Exercice 1 : une pièce équilibrée et arbre de probabilité
a) L’arbre des possibles est le suivant :
b) La probabilité associée à chaque issue est calculée comme suit :
La probabilité d’obtenir chacune des sommes possibles :
– Issue 2 :
– Issue 3 :
– Issue 4 :
Exercice 2 : une boule dans un sac et issues possibles
a) La déclaration de Félix est incorrecte. Pour vérifier cela, nous devons déterminer le nombre total de boules et le nombre de boules bleues.
Nombre total de boules = 6
Nombre de boules bleues = 2
La probabilité de tirer une boule bleue est alors donnée par:
Donc, la probabilité de tirer une boule bleue est et non
.
b) Les issues possibles et leurs probabilités sont:
– Boule rouge : 1 sur 6
– Boule verte : 3 sur 6
– Boule bleue : 2 sur 6
On calcule donc les probabilités comme suit :
– Boule rouge :
– Boule verte :
– Boule bleue :
Ainsi, les probabilités pour chaque couleur de boule sont pour la rouge,
pour la verte et
pour la bleue.
Exercice 3 : déterminer la probabilité d’un événement
a) Oui, on peut utiliser le modèle d’équiprobabilité car chaque carte a la même chance d’être tirée, soit une probabilité .
b) Déterminons la probabilité de chaque événement.
Pour l’événement A : « La carte tirée est une Dame »,
il y a 4 Dames dans un jeu de 32 cartes (une pour chaque couleur : Cœur, Carreau, Trèfle, Pique).
Donc, la probabilité de tirer une Dame est :
Pour l’événement B : « La carte tirée est un Cœur »,
il y a 8 Cœurs dans un jeu de 32 cartes.
Donc, la probabilité de tirer un Cœur est :
Exercice 4 : jeu de grattage et probabilité
Correction de l’exercice
1. Déterminons la probabilité de l’événement : « On gagne au moins 20 € ».
La probabilité associée à gagner 20 € est et celle associée à gagner 1000 € est
.
La probabilité de l’événement est donc :
2. Déterminons la probabilité de l’événement : « On gagne 5 € au plus ».
Les probabilités associées à gagner 0 €, 1 €, et 5 € sont respectivement ,
, et
.
La probabilité de l’événement est donc :
Conclusion :
– La probabilité de l’événement est
.
– La probabilité de l’événement est
.
Exercice 5 : une urne et détermination de la probabilité d’un événement
Correction de l’exercice :
Pour déterminer les probabilités demandées, il est important de connaître le nombre total de résultats possibles et le nombre de résultats favorables à chaque événement.
L’urne contient 26 jetons représentant les lettres de l’alphabet.
### Événement A: « La lettre tirée n’est pas une voyelle ».
Les voyelles sont : A, E, I, O, U et Y (6 voyelles en tout).
Le nombre de lettres qui ne sont pas des voyelles est donc : .
La probabilité de l’événement A est :
### Événement B: « La lettre tirée est avant M dans l’ordre alphabétique ».
Les lettres avant M (M incluse) sont : A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M (13 lettres).
La probabilité de l’événement B est :
Exercice 6 : tirage d’une carte au hasard
1. Hugo tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes. Chloé tire au hasard une carte dans un jeu de 52 cartes. Quelle est la probabilité de tirer le 5 de Carreau :
a) pour Hugo ?
b) pour Chloé ?
