Exercice 1 : inverse d’un nombre
a) \( x \geq\, 100 \)
Si \( x \geq\, 100 \), alors \( \frac{1}{x} \leq\, \frac{1}{100} \).
En effet, l’inverse d’un nombre positif et grand est un nombre positif et petit. Donc, pour \( x \geq\, 100 \), l’inverse \( \frac{1}{x} \) est compris entre 0 et \( \frac{1}{100} \):
\[ 0 < \frac{1}{x} \leq\, \frac{1}{100} \]
b) \( -4 \leq\, y \leq\, -2 \)
Si \( y \) est négatif et compris entre -4 et -2, alors \( \frac{1}{y} \) est aussi un nombre négatif. Pour déterminer l’intervalle précis de \( \frac{1}{y} \), nous considérons les bornes:
– Lorsque \( y = -4 \), \( \frac{1}{y} = -\frac{1}{4} \).
– Lorsque \( y = -2 \), \( \frac{1}{y} = -\frac{1}{2} \).
Puisque \( \frac{1}{-4} \) est plus grand (moins négatif) que \( \frac{1}{-2} \),
\[ -\frac{1}{4} \leq\, \frac{1}{y} \leq\, -\frac{1}{2} \]
Exercice 2 : courbe d’une fonction inverse
Pour cet exercice, nous devons déterminer les valeurs possibles pour \( \frac{1}{x} \). Observons les solutions proposées.
a) \( x \geq\, 0.1 \)
b) \( x \leq\, -0.2 \)
c) \( 0 < x < 0.1 \)
d) \( 0.1 \leq\, x \leq\, 0.2 \)
Pour \( x = 0.1 \), \( \frac{1}{x} = \frac{1}{0.1} = 10 \).
Pour \( x = -0.2 \), \( \frac{1}{x} = \frac{1}{-0.2} = -5 \).
Pour \( x = 0.2 \), \( \frac{1}{x} = \frac{1}{0.2} = 5 \).
En observant la courbe et les propositions, il est clair que :
Pour \( x \geq\, 0.1 \), \( \frac{1}{x} \leq\, 10 \).
Pour \( x \leq\, -0.2 \), \( \frac{1}{x} \leq\, -5 \).
Pour \( 0 < x < 0.1 \), \( \frac{1}{x} > 10 \).
Pour \( 0.1 \leq\, x \leq\, 0.2 \), la valeur de \( \frac{1}{x} \) varie entre 5 et 10.
La courbe fournit des indications précises pour les valeurs de \( x \). Ainsi, la réponse correcte est :
d) \( 0.1 \leq\, x \leq\, 0.2 \).
Exercice 3 : résoudre une inéquation et étude d’un quotient
a) Étudions le signe du quotient \( \frac{2x – 1}{3 – x} \) selon les valeurs de \( x \).
1. Cherchons les valeurs pour lesquelles le numérateur et le dénominateur s’annulent :
– Le numérateur \( 2x – 1 \) s’annule pour \( x = \frac{1}{2} \).
– Le dénominateur \( 3 – x \) s’annule pour \( x = 3 \).
2. Les valeurs critiques sont donc \( x = \frac{1}{2} \) et \( x = 3 \).
3. Le tableau de signes est divisé par ces valeurs critiques :
| Intervalle | \( x < \frac{1}{2} \) | \( \frac{1}{2} < x < 3 \) | \( x > 3 \) |
|——————-|————————|—————————|——————|
| \( 2x – 1 \) | – | + | + |
| \( 3 – x \) | + | + | – |
| \( \frac{2x – 1}{3 – x} \) | – | + | – |
On en déduit le signe du quotient \( \frac{2x – 1}{3 – x} \) :
\( \frac{2x – 1}{3 – x} \) est négatif pour \( x < \frac{1}{2} \) et \( x > 3 \).
\( \frac{2x – 1}{3 – x} \) est positif pour \( \frac{1}{2} < x < 3 \).
b) Résolvons l’inéquation \( \frac{2x – 1}{3 – x} < 0 \).
Nous devons trouver les intervalles où le quotient est négatif :
\[
\frac{2x – 1}{3 – x} < 0
\]
D’après notre étude de signes, cette inéquation est vérifiée pour :
\[
x < \frac{1}{2} \text{ ou } x > 3
\]
Donc, la solution de l’équation est :
\[
x \in ( -\infty, \frac{1}{2} ) \cup ( 3, +\infty )
\]
c) Avec une calculatrice graphique, vérifiez la réponse en traçant le graphe de la fonction \( f(x) = \frac{2x – 1}{3 – x} \).
1. Tracez le graphe de \( f(x) = \frac{2x – 1}{3 – x} \).
2. Vérifiez que le graphe est en dessous de l’axe des abscisses \( y=0 \) pour \( x < \frac{1}{2} \) et \( x > 3 \).
3. Confirmez que \( f(x) > 0 \) sur l’intervalle \( \frac{1}{2} < x < 3 \).
Ainsi, la résolution graphique de cette inéquation confirme que la solution est bien :
\[
x \in ( -\infty, \frac{1}{2} ) \cup ( 3, +\infty ).
\]
Exercice 4 : calcul formel et fonction inverse
Pour justifier les solutions à l’inéquation \(\frac{5x + 7}{3x – 4} > 0\), nous devons examiner les signes du numérateur et du dénominateur.
1. \[\]Déterminer les points critiques :\[\]
Le numérateur \(5x + 7 = 0\) lorsque \(x = -\frac{7}{5}\).
Le dénominateur \(3x – 4 = 0\) lorsque \(x = \frac{4}{3}\).
2. \[\]Construire le tableau de signes :\[\]
Le tableau de signes est construit en considérant les points critiques et en analysons les signes des expressions dans chaque intervalle :
– Pour \(x < -\frac{7}{5}\)
– Pour \(-\frac{7}{5} < x < \frac{4}{3}\)
– Pour \(x > \frac{4}{3}\)
Analysons les signes :
– Pour \(x < -\frac{7}{5}\), \(5x + 7 < 0\) et \(3x – 4 < 0\), donc la fraction est positive.
– Pour \(-\frac{7}{5} < x < \frac{4}{3}\), \(5x + 7 > 0\) et \(3x – 4 < 0\), donc la fraction est négative.
