Trigonométrie : corrigés des exercices de maths en 2de.

Exercice 1 : placer des points sur un cercle trigonométrique

[a)] Pour $M$, image de $\frac{4\pi}{3}$ :
\frac{4\pi}{3}\,\equiv\,-\frac{2\pi}{3}\,\pmod{2\pi}
Donc, le point $M$ se situe à $-\frac{2\pi}{3}$ sur le cercle trigonométrique, soit à $240^\circ$.

[b)] Pour $N$, image de $\frac{19\pi}{2}$ :
\frac{19\pi}{2}\,=\,9\pi\,%2B\,\frac{\pi}{2}\,\equiv\,\frac{\pi}{2}\,\pmod{2\pi}
Donc, le point $N$ se situe à $\frac{\pi}{2}$ sur le cercle trigonométrique, soit à $90^\circ$.

[c)] Pour $P$, image de $-\frac{3\pi}{4}$ :
-\frac{3\pi}{4}\,\equiv\,-\frac{3\pi}{4}\,%2B\,2\pi\,=\,\frac{5\pi}{4}\,\pmod{2\pi}
Donc, le point $P$ se situe à $\frac{5\pi}{4}$ sur le cercle trigonométrique, soit à $225^\circ$.

[d)] Pour $R$, image de $\frac{29\pi}{4}$ :
\frac{29\pi}{4}\,=\,7\pi\,%2B\,\frac{\pi}{4}\,\equiv\,\frac{\pi}{4}\,\pmod{2\pi}
Donc, le point $R$ se situe à $\frac{\pi}{4}$ sur le cercle trigonométrique, soit à $45^\circ$.

Exercice 2 : image et cercle trigonométrique

Tracer un cercle trigonométrique.
Placer les points suivants sur le cercle trigonométrique :

$M$, image de $\frac{\pi}{5}$: Ce point est situé à un angle de $\frac{\pi}{5}$ radians dans le sens direct à partir de l’axe des abscisses.

$N$, image de $\frac{11\pi}{6}$: Cet angle peut être simplifié pour tomber dans la première révolution du cercle. $\frac{11\pi}{6} – 2\pi = \frac{11\pi}{6} – \frac{12\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}$. Donc l’angle équivalent dans la première révolution est $-\frac{\pi}{6}$, ce qui indique un quart de tour vers la gauche à partir de l’axe des abscisses.

$P$, image de $-\frac{7\pi}{6}$: Simplifions cet angle pour tomber dans la première révolution du cercle. $-\frac{7\pi}{6} + 2\pi = -\frac{7\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. Donc l’angle équivalent dans la première révolution est $\frac{5\pi}{6}$, ce qui indique un angle dans le deuxième quadrant, un peu plus loin que l’axe des ordonnées.

$R$, image de $-\frac{17\pi}{3}$: Simplifions cet angle pour qu’il tombe dans la première révolution du cercle. $-\frac{17\pi}{3} + 6\pi = -\frac{17\pi}{3} + \frac{18\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$. Donc l’angle équivalent dans la première révolution est $\frac{\pi}{3}$, ce qui indique un angle dans le premier quadrant, proche de $\frac{\pi}{4}$, mais un peu moins.

Exercice 3 : point image sur le cercle trigonométrique
Pour déterminer si les nombres réels \frac{101\pi}{6} et \frac{5\pi}{6} ont le même point image sur un cercle trigonométrique, nous devons examiner leurs angles équivalents modulo 2\pi.

Calculons d’abord \frac{101\pi}{6} modulo 2\pi:

\frac{101\pi}{6}\,: \,2\pi\,=\,\frac{101\pi}{6}\,\cdot\,\frac{1}{2\pi}\,=\,\frac{101}{12}\,\approx\,8.4167

En ne prenant en compte que la partie entière de ce résultat, nous avons 8, ce qui signifie que:

\frac{101\pi}{6}\,\equiv\,\frac{101\pi}{6}\,-\,8\,\times  \,2\pi

Calculons cette soustraction:

\frac{101\pi}{6}\,-\,8\,\times  \,2\pi\,=\,\frac{101\pi}{6}\,-\,\frac{96\pi}{6}\,=\,\frac{5\pi}{6}

Ainsi,

\frac{101\pi}{6}\,\equiv\,\frac{5\pi}{6}\,\mod\,2\pi

La conclusion est donc que \frac{101\pi}{6} et \frac{5\pi}{6} ont le même point image sur un cercle trigonométrique.