a) Pour Hugo, la probabilité de tirer le 5 de Carreau est :
b) Pour Chloé, la probabilité de tirer le 5 de Carreau est :
2. Inès affirme : « Hugo et Chloé ont la même probabilité de tirer un Cœur ». A-t-elle raison ? Justifier.
Pour Hugo, la probabilité de tirer un Cœur (8 cartes de Cœur dans un jeu de 32 cartes) est :
Pour Chloé, la probabilité de tirer un Cœur (13 cartes de Cœur dans un jeu de 52 cartes) est :
Inès a raison car les probabilités de tirer un Cœur pour Hugo et Chloé sont égales :
3. Qui a la plus grande probabilité de tirer un As ? Justifier.
Pour Hugo, la probabilité de tirer un As (4 As dans un jeu de 32 cartes) est :
Pour Chloé, la probabilité de tirer un As (4 As dans un jeu de 52 cartes) est :
La probabilité pour Hugo de tirer un As est plus grande que celle de Chloé car :
Exercice 7 : déterminer la probabilité de l’union
a) L’événement se traduit par : « L’élève choisi pratique soit le rugby, soit le handball, soit les deux ».
b) Pour déterminer la probabilité de , nous utilisons la formule de la probabilité de l’union de deux événements :
En substituant les valeurs données, nous obtenons :
La probabilité que l’élève choisi pratique soit le rugby, soit le handball, soit les deux, est de 0.64.
Exercice 8 : la probabilité d’une population et le caractère génétique
Correction:
Soit l’événement « l’individu possède le caractère génétique A » et
l’événement « l’individu possède le caractère génétique B ».
Les probabilités données sont:
a) La probabilité qu’il possède au moins l’un des deux caractères (l’union de A et B) se calcule ainsi:
En substituant les valeurs :
Donc, la probabilité qu’il possède au moins l’un des deux caractères est:
b) La probabilité qu’il ne possède ni le caractère A ni le caractère B est le complément de :
En substituant la valeur trouvée pour :
Donc, la probabilité qu’il ne possède ni le caractère A ni le caractère B est:
Exercice 9 : déterminer la probabilité de chaque événement
Soit et
deux événements tels que :
a) :
b) :
c) :
On utilise la formule de la probabilité de l’union des événements :
En réarrangeant pour exprimer :
d) :
On utilise la formule:
e) :
On utilise la formule:
f) :
On utilise la complémentarité des événements:
Exercice 10 : une école de de commerce avec probabilités et fréquences
Soit l’événement « l’étudiant est inscrit à l’option Marketing », et
l’événement « l’étudiant est inscrit à l’option Négociation ».
Nous avons donc les informations suivantes :
1. La probabilité :
2. La probabilité :
3. La probabilité :
Il nous faut trouver . On sait que :
et que
En substituant les valeurs connues :
Maintenant, nous pouvons trouver les autres probabilités :
4. La probabilité :
Cette probabilité est déjà donnée :
5. La probabilité :
6. La probabilité :
Ainsi, les probabilités recherchées sont :
Exercice 11 : dessiner l’arbre des possibles pondérés
a) L’arbre des possibles pondéré par les probabilités :
b) Probabilité d’avoir choisi deux filles :
La probabilité de choisir une fille en seconde A puis une fille en seconde B est :
Les probabilités calculées sont :
Ainsi, la probabilité de choisir deux filles est :
La probabilité d’avoir choisi deux filles est donc .
Exercice 12 : probabilité de tirer des jetons au hasard
a) Pour dessiner l’arbre des possibles pondéré par les probabilités, considérons les événements suivants:
– Vert (V) : probabilité
– Rouge (R) : probabilité
– Jaune (J) : probabilité
Voici l’arbre des possibles :
Les branches de l’arbre montrent les probabilités pour chaque tirage successif, le premier suivi par le deuxième, notant chaque couleur tirée.
b) Pour trouver la probabilité de tirer deux jetons rouges, nous devons considérer les probabilités cumulées sur deux tirages.
– Tirer un jeton rouge lors du premier tirage :
– Tirer un jeton rouge aussi lors du deuxième tirage, sachant que le jeton a été remis dans le sac :
Ainsi, la probabilité de tirer deux jetons rouges consécutivement est :
Exercice 13 : algorithme avec expérience aléatoire
Pour déterminer les issues de cette expérience aléatoire et leurs probabilités, on peut suivre les étapes suivantes :
1.