– Pour \(x > \frac{4}{3}\), \(5x + 7 > 0\) et \(3x – 4 > 0\), donc la fraction est positive.
3. \[\]Résoudre l’inéquation :\[\]
La fraction \(\frac{5x + 7}{3x – 4}\) est positive lorsque les signes du numérateur et du dénominateur sont identiques. Donc, nous avons deux cas :
– \(x \in ( -\infty, -\frac{7}{5} ) \)
– \(x \in ( \frac{4}{3}, +\infty ) \)
4. \[\]Conclusion :\[\]
Les intervalles solutions de l’inéquation \(\frac{5x + 7}{3x – 4} > 0\) sont bien
\[
\{ x \in \mathbb{R} \, | \, x < -\frac{7}{5} \text{ ou } x > \frac{4}{3} \}.
\]
Exercice 5 : triangles et fonction inverse
\( AM = x + 2 \) cm
\( MB = x \) cm
Puisque \( MP \parallel BC \), les triangles \( \triangle AMP \) et \( \triangle ABC \) sont semblables. On utilise le théorème de Thalès pour obtenir les rapports :
\[
\frac{MP}{BC} = \frac{AM}{AB}
\]
Avec \( BC = 8 \) cm.
On cherche les valeurs de \( x \) pour lesquelles \( MP \geq\, 6 \) cm.
Donc on a :
\[
MP = \frac{AM}{AB} \times BC
\]
\( AM = x + 2 \)
\( AB = AM + MB = (x + 2) + x = 2x + 2 \)
\( BC = 8 \)
En utilisant le théorème de Thalès :
\[
MP = \frac{AM}{AB} \times BC = \frac{(x + 2)}{(2x + 2)} \times 8
\]
Pour \( MP \geq\, 6 \):
\[
\frac{(x + 2)}{(2x + 2)} \times 8 \geq\, 6
\]
On simplifie cette inégalité :
\[
\frac{(x + 2)}{(2x + 2)} \times 8 \geq\, 6 \implies \frac{(x + 2)}{(2(x + 1))} \times 8 \geq\, 6 \implies \frac{4(x + 2)}{(x + 1)} \geq\, 6
\]
\[
4(x + 2) \geq\, 6(x + 1)
\]
\[
4x + 8 \geq\, 6x + 6
\]
\[
8 – 6 \geq\, 6x – 4x
\]
\[
2 \geq\, 2x \implies x \leq\, 1
\]
La valeur de \( x \) pour laquelle \( MP \geq\, 6 \) cm est donc :
\[
x \leq\, 1 \text{ cm}
\]
Exercice 6 : justifier l’étude d’un quotient
Marion affirme : « Le nombre \(\frac{x+5}{x-1}\) est inférieur à 10 lorsque je donne à \(x\) des valeurs supérieures à 2 ».
Pour vérifier cela, considérons l’inéquation \(\frac{x+5}{x-1} < 10\) pour \(x > 2\).
\[
\frac{x+5}{x-1} < 10
\]
Multiplions les deux membres par \(x-1\) (qui est positif pour \(x > 1\)) :
\[
x+5 < 10(x-1)
\]
Développons et simplifions :
\[
x+5 < 10x – 10
\]
\[
5 + 10 < 10x – x
\]
\[
15 < 9x
\]
En divisant par 9 :
\[
\frac{15}{9} < x
\]
\[
\frac{5}{3} < x
\]
Donc, pour que \(\frac{x+5}{x-1} < 10\), il faut que \(x > \frac{5}{3}\).
Or, \(\frac{5}{3} \approx 1.67\), donc pour \(x > 2\), \(x\) est bien supérieur à \(\frac{5}{3}\).
Ainsi, l’affirmation de Marion est correcte : lorsque \(x > 2\), \(\frac{x+5}{x-1}\) est bien inférieur à 10.
Exercice 7 : tracer la courbe d’une fonction inverse et inéquations
1. La courbe représentative de la fonction \(x \mapsto \frac{1}{x}\) est une hyperbole dont les segments entre les axes asymptotiques sont situés dans les quadrants I et III du plan cartésien. Voici à quoi ressemble la courbe :
\[
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
axis x line=center,
axis y line=center,
xlabel={\[x\]},
ylabel={\[y\]},
ymin=-5, ymax=5,
xmin=-5, xmax=5,
domain=-5:5,
samples=200,
grid=major,
]
\addplot[mark=none, color=red] {1/x};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]
2. Utilisons le graphique pour déterminer les nombres réels \(x\) tels que :
a) \( 0,5 < \frac{1}{x} < 2 \)
\[
0,5 < \frac{1}{x} < 2
\]
Cette inéquation se traduit par deux inéquations distinctes, que nous résolvons séparément :
\[
0,5 < \frac{1}{x} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{0,5} > x \quad \Rightarrow \quad 2 > x \quad \Rightarrow \quad x < 2
\]
\[
\frac{1}{x} < 2 \quad \Rightarrow \quad x > \frac{1}{2}
\]
En combinant ces inéquations, nous obtenons :
\[
\frac{1}{2} < x < 2
\]
b) \(-3 < \frac{1}{x} \leq\, -1 \)
\[
-3 < \frac{1}{x} \leq\, -1
\]
Cette inéquation se traduit par deux inéquations distinctes, que nous résolvons séparément :
\[
-3 < \frac{1}{x} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{x} > -3 \quad \Rightarrow \quad x > \frac{1}{-3} \quad \Rightarrow \quad x > -\frac{1}{3}
\]
\[
\frac{1}{x} \leq\, -1 \quad \Rightarrow \quad x \leq\, -1
\]
En combinant ces inéquations, nous obtenons :
\[
x > -\frac{1}{3} \quad \text{et} \quad x \leq\, -1
\]
Cependant, ces conditions ne peuvent être simultanément satisfaites car \(-\frac{1}{3}\) est plus grand que \(-1\). Donc, il n’y a pas de solution.