Exercice 4 : donner des nombres ayant le même point image
Correction de l’exercice :

Pour qu’un nombre réel ait le même point image sur un cercle trigonométrique, il suffit que leurs arguments diffèrent d’un multiple entier de 2\pi.

a) \pi

Nombres positifs :
\pi\,%2B\,2k\pi\,\quad\,pour\,\quad\,k\,\in\,\mathbb{N}
Deux exemples :
\pi\,%2B\,2\pi\,=\,3\pi
\pi\,%2B\,4\pi\,=\,5\pi
Nombre négatif :
\pi\,-\,2\pi\,=\,-\pi

b) \frac{\pi}{2}

Nombres positifs :
\frac{\pi}{2}\,%2B\,2k\pi\,\quad\,pour\,\quad\,k\,\in\,\mathbb{N}
Deux exemples :
\frac{\pi}{2}\,%2B\,2\pi\,=\,\frac{5\pi}{2}
\frac{\pi}{2}\,%2B\,4\pi\,=\,\frac{9\pi}{2}
Nombre négatif :
\frac{\pi}{2}\,-\,2\pi\,=\,-\frac{3\pi}{2}

c) \frac{\pi}{4}

Nombres positifs :
\frac{\pi}{4}\,%2B\,2k\pi\,\quad\,pour\,\quad\,k\,\in\,\mathbb{N}
Deux exemples :
\frac{\pi}{4}\,%2B\,2\pi\,=\,\frac{9\pi}{4}
\frac{\pi}{4}\,%2B\,4\pi\,=\,\frac{17\pi}{4}
Nombre négatif :
\frac{\pi}{4}\,-\,2\pi\,=\,-\frac{7\pi}{4}

d) -\frac{3\pi}{5}

Nombres positifs :
-\frac{3\pi}{5}\,%2B\,2k\pi\,\quad\,pour\,\quad\,k\,\in\,\mathbb{N}
Deux exemples :
-\\frac{3\pi}{5}\,%2B\,2\pi\,=\,\frac{7\pi}{5}
-\frac{3\pi}{5}\,%2B\,4\pi\,=\,\frac{17\pi}{5}
Nombre négatif :
-\frac{3\pi}{5}\,-\,2\pi\,=\,-\frac{13\pi}{5}

Exercice 5 : trigonométrie et calculatrice
« `latex
Correction de l’exercice:

a) Utiliser la calculatrice pour donner une valeur approchée au centième près de $\cos(\frac{3\pi}{4})$.

En utilisant une calculatrice, nous trouvons:
\cos(\frac{3\pi}{4})\,\approx\,-0.71

b) Déterminer à l’aide d’un cercle trigonométrique les valeurs exactes de $\cos(\frac{3\pi}{4})$ et $\sin(\frac{3\pi}{4})$.

Sur le cercle trigonométrique, l’angle $\frac{3\pi}{4}$ est dans le deuxième quadrant.

La valeur de $\cos(\frac{3\pi}{4})$ est négative et égale en valeur absolue à celle de $\cos(\frac{\pi}{4})$ car ils sont symétriques par rapport à l’axe $y$.

\cos(\frac{3\pi}{4})\,=\,-\cos(\frac{\pi}{4})\,=\,-\frac{\sqrt{2}}{2}

La valeur de $\sin(\frac{3\pi}{4})$ est positive et égale à celle de $\sin(\frac{\pi}{4})$:

\sin(\frac{3\pi}{4})\,=\,\sin(\frac{\pi}{4})\,=\,\frac{\sqrt{2}}{2}
« `

Exercice 6 : calculer une longueur avec la trigonométrie
a) Utiliser la figure ci-contre pour calculer la valeur exacte de OH.

\triangle\,OMH est un triangle rectangle isocèle en H. Dans un triangle rectangle isocèle, les deux côtés ayant la même longueur sont les deux côtés de l’angle droit. Donc, OH\,=\,MH.

