Statistiques : corrigés des exercices de maths en 2de.

Exercice 11 : construire un tableau des classes et fréquences
#### a) Tableau des classes et des fréquences

| Classes | Effectif |
| — | — |
| \[[98, 98.5[\] | 9 |
| \[[98.5, 99[\] | 17 |
| \[[99, 99.5[\] | 31 |
| \[[99.5, 100[\] | 26 |
| \[[100, 100.5[\] | 13 |
| \[[100.5, 101[\] | 4 |

#### b) Proportion de sachets non efficaces

Un sachet est considéré comme non efficace s’il a une masse inférieure à 99 g. Les classes correspondant à ces massiques sont \[[98, 98.5[\] et \[[98.5, 99[\].

Effectif total des sachets non efficaces :
\[ 9 + 17 = 26 \]

Nombre total de sachets :
\[ 100 \]

Proportion de sachets non efficaces :
\[
\frac{26}{100} = 0.26
\]

Donc, la proportion de sachets non efficaces dans cet échantillon est de \( 0.26 \) (ou 26%).

Exercice 12 : représenter la courbe des fréquences cumulées
\[\]Correction de l’exercice :\[\]

\[\]a) Reproduire et compléter le tableau par des valeurs approchées au centième près des fréquences et par les fréquences cumulées croissantes (FCC).\[\]

Relevons d’abord les fréquences des différentes classes:

– Classe \( [79; 82[ \): 3
– Classe \( [82; 85[ \): 9
– Classe \( [85; 88[ \): 14
– Classe \( [88; 91[ \): 4

Calcul des fréquences (en %) :

\( \text{Fréquence} = \frac{\text{Effectif de la classe}}{\text{Effectif total}} \times 100 \)

– Classe \( [79; 82[ \): \( \frac{3}{30} \times 100 \approx 10 \)
– Classe \( [82; 85[ \): \( \frac{9}{30} \times 100 \approx 30 \)
– Classe \( [85; 88[ \): \( \frac{14}{30} \times 100 \approx 46.67 \)
– Classe \( [88; 91[ \): \( \frac{4}{30} \times 100 \approx 13.33 \)

Calcul des fréquences cumulées:

– Classe \( [79; 82[ \): 10
– Classe \( [82; 85[ \): 10 + 30 = 40
– Classe \( [85; 88[ \): 40 + 46.67 = 86.67
– Classe \( [88; 91[ \): 86.67 + 13.33 = 100

Le tableau complété est le suivant :

\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Masse (en g)} \text{Fréquence} \text{FCC} \\
\hline
[79; 82[ 10 10 \\
[82; 85[ 30 40 \\
[85; 88[ 46.67 86.67 \\
[88; 91[ 13.33 100 \\
\hline
\end{array}
\]

\[\]b) Représenter la courbe des fréquences cumulées.\[\]

Pour tracer la courbe des fréquences cumulées, représentons les points suivants :

– (82, 10)
– (85, 40)
– (88, 86.67)
– (91, 100)

Ces points peuvent être reliés par des segments de droite pour former la courbe des fréquences cumulées.

\[\]c) Recopier et compléter par lecture graphique : « 75 % des expressos contiennent moins de … g de café ».\[\]

D’après le tableau et la courbe des fréquences cumulées :

75% est compris entre 40% (à 85g) et 86.67% (à 88g). On peut estimer par interpolation linéaire que 75% se situe environ à 87g.

75 % des expressos contiennent moins de \[\]87 g\[\] de café.

Exercice 13 : graphique, calculatrice et fréquences cumulées
La fréquence cumulée représente la somme des fréquences jusqu’à une certaine valeur. Elle doit donc être croissante, et atteindre 1 (ou 100%) à la fin des données.

La calculatrice affiche les statistiques suivantes :
– \( n = 17 \)
– \( \text{min} = 1 \)
– \( Q_1 = 3 \)
– \( \text{Med} = 5 \)
– \( Q_3 = 6 \)
– \( \text{max} = 7 \)

Analysons les données affichées sur la calculatrice et comparons-les avec le graphique de la fréquence cumulée :

1. \[\]Les valeurs observées\[\] sur le graphique de fréquence cumulée montrent des barres qui se clôturent à chaque entier de 1 à 7.

2. \[\]Effectif total \( n = 17 \)\[\] : cela signifie que nous avons un total de 17 observations. La fréquence cumulée finale devrait donc être 1 (ou 100%).

3. \[\]Intervalles des valeurs\[\] : chaque intervalle sur le graphique devrait représenter des sections cumulatives de la fréquence calculée. Cependant, les augmentations ne semblent pas correspondre avec les 17 valeurs affichées. Par exemple :

– Pour \( x = 1 \), la fréquence cumulée est environ 0,1, ce qui impliquerait environ 1.7 valeurs (environ, \(0.1 \times 17\)).
– Pour \( x = 2 \), la fréquence cumulée est environ 0,2, ce qui impliquerait environ 3.4 valeurs (environ, \(0.2 \times 17\)).
– Pour \( x = 3 \), la fréquence cumulée est environ 0,3, ce qui impliquerait environ 5.1 valeurs (environ, \(0.3 \times 17\)).
– Pour \( x = 4 \), la fréquence cumulée est environ 0,4, ce qui impliquerait environ 6.8 valeurs (environ, \(0.4 \times 17\)).

Ce qui ne correspond pas avec la médiane et les quartiles donnés par la calculatrice.

4. \[\]Quartiles\[\] :
– Selon les statistiques, \( Q_1 = 3 \), ce qui signifie que 25% des observations sont inférieures ou égales à 3. Cela devrait être visible sur le graphique autour de 0.25.
– La médiane (5) signifie que 50% des observations sont inférieures ou égales à 5. La fréquence cumulée autour de 5 devrait donc atteindre 0.5.
– \( Q_3 = 6 \) indique que 75% des observations sont inférieures ou égales à 6. Sur le graphique, cela correspond à une fréquence cumulative de 0.75.

Cependant, en observant le graphique :
– La fréquence cumulée atteint 1 avant d’arriver à la valeur 7.
– Les valeurs cumulatives représentées ne s’additionnent pas correctement pour atteindre le total de 17 observations.

On peut conclure que ce graphique ne peut pas correspondre aux données statistiques de la calculatrice car les valeurs de fréquence cumulée représentées ne concordent pas avec les effectifs et les quartiles indiqués par les valeurs statistiques :

1. Si l’on avait 17 observations, la fréquence cumulée pour \( x = 7 \) devrait être 1 (ou 100%).
2. Les positions des quartiles et de la médiane sur le graphique ne concordent pas avec les valeurs données \( Q_1 = 3, \text{Med} = 5, Q_3 = 6 \).

Il y a alors une incohérence entre le graphique et les données fournies par la calculatrice.

