Fonction inverse : corrigés des exercices de maths en 2de.

Exercice 1 : inverse d’un nombre
a) \( x \geq\, 100 \)

Si \( x \geq\, 100 \), alors \( \frac{1}{x} \leq\, \frac{1}{100} \).

En effet, l’inverse d’un nombre positif et grand est un nombre positif et petit. Donc, pour \( x \geq\, 100 \), l’inverse \( \frac{1}{x} \) est compris entre 0 et \( \frac{1}{100} \):

\[ 0 < \frac{1}{x} \leq\, \frac{1}{100} \]

b) \( -4 \leq\, y \leq\, -2 \)

Si \( y \) est négatif et compris entre -4 et -2, alors \( \frac{1}{y} \) est aussi un nombre négatif. Pour déterminer l’intervalle précis de \( \frac{1}{y} \), nous considérons les bornes:

– Lorsque \( y = -4 \), \( \frac{1}{y} = -\frac{1}{4} \).
– Lorsque \( y = -2 \), \( \frac{1}{y} = -\frac{1}{2} \).

Puisque \( \frac{1}{-4} \) est plus grand (moins négatif) que \( \frac{1}{-2} \),

\[ -\frac{1}{4} \leq\, \frac{1}{y} \leq\, -\frac{1}{2} \]

Exercice 2 : courbe d’une fonction inverse
Pour cet exercice, nous devons déterminer les valeurs possibles pour \( \frac{1}{x} \). Observons les solutions proposées.

a) \( x \geq\, 0.1 \)
b) \( x \leq\, -0.2 \)
c) \( 0 < x < 0.1 \)
d) \( 0.1 \leq\, x \leq\, 0.2 \)

Pour \( x = 0.1 \), \( \frac{1}{x} = \frac{1}{0.1} = 10 \).
Pour \( x = -0.2 \), \( \frac{1}{x} = \frac{1}{-0.2} = -5 \).
Pour \( x = 0.2 \), \( \frac{1}{x} = \frac{1}{0.2} = 5 \).

En observant la courbe et les propositions, il est clair que :

Pour \( x \geq\, 0.1 \), \( \frac{1}{x} \leq\, 10 \).
Pour \( x \leq\, -0.2 \), \( \frac{1}{x} \leq\, -5 \).
Pour \( 0 < x < 0.1 \), \( \frac{1}{x} > 10 \).
Pour \( 0.1 \leq\, x \leq\, 0.2 \), la valeur de \( \frac{1}{x} \) varie entre 5 et 10.

La courbe fournit des indications précises pour les valeurs de \( x \). Ainsi, la réponse correcte est :

d) \( 0.1 \leq\, x \leq\, 0.2 \).

Exercice 3 : résoudre une inéquation et étude d’un quotient
a) Étudions le signe du quotient \( \frac{2x – 1}{3 – x} \) selon les valeurs de \( x \).

1. Cherchons les valeurs pour lesquelles le numérateur et le dénominateur s’annulent :
– Le numérateur \( 2x – 1 \) s’annule pour \( x = \frac{1}{2} \).
– Le dénominateur \( 3 – x \) s’annule pour \( x = 3 \).

2. Les valeurs critiques sont donc \( x = \frac{1}{2} \) et \( x = 3 \).

3. Le tableau de signes est divisé par ces valeurs critiques :

| Intervalle | \( x < \frac{1}{2} \) | \( \frac{1}{2} < x < 3 \) | \( x > 3 \) |
|——————-|————————|—————————|——————|
| \( 2x – 1 \) | – | + | + |
| \( 3 – x \) | + | + | – |
| \( \frac{2x – 1}{3 – x} \) | – | + | – |

On en déduit le signe du quotient \( \frac{2x – 1}{3 – x} \) :


\( \frac{2x – 1}{3 – x} \) est négatif pour \( x < \frac{1}{2} \) et \( x > 3 \).
\( \frac{2x – 1}{3 – x} \) est positif pour \( \frac{1}{2} < x < 3 \).

b) Résolvons l’inéquation \( \frac{2x – 1}{3 – x} < 0 \).

