame de trèfle et Valet de trèfle) :
\[
\mathbb{P}(F \cap T) = \frac{3}{32}
\]

En déduire \( \mathbb{P}(F \cup T) \).

En utilisant la formule de probabilité des unions :
\[
\mathbb{P}(F \cup T) = \mathbb{P}(F) + \mathbb{P}(T) – \mathbb{P}(F \cap T)
\]

Sachant qu’il y a 8 trèfles sur les 32 cartes :
\[
\mathbb{P}(T) = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}
\]

Donc :
\[
\mathbb{P}(F \cup T) = \frac{3}{8} + \frac{1}{4} – \frac{3}{32}
\]

Convertissons en dénominateur commun (32) :
\[
\mathbb{P}(F \cup T) = \frac{12}{32} + \frac{8}{32} – \frac{3}{32} = \frac{17}{32}
\]

Exercice 23 : un jeu de dominos
La correction de l’exercice est la suivante :

1. Quelle est la probabilité d’obtenir un double ?

Le jeu de domino montré contient toutes les combinaisons possibles de dominos dont les valeurs vont de 0 à 6. Il y a donc \( \frac{(6+1)(6+2)}{2} = 28 \) dominos au total.

Un double est un domino où les deux moitiés ont la même valeur. Les doubles présents dans ce jeu sont :

\[
\begin{array}{c}
(0|0), \\
(1|1), \\
(2|2), \\
(3|3), \\
(4|4), \\
(5|5), \\
(6|6).
\end{array}
\]

Il y a donc 7 doubles.

La probabilité \(P(\text{double})\) d’obtenir un double est le rapport du nombre de dominos doubles au nombre total de dominos :

\[
P(\text{double}) = \frac{7}{28} = \frac{1}{4}.
\]

2. En déduire la probabilité de ne pas obtenir un double.

La probabilité \(P(\text{non-double})\) de ne pas obtenir un double est le complémentaire de la probabilité d’obtenir un double :

\[
P(\text{non-double}) = 1 – P(\text{double}).
\]

En utilisant la probabilité trouvée dans la première partie :

\[
P(\text{non-double}) = 1 – \frac{1}{4} = \frac{3}{4}.
\]

Donc, la probabilité de ne pas obtenir un double est \( \frac{3}{4} \).

Exercice 24 : probabilité d’obtenir le jackpot
Soit \( S \) l’ensemble des secteurs de la roue. La roue est composée de 6 secteurs :

– Un secteur « Jackpot »
– Un secteur « 5000\[ »
– Un secteur « 5000\] »
– Un secteur « 10000\[ »
– Un secteur « 20000\] »
– Un secteur « 30000\[ »

Puisque tous les secteurs sont équiprobables, la probabilité de tomber sur chaque secteur est la même.

La probabilité de tomber sur un secteur donné est égale à l’inverse du nombre total de secteurs. Donc la probabilité de tomber sur le « Jackpot » est :

\[
P(\text{Jackpot}) = \frac{1}{\text{nombre total de secteurs}} = \frac{1}{6}
\]

Ainsi, la probabilité d’obtenir le jackpot est \(\frac{1}{6}\).

Exercice 25 : un jeu de cartes
L’univers des possibles pour chaque expérience aléatoire est donné par les ensembles suivants :

1. On tire une carte au hasard et on s’intéresse à sa couleur.

L’univers associé est constitué des différentes couleurs de cartes :
\[ U = \{\text{coeur}, \text{carreau}, \text{trèfle}, \text{pique}\} \]

2. On tire une carte au hasard et on s’intéresse à sa valeur.

L’univers associé est constitué des différentes valeurs des cartes :
\[ U = \{ \text{7}, \text{8}, \text{9}, \text{10}, \text{valet}, \text{dame}, \text{roi}, \text{as} \} \]

Exercice 26 : une urne et des jetons indiscernables
1. On tire un jeton au hasard et on s’intéresse à sa couleur.