Comme il est donné que OM\,=\,1, on peut utiliser le théorème de Pythagore pour calculer OH :

OM^2\,=\,OH^2\,%2B\,MH^2

1^2\,=\,OH^2\,%2B\,OH^2

1\,=\,2OH^2

OH^2\,=\,\frac{1}{2}

OH\,=\,\frac{1}{\sqrt{2}}

b) Quelle est la mesure en degrés de l’angle \widehat{HOM} ?

Puisque le triangle OMH est isocèle, les angles à la base sont égaux. Donc, nous avons :

\widehat{HOM}\,=\,\widehat{HMO}

Sachant que la somme des angles d’un triangle est 180^\circ et que l’angle droit vaut 90^\circ, chaque angle de base vaut :

\widehat{HOM}\,=\,\frac{180^\circ\,-\,90^\circ}{2}\,=\,\frac{90^\circ}{2}\,=\,45^\circ

c) Retrouver les valeurs exactes de \cos\,\frac{\pi}{4} et \sin\,\frac{\pi}{4}.

L’angle \frac{\pi}{4} est équivalent à 45^\circ. Dans un triangle rectangle isocèle (comme \triangle\,OMH), les valeurs des cosinus et sinus de 45^\circ sont :

\cos\,\frac{\pi}{4}\,=\,\cos\,45^\circ\,=\,\frac{1}{\sqrt{2}}\,=\,\frac{\sqrt{2}}{2}

\sin\,\frac{\pi}{4}\,=\,\sin\,45^\circ\,=\,\frac{1}{\sqrt{2}}\,=\,\frac{\sqrt{2}}{2}

Exercice 7 : déterminer une longueur sur le cercle trigonométrique
Le cercle trigonométrique \mathcal{C} a un centre O et un rayon égal à 1. Les points A et B ont une ordonnée de 0,5 et les points C et D ont une ordonnée de -0,6.

L’objectif est de déterminer une valeur approchée au centième près de la longueur \ell de la figure rouge.

1. Coordonnees\,des\,points

– Les points A et B ont des coordonnées (x_A%2C\,0.5) et (x_B%2C\,0.5).
– Les points C et D ont des coordonnées (x_C%2C\,-0.6) et (x_D%2C\,-0.6).

Sur un cercle trigonométrique, pour un point (x%2C\,y) on a x^2\,%2B\,y^2\,=\,1.

Pour les points A et B :
x_A^2\,%2B\,(0.5)^2\,=\,1\,\implies\,x_A^2\,%2B\,0.25\,=\,1\,\implies\,x_A^2\,=\,0.75\,\implies\,x_A\,=\,\pm\,\sqrt{0.75}
x_A\,=\,\pm\,\sqrt{0.75}\,\approx\,\pm\,0.866
Donc, les coordonnées des points A et B sont (0.866%2C\,0.5) et (-0.866%2C\,0.5).

Pour les points C et D :
x_C^2\,%2B\,(-0.6)^2\,=\,1\,\implies\,x_C^2\,%2B\,0.36\,=\,1\,\implies\,x_C^2\,=\,0.64\,\implies\,x_C\,=\,\pm\,\sqrt{0.64}
x_C\,=\,\pm\,\sqrt{0.64}\,\approx\,\pm\,0.8
Donc, les coordonnées des points C et D sont (0.8%2C\,-0.6) et (-0.8%2C\,-0.6).

2. Calcul\,des\,longueurs\,des\,segments\,rouge

La longueur \ell de la figure rouge est composée des segments AB et CD.

Pour AB :
AB\,=\,\sqrt{(x_A\,-\,x_B)^2\,%2B\,(0.5\,-\,0.5)^2}
Comme x_A\,=\,0.866 et x_B\,=\,-0.866, la distance AB est :
AB\,=\,\sqrt{(0.866\,-\,(-0.866))^2\,%2B\,0^2}\,=\,\sqrt{(0.866\,%2B\,0.866)^2}\,=\,\sqrt{(1.732)^2}\,=\,1.732

Pour CD :
CD\,=\,\sqrt{(x_C\,-\,x_D)^2\,%2B\,(-0.6\,-\,(-0.6))^2}
Comme x_C\,=\,0.8 et x_D\,=\,-0.8, la distance CD est :
CD\,=\,\sqrt{(0.8\,-\,(-0.8))^2\,%2B\,0^2}\,=\,\sqrt{(0.8\,%2B\,0.8)^2}\,=\,\sqrt{(1.6)^2}\,=\,1.6

La longueur totale \ell est donc :
\ell\,=\,AB\,%2B\,CD\,=\,1.732\,%2B\,1.6\,=\,3.332

Ainsi, une valeur approchée au centième près de la longueur \ell de la figure rouge est \ell\,\approx\,3.33.