Nous devons trouver les intervalles où le quotient est négatif :

\[
\frac{2x – 1}{3 – x} < 0
\]

D’après notre étude de signes, cette inéquation est vérifiée pour :
\[
x < \frac{1}{2} \text{ ou } x > 3
\]

Donc, la solution de l’équation est :
\[
x \in ( -\infty, \frac{1}{2} ) \cup ( 3, +\infty )
\]

c) Avec une calculatrice graphique, vérifiez la réponse en traçant le graphe de la fonction \( f(x) = \frac{2x – 1}{3 – x} \).

1. Tracez le graphe de \( f(x) = \frac{2x – 1}{3 – x} \).
2. Vérifiez que le graphe est en dessous de l’axe des abscisses \( y=0 \) pour \( x < \frac{1}{2} \) et \( x > 3 \).
3. Confirmez que \( f(x) > 0 \) sur l’intervalle \( \frac{1}{2} < x < 3 \).

Ainsi, la résolution graphique de cette inéquation confirme que la solution est bien :

\[
x \in ( -\infty, \frac{1}{2} ) \cup ( 3, +\infty ).
\]

Exercice 4 : calcul formel et fonction inverse
Pour justifier les solutions à l’inéquation \(\frac{5x + 7}{3x – 4} > 0\), nous devons examiner les signes du numérateur et du dénominateur.

1. \[\]Déterminer les points critiques :\[\]

Le numérateur \(5x + 7 = 0\) lorsque \(x = -\frac{7}{5}\).

Le dénominateur \(3x – 4 = 0\) lorsque \(x = \frac{4}{3}\).

2. \[\]Construire le tableau de signes :\[\]

Le tableau de signes est construit en considérant les points critiques et en analysons les signes des expressions dans chaque intervalle :

– Pour \(x < -\frac{7}{5}\)
– Pour \(-\frac{7}{5} < x < \frac{4}{3}\)
– Pour \(x > \frac{4}{3}\)

Analysons les signes :
– Pour \(x < -\frac{7}{5}\), \(5x + 7 < 0\) et \(3x – 4 < 0\), donc la fraction est positive.
– Pour \(-\frac{7}{5} < x < \frac{4}{3}\), \(5x + 7 > 0\) et \(3x – 4 < 0\), donc la fraction est négative.
– Pour \(x > \frac{4}{3}\), \(5x + 7 > 0\) et \(3x – 4 > 0\), donc la fraction est positive.

3. \[\]Résoudre l’inéquation :\[\]

La fraction \(\frac{5x + 7}{3x – 4}\) est positive lorsque les signes du numérateur et du dénominateur sont identiques. Donc, nous avons deux cas :

– \(x \in ( -\infty, -\frac{7}{5} ) \)
– \(x \in ( \frac{4}{3}, +\infty ) \)

4. \[\]Conclusion :\[\]

Les intervalles solutions de l’inéquation \(\frac{5x + 7}{3x – 4} > 0\) sont bien

\[
\{ x \in \mathbb{R} \, | \, x < -\frac{7}{5} \text{ ou } x > \frac{4}{3} \}.
\]

Exercice 5 : triangles et fonction inverse
\( AM = x + 2 \) cm

\( MB = x \) cm

Puisque \( MP \parallel BC \), les triangles \( \triangle AMP \) et \( \triangle ABC \) sont semblables. On utilise le théorème de Thalès pour obtenir les rapports :

\[
\frac{MP}{BC} = \frac{AM}{AB}
\]

Avec \( BC = 8 \) cm.

On cherche les valeurs de \( x \) pour lesquelles \( MP \geq\, 6 \) cm.