L’univers associé à cette expérience aléatoire est l’ensemble des couleurs possibles des jetons.

\[ \Omega_1 = \{ \text{rouge}, \text{bleu}, \text{vert} \} \]

2. On tire un jeton au hasard et on s’intéresse à sa valeur.

L’univers associé à cette expérience aléatoire est l’ensemble des valeurs possibles des jetons.

\[ \Omega_2 = \{ 1, 2, 4 \} \]

Exercice 27 : un programme qui simule un lancer
Voici la correction de l’exercice :

1. Modifier le programme pour qu’il affiche une série de 10 lancers de cette pièce truquée.

« `python
from random import *

for i in range(10):
if int(random() + 0.3) == 0:
print(‘Face’)
else:
print(‘Pile’)
« `

2. Programmer et exécuter ce programme. Parmi ces 10 lancers, combien de fois obtient-on « face » ?

On suppose une exécution du programme :

« `text
Pile
Pile
Face
Pile
Face
Face
Pile
Pile
Face
Pile
« `

Dans cet exemple, on obtient 4 fois « Face ».

3. Simuler plusieurs séries de 10 lancers et estimer la probabilité d’obtenir « face » avec cette pièce.

On effectue \( n \) séries de 10 lancers, par exemple \( n = 1000 \).

« `python
from random import *

n = 1000
total_faces = 0

for _ in range(n):
faces = 0
for i in range(10):
if int(random() + 0.3) == 0:
faces += 1
total_faces += faces

probability_of_face = total_faces / (10 * n)
print(f »Probabilité d’obtenir ‘Face’: {probability_of_face:.3f} »)
« `

En exécutant ce programme, si le résultat est, par exemple \( 0.305 \), cela signifie que la probabilité estimée d’obtenir « Face » est \( 0.305 \).

En LaTeX, la probabilité s’écrit :

\[ P(\text{Face}) \approx 0.305 \]

Cela confirme qu’avec cette pièce truquée, la probabilité d’obtenir « Face » est approximativement 0.3.

Exercice 28 : secteurs angulaires d’une roue et probabilités
Pour calculer les probabilités, nous devons diviser le nombre de secteurs de chaque couleur par le nombre total de secteurs.

\]\[Bleu:\]\[

Il y a 3 secteurs bleus.
Nombre total de secteurs = 12

Probabilité de tomber sur un secteur bleu:
\[ \frac{3}{12} = \frac{1}{4} = 0.25 \]

\]\[Rouge:\]\[

Il y a 3 secteurs rouges.

Probabilité de tomber sur un secteur rouge:
\[ \frac{3}{12} = \frac{1}{4} = 0.25 \]

\]\[Vert:\]\[

Il y a 3 secteurs verts.

Probabilité de tomber sur un secteur vert:
\[ \frac{3}{12} = \frac{1}{4} = 0.25 \]

\]\[Jaune:\]\[

Il y a 3 secteurs jaunes.

Probabilité de tomber sur un secteur jaune:
\[ \frac{3}{12} = \frac{1}{4} = 0.25 \]

Le tableau complété est donc:

| Couleur | Bleu | Rouge | Vert | Jaune |
| ———— | —– | —– | —– | —– |
| Probabilité | 0.25 | 0.25 | 0.25 | 0.25 |

Exercice 29 : stand dans une kermesse
Pour déterminer quelle roue le joueur doit choisir, nous devons calculer la probabilité de tomber sur un secteur coloré pour chacune des trois roues.

Soit \( n \) le nombre total de secteurs d’une roue et \( n_c \) le nombre de secteurs colorés.