Exercice 14 : notes du dernier devoir de mathématiques et statistiques
{Correction de l’exercice :}

a) L’effectif de la classe [10 ; 12[ est 6. Pour calculer la fréquence de cette classe en pourcentage, on doit diviser l’effectif de cette classe par l’effectif total et multiplier le résultat par 100.
\[ \text{Effectif total} = 8 + 6 + 6 + 4 + 6 + 3 + 2 = 35 \]
\[ \text{Fréquence de la classe [10; 12[} = \frac{6}{35} \times 100 \approx 17.14\% \]
Donc, si une zone représentant une fréquence de 5 \% sur le graphique correspondrait par exemple à une classe ayant 5 \% de la population totale des élèves.

b) Pour vérifier si la valeur exacte est supérieure ou inférieure à 95 \%, on peut additionner les effectifs des classes sauf la dernière.
\[ 8 + 6 + 6 + 4 + 6 + 3 = 33 \]
La fréquence cumulée de ces classes jusqu’à 14 est :
\[ \frac{33}{35} \times 100 \approx 94.29\% \]
Donc, 94.29\% est inférieur à 95\%.

c) Pour estimer la moyenne des notes, on peut considérer les milieux des classes comme les notes représentatives (exemple: le milieu de la classe [0; 2[ est à 1).
\[ \text{Milieu des classes} = \{1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15\} \]
Donc,
\[ \text{Somme des notes} = 8\times 1 + 6\times 3 + 6\times 5 + 4\times 7 + 6\times 9 + 3\times 11 + 2\times 13 = 8 + 18 + 30 + 28 + 54 + 33 + 26 = 197 \]
La moyenne est:
\[ \text{Moyenne} = \frac{197}{35} \approx 5.63 \]

d) La médiane d’une série est la valeur qui divise la série en deux parties égales. Ici, notre effectif total est 35, donc la médiane se trouve à la 18ème position.
\[ 8 (effectif de la classe [0 ; 2[) + 6 (effectif de la classe [2 ; 4[) + 6 (effectif de la classe [4 ; 6[) = 20 \]
Donc, la médiane est dans la classe [4 ; 6[, donc 5. La médiane est donc 5, pas 8.
Nina a tort car 50\% des élèves n’ont pas une note inférieure ou égale à 8, mais à 5.

e) Pour trouver les premier et troisième quartiles, on regarde les positions :
\[ Q_1 = 0.25 \times 35 = 8.75 \text{ème élève} \]
\[ Q_3 = 0.75 \times 35 = 26.25 \text{ème élève} \]
Le premier quartile est donc dans la classe [2 ; 4[ car les 8 premiers élèves sont dans la classe [0 ; 2[ et le 9ème élève est dans la classe [2 ; 4[. Le premier quartile vaut donc 3.
Le troisième quartile est dans la classe [8 ; 10[ car jusqu’à la 25ème position, on est encore dans la classe [6 ; 8[ et à partir de la 26ème, on entre dans la classe [8 ; 10[. Le troisième quartile vaut donc 9.

Exercice 15 : nombre moyen de véhicules par foyer
La correction de l’exercice est la suivante :

1. Calculer le nombre moyen de véhicules par foyer.

Pour trouver le nombre moyen de véhicules par foyer, on utilise la formule :

\[ \text{Nombre moyen de véhicules} = \frac{\sum (x_i \times f_i)}{N} \]

où \(x_i\) représente le nombre de véhicules (0, 1, 2, 3, 4) et \(f_i\) le nombre de foyers ayant \(x_i\) véhicules. \(N\) est le nombre total de foyers.

Calculons :

\[ \sum (x_i \times f_i) = 0 \times 267 + 1 \times 3402 + 2 \times 19203 + 3 \times 20471 + 4 \times 1657 \]

\[ = 0 + 3402 + 38406 + 61413 + 6628 \]

\[ = 109849 \]

Le nombre total de foyers est :

\[ N = 267 + 3402 + 19203 + 20471 + 1657 = 45900 \]

Donc, le nombre moyen de véhicules par foyer est :

\[ \text{Nombre moyen de véhicules} = \frac{109849}{45900} \approx 2.39 \]

2. Compléter les phrases suivantes :

\[\]a)\[\] « Au moins … % de foyers possèdent trois véhicules au plus » :

Le nombre de foyers possédant 0, 1, 2 ou 3 véhicules est :

\[ 267 + 3402 + 19203 + 20471 = 43343 \]

Le pourcentage est donc :

\[ \frac{43343}{45900} \times 100 \approx 94.4 \% \]

Donc, au moins 94.4% des foyers possèdent trois véhicules au plus.

\[\]b)\[\] « Au moins 50 % des foyers possèdent … véhicules ou moins » :

Pour trouver ce point, nous devons trouver l’effectif cumulé des foyers jusqu’à ce que l’on atteigne ou dépasse 50% de 45900 foyers, soit 22950 foyers.

L’addition des foyers ayant 0, 1 et 2 véhicules donne :

\[ 267 + 3402 + 19203 = 22872 \]

Prendre en compte les foyers ayant 3 véhicules :

\[ 22872 + 20471 = 43343 \]

Le point auquel on atteint ou dépasse 50% est atteint avec au moins 2 véhicules.

Donc, au moins 50% des foyers possèdent 2 véhicules ou moins.

Exercice 16 : les enseignantes Mariam et Paula
a) Paula a plus d’excellentes notes que Mariam.

Pour répondre à cette question, nous devons considérer la moyenne \(\mu\) et l’écart-type \(\sigma\).

La moyenne des notes de Paula est \(\mu_P = 10\) avec un écart-type \(\sigma_P = 5\).
La moyenne des notes de Mariam est \(\mu_M = 9\) avec un écart-type \(\sigma_M = 2\).

L’énoncé des « excellentes notes » se réfère probablement à des notes significativement au-dessus des moyennes respectives.

Cependant, sans connaître la distribution exacte des notes, nous ne pouvons pas affirmer directement que Paula a plus d’excellentes notes que Mariam.

Le correct est donc : faux.

b) La classe de Paula est plus hétérogène que celle de Mariam.

L’hétérogénéité d’une classe peut être comparée en regardant l’écart-type des notes.

\[
\sigma_P = 5, \quad \sigma_M = 2
\]

Puisque \(\sigma_P > \sigma_M\), cela signifie que les notes de la classe de Paula sont plus dispersées que celles de Mariam.

Le correct est donc : vrai.

c) On est sûr que Paula a plus d’élèves ayant plus de 10.

Pour cette affirmation, nous devons examiner la proportion d’élèves dans chaque classe ayant des notes supérieures à 10. La moyenne de Paula est \(\mu_P = 10\), tandis que la moyenne de Mariam est \(\mu_M = 9\).

Cependant, sans connaitre la distribution des notes (si elle est normale ou non), on ne peut pas être « sûr » que Paula a plus d’élèves ayant plus de 10 que Mariam.

Le correct est donc : faux.

d) Paula a davantage de notes très basses que Mariam.

La présence de « notes très basses » peut être associée à l’écart-type et la moyenne.

Paula a un écart-type \(\sigma_P = 5\), indiquant une grande dispersion des notes autour de la moyenne \(\mu_P = 10\).
Mariam a un écart-type \(\sigma_M = 2\), indiquant une disperion moindre autour de la moyenne \(\mu_M = 9\).

Avec une plus grande dispersion dans les notes de Paula, il est possible qu’il y ait plus de notes très basses.

Le correct est donc : vrai.

Exercice 17 : statistiques et revenu mensuel
Pour comprendre cette situation, rappelons les définitions de la moyenne et de la médiane d’un ensemble de données :

– La médiane est la valeur qui sépare l’ensemble des données en deux moitiés : 50 % des valeurs sont en dessous de la médiane et 50 % des valeurs sont au-dessus de la médiane.
– La moyenne est la somme de toutes les valeurs divisée par le nombre de valeurs.

Dans ce contexte, on nous donne :
– Revenu médian \( = 1\,500 \, \text{€} \)
– Revenu moyen \( = 2\,500 \, \text{€} \)

Analysons chacune des propositions :

a) C’est impossible que la moyenne et la médiane soient si différentes.

Cette affirmation est incorrecte. La moyenne peut être très différente de la médiane en présence de valeurs extrêmes (salaire très élevé ou très bas). Dans ce cas particulier, la différence indique qu’il y a des très hauts revenus.

b) Un groupe de personnes perçoit de très hauts salaires.