Exercice 8 : fonction inverse et racines carrées
Soit \( f(x) = \frac{1}{x} \).
a) Pour \( x = \sqrt{2} \):
\[
f(\sqrt{2}) = \frac{1}{\sqrt{2}}
\]
Utilisons la rationalisation du dénominateur :
\[
\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
Donc,
\[
f(\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
b) Pour \( x = -\sqrt{3} \):
\[
f(-\sqrt{3}) = \frac{1}{-\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}
\]
Utilisons la rationalisation du dénominateur :
\[
-\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}
\]
Donc,
\[
f(-\sqrt{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}
\]
c) Pour \( x = 2\sqrt{5} \):
\[
f(2\sqrt{5}) = \frac{1}{2\sqrt{5}}
\]
Utilisons la rationalisation du dénominateur :
\[
\frac{1}{2\sqrt{5}} = \frac{1 \times \sqrt{5}}{2\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{10}
\]
Donc,
\[
f(2\sqrt{5}) = \frac{\sqrt{5}}{10}
\]
Exercice 9 : etude d’un piston et fonction inverse
a) La loi donnée est \( P \times V = 1 \). Pour exprimer \( P \) en fonction de \( V \), on peut réarranger cette équation pour obtenir:
\[ P = \frac{1}{V} \]
Cette équation montre que la pression \( P \) est inversement proportionnelle au volume \( V \). Lorsque le volume augmente, la pression diminue, et inversement. Cette relation est une caractéristique typique d’une fonction inverse, d’où le terme « fonction inverse ».
b) Si le volume \( V \) peut varier entre 0,5 et 5 litres, nous devons trouver les valeurs possibles pour la pression \( P \). En utilisant la relation \( P = \frac{1}{V} \), nous calculons les valeurs pour \( V = 0{,}5 \) litres et \( V = 5 \) litres:
Pour \( V = 0{,}5 \) litres :
\[ P = \frac{1}{0{,}5} = 2 \text{ bars} \]
Pour \( V = 5 \) litres :
\[ P = \frac{1}{5} = 0{,}2 \text{ bars} \]
Ainsi, les valeurs possibles pour la pression \( P \) sont comprises entre 0{,}2 et 2 bars.
Exercice 10 : exprimer des longueurs et aire d’un triangle
a) Exprimer les longueurs \( ON \) et \( MN \) en fonction de \( x \).
La longueur \( ON \) est simplement égale à l’abscisse \( x \).
\[ ON = x \]
La longueur \( MN \) est égale à l’ordonnée du point \( M \), qui est donnée par la fonction \( f(x) = \frac{1}{x} \).
\[ MN = f(x) = \frac{1}{x} \]
b) Démontrer que l’aire du triangle \( OMN \) est constante.
L’aire \( A \) du triangle \( OMN \) peut être calculée à l’aide de la formule de l’aire d’un triangle rectangle :
\[ A = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur} \]
Dans le cas du triangle \( OMN \), la base est \( ON = x \) et la hauteur est \( MN = \frac{1}{x} \).
Donc :
\[ A = \frac{1}{2} \times x \times \frac{1}{x} \]
Simplifions l’expression :
\[ A = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2} \]
Ainsi, l’aire du triangle \( OMN \) est constante et vaut \(\frac{1}{2}\).
Exercice 11 : résoudre des inéquations et intervalles
a) \(I = ]2 ; +\infty[\)
\[
\frac{1}{x – 2} > 1
\]
\[
\frac{1}{x – 2} – 1 > 0
\]
\[
\frac{1 – (x – 2)}{x – 2} > 0
\]
\[
\frac{3 – x}{x – 2} > 0
\]
Nous devons étudier le signe de \(\frac{3 – x}{x – 2}\). Pour cela, nous déterminons les valeurs pour lesquelles le numérateur et le dénominateur s’annulent:
\(3 – x = 0 \implies x = 3\)
\(x – 2 = 0 \implies x = 2\)
Nous dressons un tableau de signes:
\[
\begin{array}{|c|cc|c|}
\hline
x 2 3 +\infty \\
\hline
3 – x + 0 – \\
x – 2 0 + + \\
\frac{3 – x}{x – 2} \text{undefined} + – \\
\hline
\end{array}
\]
Pour que \(\frac{3 – x}{x – 2} > 0\), il faut que le quotient soit positif.
Donc l’ensemble des solutions est:
\[
]2, + \infty[ \cap ]2, 3[ = ]2, 3[
\]
b) \(I = ]-\infty ; -3[\)
\[
\frac{2}{x + 3} < -4
\]
\[
\frac{2}{x + 3} + 4 < 0
\]
\[
\frac{2 + 4(x + 3)}{x + 3} < 0
\]
\[
\frac{2 + 4x + 12}{x + 3} < 0
\]
\[
\frac{4x + 14}{x + 3} < 0
\]
Nous devons étudier le signe de \(\frac{4x + 14}{x + 3}\). Pour cela, nous déterminons les valeurs pour lesquelles le numérateur et le dénominateur s’annulent:
\(4x + 14 = 0 \implies x = -\frac{14}{4} = -3.5\)
\(x + 3 = 0 \implies x = -3\)
Nous dressons un tableau de signes:
\[
\begin{array}{|c|ccc|c|}
\hline
x -\infty -3.5 -3 +\infty \\
\hline
4x + 14 – 0 + + \\
x + 3 – – 0 + \\
\frac{4x + 14}{x + 3} + 0 \text{undefined} + \\
\hline
\end{array}
\]
Pour que \(\frac{4x + 14}{x + 3} < 0\), il faut que le quotient soit négatif.
Donc l’ensemble des solutions est:
\[
]-\infty, -3[ \cap ]-\infty, -3.5[ = ]-\infty, -3.5[
\]
Exercice 12 : tableau et étudier le signe de l’expression
\[
\text{Correction de l’exercice:}
\]
\[
\text{On se propose d’étudier le signe de l’expression } \frac{x+2}{x-3} – 1 \text{ selon les valeurs de } x.
\]
\((a)\) Reproduisons et complétons:
Pour tout \( x \neq 3 \),
\[
\frac{x+2}{x-3} – 1 = \frac{x+2 – (x-3)}{x-3}
\]
\[
\frac{x+2}{x-3} – 1 = \frac{x+2 – x + 3}{x-3}
\]
\[
\frac{x+2}{x-3} – 1 = \frac{5}{x-3}
\]
\((b)\) En déduire le tableau de signes de \( \frac{x+2}{x-3} – 1 \):
\[
\frac{x+2}{x-3} – 1 = \frac{5}{x-3}
\]
Le signe de \(\frac{5}{x-3}\) dépend de celui de \(x-3\).
\[
\begin{array}{|c|ccccccc|}
\hline
x -\infty 3 +\infty \\
\hline
x-3 – 0 + \\
\hline
\frac{5}{x-3} – \text{indéfini} + \\
\hline
\end{array}
\]
Pour \(x < 3\), \(x-3 < 0\) donc \(\frac{5}{x-3} < 0\).
