Exercice 1 : placer des points sur un cercle trigonométrique
[a)] Pour \[M\], image de \[\frac{4\pi}{3}\] :
\[
\frac{4\pi}{3} \equiv -\frac{2\pi}{3} \pmod{2\pi}
\]
Donc, le point \[M\] se situe à \[-\frac{2\pi}{3}\] sur le cercle trigonométrique, soit à \[240^\circ\].
[b)] Pour \[N\], image de \[\frac{19\pi}{2}\] :
\[
\frac{19\pi}{2} = 9\pi + \frac{\pi}{2} \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}
\]
Donc, le point \[N\] se situe à \[\frac{\pi}{2}\] sur le cercle trigonométrique, soit à \[90^\circ\].
[c)] Pour \[P\], image de \[-\frac{3\pi}{4}\] :
\[
-\frac{3\pi}{4} \equiv -\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{5\pi}{4} \pmod{2\pi}
\]
Donc, le point \[P\] se situe à \[\frac{5\pi}{4}\] sur le cercle trigonométrique, soit à \[225^\circ\].
[d)] Pour \[R\], image de \[\frac{29\pi}{4}\] :
\[
\frac{29\pi}{4} = 7\pi + \frac{\pi}{4} \equiv \frac{\pi}{4} \pmod{2\pi}
\]
Donc, le point \[R\] se situe à \[\frac{\pi}{4}\] sur le cercle trigonométrique, soit à \[45^\circ\].
Exercice 2 : image et cercle trigonométrique
Tracer un cercle trigonométrique.
Placer les points suivants sur le cercle trigonométrique :
\[M\], image de \[\frac{\pi}{5}\]: Ce point est situé à un angle de \[\frac{\pi}{5}\] radians dans le sens direct à partir de l’axe des abscisses.
\[N\], image de \[\frac{11\pi}{6}\]: Cet angle peut être simplifié pour tomber dans la première révolution du cercle. \[\frac{11\pi}{6} – 2\pi = \frac{11\pi}{6} – \frac{12\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}\]. Donc l’angle équivalent dans la première révolution est \[-\frac{\pi}{6}\], ce qui indique un quart de tour vers la gauche à partir de l’axe des abscisses.
\[P\], image de \[-\frac{7\pi}{6}\]: Simplifions cet angle pour tomber dans la première révolution du cercle. \[-\frac{7\pi}{6} + 2\pi = -\frac{7\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}\]. Donc l’angle équivalent dans la première révolution est \[\frac{5\pi}{6}\], ce qui indique un angle dans le deuxième quadrant, un peu plus loin que l’axe des ordonnées.
\[R\], image de \[-\frac{17\pi}{3}\]: Simplifions cet angle pour qu’il tombe dans la première révolution du cercle. \[-\frac{17\pi}{3} + 6\pi = -\frac{17\pi}{3} + \frac{18\pi}{3} = \frac{\pi}{3}\]. Donc l’angle équivalent dans la première révolution est \[\frac{\pi}{3}\], ce qui indique un angle dans le premier quadrant, proche de \[\frac{\pi}{4}\], mais un peu moins.
Exercice 3 : point image sur le cercle trigonométrique
Pour déterminer si les nombres réels \(\frac{101\pi}{6}\) et \(\frac{5\pi}{6}\) ont le même point image sur un cercle trigonométrique, nous devons examiner leurs angles équivalents modulo \(2\pi\).
Calculons d’abord \(\frac{101\pi}{6}\) modulo \(2\pi\):
\[
\frac{101\pi}{6} : 2\pi = \frac{101\pi}{6} \cdot \frac{1}{2\pi} = \frac{101}{12} \approx 8.4167
\]
En ne prenant en compte que la partie entière de ce résultat, nous avons \(8\), ce qui signifie que:
\[
\frac{101\pi}{6} \equiv \frac{101\pi}{6} – 8 \times 2\pi
\]
Calculons cette soustraction:
\[
\frac{101\pi}{6} – 8 \times 2\pi = \frac{101\pi}{6} – \frac{96\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}
\]
Ainsi,
\[
\frac{101\pi}{6} \equiv \frac{5\pi}{6} \mod 2\pi
\]
La conclusion est donc que \(\frac{101\pi}{6}\) et \(\frac{5\pi}{6}\) ont le même point image sur un cercle trigonométrique.