Exercice 8 : calculer une valeur approchée de la longueur L
Pour trouver la valeur approchée de la longueur L de la figure rouge, nous allons calculer la somme des segments :

1. La longueur du segment vertical OA,
2. La longueur du segment horizontal AB,
3. La longueur de l’arc de cercle IB.

1.\,Longueur\,du\,segment\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FOA%22\,alt=%22OA » align= »absmiddle » /> :

OA est la verticale de O à A, donc:
OA\,=\,0%2C6

2.\,Longueur\,du\,segment\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FAB%22\,alt=%22AB » align= »absmiddle » /> :

AB est le segment horizontal de A à B. La longueur est la différence entre les abscisses de B et A. Utilisons les coordonnées polaires pour déterminer l’abscisse de B.

Comme \angle\,BOM\,=\,\thetaO est l’origine, M est le point sur x-axe et donc:
\sin(\theta)\,=\,0%2C6

Donc :
\theta\,=\,\arcsin(0%2C6)

L’abscisse de B est x\,=\,\cos(\theta):

x\,=\,\cos(\arcsin(0%2C6))
x\,=\,\sqrt{1\,-\,(0%2C6)^2}
x\,=\,\sqrt{1\,-\,0%2C36}
x\,=\,\sqrt{0%2C64}
x\,=\,0%2C8

Donc la longueur de AB est :
AB\,=\,1\,-\,x\,=\,1\,-\,0%2C8\,=\,0%2C2

3.\,Longueur\,de\,l'arc\,de\,cercle\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FIB%22\,alt=%22IB » align= »absmiddle » /> :

L’arc IB correspond à l’angle \theta:
\theta\,=\,\arcsin(0%2C6)

Convertissons en radians pour la longueur de l’arc:
\theta\,\approx\,\arcsin(0%2C6)\,\approx\,0%2C6435\,\%2C\,radians

La longueur de l’arc de cercle est :
IB\,=\,\theta\,\times  \,r\,=\,0%2C6435\,\times  \,1\,=\,0%2C6435

Calcul\,de\,la\,longueur\,totale\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FL%22\,alt=%22L » align= »absmiddle » /> :
L\,=\,OA\,%2B\,AB\,%2B\,IB
L\,=\,0%2C6\,%2B\,0%2C2\,%2B\,0%2C6435
L\,=\,1%2C4435

Arrondissons au centième près:
L\,\approx\,1%2C44

Donc, la valeur approchée de la longueur L est 1%2C44.

Exercice 9 : algorithme et trigonométrie
Pour résoudre cet exercice d’algorithme, nous devons calculer la somme S pour n\,=\,4 et n\,=\,5 en suivant les instructions de l’algorithme donné.

### Cas a) : n\,=\,4

L’algorithme se déroule comme suit :

1. Initialiser S à 0.
2. Pour k allant de 0 à 4, ajouter \cos(\frac{k\,\pi}{4}) à S.

Les valeurs de k et les contributions à S sont :

– Pour k\,=\,0 : S\,=\,S\,%2B\,\cos(0)\,=\,0\,%2B\,1\,=\,1
– Pour k\,=\,1 : S\,=\,S\,%2B\,\cos(\frac{\pi}{4})\,=\,1\,%2B\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,=\,1\,%2B\,\frac{\sqrt{2}}{2}
– Pour k\,=\,2 : S\,=\,S\,%2B\,\cos(\frac{2\pi}{4})\,=\,1\,%2B\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,%2B\,0\,=\,1\,%2B\,\frac{\sqrt{2}}{2}
– Pour k\,=\,3 : S\,=\,S\,%2B\,\cos(\frac{3\pi}{4})\,=\,1\,%2B\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,-\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,=\,1
– Pour k\,=\,4 : S\,=\,S\,%2B\,\cos(\pi)\,=\,1\,-\,1\,=\,0

Donc, la somme S pour n\,=\,4 est S\,=\,0.