Pour \(x > 3\), \(x-3 > 0\) donc \(\frac{5}{x-3} > 0\).
Ainsi, le tableau de signes est le suivant:
\[
\begin{array}{|c|cccc|}
\hline
x -\infty 3 +\infty \\
\hline
\frac{5}{x-3} – \text{indéfini} + \\
\hline
\end{array}
\]
Exercice 13 : résitance équivalente et fonction inverse
{Correction de l’exercice}
1.
On note \( x \) la valeur de la résistance variable.
a) Démonstration de l’expression de \( R_e \) :
\[ \frac{1}{R_e} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \]
\[ \frac{1}{R_e} = \frac{1}{10} + \frac{1}{x} \]
\[ \frac{1}{R_e} = \frac{x + 10}{10x} \]
\[ R_e = \frac{10x}{x + 10} \]
b) Affichage de la courbe représentative de la fonction \( x \mapsto \frac{10x}{x+10} \) sur l’intervalle \([0 ; 10]\) avec une calculatrice ou un logiciel de calcul.
2.
Déterminer les valeurs de \( x \) pour lesquelles la valeur de la résistance équivalente est supérieure à \( 4 \Omega \) :
a) Graphiquement :
On trace la courbe de la fonction \( x \mapsto \frac{10x}{x+10} \) sur l’intervalle \([0 ; 10]\). On trace également la droite horizontale \( y = 4 \). Les valeurs de \( x \) cherchées sont celles pour lesquelles la courbe de la fonction est au-dessus de la droite horizontale.
b) Algébriquement :
Nous résolvons l’inéquation suivante :
\[ \frac{10x}{x+10} > 4 \]
Multipliant les deux membres de l’inéquation par \((x + 10)\) (notez que \( x \) doit être positif et différent de 10 pour éviter de diviser par zéro) :
\[ 10x > 4(x + 10) \]
\[ 10x > 4x + 40 \]
\[ 6x > 40 \]
\[ x > \frac{40}{6} \]
\[ x > \frac{20}{3} \]
Les valeurs de \(x\) pour lesquelles \( R_e > 4 \Omega \) sont :
\[ x \in ( \frac{20}{3} , 10 ] \]
Exercice 14 : calculatrice et étude des courbes avec conjecture
Correction de l’exercice :
Soit \( f \) et \( g \) les fonctions définies par :
\[ f(x) = \frac{x+2}{x-1} \quad \text{pour} \, x \neq 1 \quad \text{et} \quad g(x) = 2x. \]
a) Pour afficher à l’écran de la calculatrice les courbes représentatives de \( f \) et \( g \), on entre les fonctions dans la fenêtre de graphe avec les paramètres \( -3 \leq\, x \leq\, 6 \) (avec un pas de 1 pour \( x \)) et \( -5 \leq\, y \leq\, 7 \) (avec un pas de 1 pour \( y \)).
b) Conjecturons l’ensemble des solutions de l’inéquation \( f(x) \leq\, g(x) \).
Pour trouver les solutions de l’inéquation \( f(x) \leq\, g(x) \) :
\[ \frac{x+2}{x-1} \leq\, 2x. \]
c) Démontrons cette conjecture.
Résolvons l’inéquation par étapes :
1. Écrivons l’inéquation sous une forme commune :
\[ \frac{x+2}{x-1} \leq\, 2x. \]
2. Transformons cette inéquation pour avoir un dénominateur commun :
\[ \frac{x+2}{x-1} – 2x \leq\, 0 \]
3. Simplifions l’expression pour comparer les termes :
\[ \frac{x+2 – 2x(x-1)}{x-1} = \frac{x+2 – 2x^2 + 2x}{x-1} \]
\[ = \frac{-2x^2 + 3x + 2}{x-1} \leq\, 0. \]
4. Résolvons l’inéquation en étudiant le signe de l’expression :
\[ -2x^2 + 3x + 2 = 0 \]
Cette équation quadratique peut être résolue pour trouver les solutions :
\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{(3)^2 – 4(-2)(2)}}{2(-2)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{-4} \]
\[ x = \frac{-3 \pm 5}{-4} = \{ \begin{array}{l} \frac{-3 + 5}{-4} = -\frac{1}{2} \\ \frac{-3 – 5}{-4} = 2 \end{array} . \]
Donc, \[ x = -\frac{1}{2} \, \text{et} \, x = 2 \]
5. Analysons les intervalles de signes de \[ \frac{-(2x^2 – 3x – 2)}{(x-1)}. \]
Pour cette fonction, déterminons les intervalles où la fonction est inférieure ou égale à zéro en respectant les valeurs de \( x \) qui rendent le dénominateur nul (\( x \neq 1 \)) et en considérant les racines trouvées :
– Pour \( x < -\frac{1}{2} \)
– Pour \(-\frac{1}{2} < x < 1\)
– Pour \(1 < x < 2\)
Ainsi, nous avons les intervalles de solution :
\[ x \in \; ]-\infty, -\frac{1}{2}] \cup ]1, 2]. \]
L’ensemble des solutions de l’inéquation \( f(x) \leq\, g(x) \) est donc :
\[ ]-\infty, -\frac{1}{2}] \cup ]1, 2]. \]
Ceci est conforme à nos conjectures et vérifiable par la représentation graphique des fonctions \( f \) et \( g \).
Exercice 15 : tableau de valeurs et courbe représentative
a. Complétons le tableau de valeurs :
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x -4 -3 -2 -1 -0.5 -0.25 \\
\hline
\frac{1}{x} -\frac{1}{4} -\frac{1}{3} -\frac{1}{2} -1 -2 -4 \\
\hline
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x 0.25 0.5 1 2 3 4 \\
\hline
\frac{1}{x} 4 2 1 \frac{1}{2} \frac{1}{3} \frac{1}{4} \\
\hline
\end{array}
\]
b. Tracer un repère orthogonal \( (O; \vec{i}, \vec{j}) \) tel que :
– 1 cm sur l’axe des abscisses représente 1 unité ;
– 1 cm sur l’axe des ordonnées représente 0.5 unité.
c. Dans ce repère, placer les points de coordonnées \( ( x ; \frac{1}{x} ) \).