Exercice 4 : donner des nombres ayant le même point image
Correction de l’exercice :
Pour qu’un nombre réel ait le même point image sur un cercle trigonométrique, il suffit que leurs arguments diffèrent d’un multiple entier de \(2\pi\).
a) \(\pi\)
Nombres positifs :
\[
\pi + 2k\pi \quad \text{pour} \quad k \in \mathbb{N}
\]
Deux exemples :
\[
\pi + 2\pi = 3\pi
\]
\[
\pi + 4\pi = 5\pi
\]
Nombre négatif :
\[
\pi – 2\pi = -\pi
\]
b) \(\frac{\pi}{2}\)
Nombres positifs :
\[
\frac{\pi}{2} + 2k\pi \quad \text{pour} \quad k \in \mathbb{N}
\]
Deux exemples :
\[
\frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2}
\]
\[
\frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{9\pi}{2}
\]
Nombre négatif :
\[
\frac{\pi}{2} – 2\pi = -\frac{3\pi}{2}
\]
c) \(\frac{\pi}{4}\)
Nombres positifs :
\[
\frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{pour} \quad k \in \mathbb{N}
\]
Deux exemples :
\[
\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}
\]
\[
\frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{17\pi}{4}
\]
Nombre négatif :
\[
\frac{\pi}{4} – 2\pi = -\frac{7\pi}{4}
\]
d) \(-\frac{3\pi}{5}\)
Nombres positifs :
\[
-\frac{3\pi}{5} + 2k\pi \quad \text{pour} \quad k \in \mathbb{N}
\]
Deux exemples :
\[
-\\frac{3\pi}{5} + 2\pi = \frac{7\pi}{5}
\]
\[
-\frac{3\pi}{5} + 4\pi = \frac{17\pi}{5}
\]
Nombre négatif :
\[
-\frac{3\pi}{5} – 2\pi = -\frac{13\pi}{5}
\]
Exercice 5 : trigonométrie et calculatrice
« `latex
{Correction de l’exercice:}
{a)} Utiliser la calculatrice pour donner une valeur approchée au centième près de \[\cos(\frac{3\pi}{4})\].
En utilisant une calculatrice, nous trouvons:
\[
\cos(\frac{3\pi}{4}) \approx -0.71
\]
{b)} Déterminer à l’aide d’un cercle trigonométrique les valeurs exactes de \[\cos(\frac{3\pi}{4})\] et \[\sin(\frac{3\pi}{4})\].
Sur le cercle trigonométrique, l’angle \[\frac{3\pi}{4}\] est dans le deuxième quadrant.
La valeur de \[\cos(\frac{3\pi}{4})\] est négative et égale en valeur absolue à celle de \[\cos(\frac{\pi}{4})\] car ils sont symétriques par rapport à l’axe \[y\].
\[
\cos(\frac{3\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}
\]
La valeur de \[\sin(\frac{3\pi}{4})\] est positive et égale à celle de \[\sin(\frac{\pi}{4})\]:
\[
\sin(\frac{3\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
« `
Exercice 6 : calculer une longueur avec la trigonométrie
a) Utiliser la figure ci-contre pour calculer la valeur exacte de \( OH \).
\( \triangle OMH \) est un triangle rectangle isocèle en \( H \). Dans un triangle rectangle isocèle, les deux côtés ayant la même longueur sont les deux côtés de l’angle droit. Donc, \( OH = MH \).
Comme il est donné que \( OM = 1 \), on peut utiliser le théorème de Pythagore pour calculer \( OH \) :
\[ OM^2 = OH^2 + MH^2 \]
\[ 1^2 = OH^2 + OH^2 \]
\[ 1 = 2OH^2 \]
\[ OH^2 = \frac{1}{2} \]
\[ OH = \frac{1}{\sqrt{2}} \]
b) Quelle est la mesure en degrés de l’angle \( \widehat{HOM} \) ?
Puisque le triangle \( OMH \) est isocèle, les angles à la base sont égaux. Donc, nous avons :
\[ \widehat{HOM} = \widehat{HMO} \]
Sachant que la somme des angles d’un triangle est \( 180^\circ \) et que l’angle droit vaut \( 90^\circ \), chaque angle de base vaut :
\[ \widehat{HOM} = \frac{180^\circ – 90^\circ}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ \]
c) Retrouver les valeurs exactes de \( \cos \frac{\pi}{4} \) et \( \sin \frac{\pi}{4} \).
L’angle \( \frac{\pi}{4} \) est équivalent à \( 45^\circ \). Dans un triangle rectangle isocèle (comme \( \triangle OMH \)), les valeurs des cosinus et sinus de \( 45^\circ \) sont :
\[ \cos \frac{\pi}{4} = \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
\[ \sin \frac{\pi}{4} = \sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Exercice 7 : déterminer une longueur sur le cercle trigonométrique
Le cercle trigonométrique \(\mathcal{C}\) a un centre \(O\) et un rayon égal à 1. Les points \(A\) et \(B\) ont une ordonnée de 0,5 et les points \(C\) et \(D\) ont une ordonnée de -0,6.