L’algorithme décrit consiste à affecter à un nombre entier aléatoire compris entre 1 et 6, puis à afficher ce nombre. Les valeurs possibles pour
sont donc
et
. On considère chacune de ces valeurs comme une issue de l’expérience aléatoire.
Les issues sont donc : .
2.
Puisque le nombre entier est attribué de manière aléatoire avec une probabilité égale pour chaque valeur entre 1 et 6, on utilise une distribution uniforme.
La probabilité de chaque issue est donnée par la formule :
où est le nombre total d’issues possibles (ici
).
Ainsi, pour chaque dans
, on a :
En résumé :
–
–
–
–
–
–
Chacune des valeurs possibles pour a une probabilité de
.
Exercice 14 : algorithme qui consiste à lire l’affichage en sortie
Correction de l’exercice:
Soit un nombre entier naturel aléatoire compris entre 0 et 20, tiré uniformément. On veut déterminer les issues et leurs probabilités selon l’affichage « Gagné » ou « Perdu » de l’algorithme.
Les nombres pour lesquels est un nombre entier sont les multiples de 3 compris entre 0 et 20. Ces nombres sont :
Il y a donc 7 valeurs possibles pour qui donnent « Gagné ».
Le nombre total de valeurs possibles pour est 21 (de 0 à 20 inclus).
La probabilité de « Gagné » est donc :
Pour « Perdu », les valeurs de qui ne sont pas multiples de 3 sont:
Il y a donc 14 valeurs possibles pour qui donnent « Perdu ».
La probabilité de « Perdu » est donc :
Les issues de cette expérience aléatoire sont donc « Gagné » et « Perdu », avec leurs probabilités respectives :
Exercice 15 : patrons de dés équilibrés et issues possibles
Pour le dé n°1 :
Les issues possibles sont : .
Les probabilités pour chaque issue sont égales car le dé est équilibré :
Pour le dé n°2 :
Les issues possibles sont : .
Les probabilités pour chaque issue sont égales car le dé est équilibré :
Pour le dé n°3 :
Les issues possibles sont : .
Les probabilités pour chaque issue sont égales car le dé est équilibré :
Exercice 16 : faire tourner une roue et équirépartition
Pour l’exercice donné, les roues sont numérotées de à
pour la roue rouge et de
à
pour la roue verte. L’objectif est de trouver quelle distribution de probabilité correspond le mieux aux résultats obtenus expérimentalement.
### Partie a)
#### Table des Fréquences Observées :
| Somme | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Total |
|——-|—–|—–|—–|—–|—–|——-|
| Fréquence | 0.118 | 0.228 | 0.326 | 0.222 | 0.106 | 1 |
Nous avons comme résultats expérimentaux :
Comparons les fréquences obtenues aux modèles théoriques.
#### Modèle 1 : Équipartition sur
Ce modèle n’inclut pas les résultats 4 et 5 donc il ne correspond pas aux données obtenues.
#### Modèle 2 : Équipartition sur
Pour ce modèle, on suppose que les éléments ,
,
,
,
,
sont équiprobables.
Cela signifie que chaque somme a une probabilité de , ce qui ne correspond pas non plus aux fréquences expérimentales.
#### Modèle 3 :
| Issue | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|————-|:–:|:–:|:–:|:–:|:–:|
| Probabilité | |
|
|
|
|
Les probabilités de ce modèle sont beaucoup plus similaires aux fréquences observées. Les calculs montrent :
Ces probabilités sont proches des fréquences expérimentales.
Le modèle 3 est celui qui représente le mieux les données expérimentales.
### Partie b)
Calculons la somme de chaque combinaison possible :
| | 0 | 1 | 2 |
|———-|—|—|—|
| | 1 | 2 | 3 |
| | 2 | 3 | 4 |
| | 3 | 4 | 5 |
Ensuite, nous déterminons la fréquence de chaque somme de la probabilité des combinaisons :
| Somme | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|——-|—–|—–|—–|—–|—–|
| Fréquence | 0.111 | 0.222 | 0.333 | 0.222 | 0.111 |
Ce tableau confirme que le est le plus adapté.