Cette proposition est correcte. La moyenne étant supérieure à la médiane, cela signifie qu’il y a des salaires très élevés qui tirent la moyenne vers le haut.

c) Au moins la moitié des habitants gagnent plus de \(2\,500 \, \text{€}\).

Cette proposition est incorrecte. Puisque la médiane est de \(1\,500 \, \text{€}\), cela signifie qu’au moins 50 % des habitants gagnent \(1\,500 \, \text{€}\) ou moins, et donc moins de \(2\,500 \, \text{€}\).

d) Au moins la moitié des habitants gagnent au maximum \(1\,500 \, \text{€}\).

Cette proposition est correcte. Par définition de la médiane, 50 % des habitants gagnent \(1\,500 \, \text{€}\) ou moins.

Conclusion :

\[
\boxed{b} \quad \text{et} \quad \boxed{d}
\]

sont les propositions correctes.

Exercice 18 : valeur moyenne et écart-type
Soit \( x_1, x_2, \ldots, x_n \) la série de valeurs.

La moyenne \(\mu\) de cette série est donnée par :
\[ \mu = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]
On nous informe que \(\mu = 2\).

Si on ajoute 3 à chaque valeur de la série, les nouvelles valeurs sont \( x_1 + 3, x_2 + 3, \ldots, x_n + 3 \).

La nouvelle moyenne \(\mu’\) est calculée ainsi :
\[ \mu’ = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i + 3) \]
\[ \mu’ = \frac{1}{n} ( \sum_{i=1}^{n} x_i + 3n ) \]
\[ \mu’ = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i + \frac{3n}{n} \]
\[ \mu’ = \mu + 3 \]
\[ \mu’ = 2 + 3 = 5 \]

La nouvelle moyenne est donc \( \boxed{5} \).

Pour l’écart-type \(\sigma\), rappelons que l’écart-type est donné par :
\[ \sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \mu)^2} \]

Ajouter une constante à chaque valeur ne change pas la dispersion des valeurs autour de leur moyenne. Donc, si on ajoute 3 à chaque valeur, l’écart-type reste inchangé.

Le nouvel écart-type reste donc \( \boxed{1} \).

Exercice 19 : revenus mensuels des habitants d’une commune
– Calculons la médiane et les quartiles pour savoir si les affirmations sont vraies ou fausses.

\paragraph{a) La moitié des habitants de Lebu gagnent moins de 1 700 €.}

L’intervalle interquartile (IQR) pour Lebu est \([1700; 2200]\). Or, par définition, la médiane se situe au milieu de cet intervalle. Donc, la médiane de Lebu doit être entre 1 700 et 2 200 €.

Puisque 1 700 € correspond au premier quartile (\(Q_1\)), il est incorrect de dire que la moitié des habitants gagnent moins de 1 700 €.

\emph{\underline{Faux}}

\paragraph{b) Il y a proportionnellement plus d’habitants de Lebu gagnant plus de 1 700 € qu’à Tomé.}

À Tomé, l’intervalle interquartile est \([1300; 2600]\). Comparons les quartiles inférieurs \(Q_1\):

– \(Q_1\) à Lebu : 1 700 €
– \(Q_1\) à Tomé : 1 300 €

Puisque \(Q_1\) à Lebu est supérieur à \(Q_1\) à Tomé, il y a proportionnellement moins de gens gagnant moins que 1 700 € à Lebu, donc plus de gens gagnant plus de 1 700 €.

\emph{\underline{Vrai}}

\paragraph{c) Au moins un quart des habitants de Tomé gagne 2 600 € ou plus.}

2 600 € correspond ici à \(Q_3\) pour Tomé, ce qui signifie que 75 % des habitants gagnent moins que 2 600 €, et donc seulement 25 % ou moins gagnent 2 600 € ou plus.

\emph{\underline{Vrai}}

\paragraph{d) Les salaires des habitants de Lebu sont plus homogènes que ceux de Tomé.}

L’homogénéité peut être déduite de l’étendue de l’intervalle interquartile:

– Etendue de l’IQR pour Lebu = \(2200 – 1700 = 500\)
– Etendue de l’IQR pour Tomé = \(2600 – 1300 = 1300\)

L’étendue est plus faible pour Lebu, indiquant une dispersion plus faible des salaires.

\emph{\underline{Vrai}}

Exercice 20 : deux séries statistiques
Pour déterminer les moyennes et les médianes des séries A et B, nous allons commencer par détailler les calculs pour chaque série.

\[\]Série A\[\]
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Valeur} 1 2 3 4 10 \\
\hline
\text{Effectif} 5 5 5 5 5 \\
\hline
\end{array}
\]

*Méthode pour trouver la moyenne de la série A:*

\[
\text{Moyenne de A} = \frac{1 \cdot 5 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 5 + 10 \cdot 5}{5 + 5 + 5 + 5 + 5} = \frac{(1 + 2 + 3 + 4 + 10) \cdot 5}{25}
\]

\[
= \frac{20 \cdot 5}{25} = \frac{100}{25} = 4
\]

Donc, la moyenne de la série A est \( 4 \).

*Méthode pour trouver la médiane de la série A:*

Pour trouver la médiane lorsque les valeurs sont rangées par ordre croissant:
Les valeurs en ordre croissant sont \(1, 2, 3, 4\) et \(10\).
L’effectif total est de \(5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 25\).
La médiane est la valeur au milieu, donc la position médiane est la \( \frac{25 + 1}{2} \)-ème valeur, soit la 13ème valeur.
En ce qui concerne les effectifs cumulés:
– Les 5 premières valeurs sont \( 1 \),
– Les 10 suivantes sont \( 2 \),
– Les 15 suivantes sont \( 3 \).

Donc, la 13ème valeur est \( 3 \).

La médiane de la série A est donc \( 3 \).

\[\]Série B\[\]
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Valeur} 2 4 6 8 10 \\
\hline
\text{Effectif} 5 5 5 5 5 \\
\hline
\end{array}
\]

*Méthode pour trouver la moyenne de la série B:*

\[
\text{Moyenne de B} = \frac{2 \cdot 5 + 4 \cdot 5 + 6 \cdot 5 + 8 \cdot 5 + 10 \cdot 5}{5 + 5 + 5 + 5 + 5} = \frac{(2 + 4 + 6 + 8 + 10) \cdot 5}{25}
\]

\[
= \frac{30 \cdot 5}{25} = \frac{150}{25} = 6
\]

Donc, la moyenne de la série B est \( 6 \).

*Méthode pour trouver la médiane de la série B:*

Les valeurs en ordre croissant sont \(2, 4, 6, 8\) et \(10\).
L’effectif total est de \(5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 25\).
La médiane est ici aussi à la position médiane soit la \( \frac{25 + 1}{2} \)-ème valeur, c’est-à-dire la 13ème valeur.
En ce qui concerne les effectifs cumulés:
– Les 5 premières valeurs sont \( 2 \),
– Les 10 suivantes sont \( 4 \),
– Les 15 suivantes sont \( 6 \).

Donc, la 13ème valeur est \( 6 \).

La médiane de la série B est donc \( 6 \).

\[\]Résumons :\[\]

\[
\begin{array}{c|c|c}
\text{Série} \text{Moyenne} \text{Médiane} \\
\hline
\text{A} 4 3 \\
\text{B} 6 6 \\
\end{array}
\]

Exercice 21 : les indicateurs des séries de notes
1. Quelle classe a obtenu les meilleurs résultats ?

Pour déterminer quelle classe a obtenu les meilleurs résultats, on se base généralement sur la médiane des notes. La médiane représente la valeur centrale d’une série de données, ce qui donne une idée de la performance générale des élèves.