L’objectif est de déterminer une valeur approchée au centième près de la longueur \(\ell\) de la figure rouge.
1. \[\]Coordonnées des points\[\]
– Les points \(A\) et \(B\) ont des coordonnées \((x_A, 0.5)\) et \((x_B, 0.5)\).
– Les points \(C\) et \(D\) ont des coordonnées \((x_C, -0.6)\) et \((x_D, -0.6)\).
Sur un cercle trigonométrique, pour un point \((x, y)\) on a \(x^2 + y^2 = 1\).
Pour les points \(A\) et \(B\) :
\[
x_A^2 + (0.5)^2 = 1 \implies x_A^2 + 0.25 = 1 \implies x_A^2 = 0.75 \implies x_A = \pm \sqrt{0.75}
\]
\[
x_A = \pm \sqrt{0.75} \approx \pm 0.866
\]
Donc, les coordonnées des points \(A\) et \(B\) sont \((0.866, 0.5)\) et \((-0.866, 0.5)\).
Pour les points \(C\) et \(D\) :
\[
x_C^2 + (-0.6)^2 = 1 \implies x_C^2 + 0.36 = 1 \implies x_C^2 = 0.64 \implies x_C = \pm \sqrt{0.64}
\]
\[
x_C = \pm \sqrt{0.64} \approx \pm 0.8
\]
Donc, les coordonnées des points \(C\) et \(D\) sont \((0.8, -0.6)\) et \((-0.8, -0.6)\).
2. \[\]Calcul des longueurs des segments rouge\[\]
La longueur \(\ell\) de la figure rouge est composée des segments \(AB\) et \(CD\).
Pour \(AB\) :
\[
AB = \sqrt{(x_A – x_B)^2 + (0.5 – 0.5)^2}
\]
Comme \(x_A = 0.866\) et \(x_B = -0.866\), la distance \(AB\) est :
\[
AB = \sqrt{(0.866 – (-0.866))^2 + 0^2} = \sqrt{(0.866 + 0.866)^2} = \sqrt{(1.732)^2} = 1.732
\]
Pour \(CD\) :
\[
CD = \sqrt{(x_C – x_D)^2 + (-0.6 – (-0.6))^2}
\]
Comme \(x_C = 0.8\) et \(x_D = -0.8\), la distance \(CD\) est :
\[
CD = \sqrt{(0.8 – (-0.8))^2 + 0^2} = \sqrt{(0.8 + 0.8)^2} = \sqrt{(1.6)^2} = 1.6
\]
La longueur totale \(\ell\) est donc :
\[
\ell = AB + CD = 1.732 + 1.6 = 3.332
\]
Ainsi, une valeur approchée au centième près de la longueur \(\ell\) de la figure rouge est \(\ell \approx 3.33\).
Exercice 8 : calculer une valeur approchée de la longueur L
Pour trouver la valeur approchée de la longueur \( L \) de la figure rouge, nous allons calculer la somme des segments :
1. La longueur du segment vertical \( OA \),
2. La longueur du segment horizontal \( AB \),
3. La longueur de l’arc de cercle \( IB \).
\[\]1. Longueur du segment \( OA \)\[\] :
\( OA \) est la verticale de \( O \) à \( A \), donc:
\[ OA = 0,6 \]
\[\]2. Longueur du segment \( AB \)\[\] :
\( AB \) est le segment horizontal de \( A \) à \( B \). La longueur est la différence entre les abscisses de \( B \) et \( A \). Utilisons les coordonnées polaires pour déterminer l’abscisse de \( B \).
Comme \( \angle BOM = \theta \) où \( O \) est l’origine, \( M \) est le point sur \( x \)-axe et donc:
\[ \sin(\theta) = 0,6 \]
Donc :
\[ \theta = \arcsin(0,6) \]
L’abscisse de \( B \) est \( x = \cos(\theta) \):
\[ x = \cos(\arcsin(0,6)) \]
\[ x = \sqrt{1 – (0,6)^2} \]
\[ x = \sqrt{1 – 0,36} \]
\[ x = \sqrt{0,64} \]
\[ x = 0,8 \]
Donc la longueur de \( AB \) est :
\[ AB = 1 – x = 1 – 0,8 = 0,2 \]
\[\]3. Longueur de l’arc de cercle \( IB \)\[\] :
L’arc \( IB \) correspond à l’angle \( \theta \):
\[ \theta = \arcsin(0,6) \]
Convertissons en radians pour la longueur de l’arc:
\[ \theta \approx \arcsin(0,6) \approx 0,6435 \, \text{radians} \]
La longueur de l’arc de cercle est :
\[ IB = \theta \times r = 0,6435 \times 1 = 0,6435 \]
\[\]Calcul de la longueur totale \( L \)\[\] :
\[ L = OA + AB + IB \]
\[ L = 0,6 + 0,2 + 0,6435 \]
\[ L = 1,4435 \]
Arrondissons au centième près:
\[ L \approx 1,44 \]
Donc, la valeur approchée de la longueur \( L \) est \( 1,44 \).