Exercice 17 : une roue équilibrée et lancer d’un dé trétraédrique
a) Voici l’arbre des possibles complété :
b) L’ensemble des issues de cette expérience aléatoire, noté , est composé des couples obtenus en associant une lettre (A, B, C) et un numéro (1 à 4) :
Chaque éventualité est donc notée ainsi : (lettre, chiffre).
Pour déterminer les probabilités :
La roue a 3 secteurs identiques, donc la probabilité de chaque lettre est .
Le tétraèdre a 4 faces, donc la probabilité de chaque chiffre est .
Les événements étant indépendants, la probabilité de chacune des 12 issues est le produit des probabilités individuelles :
Ainsi, chaque issue a la même probabilité, à savoir .
Exercice 18 : ballon d’or et probabilités
Soit $ \Omega $ l’ensemble des noms donnés :
Nous allons déterminer les événements $A$ et $B$ et calculer leurs probabilités.
Les noms dans $\Omega$ ayant moins de 6 lettres sont :
Soit :
Le nombre de noms dans $A$ est $ |A| = 5 $. La probabilité de $A$ est donc :
Les noms dans $\Omega$ ne comportant pas la lettre « a » sont :
Soit :
Le nombre de noms dans $B$ est $ |B| = 5 $. La probabilité de $B$ est donc :
En conclusion, les événements et leurs probabilités sont :
– Événement $A$ : « Le nom prélevé comporte moins de 6 lettres »
Issues : {Cruyff, Weah, Zidane, Figo, Messi}
Probabilité : $0{,}5$
– Événement $B$ : « Le nom prélevé ne comporte pas la lettre a »
Issues : {Cruyff, Platini, Zidane, Figo, Messi}
Probabilité : $0{,}5$
Exercice 19 : pales d’une éolienne et arbre des possibles
Correction de l’exercice de mathématiques :
### a) Reproduction et complétion de l’arbre des possibles :
L’arbre complété est le suivant :
### b) Utilisation de l’arbre pour obtenir l’ensemble de toutes les issues :
L’ensemble des issues est :
Chaque éolienne peut prendre trois positions différentes (A, B, C). Ainsi, il y a issues possibles.
### c) Calcul des probabilités des événements :
: « Les eoliennes s’arretent sur la meme lettre » » align= »absmiddle » />
On dénombre les issues où les éoliennes s’arrêtent sur la même lettre :
Il y a donc 3 issues favorables sur 9 :
: « Les eoliennes s’arretent sur une consonne » » align= »absmiddle » />
Les consonnes parmi sont
et
. On dénombre les issues où les éoliennes s’arrêtent sur les lettres
ou
:
Il y a donc 6 issues favorables sur 9 :
Exercice 20 : la répartition des adhérents d’un club de volley-ball
Soit la probabilité de l’événement
. On rappelle que la probabilité d’un événement est donnée par
Dans ce cas, le nombre total de cas possibles est 100.
### a) Une femme
Le nombre total de femmes est de 43.
### b) Un jeune
Le nombre total de jeunes est de 41.
### c) Un homme jeune
Le nombre total d’hommes jeunes est de 27.
### d) Un homme ou un jeune
Pour calculer cette probabilité, on utilise la formule de l’union des événements :
Le nombre total d’hommes est 57 et le nombre total de jeunes est 41. Le nombre d’hommes jeunes est 27.
Ainsi,
### e) Ni un homme ni un jeune
Pour trouver cette probabilité, nous pouvons utiliser la complémentarité de l’événement :
Comme calculé précédemment,
Donc,
Exercice 21 : une boule dans une urne et probabilités
1. Lorsqu’on s’intéresse à la couleur de la boule, l’univers associé à cette expérience aléatoire est l’ensemble des couleurs présentes dans l’urne.
Soit l’ensemble des couleurs des boules :
2. Lorsqu’on s’intéresse au nombre inscrit sur la boule, l’univers associé à cette expérience aléatoire est l’ensemble des nombres inscrits sur les boules.