Donc on a :

\[
MP = \frac{AM}{AB} \times BC
\]

\( AM = x + 2 \)

\( AB = AM + MB = (x + 2) + x = 2x + 2 \)

\( BC = 8 \)

En utilisant le théorème de Thalès :

\[
MP = \frac{AM}{AB} \times BC = \frac{(x + 2)}{(2x + 2)} \times 8
\]

Pour \( MP \geq\, 6 \):

\[
\frac{(x + 2)}{(2x + 2)} \times 8 \geq\, 6
\]

On simplifie cette inégalité :

\[
\frac{(x + 2)}{(2x + 2)} \times 8 \geq\, 6 \implies \frac{(x + 2)}{(2(x + 1))} \times 8 \geq\, 6 \implies \frac{4(x + 2)}{(x + 1)} \geq\, 6
\]

\[
4(x + 2) \geq\, 6(x + 1)
\]

\[
4x + 8 \geq\, 6x + 6
\]

\[
8 – 6 \geq\, 6x – 4x
\]

\[
2 \geq\, 2x \implies x \leq\, 1
\]

La valeur de \( x \) pour laquelle \( MP \geq\, 6 \) cm est donc :

\[
x \leq\, 1 \text{ cm}
\]

Exercice 6 : justifier l’étude d’un quotient
Marion affirme : « Le nombre \(\frac{x+5}{x-1}\) est inférieur à 10 lorsque je donne à \(x\) des valeurs supérieures à 2 ».

Pour vérifier cela, considérons l’inéquation \(\frac{x+5}{x-1} < 10\) pour \(x > 2\).

\[
\frac{x+5}{x-1} < 10
\]

Multiplions les deux membres par \(x-1\) (qui est positif pour \(x > 1\)) :

\[
x+5 < 10(x-1)
\]

Développons et simplifions :

\[
x+5 < 10x – 10
\]

\[
5 + 10 < 10x – x
\]

\[
15 < 9x
\]

En divisant par 9 :

\[
\frac{15}{9} < x
\]

\[
\frac{5}{3} < x
\]

Donc, pour que \(\frac{x+5}{x-1} < 10\), il faut que \(x > \frac{5}{3}\).

Or, \(\frac{5}{3} \approx 1.67\), donc pour \(x > 2\), \(x\) est bien supérieur à \(\frac{5}{3}\).

Ainsi, l’affirmation de Marion est correcte : lorsque \(x > 2\), \(\frac{x+5}{x-1}\) est bien inférieur à 10.

Exercice 7 : tracer la courbe d’une fonction inverse et inéquations
1. La courbe représentative de la fonction \(x \mapsto \frac{1}{x}\) est une hyperbole dont les segments entre les axes asymptotiques sont situés dans les quadrants I et III du plan cartésien. Voici à quoi ressemble la courbe :

\[
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
axis x line=center,
axis y line=center,
xlabel={\[x\]},
ylabel={\[y\]},
ymin=-5, ymax=5,
xmin=-5, xmax=5,
domain=-5:5,
samples=200,
grid=major,
]
\addplot[mark=none, color=red] {1/x};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

2. Utilisons le graphique pour déterminer les nombres réels \(x\) tels que :

a) \( 0,5 < \frac{1}{x} < 2 \)

\[
0,5 < \frac{1}{x} < 2
\]

Cette inéquation se traduit par deux inéquations distinctes, que nous résolvons séparément :

\[
0,5 < \frac{1}{x} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{0,5} > x \quad \Rightarrow \quad 2 > x \quad \Rightarrow \quad x < 2
\]

\[
\frac{1}{x} < 2 \quad \Rightarrow \quad x > \frac{1}{2}
\]

En combinant ces inéquations, nous obtenons :

\[
\frac{1}{2} < x < 2
\]

b) \(-3 < \frac{1}{x} \leq\, -1 \)

\[
-3 < \frac{1}{x} \leq\, -1
\]