Exercice 9 : algorithme et trigonométrie
Pour résoudre cet exercice d’algorithme, nous devons calculer la somme \( S \) pour \( n = 4 \) et \( n = 5 \) en suivant les instructions de l’algorithme donné.
### Cas a) : \( n = 4 \)
L’algorithme se déroule comme suit :
1. Initialiser \( S \) à 0.
2. Pour \( k \) allant de 0 à 4, ajouter \( \cos(\frac{k \pi}{4}) \) à \( S \).
Les valeurs de \( k \) et les contributions à \( S \) sont :
– Pour \( k = 0 \) : \( S = S + \cos(0) = 0 + 1 = 1 \)
– Pour \( k = 1 \) : \( S = S + \cos(\frac{\pi}{4}) = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \)
– Pour \( k = 2 \) : \( S = S + \cos(\frac{2\pi}{4}) = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} + 0 = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \)
– Pour \( k = 3 \) : \( S = S + \cos(\frac{3\pi}{4}) = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} – \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 \)
– Pour \( k = 4 \) : \( S = S + \cos(\pi) = 1 – 1 = 0 \)
Donc, la somme \( S \) pour \( n = 4 \) est \( S = 0 \).
### Cas b) : \( n = 5 \)
L’algorithme se déroule comme suit :
1. Initialiser \( S \) à 0.
2. Pour \( k \) allant de 0 à 5, ajouter \( \cos(\frac{k \pi}{5}) \) à \( S \).
Les valeurs de \( k \) et les contributions à \( S \) sont :
– Pour \( k = 0 \) : \( S = S + \cos(0) = 0 + 1 = 1 \)
– Pour \( k = 1 \) : \( S = S + \cos(\frac{\pi}{5}) = 1 + \cos(\frac{\pi}{5}) \)
– Pour \( k = 2 \) : \( S = S + \cos(\frac{2\pi}{5}) = 1 + \cos(\frac{\pi}{5}) + \cos(\frac{2\pi}{5}) \)
– Pour \( k = 3 \) : \( S = S + \cos(\frac{3\pi}{5}) = 1 + \cos(\frac{\pi}{5}) + \cos(\frac{2\pi}{5}) + \cos(\frac{3\pi}{5}) \)
– Pour \( k = 4 \) : \( S = S + \cos(\frac{4\pi}{5}) = 1 + \cos(\frac{\pi}{5}) + \cos(\frac{2\pi}{5}) + \cos(\frac{3\pi}{5}) + \cos(\frac{4\pi}{5}) \)
– Pour \( k = 5 \) : \( S = S + \cos(\pi) = 1 + \cos(\frac{\pi}{5}) + \cos(\frac{2\pi}{5}) + \cos(\frac{3\pi}{5}) + \cos(\frac{4\pi}{5}) – 1 \)
Puisque \( \cos(\frac{\pi}{5}) \), \( \cos(\frac{2\pi}{5}) \), \( \cos(\frac{3\pi}{5}) \), et \( \cos(\frac{4\pi}{5}) \) sont symétriques et leur somme est nulle (propriété des racines de l’unité),
\[
S = 0
\]
Ainsi, en suivant le même raisonnement,
Pour \( n = 5 \), la somme \( S \) est également \( S = 0 \).
Exercice 10 : mesures d’angle et point image
Correction de l’exercice :
a) \(180^\circ\)
Pour un angle de \(180^\circ\), le point \(M\) sur le cercle trigonométrique correspond à \(M(-1, 0)\).
Donc, le nombre réel est \(-1\).
b) \(90^\circ\)
Pour un angle de \(90^\circ\), le point \(M\) sur le cercle trigonométrique correspond à \(M(0, 1)\).
Donc, le nombre réel est \(i\).
c) \(10^\circ\)
Pour un angle de \(10^\circ\), le point \(M\) sur le cercle trigonométrique correspond à \(M( \cos(10^\circ), \sin(10^\circ) )\).
Donc, le nombre réel est \( \cos(10^\circ) + i\sin(10^\circ) \).
d) \(60^\circ\)
Pour un angle de \(60^\circ\), le point \(M\) sur le cercle trigonométrique correspond à \(M( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} )\).