Soit l’ensemble des nombres inscrits sur les boules :
Exercice 22 : une carte piochée au hasard
Calculer .
Dans un jeu de 32 cartes, il y a 12 figures (Roi, Dame et Valet dans chaque couleur) :
Calculer .
Il y a 3 figures parmi les trèfles (Roi de trèfle, Dame de trèfle et Valet de trèfle) :
En déduire .
En utilisant la formule de probabilité des unions :
Sachant qu’il y a 8 trèfles sur les 32 cartes :
Donc :
Convertissons en dénominateur commun (32) :
Exercice 23 : un jeu de dominos
La correction de l’exercice est la suivante :
1. Quelle est la probabilité d’obtenir un double ?
Le jeu de domino montré contient toutes les combinaisons possibles de dominos dont les valeurs vont de 0 à 6. Il y a donc dominos au total.
Un double est un domino où les deux moitiés ont la même valeur. Les doubles présents dans ce jeu sont :
Il y a donc 7 doubles.
La probabilité d’obtenir un double est le rapport du nombre de dominos doubles au nombre total de dominos :
2. En déduire la probabilité de ne pas obtenir un double.
La probabilité de ne pas obtenir un double est le complémentaire de la probabilité d’obtenir un double :
En utilisant la probabilité trouvée dans la première partie :
Donc, la probabilité de ne pas obtenir un double est .
Exercice 24 : probabilité d’obtenir le jackpot
Soit l’ensemble des secteurs de la roue. La roue est composée de 6 secteurs :
– Un secteur « Jackpot »
– Un secteur « 5000$ »
– Un secteur « 5000$ »
– Un secteur « 10000$ »
– Un secteur « 20000$ »
– Un secteur « 30000$ »
Puisque tous les secteurs sont équiprobables, la probabilité de tomber sur chaque secteur est la même.
La probabilité de tomber sur un secteur donné est égale à l’inverse du nombre total de secteurs. Donc la probabilité de tomber sur le « Jackpot » est :
Ainsi, la probabilité d’obtenir le jackpot est .
Exercice 25 : un jeu de cartes
L’univers des possibles pour chaque expérience aléatoire est donné par les ensembles suivants :
1. On tire une carte au hasard et on s’intéresse à sa couleur.
L’univers associé est constitué des différentes couleurs de cartes :
2. On tire une carte au hasard et on s’intéresse à sa valeur.
L’univers associé est constitué des différentes valeurs des cartes :
Exercice 26 : une urne et des jetons indiscernables
1. On tire un jeton au hasard et on s’intéresse à sa couleur.
L’univers associé à cette expérience aléatoire est l’ensemble des couleurs possibles des jetons.
2. On tire un jeton au hasard et on s’intéresse à sa valeur.
L’univers associé à cette expérience aléatoire est l’ensemble des valeurs possibles des jetons.
Exercice 27 : un programme qui simule un lancer
Voici la correction de l’exercice :
1. Modifier le programme pour qu’il affiche une série de 10 lancers de cette pièce truquée.
« `python
from random import *
for i in range(10):
if int(random() + 0.3) == 0:
print(‘Face’)
else:
print(‘Pile’)
« `
2. Programmer et exécuter ce programme. Parmi ces 10 lancers, combien de fois obtient-on « face » ?
On suppose une exécution du programme :
« `text
Pile
Pile
Face
Pile
Face
Face
Pile
Pile
Face
Pile
« `
Dans cet exemple, on obtient 4 fois « Face ».
3. Simuler plusieurs séries de 10 lancers et estimer la probabilité d’obtenir « face » avec cette pièce.
On effectue séries de 10 lancers, par exemple
.