### Cas b) : n\,=\,5

L’algorithme se déroule comme suit :

1. Initialiser S à 0.
2. Pour k allant de 0 à 5, ajouter \cos(\frac{k\,\pi}{5}) à S.

Les valeurs de k et les contributions à S sont :

– Pour k\,=\,0 : S\,=\,S\,%2B\,\cos(0)\,=\,0\,%2B\,1\,=\,1
– Pour k\,=\,1 : S\,=\,S\,%2B\,\cos(\frac{\pi}{5})\,=\,1\,%2B\,\cos(\frac{\pi}{5})
– Pour k\,=\,2 : S\,=\,S\,%2B\,\cos(\frac{2\pi}{5})\,=\,1\,%2B\,\cos(\frac{\pi}{5})\,%2B\,\cos(\frac{2\pi}{5})
– Pour k\,=\,3 : S\,=\,S\,%2B\,\cos(\frac{3\pi}{5})\,=\,1\,%2B\,\cos(\frac{\pi}{5})\,%2B\,\cos(\frac{2\pi}{5})\,%2B\,\cos(\frac{3\pi}{5})
– Pour k\,=\,4 : S\,=\,S\,%2B\,\cos(\frac{4\pi}{5})\,=\,1\,%2B\,\cos(\frac{\pi}{5})\,%2B\,\cos(\frac{2\pi}{5})\,%2B\,\cos(\frac{3\pi}{5})\,%2B\,\cos(\frac{4\pi}{5})
– Pour k\,=\,5 : S\,=\,S\,%2B\,\cos(\pi)\,=\,1\,%2B\,\cos(\frac{\pi}{5})\,%2B\,\cos(\frac{2\pi}{5})\,%2B\,\cos(\frac{3\pi}{5})\,%2B\,\cos(\frac{4\pi}{5})\,-\,1

Puisque \cos(\frac{\pi}{5}), \cos(\frac{2\pi}{5}), \cos(\frac{3\pi}{5}), et \cos(\frac{4\pi}{5}) sont symétriques et leur somme est nulle (propriété des racines de l’unité),

S\,=\,0

Ainsi, en suivant le même raisonnement,

Pour n\,=\,5, la somme S est également S\,=\,0.

Exercice 10 : mesures d’angle et point image
Correction de l’exercice :

a) 180^\circ

Pour un angle de 180^\circ, le point M sur le cercle trigonométrique correspond à M(-1%2C\,0).
Donc, le nombre réel est -1.

b) 90^\circ

Pour un angle de 90^\circ, le point M sur le cercle trigonométrique correspond à M(0%2C\,1).
Donc, le nombre réel est i.

c) 10^\circ

Pour un angle de 10^\circ, le point M sur le cercle trigonométrique correspond à M(\,\cos(10^\circ)%2C\,\sin(10^\circ)\,).
Donc, le nombre réel est \cos(10^\circ)\,%2B\,i\sin(10^\circ).

d) 60^\circ

Pour un angle de 60^\circ, le point M sur le cercle trigonométrique correspond à M(\,\frac{1}{2}%2C\,\frac{\sqrt{3}}{2}\,).
Donc, le nombre réel est \frac{1}{2}\,%2B\,i\,\frac{\sqrt{3}}{2}.

e) 30^\circ

Pour un angle de 30^\circ, le point M sur le cercle trigonométrique correspond à M(\,\frac{\sqrt{3}}{2}%2C\,\frac{1}{2}\,).
Donc, le nombre réel est \frac{\sqrt{3}}{2}\,%2B\,i\,\frac{1}{2}.

f) 45^\circ

Pour un angle de 45^\circ, le point M sur le cercle trigonométrique correspond à M(\,\frac{\sqrt{2}}{2}%2C\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,).
Donc, le nombre réel est \frac{\sqrt{2}}{2}\,%2B\,i\,\frac{\sqrt{2}}{2}.

Voir Corrigés 11 à 20 ...

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