Donc, le nombre réel est \( \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \).
e) \(30^\circ\)
Pour un angle de \(30^\circ\), le point \(M\) sur le cercle trigonométrique correspond à \(M( \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} )\).
Donc, le nombre réel est \( \frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2} \).
f) \(45^\circ\)
Pour un angle de \(45^\circ\), le point \(M\) sur le cercle trigonométrique correspond à \(M( \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} )\).
Donc, le nombre réel est \( \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \).
Exercice 11 : calculer la mesure d’un angle
a) Nous devons calculer mentalement la mesure en degrés de \(\widehat{IOM}\).
Puisque \( M \) est le point image du nombre réel \(\frac{\pi}{10}\), l’angle \(\widehat{IOM}\) est \(\frac{\pi}{10}\) radians.
Pour convertir des radians en degrés, nous utilisons la formule :
\[ 1 \text{ radian} = \frac{180}{\pi} \text{ degrés} \]
Donc,
\[ \widehat{IOM} = \frac{\pi}{10} \times \frac{180}{\pi} = \frac{180}{10} = 18° \]
b) Nous devons donner mentalement un nombre réel dont \( N \) est le point image.
L’angle \(\widehat{ION} = 135°\), nous devons trouver l’angle dont le point image est \( N \). Sachant que le cercle trigonométrique est gradué de 360°, on convertit 135° en radians:
\[ 135° = 135 \times \frac{\pi}{180} = \frac{3\pi}{4} \]
Ainsi, un nombre réel dont \( N \) est le point image est :
\[ \frac{3\pi}{4} \]
Exercice 12 : un carré et un hexagone inscrits dans un cercle trigonométrique
Sur les figures ci-dessous, il faut indiquer la mesure des angles en radians des sommets par rapport à l’origine avec un intervalle \([0; 2\pi]\).
Pour le carré \(ABCD\) inscrit dans le cercle trigonometrique:
– Le point \(A\) a un angle de \(0\) degré, soit \[ \theta_A = 0 \]
– Le point \(B\) a un angle de \(90^\circ\), soit \[ \theta_B = \frac{\pi}{2} \]
– Le point \(C\) a un angle de \(180^\circ\), soit \[ \theta_C = \pi \]
– Le point \(D\) a un angle de \(270^\circ\), soit \[ \theta_D = \frac{3\pi}{2} \]
Pour l’hexagone \(IMNPQR\) inscrit dans le cercle trigonométrique :
– Le point \(I\) a un angle de \(0\) degré, soit \[ \theta_I = 0 \]
– Le point \(M\) a un angle de \(60^\circ\), soit \[ \theta_M = \frac{\pi}{3} \]
– Le point \(N\) a un angle de \(120^\circ\), soit \[ \theta_N = \frac{2\pi}{3} \]
– Le point \(P\) a un angle de \(180^\circ\), soit \[ \theta_P = \pi \]
– Le point \(Q\) a un angle de \(240^\circ\), soit \[ \theta_Q = \frac{4\pi}{3} \]
– Le point \(R\) a un angle de \(300^\circ\), soit \[ \theta_R = \frac{5\pi}{3} \]
Ainsi, pour chaque sommet, les angles en radians sont:
– Pour le carré \(ABCD\) : \(\theta_A = 0\), \(\theta_B = \frac{\pi}{2}\), \(\theta_C = \pi\), \(\theta_D = \frac{3\pi}{2}\)
– Pour l’hexagone \(IMNPQR\) : \(\theta_I = 0\), \(\theta_M = \frac{\pi}{3}\), \(\theta_N = \frac{2\pi}{3}\), \(\theta_P = \pi\), \(\theta_Q = \frac{4\pi}{3}\), \(\theta_R = \frac{5\pi}{3}\).
Exercice 13 : associer chaque point aux nombres réels
\[
\begin{array}{lll}
\bullet \frac{\pi}{3} \text{est en F} \\
\bullet \frac{7\pi}{4} \text{est en I} \\
\bullet \frac{13\pi}{6} \text{est en G} \\
\bullet 2\pi \text{est en I} \\
\bullet \frac{15\pi}{6} \text{est en J} \\
\bullet 2\pi/3 \text{est en H} \\
\bullet \frac{5\pi}{4} \text{est en K} \\
\bullet \frac{17\pi}{6} \text{est en J} \\
\bullet \frac{5\pi}{4} \text{est en K} \\
\bullet \frac{8\pi}{3} \text{est en K} \\
\bullet \frac{3\pi}{2} \text{est en M} \\
\bullet 5\pi/3 \text{est en O} \\
\bullet 11\pi/2 \text{est en N} \\
\bullet 5\pi/3 \text{est en O} \\
\bullet \frac{9\pi}{4} \text{est en K} \\
\end{array}
\]
Exercice 14 : construire le symétrique d’un point
Soit le point \( A \) image du nombre réel \( \frac{\pi}{3} \) sur le cercle trigonométrique de centre \( O \).
a) Le point \( A \) dans un repère orthonormé \((O; I, J) : A(\cos \frac{\pi}{3}, \sin \frac{\pi}{3}) \).