« `python
from random import *
n = 1000
total_faces = 0
for _ in range(n):
faces = 0
for i in range(10):
if int(random() + 0.3) == 0:
faces += 1
total_faces += faces
probability_of_face = total_faces / (10 * n)
print(f »Probabilité d’obtenir ‘Face’: {probability_of_face:.3f} »)
« `
En exécutant ce programme, si le résultat est, par exemple , cela signifie que la probabilité estimée d’obtenir « Face » est
.
En LaTeX, la probabilité s’écrit :
Cela confirme qu’avec cette pièce truquée, la probabilité d’obtenir « Face » est approximativement 0.3.
Exercice 28 : secteurs angulaires d’une roue et probabilités
Pour calculer les probabilités, nous devons diviser le nombre de secteurs de chaque couleur par le nombre total de secteurs.
Il y a 3 secteurs bleus.
Nombre total de secteurs = 12
Probabilité de tomber sur un secteur bleu:
Il y a 3 secteurs rouges.
Probabilité de tomber sur un secteur rouge:
Il y a 3 secteurs verts.
Probabilité de tomber sur un secteur vert:
Il y a 3 secteurs jaunes.
Probabilité de tomber sur un secteur jaune:
Le tableau complété est donc:
| Couleur | Bleu | Rouge | Vert | Jaune |
| ———— | —– | —– | —– | —– |
| Probabilité | 0.25 | 0.25 | 0.25 | 0.25 |
Exercice 29 : stand dans une kermesse
Pour déterminer quelle roue le joueur doit choisir, nous devons calculer la probabilité de tomber sur un secteur coloré pour chacune des trois roues.
Soit le nombre total de secteurs d’une roue et
le nombre de secteurs colorés.
### Roue 1
– Nombre total de secteurs :
– Nombre de secteurs colorés :
La probabilité de tomber sur un secteur coloré pour la Roue 1 est :
### Roue 2
– Nombre total de secteurs :
– Nombre de secteurs colorés :
La probabilité de tomber sur un secteur coloré pour la Roue 2 est :
### Roue 3
– Nombre total de secteurs :
– Nombre de secteurs colorés :
La probabilité de tomber sur un secteur coloré pour la Roue 3 est :
Les probabilités de tomber sur un secteur coloré pour chaque roue sont donc :
–
–
–
Les probabilités et
sont égales et supérieures à
. Comme les probabilités sont identiques pour les roues 1 et 3, le joueur peut choisir indifféremment entre la Roue 1 et la Roue 3 pour maximiser ses chances de gagner.
Exercice 30 : composition d’un jeu de domino
Soit l’évènement : « Choisir un domino dont la somme des points est inférieure ou égale à 6 ».
Nous devons compter les dominos répondant à cette condition sur les 28 dominos d’un jeu de domino double-six.
Les dominos avec une somme de points inférieure ou égale à 6 sont les suivants :
Cela correspond à 16 dominos.
Calculons la probabilité de cet évènement :
Ainsi, la probabilité de choisir un domino dont la somme des points est inférieure ou égale à 6 est de .
Exercice 31 : paire de chaussettes indiscernables
Le diagramme en barres donne la répartition suivante des chaussettes :
– Noir : 5
– Vert : 2
– Bleu : 4
– Violet : 3
– Gris : 8
– Marron : 1
Pour calculer la probabilité de chaque couleur, nous devons diviser le nombre de chaussettes de chaque couleur par le nombre total de chaussettes.
Nombre total de chaussettes = 5 (Noir) + 2 (Vert) + 4 (Bleu) + 3 (Violet) + 8 (Gris) + 1 (Marron) = 23
Nous obtenons ainsi les probabilités suivantes pour chaque couleur :
–
–
–
–
–
–
Le tableau complété est :
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Couleur Noir Vert Bleu Violet Gris Marron \\
\hline
Probabilité \frac{5}{23} \frac{2}{23} \frac{4}{23} \frac{3}{23} \frac{8}{23} \frac{1}{23} \\
\hline
\end{tabular}
Exercice 32 : le jeu d’échecs
Correction de l’exercice :
Soit $n$ le nombre total de pièces du jeu d’échecs.