Cette inéquation se traduit par deux inéquations distinctes, que nous résolvons séparément :

\[
-3 < \frac{1}{x} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{x} > -3 \quad \Rightarrow \quad x > \frac{1}{-3} \quad \Rightarrow \quad x > -\frac{1}{3}
\]

\[
\frac{1}{x} \leq\, -1 \quad \Rightarrow \quad x \leq\, -1
\]

En combinant ces inéquations, nous obtenons :

\[
x > -\frac{1}{3} \quad \text{et} \quad x \leq\, -1
\]

Cependant, ces conditions ne peuvent être simultanément satisfaites car \(-\frac{1}{3}\) est plus grand que \(-1\). Donc, il n’y a pas de solution.

Exercice 8 : fonction inverse et racines carrées
Soit \( f(x) = \frac{1}{x} \).

a) Pour \( x = \sqrt{2} \):

\[
f(\sqrt{2}) = \frac{1}{\sqrt{2}}
\]

Utilisons la rationalisation du dénominateur :

\[
\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Donc,

\[
f(\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

b) Pour \( x = -\sqrt{3} \):

\[
f(-\sqrt{3}) = \frac{1}{-\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}
\]

Utilisons la rationalisation du dénominateur :

\[
-\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}
\]

Donc,

\[
f(-\sqrt{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}
\]

c) Pour \( x = 2\sqrt{5} \):

\[
f(2\sqrt{5}) = \frac{1}{2\sqrt{5}}
\]

Utilisons la rationalisation du dénominateur :

\[
\frac{1}{2\sqrt{5}} = \frac{1 \times \sqrt{5}}{2\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{10}
\]

Donc,

\[
f(2\sqrt{5}) = \frac{\sqrt{5}}{10}
\]

Exercice 9 : etude d’un piston et fonction inverse
a) La loi donnée est \( P \times V = 1 \). Pour exprimer \( P \) en fonction de \( V \), on peut réarranger cette équation pour obtenir:
\[ P = \frac{1}{V} \]
Cette équation montre que la pression \( P \) est inversement proportionnelle au volume \( V \). Lorsque le volume augmente, la pression diminue, et inversement. Cette relation est une caractéristique typique d’une fonction inverse, d’où le terme « fonction inverse ».

b) Si le volume \( V \) peut varier entre 0,5 et 5 litres, nous devons trouver les valeurs possibles pour la pression \( P \). En utilisant la relation \( P = \frac{1}{V} \), nous calculons les valeurs pour \( V = 0{,}5 \) litres et \( V = 5 \) litres:
Pour \( V = 0{,}5 \) litres :
\[ P = \frac{1}{0{,}5} = 2 \text{ bars} \]
Pour \( V = 5 \) litres :
\[ P = \frac{1}{5} = 0{,}2 \text{ bars} \]
Ainsi, les valeurs possibles pour la pression \( P \) sont comprises entre 0{,}2 et 2 bars.

Exercice 10 : exprimer des longueurs et aire d’un triangle
a) Exprimer les longueurs \( ON \) et \( MN \) en fonction de \( x \).

La longueur \( ON \) est simplement égale à l’abscisse \( x \).

\[ ON = x \]

La longueur \( MN \) est égale à l’ordonnée du point \( M \), qui est donnée par la fonction \( f(x) = \frac{1}{x} \).

\[ MN = f(x) = \frac{1}{x} \]

b) Démontrer que l’aire du triangle \( OMN \) est constante.

L’aire \( A \) du triangle \( OMN \) peut être calculée à l’aide de la formule de l’aire d’un triangle rectangle :

\[ A = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur} \]

Dans le cas du triangle \( OMN \), la base est \( ON = x \) et la hauteur est \( MN = \frac{1}{x} \).

Donc :

\[ A = \frac{1}{2} \times x \times \frac{1}{x} \]

Simplifions l’expression :

\[ A = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2} \]

Ainsi, l’aire du triangle \( OMN \) est constante et vaut \(\frac{1}{2}\).

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