### Roue 1
– Nombre total de secteurs : \( n = 8 \)
– Nombre de secteurs colorés : \( n_c = 4 \)

La probabilité de tomber sur un secteur coloré pour la Roue 1 est :
\[ P_1 = \frac{n_c}{n} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \]

### Roue 2
– Nombre total de secteurs : \( n = 6 \)
– Nombre de secteurs colorés : \( n_c = 2 \)

La probabilité de tomber sur un secteur coloré pour la Roue 2 est :
\[ P_2 = \frac{n_c}{n} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]

### Roue 3
– Nombre total de secteurs : \( n = 6 \)
– Nombre de secteurs colorés : \( n_c = 3 \)

La probabilité de tomber sur un secteur coloré pour la Roue 3 est :
\[ P_3 = \frac{n_c}{n} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]

Les probabilités de tomber sur un secteur coloré pour chaque roue sont donc :
– \( P_1 = \frac{1}{2} \)
– \( P_2 = \frac{1}{3} \)
– \( P_3 = \frac{1}{2} \)

Les probabilités \( P_1 \) et \( P_3 \) sont égales et supérieures à \( P_2 \). Comme les probabilités sont identiques pour les roues 1 et 3, le joueur peut choisir indifféremment entre la Roue 1 et la Roue 3 pour maximiser ses chances de gagner.

Exercice 30 : composition d’un jeu de domino
Soit l’évènement \( A \) : « Choisir un domino dont la somme des points est inférieure ou égale à 6 ».

Nous devons compter les dominos répondant à cette condition sur les 28 dominos d’un jeu de domino double-six.

Les dominos avec une somme de points inférieure ou égale à 6 sont les suivants :
\[
\begin{aligned}
\text{0-0 (0 + 0 = 0)} \\
\text{0-1 (0 + 1 = 1)} \\
\text{0-2 (0 + 2 = 2)} \\
\text{0-3 (0 + 3 = 3)} \\
\text{0-4 (0 + 4 = 4)} \\
\text{0-5 (0 + 5 = 5)} \\
\text{0-6 (0 + 6 = 6)} \\
\text{1-1 (1 + 1 = 2)} \\
\text{1-2 (1 + 2 = 3)} \\
\text{1-3 (1 + 3 = 4)} \\
\text{1-4 (1 + 4 = 5)} \\
\text{1-5 (1 + 5 = 6)} \\
\text{2-2 (2 + 2 = 4)} \\
\text{2-3 (2 + 3 = 5)} \\
\text{2-4 (2 + 4 = 6)} \\
\text{3-3 (3 + 3 = 6)} \\
\end{aligned}
\]

Cela correspond à 16 dominos.

Calculons la probabilité \( P(A) \) de cet évènement :
\[
P(A) = \frac{\text{Nombre de dominos favorables}}{\text{Nombre total de dominos}} = \frac{16}{28} = \frac{4}{7}
\]

Ainsi, la probabilité de choisir un domino dont la somme des points est inférieure ou égale à 6 est de \( \frac{4}{7} \).

Exercice 31 : paire de chaussettes indiscernables
Le diagramme en barres donne la répartition suivante des chaussettes :

– Noir : 5
– Vert : 2
– Bleu : 4
– Violet : 3
– Gris : 8
– Marron : 1

Pour calculer la probabilité de chaque couleur, nous devons diviser le nombre de chaussettes de chaque couleur par le nombre total de chaussettes.

Nombre total de chaussettes = 5 (Noir) + 2 (Vert) + 4 (Bleu) + 3 (Violet) + 8 (Gris) + 1 (Marron) = 23

Nous obtenons ainsi les probabilités suivantes pour chaque couleur :

– \[ P(\text{Noir}) = \frac{5}{23} \]
– \[ P(\text{Vert}) = \frac{2}{23} \]
– \[ P(\text{Bleu}) = \frac{4}{23} \]
– \[ P(\text{Violet}) = \frac{3}{23} \]
– \[ P(\text{Gris}) = \frac{8}{23} \]
– \[ P(\text{Marron}) = \frac{1}{23} \]

Le tableau complété est :

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Couleur Noir Vert Bleu Violet Gris Marron \\
\hline
Probabilité \frac{5}{23} \frac{2}{23} \frac{4}{23} \frac{3}{23} \frac{8}{23} \frac{1}{23} \\
\hline
\end{tabular}