1. Quelle est la probabilité que ce soit un pion ?
Le nombre total de pions dans le jeu est de 16 (8 pions blancs et 8 pions noirs).
2. Quelle est la probabilité que ce soit une pièce mineure ?
Les pièces mineures sont les fous et les cavaliers. Il y a 2 fous et 2 cavaliers de chaque couleur, soit un total de :
3. Quelle est la probabilité que ce soit une pièce lourde ?
Les pièces lourdes sont les dames et les tours. Il y a 1 dame et 2 tours de chaque couleur, soit un total de :
Exercice 33 : un dé icosaédrique et probabilités
\noindent
Soit un dé icosaédrique, avec des faces numérotées de 1 à 20. On dénote par $A$, $B$, et $C$ les événements suivants :
$A$: « on obtient un nombre pair »
$B$: « on obtient un diviseur de 20 »
$C$: « on obtient un multiple de 4 »
\paragraph{Événement $A$: « on obtient un nombre pair »} \mbox{ \\
Les nombres pairs parmi les faces du dé sont $\{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20\}$, soit 10 nombres.
\paragraph{Événement $B$: « on obtient un diviseur de 20 »} \mbox{ \\
Les diviseurs de 20 (parmi les faces du dé) sont $\{1, 2, 4, 5, 10, 20\}$, soit 6 nombres.
\paragraph{Événement $C$: « on obtient un multiple de 4 »} \mbox{ \\
Les multiples de 4 parmi les faces du dé sont $\{4, 8, 12, 16, 20\}$, soit 5 nombres.
\noindent
Ainsi, les probabilités des événements $A$, $B$, et $C$ sont respectivement $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{10}$, et $\frac{1}{4}$.
Exercice 34 : la population mondiale et les groupes sanguins
Correction de l’exercice :
1. Pour qu’une personne soit donneur universel, elle doit être du groupe sanguin O et de rhésus négatif. La probabilité qu’une personne soit du groupe O et de rhésus négatif est donnée par la proportion de ce groupe dans le tableau, soit .
2. Pour qu’une personne soit du groupe AB, qu’elle soit rhésus + ou rhésus -, on additionne les probabilités des deux cas :
3. Pour qu’une personne soit de rhésus positif, on additionne les probabilités de chaque groupe sanguin ayant un rhésus positif :
Exercice 35 : un zoo et un enclos de dromadaires
Les animaux dans l’enclos sont:
– Deux dromadaires et
: chaque dromadaire a une seule bosse.
– Deux chameaux et
: chaque chameau a deux bosses.
– Un lama : le lama n’a pas de bosse.
Pour déterminer la probabilité que trois animaux photographiés aient au total quatre bosses, examinons toutes les combinaisons possibles.
\section*{Méthode de calcul}
Nombre total de combinaisons possibles de trois animaux parmi cinq:
Combinaisons de trois animaux donnant un total de quatre bosses:
Pour obtenir quatre bosses, il doit y avoir une combinaison de deux chameaux (2 bosses chacun) et un dromadaire (1 bosse) :
Les combinaisons possibles donnant exactement quatre bosses sont donc :
Il y a donc 2 combinaisons qui satisfont le critère.
Calcul de la probabilité:
La probabilité de photographier une combinaison de trois animaux formant quatre bosses est la proportion des combinaisons favorables parmi le nombre total de combinaisons possibles:
\section*{Conclusion}
La probabilité que le visiteur ait photographié quatre bosses est de ou
.
Exercice 36 : répartition par sexe et par classes d’âges en France
Voici la correction de l’exercice en utilisant LaTeX pour les équations :
1.
2.
3.
4.