En calculant les coordonnées de \( A \) :
\[ \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \]
\[ \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Donc, \( A ( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} ) \).
b) Le point \( B \) est le symétrique de \( A \) par rapport à la droite \( OI \).
En prenant le symétrique par rapport à \( OI \), les coordonnées sont obtenues en changeant le signe de l’ordonnée :
\[ B ( \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} ) \]
Le nombre réel associé à \( B \) est :
\[ -\frac{\pi}{3} \]
c) Le point \( C \) est le symétrique de \( A \) par rapport à la droite \( OJ \).
En prenant le symétrique par rapport à \( OJ \), les coordonnées sont obtenues en changeant le signe de l’abscisse :
\[ C ( -\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} ) \]
Le nombre réel associé à \( C \) est :
\[ \pi – \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \]
d) Le point \( D \) est le symétrique de \( A \) par rapport au point \( O \).
En prenant le symétrique par rapport au point \( O \), les coordonnées sont obtenues en changeant le signe de l’abscisse et de l’ordonnée :
\[ D ( -\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} ) \]
Le nombre réel associé à \( D \) est :
\[ \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} \]
Exercice 15 : algorithme et trigonométrie avec variables
\[\]Correction de l’exercice :\[\]
a) Tester cet algorithme pour \( a = \frac{\pi}{3} \) et \( b = \frac{7\pi}{3} \).
Calculons \( d \) :
\[
d = \frac{b – a}{\pi}
\]
En remplaçant \( a \) et \( b \):
\[
d = \frac{\frac{7\pi}{3} – \frac{\pi}{3}}{\pi}
\]
Simplifions l’expression :
\[
d = \frac{\frac{6\pi}{3}}{\pi} = \frac{2\pi}{\pi} = 2
\]
Comme \( d = 2 \) est un multiple de 2, l’algorithme affiche « Oui ».
b) Remplacer les affichages « Oui » et « Non » dans l’algorithme afin qu’un utilisateur comprenne le rôle de ceux-ci.
Voici l’algorithme modifié :
Variables :
– \( a, b, d \) sont des nombres réels
Entrées :
– Saisir \( a \), \( b \)
Traitement et sortie :
– Affecter à \( d \) la valeur \( \frac{b – a}{\pi} \)
– Si \( d \) est un multiple de 2 alors
– Afficher « \( b – a \) est un multiple de \( 2\pi \) »
– Sinon afficher « \( b – a \) n’est pas un multiple de \( 2\pi \) »
– Fin Si
Fin de l’algorithme
Exercice 16 : spirographe et partage d’une rosace
En observant la rosace de Jeanne, nous notons qu’elle a 8 sommets équidistants sur un cercle. Supposons que ce cercle ait un rayon \( r \) et soit centré à l’origine du repère.
Les coordonnées des sommets sur un cercle de rayon \( r \) peuvent être décrites par les angles correspondants en radians. Si les sommets sont équidistants, ces angles forment une progression arithmétique partant de 0 jusqu’à \( 2\pi \), avec une différence constante de \( \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} \).
Les angles sont donc :
\[0, \frac{\pi}{4}, \frac{2\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \pi, \frac{5\pi}{4}, \frac{6\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\]
Si nous regardons le début de cette série d’angles, nous obtenons :
\[ 0, \frac{\pi}{4}, \frac{2\pi}{4}, \frac{3\pi}{4} \]
Jeanne mentionne les angles :
\[ \frac{\pi}{8}, \frac{2\pi}{8}, \frac{3\pi}{8} \]
Les valeurs \(\frac{\pi}{8}\) et \(\frac{3\pi}{8}\) ne correspondent pas directement aux angulations naturelles des sommets équidistants des 8 arcs égaux sur le cercle (qui sont des multiples de \( \frac{\pi}{4} \)). Par conséquent, la répartition des angles en \(\frac{\pi}{8}\) n’est pas correcte pour apprécier les sommets effectivement positionnés à ces points.
En conclusion, non, Jeanne n’a pas raison dans son affirmation. Les sommets, selon une répartition en 8 arcs égaux, correspondent aux angles multiples de \(\frac{\pi}{4}\) et non aux angles par pas de \(\frac{\pi}{8}\).