Les médianes des deux classes sont données :
– Médiane de la classe A (\(M_A\)) : 11
– Médiane de la classe B (\(M_B\)) : 9

Puisque \( M_A = 11 \) et \( M_B = 9 \), on peut conclure que la classe A a obtenu les meilleurs résultats, car sa médiane est plus élevée.

2. Quelle classe a obtenu les résultats les plus dispersés ?

Pour déterminer la dispersion des résultats, on utilise l’écart interquartile (EQ), qui mesure l’étendue des valeurs comprises entre le premier quartile (\(Q_1\)) et le troisième quartile (\(Q_3\)).

Les écarts interquartiles des deux classes sont donnés :
– Écart interquartile de la classe A : 3
– Écart interquartile de la classe B : 5

Puisque l’écart interquartile de la classe B est plus grand que celui de la classe A (\(5 > 3\)), on peut conclure que la classe B a obtenu les résultats les plus dispersés.

En résumé :
1. La classe A a obtenu les meilleurs résultats.
2. La classe B a obtenu les résultats les plus dispersés.

Exercice 22 : notes obtenues au contrôle commun
{Correction de l’exercice}

1. \[\]Quelle classe a obtenu les meilleurs résultats ?\[\]

Pour déterminer quelle classe a obtenu les meilleurs résultats, nous comparons les moyennes des notes des deux classes.

Moyenne de la classe A : \[\overline{x}_A = 10\]

Moyenne de la classe B : \[\overline{x}_B = 12\]

Puisque \[\overline{x}_B > \overline{x}_A\], la classe B a obtenu les meilleurs résultats.

2. \[\]Quelle classe a obtenu les résultats les plus dispersés ?\[\]

Pour déterminer quelle classe a obtenu les résultats les plus dispersés, nous comparons les écarts types des notes des deux classes.

Écart type de la classe A : \[\sigma_A = 2\]

Écart type de la classe B : \[\sigma_B = 3.5\]

Puisque \[\sigma_B > \sigma_A\], la classe B a les résultats les plus dispersés.

Exercice 23 : notes du dernier devoir
1. Les effectifs de 0 de la 2^e ligne signifient qu’aucun étudiant n’a obtenu cette note. Par exemple, il n’y a aucun étudiant qui a obtenu les notes 4 et 10.

2. Le nombre d’élèves qui ont obtenu la note de \( 6/10 \) est \( 5 \).

3. Le nombre d’élèves qui ont obtenu au moins \( 8/10 \) est donné par la somme des effectifs des notes \( 8, 9 \) et \( 10 \):

\[
2 + 2 + 0 = 4
\]

Donc, \( 4 \) élèves ont obtenu au moins \( 8/10 \).

4. L’effectif cumulé croissant de la note \( 3/10 \) est la somme des effectifs des notes inférieures ou égales à 3 :

\[
1 + 0 + 3 + 6 = 10
\]

5. Ce résultat montre que sur l’ensemble des étudiants, \( 10 \) élèves ont obtenu une note inférieure ou égale à \( 3/10 \).

Exercice 24 : les surfaces des salles d’une école primaire
1. La population étudiée est la superficie des différentes salles d’une école primaire, soit 12 salles.

2. Le caractère étudié est la surface des salles en mètres carrés (m²).

3. Déterminons le premier quartile \(Q_1\).

Le premier quartile est la valeur qui sépare les 25% inférieurs des données. Pour une population de 12 valeurs, \(Q_1\) est la 3.25ème valeur.

\[Q_1 = \text{3ème valeur} + 0.25 \times (\text{4ème valeur} – \text{3ème valeur})\]
\[Q_1 = 40 + 0.25 \times (45 – 40) = 40 + 0.25 \times 5 = 40 + 1.25 = 41.25 \]

4. Le premier quartile est \(41.25 \, m^2\). Cela signifie que 25% des salles ont une surface inférieure ou égale à \(41.25 \, m^2\).

5. Déterminons le troisième quartile \(Q_3\), la médiane \(Q_2\), et l’écart interquartile \(IQR\).

– La médiane \(Q_2\) correspond au \(50e\) percentile. Pour une population de 12 valeurs, \(Q_2\) est la moyenne entre la 6ème et la 7ème valeur.
\[Q_2 = \frac{\text{6ème valeur} + \text{7ème valeur}}{2}\]
\[Q_2 = \frac{50 + 52}{2} = \frac{102}{2} = 51\]

– Le troisième quartile \(Q_3\) est la valeur qui sépare les 75% inférieurs des données. Pour une population de 12 valeurs, \(Q_3\) est la 9.75ème valeur.
\[Q_3 = \text{9ème valeur} + 0.75 \times (\text{10ème valeur} – \text{9ème valeur})\]
\[Q_3 = 60 + 0.75 \times (60 – 55) = 60 + 0.75 \times 5 = 60 + 3.75 = 63.75 \]

– L’écart interquartile \(IQR\) est la différence entre le troisième et le premier quartile.
\[IQR = Q_3 – Q_1\]
\[IQR = 63.75 – 41.25 = 22.5\]

La correction complète écrite en LaTeX :

« `latex

1. La population étudiée est la superficie des différentes salles d’une école primaire, soit 12 salles.

2. Le caractère étudié est la surface des salles en mètres carrés (m²).

3. Déterminons le premier quartile \(Q_1\).

Le premier quartile est la valeur qui sépare les 25\% inférieurs des données. Pour une population de 12 valeurs, \(Q_1\) est la 3.25ème valeur :

\[
Q_1 = \text{3\textsuperscript{ème} valeur} + 0.25 \times (\text{4\textsuperscript{ème} valeur} – \text{3\textsuperscript{ème} valeur})
\]

\[
Q_1 = 40 + 0.25 \times (45 – 40) = 40 + 0.25 \times 5 = 40 + 1.25 = 41.25
\]

4. Le premier quartile est \(41.25 \, \text{m}^2\). Cela signifie que 25\% des salles ont une surface inférieure ou égale à \(41.25 \, \text{m}^2\).

5. Déterminons le troisième quartile \(Q_3\), la médiane \(Q_2\), et l’écart interquartile \(IQR\).

La médiane \(Q_2\) correspond au 50\textsuperscript{e} percentile. Pour une population de 12 valeurs, \(Q_2\) est la moyenne entre la 6ème et la 7ème valeur.
\[
Q_2 = \frac{\text{6ème valeur} + \text{7ème valeur}}{2}
\]
\[
Q_2 = \frac{50 + 52}{2} = \frac{102}{2} = 51
\]

Le troisième quartile \(Q_3\) est la valeur qui sépare les 75\% inférieurs des données. Pour une population de 12 valeurs, \(Q_3\) est la 9.75\textsuperscript{ème} valeur.
\[
Q_3 = \text{9\textsuperscript{ème} valeur} + 0.75 \times (\text{10\textsuperscript{ème} valeur} – \text{9\textsuperscript{ème} valeur})
\]
\[
Q_3 = 60 + 0.75 \times (60 – 55) = 60 + 0.75 \times 5 = 60 + 3.75 = 63.75
\]

L’écart interquartile \(IQR\) est la différence entre le troisième et le premier quartile.
\[
IQR = Q_3 – Q_1
\]
\[
IQR = 63.75 – 41.25 = 22.5
\]

« `

Exercice 25 : la température moyenne en France
Les normales de saison sur la période sont :

– Janvier : 6°C
– Février : 6,7°C
– Mars : 10°C
– Avril : 13,5°C
– Mai : 17,3°C
– Juin : 20,2°C
– Juillet : 22,5°C
– Août : 22,4°C
– Septembre : 18,9°C
– Octobre : 14,4°C
– Novembre : 9,4°C
– Décembre : 6,4°C