Exercice 37 : jeu et tirer dans une cible
La probabilité d’atteindre chaque zone est proportionnelle à sa surface:
1. Calcul de la surface de chaque zone.
– Zone rouge (cercle de rayon 10 cm) :
– Zone orange (couronne avec grand rayon 30 cm et petit rayon 10 cm) :
– Zone jaune (couronne avec grand rayon 50 cm et petit rayon 30 cm) :
– Zone bleue (couronne avec grand rayon 70 cm et petit rayon 50 cm) :
2. Calcul de la probabilité pour chaque zone.
– Surface totale de la cible :
– Probabilité d’atteindre la zone rouge :
– Probabilité d’atteindre la zone orange :
– Probabilité d’atteindre la zone jaune :
– Probabilité d’atteindre la zone bleue :
En conclusion, les probabilités d’atteindre les différentes zones sont :
– Zone rouge :
– Zone orange :
– Zone jaune :
– Zone bleue :
Exercice 38 : un rubik’s cube et probabilités
Un Rubik’s cube est constitué de petits cubes.
## 1. Probabilité de tirer un petit cube avec aucune face colorée
Les cubes qui n’ont aucune face colorée sont ceux qui sont entièrement à l’intérieur du Rubik’s cube, c’est-à-dire le cube central. Il y a exactement 1 tel cube.
La probabilité de tirer un de ces cubes est donc :
## 2. Probabilité de tirer un petit cube avec une seule face colorée
Les cubes qui ont une seule face colorée sont les cubes situés au centre des faces du Rubik’s cube. Il y en a 6 (un pour chaque face du Rubik’s cube).
La probabilité de tirer un de ces cubes est donc :
## 3. Probabilité de tirer un petit cube avec trois faces colorées
Les cubes qui ont trois faces colorées sont ceux situés aux huit coins du Rubik’s cube. Il y a exactement 8 de ces cubes.
La probabilité de tirer un de ces cubes est donc :
Exercice 39 : une école de musique
1. Recopier et compléter le tableau.
Nous allons compléter les valeurs manquantes dans le tableau fourni :
2a. Quelle est la probabilité que cet élève apprenne la guitare?
La probabilité que l’élève apprenne la guitare est le nombre d’élèves apprenant la guitare divisé par le nombre total d’élèves :
2b. Quelle est la probabilité que cet élève ne fasse pas partie de l’orchestre ?
La probabilité que l’élève ne fasse pas partie de l’orchestre est le nombre d’élèves ne faisant pas partie de l’orchestre divisé par le nombre total d’élèves :
2c. Quelle est la probabilité que cet élève joue du piano dans l’orchestre ?
La probabilité que l’élève joue du piano dans l’orchestre est le nombre d’élèves jouant du piano dans l’orchestre divisé par le nombre total d’élèves :
Exercice 40 : déplacement d’une coccinelle
1.
La coccinelle a quatre directions possibles à chaque intersection : haut (H), bas (B), gauche (G) et droite (D). En partant de A, le premier déplacement la mène soit à D soit à E.
– De D, les déplacements possibles sont vers C (D → C) ou vers A (D → A).
– De E, les déplacements possibles sont vers B (E → B) ou vers A (E → A).
L’arbre de probabilité est donc :
« `
A
/ \
D E
/ \ / \
C A B A
« `
2.
Soit la probabilité d’un déplacement. Comme chaque intersection a deux chemins également probables :
,
et
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: « la coccinelle visite exactement trois points différents ».
Pour que la coccinelle visite trois points différents, elle doit visiter successivement puis
ou
puis
sans revenir directement au point de départ
.
– D → C → D : Piste valide.
– E → B → E : Piste valide.
Il y a 2 chemins (D → C et E → B) où elle visite exactement trois points différents.
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: « la coccinelle passe par le point B ».
Le point est seulement accessible à partir du point
.
– A → E → B → (B → E ou B → C)
Ça fait deux chemins : (A → E → B → E) et (A → E → B → C).
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: « la coccinelle passe deux fois par le même point ».
Pour que la coccinelle revienne sur ses pas, elle doit revenir au point de départ ou revisiter le même point après un déplacement :
– D → A → D et E → A → E (revenir au point d’origine)
Il y a ainsi quatre chemins (D → A → D, D → C → D, E → A → E, et E → B → E).
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