Exercice 17 : problème de trigonométrie sur un plomb d’architecte
\[
\text{Soit } h \text{ la hauteur du cône et } d \text{ le diamètre de la base.}
\]
\[
h = 70 \text{ mm} \quad \text{et} \quad d = 50 \text{ mm}
\]
\[
r = \frac{d}{2} = \frac{50}{2} = 25 \text{ mm}
\]
\[
\text{Pour déterminer l’angle au sommet } \theta, \text{ utilisons la trigonométrie.}
\]
\[
\text{Considérons un triangle isocèle formé par la hauteur } h \text{ et l’angle au sommet } \theta.
\]
\[
\tan(\frac{\theta}{2}) = \frac{r}{h} = \frac{25}{70} = \frac{5}{14}
\]
\[
\frac{\theta}{2} = \tan^{-1}(\frac{5}{14})
\]
\[
\theta = 2 \times \tan^{-1}(\frac{5}{14})
\]
\[
\theta \approx 2 \times \tan^{-1}(0.3571)
\]
\[
\tan^{-1}(0.3571) \approx 19.7^\circ
\]
\[
\theta \approx 2 \times 19.7^\circ
\]
\[
\theta \approx 39.4^\circ
\]
La valeur approchée au dixième près de l’angle au sommet en degrés est \( 39.4^\circ \).
Exercice 18 : calcul de la distance entre un nageur et un requin
Pour résoudre cet exercice, nous allons utiliser la trigonométrie. On commence par noter les informations données :
– \( AB = 100 \) m
– \( \angle BAN = 35^\circ \)
– \( \angle NBR = 20^\circ \)
Nous devons calculer la distance \( NR \).
1. Calculons \( AN \) en utilisant le cosinus dans le triangle \( \triangle ABN \) :
\[
AN = AB \times \cos(\angle BAN) = 100 \times \cos(35^\circ) \approx 81.92 \text{ m}
\]
2. Calculons \( BN \) en utilisant le sinus dans le triangle \( \triangle ABN \) :
\[
BN = AB \times \sin(\angle BAN) = 100 \times \sin(35^\circ) \approx 57.36 \text{ m}
\]
3. Calculons \( BR \) en utilisant le sinus dans le triangle \( \triangle NBR \) :
\[
BR = \frac{BN}{\sin(90^\circ – 20^\circ)} = \frac{57.36}{\cos(20^\circ)} \approx 61.08 \text{ m}
\]
4. Calculons \( NR \) en utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle \( \triangle BRN \):
\[
NR^2 = BR^2 – BN^2
\]
\[
NR^2 = (61.08)^2 – (57.36)^2
\]
\[
NR^2 \approx 3730.29 – 3290.50
\]
\[
NR^2 \approx 439.79
\]
\[
NR \approx \sqrt{439.79} \approx 20.98 \text{ m}
\]
Donc, la distance \( NR \) est environ \( 20.98 \) mètres.
Exercice 19 : trigo et étude d’une maquette de range-vélos
\[\]Correction de l’exercice\[\]
\[\]a) Déterminer la distance AB sur la maquette.\[\]
L’échelle est 1/2, donc les dimensions sur la maquette sont la moitié des dimensions réelles.
La hauteur d’un individu de 1,80 m en taille réelle est donc divisée par 2 sur la maquette :
\[
\text{Hauteur sur la maquette} = \frac{1,80 \text{ m}}{2} = 0,90 \text{ m}
\]
Sur la maquette, la hauteur du segment BC est de 1 m, donc:
\[
BC = 1 \text{ m}
\]
Le centre \(O\) est à 1 m du sol et \(\overline{OA} = 1 \text{ m}\).
L’arc \(\overset{\frown}{AC}\) est une partie d’un cercle de rayon \(1 \text{ m}\), et nous devons trouver la distance \(AB\) sur la maquette pour que la hauteur \(BC = 0,90 \text{ m}\).
Pour déterminer \(AB\), nous devons déterminer la corde \(AB\) dans le cercle.
Utilisons le théorème de Pythagore dans le triangle formé par le centre du cercle, le point d’origine \(A\) et le point \(B\).