Points à placer :
– Pour \( x < 0 \) : \( (-4 ; -0.25) \), \( (-3 ; -0.33) \), \( (-2 ; -0.5) \), \( (-1 ; -1) \), \( (-0.5 ; -2) \), \( (-0.25 ; -4) \).
– Pour \( x > 0 \) : \( (0.25 ; 4) \), \( (0.5 ; 2) \), \( (1 ; 1) \), \( (2 ; 0.5) \), \( (3 ; 0.33) \), \( (4 ; 0.25) \).
Ensuite, tracer la courbe représentative de la fonction inverse sur \( [-4, 0[ \cup ]0, 4] \).
Exercice 16 : déterminer image et antécédent
\[a\text{. l’image des nombres } -4, -2, 5, \frac{1}{4}, \frac{5}{9}, -\frac{3}{7}, -\frac{7}{6}\text{ avec la fonction inverse }f(x) = \frac{1}{x} \]
\[
\begin{align*}
f(-4) = \frac{1}{-4} = -\frac{1}{4} \\
f(-2) = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2} \\
f(5) = \frac{1}{5} \\
f(\frac{1}{4}) = 4 \\
f(\frac{5}{9}) = \frac{9}{5} \\
f(-\frac{3}{7}) = -\frac{7}{3} \\
f(-\frac{7}{6}) = -\frac{6}{7} \\
\end{align*}
\]
\[
b\text{. les éventuels antécédents des nombres } 9, 2, -7, 8, 3, \frac{4}{5}, -\frac{7}{3} \text{ avec la fonction inverse } f(x) = \frac{1}{x}
\]
\[
\begin{align*}
f(x) = 9 \implies x = \frac{1}{9} \\
f(x) = 2 \implies x = \frac{1}{2} \\
f(x) = -7 \implies x = -\frac{1}{7} \\
f(x) = 8 \implies x = \frac{1}{8} \\
f(x) = 3 \implies x = \frac{1}{3} \\
f(x) = \frac{4}{5} \implies x = \frac{5}{4} \\
f(x) = -\frac{7}{3} \implies x = -\frac{3}{7} \\
\end{align*}
\]
Exercice 17 : affirmations vraies ou fausses ?
\[
\text{a. \;}\frac{3}{4} > \frac{7}{3}
\]
Vérifions cette inégalité en comparant les fractions après les avoir mises au même dénominateur :
\[
\frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}
\]
\[
\frac{7}{3} = \frac{7 \times 4}{3 \times 4} = \frac{28}{12}
\]
\[
\frac{9}{12} < \frac{28}{12}
\]
L’affirmation est donc fausse :
\[
\frac{3}{4} < \frac{7}{3}
\]
\[
\text{b. \;}\frac{6}{5} < \frac{9}{7}
\]
Comparons ces fractions en les mettant au même dénominateur :
\[
\frac{6}{5} = \frac{6 \times 7}{5 \times 7} = \frac{42}{35}
\]
\[
\frac{9}{7} = \frac{9 \times 5}{7 \times 5} = \frac{45}{35}
\]
\[
\frac{42}{35} < \frac{45}{35}
\]
L’affirmation est donc vraie :
\[
\frac{6}{5} < \frac{9}{7}
\]
\[
\text{c. }\; -\frac{3}{7} < -\frac{2}{9}
\]
Comparons ces fractions en les mettant au même dénominateur, en posant que les deux fractions sont négatives, la plus grande fraction positive sera la plus petite une fois rendue négative :
\[
\frac{3}{7} = \frac{3 \times 9}{7 \times 9} = \frac{27}{63}
\]
\[
\frac{2}{9} = \frac{2 \times 7}{9 \times 7} = \frac{14}{63}
\]
\[
\frac{27}{63} > \frac{14}{63}
\]
Ainsi,
\[
-\frac{3}{7} < -\frac{2}{9}
\]
L’affirmation est donc vraie.
\[
\text{d. L’inverse de l’inverse de }\frac{3}{5}\text{ est }\frac{5}{3}.
\]
L’inverse de \(\frac{3}{5}\) est \(\frac{5}{3}\). Et l’inverse de \(\frac{5}{3}\) est \(\frac{3}{5}\).
\[
\text{L’affirmation est donc fausse.}
\]
Exercice 18 : comparer des images de la fonction inverse
{Correction de l’exercice :}
Soit \( f \) la fonction inverse définie sur \(\mathbb{R}^* \), c’est-à-dire \( f(x) = \frac{1}{x} \).
[a.] Comparons \( f(2,1) \) et \( f(3,4) \).
\[
f(2,1) = \frac{1}{2,1} \approx 0,476 \quad \text{et} \quad f(3,4) = \frac{1}{3,4} \approx 0,294
\]
\[
f(2,1) > f(3,4).
\]
[b.] Comparons \( f(-4,7) \) et \( f(-3,2) \).
\[
f(-4,7) = \frac{1}{-4,7} \approx -0,213 \quad \text{et} \quad f(-3,2) = \frac{1}{-3,2} \approx -0,313
\]
\[
f(-4,7) > f(-3,2).
\]
[c.] Comparons \( f(\frac{3}{4}) \) et \( f(\frac{7}{4}) \).
\[
f(\frac{3}{4}) = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3} \approx 1,333 \quad \text{et} \quad f(\frac{7}{4}) = \frac{1}{\frac{7}{4}} = \frac{4}{7} \approx 0,571
\]
\[
f(\frac{3}{4}) > f(\frac{7}{4}).
\]
[d.] Comparons \( f( \frac{1}{4} + \frac{3}{2} ) \) et \( f( -1 + \frac{2}{3} ) \).
\[
\frac{1}{4} + \frac{3}{2} = \frac{1}{4} + \frac{6}{4} = \frac{7}{4}
\]
\[
-1 + \frac{2}{3} = -\frac{3}{3} + \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}
\]
\[
f( \frac{7}{4} ) = \frac{1}{\frac{7}{4}} = \frac{4}{7} \quad \text{et} \quad f( -\frac{1}{3} ) = -3
\]
\[
f( \frac{7}{4} ) > f( -\frac{1}{3} ).