Exercice 32 : le jeu d’échecs
{Correction de l’exercice :}

Soit \]n\[ le nombre total de pièces du jeu d’échecs.

\[ n = 2 \times 16 = 32 \]

1. Quelle est la probabilité que ce soit un pion ?

Le nombre total de pions dans le jeu est de 16 (8 pions blancs et 8 pions noirs).

\[ P(\text{pion}) = \frac{\text{nombre de pions}}{\text{nombre total de pièces}} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2} \]

2. Quelle est la probabilité que ce soit une pièce mineure ?

Les pièces mineures sont les fous et les cavaliers. Il y a 2 fous et 2 cavaliers de chaque couleur, soit un total de :

\[ 4 \text{ fous } + 4 \text{ cavaliers } = 8 \text{ pièces mineures} \]

\[ P(\text{pièce mineure}) = \frac{\text{nombre de pièces mineures}}{\text{nombre total de pièces}} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4} \]

3. Quelle est la probabilité que ce soit une pièce lourde ?

Les pièces lourdes sont les dames et les tours. Il y a 1 dame et 2 tours de chaque couleur, soit un total de :

\[ 2 \text{ dames } + 4 \text{ tours } = 6 \text{ pièces lourdes} \]

\[ P(\text{pièce lourde}) = \frac{\text{nombre de pièces lourdes}}{\text{nombre total de pièces}} = \frac{6}{32} = \frac{3}{16} \]

Exercice 33 : un dé icosaédrique et probabilités
\noindent
Soit un dé icosaédrique, avec des faces numérotées de 1 à 20. On dénote par \]A\[, \]B\[, et \]C\[ les événements suivants :

\]A\[: « on obtient un nombre pair »
\]B\[: « on obtient un diviseur de 20 »
\]C\[: « on obtient un multiple de 4 »

\paragraph{Événement \]A\[: « on obtient un nombre pair »} \mbox{ \\
Les nombres pairs parmi les faces du dé sont \]\{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20\}\[, soit 10 nombres.
\[
P(A) = \frac{\text{nombre de résultats favorables}}{\text{nombre total de résultats}} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}
\]

\paragraph{Événement \]B\[: « on obtient un diviseur de 20 »} \mbox{ \\
Les diviseurs de 20 (parmi les faces du dé) sont \]\{1, 2, 4, 5, 10, 20\}\[, soit 6 nombres.
\[
P(B) = \frac{\text{nombre de résultats favorables}}{\text{nombre total de résultats}} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}
\]

\paragraph{Événement \]C\[: « on obtient un multiple de 4 »} \mbox{ \\
Les multiples de 4 parmi les faces du dé sont \]\{4, 8, 12, 16, 20\}\[, soit 5 nombres.
\[
P(C) = \frac{\text{nombre de résultats favorables}}{\text{nombre total de résultats}} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}
\]

\noindent
Ainsi, les probabilités des événements \]A\[, \]B\[, et \]C\[ sont respectivement \]\frac{1}{2}\[, \]\frac{3}{10}\[, et \]\frac{1}{4}\[.

Exercice 34 : la population mondiale et les groupes sanguins
Correction de l’exercice :

1. Pour qu’une personne soit donneur universel, elle doit être du groupe sanguin O et de rhésus négatif. La probabilité qu’une personne soit du groupe O et de rhésus négatif est donnée par la proportion de ce groupe dans le tableau, soit \(7\%\).

\[
P(\text{donneur universel}) = 7\% = 0,07
\]

2. Pour qu’une personne soit du groupe AB, qu’elle soit rhésus + ou rhésus -, on additionne les probabilités des deux cas :

\[
P(\text{groupe AB}) = P(\text{AB, Rh+}) + P(\text{AB, Rh-}) = 3\% + 1\% = 4\%
\]

\[
P(\text{groupe AB}) = 4\% = 0,04
\]