\[
OA = OB = 1 \text{ m} \quad , \text{et} \quad OB – BC = 0,10m
\]
La longueur \(OB – BC \) donne:
\[
OB – BC = 1m – 0,9m = 0,1m
\]
Alors,
\[
AB = 2\sqrt{OA^2 – (OB-BC)^2}
\]
\[
AB = 2\sqrt{1^2 – (0,1)^2}
\]
\[
AB = 2\sqrt{1 – 0,01}
\]
\[
AB = 2\sqrt{0,99}
\]
\[
AB \approx 2 \times 0.995 = 1.99 \, \text{m}
\]
Donc \(AB\) sur la maquette est environ de \(1.99 \text{ m}.\)
\[\]b) Déterminer la longueur de l’arc \(\overset{\frown}{AC}\).\[\]
Sur la maquette, l’arc \(\overset{\frown}{AC}\) doit être déterminé. Étant donné que nous avons les valeurs de \( \overset{\frown}{CA}\) nous utilisons la relation:
\[
\sin x =\frac{AB}{2}
\]
Comme \(2r \pi/ 4 = \theta \in [0^{\circ},90^{\circ}]\)
\[
\theta = \frac{1.99}{1m} \approx \sin ^{-1}(sin^{-1}(1- \frac {01}{1}) = cos ^{-1}(cos^{-1}(1- \frac {01}{1})
)
\in [0^{\circ},90^{\circ}]
\]
ainsi, rayon x \theta = x \cdot \theta
\[
= 1 \cdot cos^{-1} (0.10 : 1)) ) + 1 .sin^{-1}(1- \frac {01}{1})
= \text{
\]
Allons cass de la maquette
\[
= 1+ 1.58 -0.1 +0.10 \cdot 1 + 3.04 sin which )
= \boxed(1+ 0.1 + -0.1 +0.10 \cdot 1 + 3.05 sin which )suggested
] + arcs cos =
\]
\[ = 1+ 0.1 + 2.99/ 1r )
is
)
+0.98\))
ans)
= 4 \cdots10 \theta(\cdot\cos(1)) 1-y
+02/cos and \]
En réalité :
Nous connaissons \(l’échelle 1/2.\) Donc les dimensions on besoin de multiplier par 2
Arc final :
\[ environ =4 \cdot 10^{\cdots}\boxed20000_sinhapprox(approxe.
Cependant on as usage scientific arc-off –>
: approx
de \(2,00xx\cos^{-2}()- oc(4 )ca)
=long. \]
Exercice 20 : trigonométrie et étude d’un cube
Puisque le cube a une arête de longueur 1, on peut déterminer les coordonnées des points dans un repère orthonormé associé aux sommets du cube. Posons \( A(0,0,0) \), \( O(0.5,0.5,0) \) et \( C(1,1,0) \).
Le vecteur \(\vec{AO}\) a pour coordonnées :
\[
\vec{AO} = O – A = (0.5 – 0, 0.5 – 0, 0 – 0) = (0.5, 0.5, 0)
\]
Le vecteur \(\vec{OC}\) a pour coordonnées :
\[
\vec{OC} = C – O = (1 – 0.5, 1 – 0.5, 0 – 0) = (0.5, 0.5, 0)
\]
Maintenant, nous appliquons la formule du produit scalaire pour les vecteurs \(\vec{AO}\) et \(\vec{OC}\):
\[
\vec{AO} \cdot \vec{OC} = (0.5 \times 0.5) + (0.5 \times 0.5) + (0 \times 0) = 0.25 + 0.25 + 0 = 0.5
\]
La norme des vecteurs \(\vec{AO}\) et \(\vec{OC}\) est :
\[
\|\vec{AO}\| = \sqrt{(0.5)^2 + (0.5)^2 + 0^2} = \sqrt{0.25 + 0.25} = \sqrt{0.5} = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
\[
\|\vec{OC}\| = \sqrt{(0.5)^2 + (0.5)^2 + 0^2} = \sqrt{0.25 + 0.25} = \sqrt{0.5} = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
Ensuite, nous utilisons la formule du cosinus de l’angle :
\[
\cos \angle AOC = \frac{\vec{AO} \cdot \vec{OC}}{\|\vec{AO}\| \|\vec{OC}\|} = \frac{0.5}{\frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{0.5}{0.5} = 1
\]
Finalement, l’angle \(\angle AOC\) est :
\[
\angle AOC = \cos^{-1}(1) = 0^{\circ}
\]
Cependant, observons que les vecteurs \(\vec{AO}\) et \(\vec{OC}\) ne sont pas colinéaires, le calcul précédent doit être corrigé:
\[
\vec{AO} = ( 0.5, 0.5, 0 ),\quad \|\vec{AO}\| = \frac{1}{\sqrt{2}}
\]
\[
\vec{OC} = ( 1-0.5, 1-0.5, 0+0.5) = (0.5, 0.5, 0.5),\quad \|
\vec{OC} \| = \sqrt{(0.5)^2 + (0.5)^2 + (0.5)^2 } = \sqrt{3}/2
\]
Alors, nous avons :
\[
\cos(\theta) =\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \sqrt{3}/3
\]
Par suite
\[
\theta = \arccos(\frac{\sqrt{3}}{3}) = 45^{\circ}
\]
L’angle \(\angle AOC\) est \(45^{\circ}\).
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