\]
Exercice 19 : un programme de calcul
\[\]Correction de l’exercice :\[\]
\[\]a. Exécuter ce programme avec le nombre 3. Quel résultat obtient-on ?\[\]
Pour \( x = 3 \):
1. Prendre l’inverse : \(\frac{1}{3}\)
2. Multiplier le résultat par \(-5\) : \( -5 \times \frac{1}{3} = -\frac{5}{3} \)
3. Soustraire 4 au résultat : \( -\frac{5}{3} – 4 = -\frac{5}{3} – \frac{12}{3} = -\frac{17}{3} \)
Le résultat est donc \( -\frac{17}{3} \).
\[\]b. Traduire ce programme à l’aide d’une fonction \( f \) où le nombre de départ est \( x \).\[\]
La fonction peut être définie comme suit :
\[ f(x) = -5 ( \frac{1}{x} ) – 4 \]
\[\]c. Rédiger un algorithme qui permet d’afficher le résultat obtenu en saisissant la valeur de \( x \) en entrée.\[\]
« `plaintext
Début
Lire x
y <- 1 / x
y <- y * (-5)
y <- y – 4
Afficher y
Fin
« `
\[\]d. Quelle ligne de l’algorithme faut-il modifier si l’on considère la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R}^* \) par :\[\]
\[ f(x) = -6 ( -\frac{8}{x} + 23 ) ? \]
Il faut modifier la ligne qui calcule l’inverse de \( x \), ainsi que celle qui calcule le produit et l’addition.
Voici la nouvelle version de l’algorithme :
« `plaintext
Début
Lire x
y <- -\frac{8}{x} + 23
y <- y * (-6)
Afficher y
Fin
« `
Exercice 20 : résoudre les équations suivantes
\[
\begin{array}{ll}
\text{a)} \frac{1}{x} = 9 \\
\Rightarrow x = \frac{1}{9} \\[10pt]
\text{b)} \frac{1}{x} = -\frac{1}{4} \\
\Rightarrow x = -4 \\[10pt]
\text{c)} \frac{1}{x} = \frac{6}{11} \\
\Rightarrow x = \frac{11}{6} \\[10pt]
\text{d)} \frac{1}{x} = -5 \\
\Rightarrow x = -\frac{1}{5} \\[10pt]
\text{e)} \frac{1}{x} + \frac{8}{7} = 0 \\
\Rightarrow \frac{1}{x} = -\frac{8}{7} \\
\Rightarrow x = -\frac{7}{8} \\[10pt]
\text{f)} \frac{1}{x} – \frac{4}{7} = 0 \\
\Rightarrow \frac{1}{x} = \frac{4}{7} \\
\Rightarrow x = \frac{7}{4}
\end{array}
\]
Exercice 21 : tracer des courbes représentatives
a. Les courbes représentatives des fonctions \( f \) et \( g \) sur l’intervalle \([-4; 4]\) peuvent être tracées à l’aide d’un logiciel de calcul ou d’une calculatrice graphique. La fonction \( f(x) = \frac{1}{x} \) est une hyperbole ayant deux branches, tandis que la fonction \( g(x) = x \) est une droite passant par l’origine. Voici les courbes :
– Pour \( f(x) = \frac{1}{x} \) :
![Graph of \( f(x) = \frac{1}{x} \) on \([-4, 4]\)](image_with_hyperbola.png)
– Pour \( g(x) = x \) :
![Graph of \( g(x) = x \) on \([-4, 4]\)](image_with_line.png)
« `latex
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
axis lines = center,
xlabel = \(x\),
ylabel = {\(y\)},
]
\addplot [
domain=-4:4,
samples=100,
color=red,
]
{1/x};
\addlegendentry{\(f(x) = \frac{1}{x}\)}
\addplot [
domain=-4:4,
samples=100,
color=blue,
]
{x};
\addlegendentry{\(g(x) = x\)}
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{center}
« `
b. Pour déterminer s’il existe des nombres réels égaux à leur inverse, nous devons chercher les valeurs de \(x\) telles que \(f(x) = g(x)\), c’est-à-dire :
\[ \frac{1}{x} = x \]
Pour résoudre cette équation, multiplions les deux membres par \(x\) (en supposant \(x \neq 0\)):
\[ 1 = x^2 \]
En résolvant cette équation, nous obtenons :
\[ x^2 = 1 \]
Donc,
\[ x = \pm 1 \]
Ainsi, les nombres réels \(x\) égaux à leur inverse sont \(1\) et \(-1\).
Exercice 22 : hyperbole et points d’intersection
Correction de l’exercice :
1. \[\]Tracer l’hyperbole \[ \mathscr{H} \] d’équation \[ y = \frac{1}{x} \] et la droite \[ \mathscr{D} \] d’équation \[ y = 4 \].\[\]
2. \[\]Déterminer les coordonnées des points d’intersection de l’hyperbole \[\mathscr{H}\] et de la droite \[y = 4\].\[\]
Pour trouver les points d’intersection, nous résolvons l’équation suivante :
\[ \frac{1}{x} = 4 \]
\[ x = \frac{1}{4} \]
Les points d’intersection sont donc :
\[ ( \frac{1}{4}, 4 ) \]
3. \[\]En déduire les solutions de l’inéquation \[ f(x) \geq\, 4 \] en expliquant votre méthode.\[\]
L’inéquation \[ f(x) \geq\, 4 \] se traduit en :
\[ \frac{1}{x} \geq\, 4 \]
Pour résoudre cette inéquation, nous devons examiner les signes. Il s’agit d’une inéquation du type :
\[ \frac{1}{x} – 4 \geq\, 0 \]
\[ \frac{1 – 4x}{x} \geq\, 0 \]
L’expression \[\frac{1 – 4x}{x}\] est positive pour :
\[ \begin{cases}
1 – 4x \geq\, 0 \\
x > 0
\end{cases}
\]
\[ 1 \ge 4x \implies x \le \frac{1}{4} \]
Les solutions sont donc :
\[ 0 < x \leq\, \frac{1}{4} \]
4. \[\]Résoudre sur l’intervalle \[[-4; 0[ \cup ]0; 4]\] les inéquations suivantes :\[\]
a. \[f(x) > -2\]
\[ \frac{1}{x} > -2 \]
\[ x \in [-4; 0[ \cup ]0; 4] \]
L’expression est positive :
\[ -2x < 1 \implies x > -\frac{1}{2} \]
La solution sur l’intervalle donné est:
\[ x \in ]- \frac{1}{2}, 0[ \cup ]0, 4] \]
b. \[f(x) \leq\, 4\]
\[ \frac{1}{x} \leq\, 4 \]
\[ x > \frac{1}{4} \quad \text{ou} \quad x < 0 \]
La solution sur l’intervalle donné est:
\[ x \in [-4; 0[ \cup ]\frac{1}{4}; 4] \]
c. \[f(x) \geq\, \frac{1}{6}\]
\[ \frac{1}{x} \geq\, \frac{1}{6} \]
\[ x > 0 \quad \text{et} \quad x \leq\, 6 \]
La solution sur l’intervalle donné est:
\[ x \in ]0, \frac{1}{6}] \]
d. \[f(x) < 5\]
\[ \frac{1}{x} < 5 \]
\[ \frac{1}{5} < x < 4 \]
La solution sur l’intervalle donné est:
\[ x \in [-4; 0[ \cup ]\frac{1}{5}; 4] \]
Exercice 23 : fonction inverse et inéquations
\[\text{a. } f(x) > \frac{1}{3}\]
La fonction inverse est \( f(x) = \frac{1}{x} \).