3. Pour qu’une personne soit de rhésus positif, on additionne les probabilités de chaque groupe sanguin ayant un rhésus positif :

\[
P(\text{Rh+}) = P(O, Rh+) + P(A, Rh+) + P(B, Rh+) + P(AB, Rh+) = 38\% + 34\% + 9\% + 3\% = 84\%
\]

\[
P(\text{Rh+}) = 84\% = 0,84
\]

Exercice 35 : un zoo et un enclos de dromadaires
Les animaux dans l’enclos sont:
– Deux dromadaires \( D_1 \) et \( D_2 \): chaque dromadaire a une seule bosse.
– Deux chameaux \( C_1 \) et \( C_2 \): chaque chameau a deux bosses.
– Un lama \( L \): le lama n’a pas de bosse.

Pour déterminer la probabilité que trois animaux photographiés aient au total quatre bosses, examinons toutes les combinaisons possibles.

{Méthode de calcul}
{Nombre total de combinaisons possibles de trois animaux parmi cinq:}
\[
\binom\,{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10
\]

{Combinaisons de trois animaux donnant un total de quatre bosses:}
Pour obtenir quatre bosses, il doit y avoir une combinaison de deux chameaux (2 bosses chacun) et un dromadaire (1 bosse) :
\[
2 \text{ bosses(chameau)} + 2 \text{ bosses(chameau)} + 1 \text{ bosse(dromadaire)} = 4 \text{ bosses}
\]

Les combinaisons possibles donnant exactement quatre bosses sont donc :
\[
(C_1, C_2, D_1), \quad (C_1, C_2, D_2)
\]

Il y a donc 2 combinaisons qui satisfont le critère.

{Calcul de la probabilité:}
La probabilité de photographier une combinaison de trois animaux formant quatre bosses est la proportion des combinaisons favorables parmi le nombre total de combinaisons possibles:
\[
P(\text{quatre bosses}) = \frac{\text{nombre de combinaisons favorables}}{\text{nombre total de combinaisons possibles}} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}
\]

{Conclusion}
La probabilité que le visiteur ait photographié quatre bosses est de \(\frac{1}{5}\) ou \(20\% \).

Exercice 36 : répartition par sexe et par classes d’âges en France
Voici la correction de l’exercice en utilisant LaTeX pour les équations :

1. \]\[Cette personne soit un homme :\]\[

\[
P(\text{homme}) = \frac{\text{nombre d’hommes}}{\text{population totale}}
\]

\[
P(\text{homme}) = \frac{32\ 394\ 531}{67\ 187\ 699} \approx 0,48
\]

2. \]\[Cette personne soit une femme de plus de 75 ans :\]\[

\[
P(\text{femme de plus de 75 ans}) = \frac{\text{nombre de femmes de plus de 75 ans}}{\text{population totale}}
\]

\[
P(\text{femme de plus de 75 ans}) = \frac{3\ 799\ 143}{67\ 187\ 699} \approx 0,06
\]

3. \]\[Cette personne soit un homme de moins de 30 ans :\]\[

\[
P(\text{homme de moins de 30 ans}) = \frac{\text{nombre d’hommes de 0 à 14 ans} + \text{nombre d’hommes de 15 à 29 ans}}{\text{population totale}}
\]

\[
P(\text{homme de moins de 30 ans}) = \frac{6\ 139\ 574 + 5\ 893\ 527}{67\ 187\ 699} \approx 0,18
\]

4. \]\[Cette personne ait plus de 60 ans :\]\[

\[
P(\text{personne de plus de 60 ans}) = \frac{\text{nombre de personnes de 60 à 74 ans} + \text{nombre de personnes de 75 ans ou plus}}{\text{population totale}}
\]

\[
P(\text{personne de plus de 60 ans}) = \frac{11\ 282\ 275 + 6\ 218\ 767}{67\ 187\ 699} \approx 0,26
\]

Exercice 37 : jeu et tirer dans une cible
La probabilité d’atteindre chaque zone est proportionnelle à sa surface:

1. Calcul de la surface de chaque zone.

– Zone rouge (cercle de rayon 10 cm) :
\[ A_{\text{rouge}} = \pi \times (10)^2 = 100\pi \]