Avec une augmentation de 0,9°C pour chacune de ces températures, nous obtenons les nouvelles normales de saison :

– Janvier : \(6 + 0,9 = 6,9\)°C
– Février : \(6,7 + 0,9 = 7,6\)°C
– Mars : \(10 + 0,9 = 10,9\)°C
– Avril : \(13,5 + 0,9 = 14,4\)°C
– Mai : \(17,3 + 0,9 = 18,2\)°C
– Juin : \(20,2 + 0,9 = 21,1\)°C
– Juillet : \(22,5 + 0,9 = 23,4\)°C
– Août : \(22,4 + 0,9 = 23,3\)°C
– Septembre : \(18,9 + 0,9 = 19,8\)°C
– Octobre : \(14,4 + 0,9 = 15,3\)°C
– Novembre : \(9,4 + 0,9 = 10,3\)°C
– Décembre : \(6,4 + 0,9 = 7,3\)°C

Pour calculer la nouvelle température moyenne annuelle, nous faisons la somme de ces nouvelles moyennes et nous divisons par 12 :

\[
T_{\text{moyenne}} = \frac{(6,9 + 7,6 + 10,9 + 14,4 + 18,2 + 21,1 + 23,4 + 23,3 + 19,8 + 15,3 + 10,3 + 7,3)}{12}
\]

Effectuons les calculs :

\[
T_{\text{moyenne}} = \frac{(6,9 + 7,6 + 10,9 + 14,4 + 18,2 + 21,1 + 23,4 + 23,3 + 19,8 + 15,3 + 10,3 + 7,3)}{12}
= \frac{178,5}{12} = 14,875
\]

Donc, la nouvelle température moyenne en France, avec le réchauffement climatique pris en compte, est de \(14,875\)°C.

Exercice 26 : nombre de téléphones
1. Recopier et compléter le tableau des effectifs de la série ci-dessus.

\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Valeur} \text{Effectif} \text{Eff. cum. cr.} \\
\hline
0 2 2 \\
1 3 5 \\
2 6 11 \\
3 7 18 \\
4 5 23 \\
5 2 25 \\
6 2 27 \\
7 2 29 \\
8 0 29 \\
9 1 30 \\
\hline
\end{array}
\]

2. Déterminer la médiane \(M_e\) et les quartiles \(Q_1\) et \(Q_3\) de cette série.

n = 30 (nombre total d’observations)

Pour la médiane :
\[
M_e = \frac{30}{2} = 15 \quad (\text{position de la médiane})
\]
La 15ème valeur se trouve dans l’effectif cumulatif de 18 correspondant à la valeur 3.
\[
M_e = 3
\]

Pour le premier quartile \(Q_1\) :
\[
Q_1 = \frac{n+1}{4} = \frac{31}{4} = 7.75 \quad (\text{position du premier quartile})
\]
La 8ème valeur se trouve dans l’effectif cumulatif de 11 correspondant à la valeur 2.
\[
Q_1 = 2
\]

Pour le troisième quartile \(Q_3\) :
\[
Q_3 = \frac{3(n+1)}{4} = \frac{3 \times 31}{4} = 23.25 \quad (\text{position du troisième quartile})
\]
La 24ème valeur se trouve dans l’effectif cumulatif de 25 correspondant à la valeur 5.
\[
Q_3 = 5
\]

3. Interpréter le résultat du troisième quartile en faisant une phrase contenant les mots : élèves – téléphones – trois quarts – classe.

Le troisième quartile (\(Q_3 = 5\)) signifie que les trois quarts des élèves de la classe ont eu au plus 5 téléphones dans leur vie.

4. Calculer l’écart interquartile.

\[
\text{Écart interquartile} = Q_3 – Q_1 = 5 – 2 = 3
\]

Exercice 27 : les notes des élèves lors d’un devoir sur 10
1. Le tableau des effectifs cumulés croissants est :

\[
\begin{array}{c|ccccccccccc}
\text{Note} 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 \\
\hline
\text{Effectif} 1 4 4 6 10 13 19 26 28 28 30 \\
\end{array}
\]

2. L’effectif total est donné par la somme des effectifs :

\[
1 + 3 + 0 + 2 + 4 + 3 + 6 + 7 + 2 + 0 + 2 = 30
\]

Donc l’effectif total est \(30\).

3. La note médiane \(M_e\) est la note pour laquelle 50 % des élèves ont une note inférieure ou égale. Puisque l’effectif total est \(30\), la médiane est la moyenne des 15ème et 16ème valeurs. En regardant le tableau des effectifs cumulés, la 15ème et la 16ème valeur sont toutes les deux \(6\).

Donc, \(M_e = 6\).

Interprétation : La note médiane de \(6\) signifie que la moitié des élèves a obtenu une note inférieure ou égale à \(6\), et l’autre moitié a obtenu une note supérieure ou égale à \(6\).

4. Le premier quartile \(Q_1\) est la note pour laquelle 25 % des élèves ont une note inférieure ou égale. Puisque \(0,25 \times 30 = 7,5\), nous regardons la 8ème valeur dans le tableau cumulatif, qui est \(5\).

Donc, \(Q_1 = 5\).

Interprétation : 25 % des élèves ont obtenu une note inférieure ou égale à \(5\).

5. Le troisième quartile \(Q_3\) est la note pour laquelle 75 % des élèves ont une note inférieure ou égale. Puisque \(0,75 \times 30 = 22,5\), nous regardons la 23ème valeur dans le tableau cumulatif, qui est \(7\).

Donc, \(Q_3 = 7\).

Interprétation : 75 % des élèves ont obtenu une note inférieure ou égale à \(7\).

6. L’intervalle interquartile (IQR) est défini comme \(Q_3 – Q_1\).

\[
\text{IQR} = Q_3 – Q_1 = 7 – 5 = 2
\]

Interprétation : L’intervalle interquartile de \(2\) signifie que la dispersion centrale des notes, c’est-à-dire la portée des notes entre le premier et le troisième quartile, est de \(2\) unités.

Exercice 28 : les proviseurs d’un lycée
1. Dans quel lycée les classes de seconde semblent-elles les plus chargées ?

Le lycée où les classes semblent les plus chargées est celui qui a la médiane la plus élevée.

Pour le lycée A : \( M_{eA} = 30 \)

Pour le lycée B : \( M_{eB} = 33 \)

Puisque \( 33 > 30 \), les classes du lycée B semblent donc les plus chargées.

2. Dans quel lycée les effectifs par classe de seconde sont-ils les plus proches ?

L’écart interquartile (EI) mesure la dispersion des données. Un écart interquartile plus petit indique que les effectifs sont plus proches les uns des autres.

Pour le lycée A : \( EI_A = 1 \)

Pour le lycée B : \( EI_B = 4 \)

Puisque \( 1 < 4 \), les effectifs par classe de seconde sont donc les plus proches dans le lycée A.

Exercice 29 : donner une série qui correspond aux critères
Correction de l’exercice en utilisant LaTeX pour les équations :

1. Effectif total \( N = 5 \), \( \text{Me} = 6 \), \( Q_1 = 5 \) et \( Q_3 = 7 \).

Une série possible : \[ S = \{5, 5, 6, 7, 7\} \]

2. Effectif total \( N = 10 \), \( \text{Me} = 6 \), \( Q_1 = 5 \) et \( Q_3 = 9 \).

Une série possible : \[ S = \{3, 5, 5, 5, 5, 7, 9, 9, 9, 9\} \]

3. Effectif total \( N = 10 \), \( \text{Me} = 6 \), \( Q_1 = 6 \) et l’écart interquartile est égal à 1.

L’écart interquartile est donné par \( Q_3 – Q_1 = 1 \), donc \( Q_3 = 7 \).