On résout donc l’inéquation \(\frac{1}{x} > \frac{1}{3}\).
Cela revient à résoudre \( x < \frac{1}{\frac{1}{3}} = 3 \), sachant que \( x \neq 0 \).
La solution est donc :
\[ x \in ( -\infty, 0 ) \cup ( 0, 3 ) \]
\[\text{b. } f(x) \geq\, 0,25\]
On résout donc l’inéquation \(\frac{1}{x} \geq\, 0,25\).
Cela revient à résoudre \( x \leq\, \frac{1}{0,25} = 4 \), sachant que \( x \neq 0 \).
La solution est donc :
\[ x \in ( -\infty, 0 ) \cup ( 4, +\infty ) \]
\[\text{c. } f(x) < -4\]
On résout donc l’inéquation \(\frac{1}{x} < -4\).
Cela revient à résoudre \( x > \frac{1}{-4} = -0,25 \), sachant que \( x \neq 0 \).
La solution est donc :
\[ x \in ( -0,25, 0 ) \]
\[\text{d. } f(x) > 9\]
On résout donc l’inéquation \(\frac{1}{x} > 9\).
Cela revient à résoudre \( x < \frac{1}{9} \), sachant que \( x \neq 0 \).
La solution est donc :
\[ x \in ( -\infty, 0 ) \cup ( 0, \frac{1}{9} ) \]
\[\text{e. } f(x) \geq\, -1\]
On résout donc l’inéquation \(\frac{1}{x} \geq\, -1\).
Cela revient à résoudre \( x \leq\, \frac{1}{-1} = -1 \), sachant que \( x \neq 0 \).
La solution est donc :
\[ x \in ( -\infty, -1 ) \cup ( 0, +\infty ) \]
\[\text{f. } f(x) < 2\]
On résout donc l’inéquation \(\frac{1}{x} < 2\).
Cela revient à résoudre \( x > \frac{1}{2} \), sachant que \( x \neq 0 \).
La solution est donc :
\[ x \in ( -\infty, 0 ) \cup ( \frac{1}{2}, +\infty ) \]
Exercice 24 : fonction associée à un algorithme
1. a.
Pour l’algorithme a, nous avons les étapes suivantes :
– Saisir \( X \)
– \( Y arrow 3 – X \)
– \( Z arrow \frac{1}{Y} = \frac{1}{3 – X} \)
– \( W arrow Z + 4 = \frac{1}{3 – X} + 4 \)
– Afficher \( W \)
Donc, la fonction \( f \) associée à cet algorithme est :
\[ f(X) = \frac{1}{3 – X} + 4 \]
1. b.
Pour l’algorithme b, nous avons les étapes suivantes :
– Saisir \( X \)
– \( Y arrow 3 + 2 \cdot X \)
– \( Z arrow \sqrt{Y} = \sqrt{3 + 2 \cdot X} \)
– \( W arrow Z – 1 = \sqrt{3 + 2 \cdot X} – 1 \)
– Afficher \( W \)
Donc, la fonction \( g \) associée à cet algorithme est :
\[ g(X) = \sqrt{3 + 2 \cdot X} – 1 \]
2. Calculer l’image de 5 puis de (-1) pour chacune des fonctions précédentes.
Pour \( f(X) \):
– Pour \( X = 5 \):
\[ f(5) = \frac{1}{3 – 5} + 4 = \frac{1}{-2} + 4 = -\frac{1}{2} + 4 = \frac{7}{2} \]
– Pour \( X = -1 \):
\[ f(-1) = \frac{1}{3 – (-1)} + 4 = \frac{1}{4} + 4 = \frac{1}{4} + \frac{16}{4} = \frac{17}{4} \]
Pour \( g(X) \):
– Pour \( X = 5 \):
\[ g(5) = \sqrt{3 + 2 \cdot 5} – 1 = \sqrt{3 + 10} – 1 = \sqrt{13} – 1 \]
– Pour \( X = -1 \):
\[ g(-1) = \sqrt{3 + 2 \cdot (-1)} – 1 = \sqrt{3 – 2} – 1 = \sqrt{1} – 1 = 1 – 1 = 0 \]
Exercice 25 : images d’une fonction inverse
a. La fonction \( i \) est la fonction inverse, donc \( i(x) = \frac{1}{x} \).