– Zone orange (couronne avec grand rayon 30 cm et petit rayon 10 cm) :
\[ A_{\text{orange}} = \pi \times (30)^2 – \pi \times (10)^2 = 900\pi – 100\pi = 800\pi \]

– Zone jaune (couronne avec grand rayon 50 cm et petit rayon 30 cm) :
\[ A_{\text{jaune}} = \pi \times (50)^2 – \pi \times (30)^2 = 2500\pi – 900\pi = 1600\pi \]

– Zone bleue (couronne avec grand rayon 70 cm et petit rayon 50 cm) :
\[ A_{\text{bleue}} = \pi \times (70)^2 – \pi \times (50)^2 = 4900\pi – 2500\pi = 2400\pi \]

2. Calcul de la probabilité pour chaque zone.

– Surface totale de la cible :
\[ A_{\text{total}} = 100\pi + 800\pi + 1600\pi + 2400\pi = 4900\pi \]

– Probabilité d’atteindre la zone rouge :
\[ P_{\text{rouge}} = \frac{A_{\text{rouge}}}{A_{\text{total}}} = \frac{100\pi}{4900\pi} = \frac{100}{4900} = \frac{1}{49} \]

– Probabilité d’atteindre la zone orange :
\[ P_{\text{orange}} = \frac{A_{\text{orange}}}{A_{\text{total}}} = \frac{800\pi}{4900\pi} = \frac{800}{4900} = \frac{8}{49} \]

– Probabilité d’atteindre la zone jaune :
\[ P_{\text{jaune}} = \frac{A_{\text{jaune}}}{A_{\text{total}}} = \frac{1600\pi}{4900\pi} = \frac{1600}{4900} = \frac{16}{49} \]

– Probabilité d’atteindre la zone bleue :
\[ P_{\text{bleue}} = \frac{A_{\text{bleue}}}{A_{\text{total}}} = \frac{2400\pi}{4900\pi} = \frac{2400}{4900} = \frac{24}{49} \]

En conclusion, les probabilités d’atteindre les différentes zones sont :

– Zone rouge : \(\frac{1}{49}\)
– Zone orange : \(\frac{8}{49}\)
– Zone jaune : \(\frac{16}{49}\)
– Zone bleue : \(\frac{24}{49}\)

Exercice 38 : un rubik’s cube et probabilités
Un Rubik’s cube est constitué de \(3 \times 3 \times 3 = 27\) petits cubes.

## 1. Probabilité de tirer un petit cube avec aucune face colorée

Les cubes qui n’ont aucune face colorée sont ceux qui sont entièrement à l’intérieur du Rubik’s cube, c’est-à-dire le cube central. Il y a exactement 1 tel cube.

La probabilité de tirer un de ces cubes est donc :
\[ P(\text{aucune face colorée}) = \frac{1}{27} \]

## 2. Probabilité de tirer un petit cube avec une seule face colorée

Les cubes qui ont une seule face colorée sont les cubes situés au centre des faces du Rubik’s cube. Il y en a 6 (un pour chaque face du Rubik’s cube).

La probabilité de tirer un de ces cubes est donc :
\[ P(\text{une seule face colorée}) = \frac{6}{27} = \frac{2}{9} \]

## 3. Probabilité de tirer un petit cube avec trois faces colorées

Les cubes qui ont trois faces colorées sont ceux situés aux huit coins du Rubik’s cube. Il y a exactement 8 de ces cubes.

La probabilité de tirer un de ces cubes est donc :
\[ P(\text{trois faces colorées}) = \frac{8}{27} \]

Exercice 39 : une école de musique
1. Recopier et compléter le tableau.

Nous allons compléter les valeurs manquantes dans le tableau fourni :

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Piano} \text{Guitare} \text{Autre instrument} \text{Total} \\
\hline
\text{Orchestre} 20 60 70 150 \\
\hline
\text{Pas orchestre} 190 40 120 350 \\
\hline
\text{Total} 210 100 190 500 \\
\hline
\end{array}
\]

2a. Quelle est la probabilité que cet élève apprenne la guitare?