Une série possible : \[ S = \{6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7\} \]

Exercice 30 : statistiques et Kendo
1. La valeur de la médiane est \( \text{Me} = 535 \) g. Cela signifie que 50 % des shinais de l’échantillon ont une masse inférieure ou égale à 535 g et 50 % des shinais ont une masse supérieure ou égale à 535 g.

2.
– Environ 50 % des shinais ont une masse comprise entre 510 g et 550 g.
– Environ 50 % des shinais ont une masse comprise entre 520 g et 535 g.
– Environ 50 % des shinais ont une masse comprise entre 535 g et 550 g.

3. Calcul de l’écart interquartile :
\[ Q_1 = 520 \, \text{g}, \quad Q_3 = 550 \, \text{g} \]
\[ \text{Écart interquartile} = Q_3 – Q_1 = 550 \, \text{g} – 520 \, \text{g} = 30 \, \text{g} \]

4. Pour être homologué, la masse d’un shinai doit dépasser 510 g. Étant donné que la valeur minimale de la boîte est 510 g et que tous les shinais de l’échantillon ont une masse supérieure ou égale à cette valeur, on peut conclure que toute la production de Kumamoto est conforme pour cette condition.

En résumé :
1. \( \text{Me} = 535 \, \text{g} \)
2. Trois phrases descriptives des masses :
– Environ 50 % des shinais ont une masse comprise entre 510 g et 550 g.
– Environ 50 % des shinais ont une masse comprise entre 520 g et 535 g.
– Environ 50 % des shinais ont une masse comprise entre 535 g et 550 g.
3. Écart interquartile : 30 g.
4. Tous les shinais de l’échantillon sont homologués car leur masse est supérieure à 510 g.

Exercice 31 : problème de la fabrique de céréales
1. \[\]Détermination des statistiques descriptives:\[\]

– \[\]Minimum\[\]: Le minimum de la série est \( 279 \, g \).

– \[\]Maximum\[\]: Le maximum de la série est \( 311 \, g \).

Pour déterminer la médiane (\( \text{Me} \)), les 1er et 3e quartiles (\( Q_1 \) et \( Q_3 \)), ainsi que l’écart interquartile (\( e \)), nous devons d’abord calculer les effectifs cumulés.

| Masse (g) | 279 | 280 | 281 | 282 | 283 | 284 | 285 | 286 | 287 | 288 | 289 | 290 | 291 | 292 | 293 | 294 | 295 | 296 | 297 | 298 | 299 | 300 | 301 | 302 | 303 | 304 | 305 | 306 | 307 | 308 | 309 | 310 | 311 |
|———–|—–|—–|—–|—–|—–|—–|—–|—–|—–|—–|—–|—–|—–|—–|—–|—–|—–|—–|—–|—–|—–|—–|—–|—–|—–|—–|—–|—–|—–|—–|—–|—–|—–|
| Effectif | 5 | 2 | 5 | 1 | 1 | 1 | 3 | 7 | 14 | 15 | 22 | 23 | 33 | 44 | 51 | 55 | 53 | 58 | 63 | 59 | 61 | 50 | 46 | 50 | 32 | 33 | 21 | 10 | 8 | 5 | 3 | 4 | 1 |

Ensuite, calculons les effectifs cumulés:

| Masse (g) | 279 | 280 | 281 | 282 | 283 | 284 | 285 | 286 | 287 | 288 | 289 | 290 | 291 | 292 | 293 | 294 | 295 | 296 | 297 | 298 | 299 | 300 | 301 | 302 | 303 | 304 | 305 | 306 | 307 | 308 | 309 | 310 | 311 |
|———–|—–|—–|—–|—–|—–|—–|—–|—–|—–|—–|—–|—–|—–|—–|—–|—–|—–|—–|—–|—–|—–|—–|—–|—–|—–|—–|—–|—–|—–|—–|—–|—–|—–|
| Eff. cum. | 5 | 7 | 12 | 13 | 14 | 15 | 18 | 25 | 39 | 54 | 76 | 99 | 132 | 176 | 227 | 282 | 335 | 393 | 456 | 515 | 576 | 626 | 672 | 722 | 754 | 787 | 808 | 818 | 826 | 831 | 834 | 838 | 839 |

– \[\]Médiane (\( \text{Me} \))\[\]: La médiane se trouve à la 499.5ème position (interpolation linéaire entre 498ème et 499ème position vu que \(997/2 = 498.5\)). À cette position, la masse correspondante est \( 296 \, g \).

– \[\]Premier quartile (\( Q_1 \))\[\]: Le 1er quartile se trouve à la 249.25ème position (interpolation entre la 249ème et 250ème position). La masse correspondante est \( 291 \, g \).

– \[\]Troisième quartile (\( Q_3 \))\[\]: Le 3ème quartile se trouve à la 748.75ème position (interpolation entre la 748ème et 749ème position). La masse correspondante est \( 301 \, g \).

– \[\]Écart interquartile (\( e \))\[\]: \( e = Q_3 – Q_1 = 301 – 291 = 10 \, g \).

2. \[\]Vérification des critères de la machine:\[\]

Les critères de la machine sont :
– 299 \( \leq\, \text{Me} \leq\, \) 301
– 295 \( < Q_1 \)
– \( Q_3 \leq\, \) 305
– \( e \leq\, 9 \)
– Moins de 1.5% de valeurs en dehors de [\( Q_1 – 1.5e \); \( Q_3 + 1.5e \)].

– \[\]Pour 299 \( \leq\, \text{Me} \leq\, 301\[\]: \(\text{Me} = 296\) donc \[\]NOK\[\]

– \[\]Pour 295 \( < Q_1 \)\[\]: \( Q_1 = 291\) donc \[\]NOK\[\]

– \[\]Pour \( Q_3 \leq\, \ 305 \)\[\]: \( Q_3 = 301 \) donc \[\]OK\[\]

– \[\]Pour \( e \leq\, 9 \)\[\]: \( e = 10\) donc \[\]NOK\[\]

– \[\]Pour les valeurs en dehors de [\( Q_1 – 1.5e \); \( Q_3 + 1.5e \)]\[\]

\[ Q_1 – 1.5e = 291 – 1.5 \times 10 = 276 \]
\[ Q_3 + 1.5e = 301 + 1.5 \times 10 = 316 \]

Les valeurs extrêmes de la série sont entre \( 279 \, g \) et \( 311 \, g \), tout est donc bien dans \([276; 316]\), donc \[\]OK\[\].

En conclusion, la machine \[\]ne réussit pas\[\] le test car elle ne respecte pas la médiane souhaitée ni le premier quartile, et a un écart interquartile trop élevé.

Exercice 32 : statistiques et coupes du monde de football
1. \[\]Déterminer le nombre moyen de buts marqués lors des coupes du monde, ainsi que l’écart-type correspondant.\[\]

On a les données suivantes pour le nombre de buts par match pour chaque coupe du monde:

\[\]
\{3.9, 4.1, 4.1, 2.4, 5.4, 3.6, 2.8, 2.3, 2.6, 2.7, 2.8, 2.5, 2.5, 2.7, 2.5, 2.3, 2.3, 2.7, 2.5, 2.6\}
\[\]

Calcul du nombre moyen de buts par match \( \mu \):

\[\]
\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}
\[\]

Calcul:

\[\]
\mu = \frac{3.9 + 4.1 + 4.1 + 2.4 + 5.4 + 3.6 + 2.8 + 2.3 + 2.6 + 2.7 + 2.8 + 2.5 + 2.5 + 2.7 + 2.5 + 2.3 + 2.3 + 2.7 + 2.5 + 2.6}{20} \approx 3.026
\[\]

Calcul de l’écart-type \( \sigma \):

\[\]
\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i – \mu)^2}{n}}
\[\]

Calcul:

\[\]
\sigma = \sqrt{\frac{(3.9 – 3.026)^2 + (4.1 – 3.026)^2 + (4.1 – 3.026)^2 + \ldots + (2.6 – 3.026)^2}{20}}
\[\]

\[\]
\sigma \approx 0.888
\[\]

2. \[\]En 2018, lors des matchs joués par la France, il y a eu une moyenne de 2.9 buts. Pour l’Allemagne, cette moyenne est de 2. Commenter.\[\]

La moyenne générale de buts/match pour la coupe du monde de 2018 est de 2.6 buts/match.

Pour la France:

\[\]
2.9 \text{ buts/match}
\[\]

– La France a un nombre moyen de buts par match supérieur à la moyenne globale de 2018 (2.9 > 2.6), ce qui indique qu’elle a marqué relativement plus de buts par match que la moyenne des autres équipes.

Pour l’Allemagne:

\[\]
2 \text{ buts/match}
\[\]

– L’Allemagne a un nombre moyen de buts par match inférieur à la moyenne globale de 2018 (2 < 2.6), ce qui indique qu’elle a marqué relativement moins de buts par match que la moyenne des autres équipes.

En conclusion, la performance offensive de la France en termes de nombre de buts par match en 2018 était au-dessus de la moyenne, tandis que celle de l’Allemagne était en dessous de la moyenne.

Exercice 33 : le nombre de mails reçus
1. Calculer une valeur approchée de la moyenne \(\,\overline{x}\) et de l’écart-type \(\sigma\) de cette série.

Pour calculer la moyenne \(\,\overline{x}\), nous utilisons la formule suivante :
\[
\,\overline{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i n_i}{\sum_{i=1}^{n} n_i}
\]

Les valeurs et leurs effectifs sont :
\[
\{ (x_i, n_i) \} = \{ (1, 24), (2, 48), (3, 52), (4, 78), (5, 65), (6, 80), (7, 73), (8, 25), (9, 27), (10, 13) \}
\]

Calculons la somme des produits \(x_i n_i\) :
\[
1 \cdot 24 + 2 \cdot 48 + 3 \cdot 52 + 4 \cdot 78 + 5 \cdot 65 + 6 \cdot 80 + 7 \cdot 73 + 8 \cdot 25 + 9 \cdot 27 + 10 \cdot 13
\]

\[
= 24 + 96 + 156 + 312 + 325 + 480 + 511 + 200 + 243 + 130
\]

\[
= 2477
\]

Calculons la somme des effectifs \(n_i\) :
\[
24 + 48 + 52 + 78 + 65 + 80 + 73 + 25 + 27 + 13
\]

\[
= 485
\]

Donc, la moyenne \(\,\overline{x}\) est :
\[
\,\overline{x} = \frac{2477}{485} \approx 5.11
\]

Pour calculer l’écart-type \(\sigma\), utilisons la formule :
\[
\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} n_i (x_i – \,\overline{x})^2}{\sum_{i=1}^{n} n_i}}
\]

Nous devons d’abord calculer \((x_i – \,\overline{x})^2\) pour chaque \(x_i\) et multiplier par \(n_i\) :
\[
24 \cdot (1 – 5.11)^2 = 24 \cdot 16.9121 = 405.852,
\]
\[
48 \cdot (2 – 5.11)^2 = 48 \cdot 9.6921 = 465.2208,
\]
\[
52 \cdot (3 – 5.11)^2 = 52 \cdot 4.4521 = 231.5092,
\]
\[
78 \cdot (4 – 5.11)^2 = 78 \cdot 1.2321 = 96.9068,
\]
\[
65 \cdot (5 – 5.11)^2 = 65 \cdot 0.0121 = 0.7865,
\]
\[
80 \cdot (6 – 5.11)^2 = 80 \cdot 0.7921 = 63.368,
\]
\[
73 \cdot (7 – 5.11)^2 = 73 \cdot 3.5721 = 260.7613,
\]
\[
25 \cdot (8 – 5.11)^2 = 25 \cdot 8.3521 = 208.8025,
\]
\[
27 \cdot (9 – 5.11)^2 = 27 \cdot 15.1321 = 408.5667,
\]
\[
13 \cdot (10 – 5.11)^2 = 13 \cdot 23.8321 = 309.8173
\]

La somme totale de ces valeurs est :
\[
405.852 + 465.2208 + 231.5092 + 96.9068 + 0.7865 + 63.368 + 260.7613 + 208.8025 + 408.5667 + 309.8173
\]

\[
= 2451.5914
\]

Donc, l’écart-type \(\sigma\) est :
\[
\sigma = \sqrt{\frac{2451.5914}{485}} \approx \sqrt{5.054} \approx 2.25
\]

2. Si leur effectif augmentait, donner les valeurs de \(x_i\) qui feraient :

a. baisser en même temps \(\,\overline{x}\) et \(\sigma\) ;

b. augmenter en même temps \(\,\overline{x}\) et \(\sigma\).

a. Pour que la moyenne \(\,\overline{x}\) et l’écart-type \(\sigma\) baissent, il faut ajouter des valeurs \(x_i\) inférieures à \(\,\overline{x} \approx 5.11\).

b. Pour que la moyenne \(\,\overline{x}\) et l’écart-type \(\sigma\) augmentent, il faut ajouter des valeurs \(x_i\) supérieures à \(\,\overline{x} \approx 5.11\).

Exercice 34 : une professeure de mathématiques
Voici la correction détaillée de l’exercice de mathématiques fourni :

On commence par utiliser les données du tableau des valeurs et des effectifs pour calculer la moyenne et l’écart-type.

1. \[\]Entrer les notes dans la calculatrice avec les effectifs de copies associés.\[\]

Le tableau des valeurs et de leurs effectifs est le suivant :

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Valeur (x)} \text{Effectif (n)} \\
\hline
3 2 \\
4 5 \\
5 7 \\
6 3 \\
7 8 \\
9 3 \\
10 4 \\
11 6 \\
12 3 \\
13 4 \\
15 3 \\
16 2 \\
18 1 \\
19 1 \\
\hline
\end{array}
\]

2. \[\]Calcul de la moyenne et de l’écart-type :\[\]

La moyenne ( \( \,\overline{x} \) ) se calcule comme suit :

\[
\,\overline{x} = \frac{\sum (x \times n)}{\sum n}
\]

\[
\sum (x \times n) = 3 \times 2 + 4 \times 5 + 5 \times 7 + 6 \times 3 + 7 \times 8 + 9 \times 3 + 10 \times 4 + 11 \times 6 + 12 \times 3 + 13 \times 4 + 15 \times 3 + 16 \times 2 + 18 \times 1 + 19 \times 1 = 556
\]

\[
\sum n = 2 + 5 + 7 + 3 + 8 + 3 + 4 + 6 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 + 1 = 50
\]

\[
\,\overline{x} = \frac{556}{50} = 11.12
\]

L’écart-type ( \( \sigma \) ) est calculé comme suit :

\[
\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x^2 \times n)}{\sum n} – \,\overline{x}^2}
\]

\[
\sum (x^2 \times n) = 3^2 \times 2 + 4^2 \times 5 + 5^2 \times 7 + 6^2 \times 3 + 7^2 \times 8 + 9^2 \times 3 + 10^2 \times 4 + 11^2 \times 6 + 12^2 \times 3 + 13^2 \times 4 + 15^2 \times 3 + 16^2 \times 2 + 18^2 \times 1 + 19^2 \times 1 = 6824
\]

\[
\sigma = \sqrt{\frac{6824}{50} – 11.12^2} = \sqrt{136.48 – 123.37} = \sqrt{13.11} \approx 3.62
\]

3. \[\]Modification des effectifs après correction d’une erreur de notation :\[\]

La professeure s’aperçoit d’une erreur lors de la saisie de la note de 9, qui devrait être 19. On modifie les effectifs comme suit:

– Diminuer l’effectif de la note 9 de 3 à 2.
– Augmenter l’effectif de la note 19 de 1 à 2.