La probabilité \( P(\text{Guitare}) \) que l’élève apprenne la guitare est le nombre d’élèves apprenant la guitare divisé par le nombre total d’élèves :

\[
P(\text{Guitare}) = \frac{\text{Nombre d’élèves apprenant la guitare}}{\text{Nombre total d’élèves}} = \frac{100}{500} = \frac{1}{5} = 0.2
\]

2b. Quelle est la probabilité que cet élève ne fasse pas partie de l’orchestre ?

La probabilité \( P(\text{Pas orchestre}) \) que l’élève ne fasse pas partie de l’orchestre est le nombre d’élèves ne faisant pas partie de l’orchestre divisé par le nombre total d’élèves :

\[
P(\text{Pas orchestre}) = \frac{\text{Nombre d’élèves ne faisant pas partie de l’orchestre}}{\text{Nombre total d’élèves}} = \frac{350}{500} = \frac{7}{10} = 0.7
\]

2c. Quelle est la probabilité que cet élève joue du piano dans l’orchestre ?

La probabilité \( P(\text{Piano} \cap \text{Orchestre}) \) que l’élève joue du piano dans l’orchestre est le nombre d’élèves jouant du piano dans l’orchestre divisé par le nombre total d’élèves :

\[
P(\text{Piano} \cap \text{Orchestre}) = \frac{\text{Nombre d’élèves jouant du piano dans l’orchestre}}{\text{Nombre total d’élèves}} = \frac{20}{500} = \frac{1}{25} = 0.04
\]

Exercice 40 : déplacement d’une coccinelle
1. \]\[Arbre de probabilité :\]\[

La coccinelle a quatre directions possibles à chaque intersection : haut (H), bas (B), gauche (G) et droite (D). En partant de A, le premier déplacement la mène soit à D soit à E.

– De D, les déplacements possibles sont vers C (D → C) ou vers A (D → A).
– De E, les déplacements possibles sont vers B (E → B) ou vers A (E → A).

L’arbre de probabilité est donc :

« `
A
/ \
D E
/ \ / \
C A B A
« `

2. \]\[Probabilités des événements :\]\[

Soit \( p \) la probabilité d’un déplacement. Comme chaque intersection a deux chemins également probables :
\[ p = \frac{1}{2} \]

\]\[a. Déterminer \( P(M) \), \( P(N) \) et \( P(O) \) :\]\[

\]\[i. Probabilité de \( M \) :\]\[

\( M \) : « la coccinelle visite exactement trois points différents ».

Pour que la coccinelle visite trois points différents, elle doit visiter successivement \( D \) puis \( C \) ou \( E \) puis \( B \) sans revenir directement au point de départ \( A \).

– D → C → D : Piste valide.
– E → B → E : Piste valide.

Il y a 2 chemins (D → C et E → B) où elle visite exactement trois points différents.

\[
P(M) = 2 \times (\frac{1}{2})^2 = 2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2}
\]

\]\[ii. Probabilité de \( N \) :\]\[

\( N \) : « la coccinelle passe par le point B ».

Le point \( B \) est seulement accessible à partir du point \( E \).

– A → E → B → (B → E ou B → C)

Ça fait deux chemins : (A → E → B → E) et (A → E → B → C).

\[
P(N) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}
\]

\]\[iii. Probabilité de \( O \) :\]$

\( O \) : « la coccinelle passe deux fois par le même point ».

Pour que la coccinelle revienne sur ses pas, elle doit revenir au point de départ ou revisiter le même point après un déplacement :

– D → A → D et E → A → E (revenir au point d’origine)

Il y a ainsi quatre chemins (D → A → D, D → C → D, E → A → E, et E → B → E).

\[
P(O) = 4 \times (\frac{1}{2})^2 = 4 \times \frac{1}{4} = 1
\]