On recalcule la moyenne avec ces nouvelles valeurs.

\[
\text{Nouveau } \sum (x \times n) = 556 – 9 + 19 = 566
\]

\[
\text{Nouvelle moyenne } \,\overline{x} = \frac{566}{50} = 11.32
\]

La nouvelle moyenne est donc de 11.32. Ceci signifie que la nouvelle moyenne est supérieure à la moyenne fournie par le centre d’examen (10.0). Par conséquent, on peut conclure que le paquet de copies de la professeure est meilleur que la moyenne du centre d’examen.

\[\]Conclusion :\[\]

Avec la correction de l’erreur de note, la moyenne du paquet de la professeure est supérieure à celle du centre (11.32 contre 10.0). Ainsi, après correction, on peut dire que son paquet est meilleur que la moyenne du centre d’examen.

Exercice 35 : la moyenne de Ronista
1. La moyenne \( m \) de Ronista est calculée sur 4 notes, donc :

\[
m = \frac{n_1 + n_2 + n_3 + n_4}{4}
\]

D’où la somme des points sur l’ensemble des 4 notes est :

\[
S = n_1 + n_2 + n_3 + n_4 = 4m
\]

2. Si elle a obtenu 6, 10 et 12 aux trois premiers contrôles, les notes sont \( n_1 = 6 \), \( n_2 = 10 \) et \( n_3 = 12 \). La note au dernier contrôle \( n_4 \) peut s’exprimer en fonction de \( m \) comme suit :

\[
m = \frac{6 + 10 + 12 + n_4}{4}
\]

En résolvant pour \( n_4 \), nous obtenons :

\[
4m = 6 + 10 + 12 + n_4
\]

\[
n_4 = 4m – 28
\]

3. Voici le programme Python complété pour calculer la note \( n_4 \) au dernier contrôle :

« `python
def MoyenneVoulue(m):
note = 4*m – 28
if note > 20:
return(« Impossible. »)
else:
return(note)
« `

4. La fonction Python qui utilise les trois premières notes obtenues et la moyenne souhaitée pour renvoyer la dernière note à obtenir est présentée ci-dessous :

« `python
def DerniereNote(n1, n2, n3, m):
# Calcule la somme des trois premières notes
somme = n1 + n2 + n3
# Calcule la note nécessaire au dernier contrôle
n4 = 4 * m – somme
# Vérifie si la note est possible
if n4 < 0 or n4 > 20:
return(« Impossible. »)
else:
return(n4)
« `

Utilisation de la fonction :
« `python
# Par exemple, si les trois premières notes sont 6, 10, 12 et la moyenne souhaitée est 15
print(DerniereNote(6, 10, 12, 15))
« `
Cela renverra la note nécessaire au dernier contrôle pour atteindre la moyenne souhaitée.

Exercice 36 : quatre cibles et statistiques
Correction de l’exercice :

1. Calcul de la moyenne et de l’écart-type pour chaque cible :

Pour la première cible (en haut à gauche) :
Distances : 3.16, 3.16, 3.61, 2, 3
Calcul de la moyenne :
\[ \text{Moyenne} = \frac{3.16 + 3.16 + 3.61 + 2 + 3}{5} = \frac{14.93}{5} = 2.984 \approx 2.84 \]

Calcul de l’écart-type :
\[ s = \sqrt{\frac{\sum (x_i – \,\overline{x})^2}{N-1}} = \sqrt{\frac{(3.16-2.984)^2 + (3.16-2.984)^2 + (3.61-2.984)^2 + (2-2.984)^2 + (3-2.984)^2}{4}} \approx 0.97 \]

Pour la deuxième cible (en haut à droite) :
Distances : 0.82, 0.13, 0.63, 0.24, 1.14
Calcul de la moyenne :
\[ \text{Moyenne} = \frac{0.82 + 0.13 + 0.63 + 0.24 + 1.14}{5} = \frac{2.96}{5} = 0.592 \approx 0.79 \]

Calcul de l’écart-type :
\[ s = \sqrt{\frac{\sum (x_i – \,\overline{x})^2}{N-1}} = \sqrt{\frac{(0.82-0.592)^2 + (0.13-0.592)^2 + (0.63-0.592)^2 + (0.24-0.592)^2 + (1.14-0.592)^2}{4}} \approx 0.19 \]

Pour la troisième cible (en bas à gauche) :
Distances : 4.12, 2.5, 1.16, 4.33, 4.12
Calcul de la moyenne :
\[ \text{Moyenne} = \frac{4.12 + 2.5 + 1.16 + 4.33 + 4.12}{5} = \frac{16.23}{5} = 3.246 \approx 3.33 \]

Calcul de l’écart-type :
\[ s = \sqrt{\frac{\sum (x_i – \,\overline{x})^2}{N-1}} = \sqrt{\frac{(4.12-3.246)^2 + (2.5-3.246)^2 + (1.16-3.246)^2 + (4.33-3.246)^2 + (4.12-3.246)^2}{4}} \approx 0.55 \]

Pour la quatrième cible (en bas à droite) :
Distances : 2.23, 1.22, 5.16, 4.21, 3.23
Calcul de la moyenne :
\[ \text{Moyenne} = \frac{2.23 + 1.22 + 5.16 + 4.21 + 3.23}{5} = \frac{16.05}{5} = 3.21 \approx 3.21 \]

Calcul de l’écart-type :
\[ s = \sqrt{\frac{\sum (x_i – \,\overline{x})^2}{N-1}} = \sqrt{\frac{(2.23-3.21)^2 + (1.22-3.21)^2 + (5.16-3.21)^2 + (4.21-3.21)^2 + (3.23-3.21)^2}{4}} \approx 1.42 \]

En associant les couples (moyenne ; écart-type) aux cibles, on obtient :
– Première cible : \((2.84 ; 0.97)\)
– Deuxième cible : \((0.79 ; 0.19)\)
– Troisième cible : \((3.33 ; 0.55)\)
– Quatrième cible : \((3.21 ; 1.42)\)

2. Association des tireurs aux cibles :

Un tireur expérimenté : cible 2, car les flèches sont très proches du centre (moyenne faible) et l’écart-type est le plus faible, ce qui signifie une bonne précision.

Deux tireurs débutants : cibles 3 et 4, car les moyennes sont relativement élevées, ce qui indique une distance importante par rapport au centre :

– Cible 3 : \((3.33 ; 0.55)\)
– Cible 4 : \((3.21 ; 1.42)\)

Un tireur ayant mal réglé son viseur : cible 1, car la moyenne n’est pas la plus grande mais l’écart-type, même s’il est supérieur à la cible 2, reste modéré et indique une certaine régularité dans les tirs mais pas très proches du centre.

Ainsi, on a :

– Cible 1 : Un tireur ayant mal réglé son viseur.
– Cible 2: Un tireur expérimenté.
– Cible 3 : Un tireur débutant.
– Cible 4 : Un tireur débutant.