Calculons \( i(3 + 4) \):
\[ i(3 + 4) = i(7) = \frac{1}{7} \]
Ensuite, calculons \( i(3) + i(4) \):
\[ i(3) = \frac{1}{3} \]
\[ i(4) = \frac{1}{4} \]
\[ i(3) + i(4) = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12} \]
b. Alex affirme que pour tous les réels \( x \) et \( y \) non nuls :
\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{x + y} \]
Pour vérifier cette affirmation, simplifions le membre de gauche de l’égalité supposée :
\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y}{xy} + \frac{x}{xy} = \frac{x + y}{xy} \]
Ainsi, nous avons :
\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x + y}{xy} \]
Pour que l’égalité d’Alex soit vraie, il faudrait que :
\[ \frac{x + y}{xy} = \frac{1}{x + y} \]
Ce qui revient à :
\[ \frac{x + y}{xy} = \frac{1}{x + y} \]
Multipliant les deux côtés par \( xy(x + y) \), nous obtenons :
\[ (x + y)^2 = xy \]
Pour que cette égalité soit vraie, il faudrait que :
\[ x^2 + 2xy + y^2 = xy \]
Ce qui se simplifie en :
\[ x^2 + y^2 + 2xy = xy \]
\[ x^2 + y^2 + xy \neq 0 \]
Ainsi, l’affirmation d’Alex est fausse pour la majorité des valeurs non nulles de \( x \) et \( y \).
Exercice 26 : compléter les phrases
a. {pour un certain} \( x \in ]0;5] \), on a : \( f(x) \in [\frac{1}{5}, +\infty[ \)
b. {pour un certain} \( x \in [-3;0[ \), on a : \( f(x) = -2 \)
c. {quel que soit} \( x \in ]0;+\infty[ \), on a : \( f(x) > 0 \)
d. {pour un certain} \( x \in ( [-8;0[ \cup ]0;2] ) \), on a : \( f(x) \leq\, \frac{1}{2} \)
Exercice 27 : résoudre les équations suivantes
a. \( \frac{1}{x} + 4 = 3 \)
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{x} + 4 = 3 \\
\frac{1}{x} = 3 – 4 \\
\frac{1}{x} = -1 \\
x = -1
\end{aligned}
\]
b. \( 5 – \frac{1}{x} = 9 \)
\[
\begin{aligned}
5 – \frac{1}{x} = 9 \\
-\frac{1}{x} = 9 – 5 \\
-\frac{1}{x} = 4 \\
\frac{1}{x} = -4 \\
x = -\frac{1}{4}
\end{aligned}
\]
c. \( \frac{4}{x} = 1 \)
\[
\begin{aligned}
\frac{4}{x} = 1 \\
4 = x \\
x = 4
\end{aligned}
\]
d. \( \frac{1}{x} + \frac{4}{5} = 6 \)
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{x} + \frac{4}{5} = 6 \\
\frac{1}{x} = 6 – \frac{4}{5} \\
\frac{1}{x} = \frac{30}{5} – \frac{4}{5} \\
\frac{1}{x} = \frac{26}{5} \\
x = \frac{5}{26}
\end{aligned}
\]
a. \( \frac{3}{x} – 4 = \frac{8}{x} + 6 \)
\[
\begin{aligned}
\frac{3}{x} – 4 = \frac{8}{x} + 6 \\
\frac{3}{x} – \frac{8}{x} = 10 \\
-\frac{5}{x} = 10 \\
\frac{5}{x} = -10 \\
x = -\frac{1}{2}
\end{aligned}
\]
b. \( 5 – \frac{9}{x} = 7 \)
\[
\begin{aligned}
5 – \frac{9}{x} = 7 \\
-\frac{9}{x} = 7 – 5 \\
-\frac{9}{x} = 2 \\
\frac{9}{x} = -2 \\
x = -\frac{9}{2}
\end{aligned}
\]
c. \( 6x + \frac{3}{x} = \frac{5}{x} + 6x – 4 \)
\[
\begin{aligned}
6x + \frac{3}{x} = \frac{5}{x} + 6x – 4 \\
\frac{3}{x} – \frac{5}{x} = -4 \\
-\frac{2}{x} = -4 \\
\frac{2}{x} = 4 \\
x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
\end{aligned}
\]
d. \( \frac{3}{4} + \frac{5}{x} = \frac{7}{5} – \frac{3}{x} \)
\[
\begin{aligned}
\frac{3}{4} + \frac{5}{x} = \frac{7}{5} – \frac{3}{x} \\
\frac{5}{x} + \frac{3}{x} = \frac{7}{5} – \frac{3}{4} \\
\frac{8}{x} = \frac{28 – 15}{20} \\
\frac{8}{x} = \frac{13}{20} \\
8 \cdot 20 = 13x \\
160 = 13x \\
x = \frac{160}{13}
\end{aligned}
\]
Exercice 28 : fonction impaire et expression de f(x)
Soit \[a\] un réel non nul. On pose pour tout réel \[x\] non nul \[f(x) = \frac{a}{x}\].
a. Montrer que \[f\] est une fonction impaire.
Pour montrer que \[f\] est une fonction impaire, il faut vérifier que \[f(-x) = -f(x)\] pour tout \[x\] non nul.
Calculons \[f(-x)\] :
\[ f(-x) = \frac{a}{-x} = -\frac{a}{x} = -f(x) \]
Ainsi, nous avons :
\[ f(-x) = -f(x) \]
Donc, \[f\] est une fonction impaire.
b. On suppose que \[f(-2) = \frac{1}{4}\]. Déterminer l’expression de \[f(x)\] pour tout réel \[x\] non nul.
Nous avons :
\[ f(-2) = \frac{a}{-2} = \frac{1}{4} \]
Ainsi :
\[ \frac{a}{-2} = \frac{1}{4} \]
D’où :
\[ a = -\frac{1}{4} \times 2 = -\frac{1}{2} \]
Donc, l’expression de \[f(x)\] pour tout \[x\] non nul est :
\[ f(x) = \frac{a}{x} = \frac{-\frac{1}{2}}{x} = -\frac{1}{2x} \]
c. Avec l’aide de la calculatrice, représenter la fonction \[f\] dans un repère orthogonal du plan.
Pour ceci, il faut tracer la fonction \[f(x) = -\frac{1}{2x}\] dans un repère orthogonal. Voici une représentation graphique typique de cette fonction :
\[
\begin{array}{c}
\includegraphics[scale=0.5]{FunctionGraph.png}
\end{array}
\]
(Note: L’image de la représentation graphique doit être générée à l’aide d’un outil graphique ou d’un logiciel de calcul.)
La fonction \[f(x) = -\frac{1}{2x}\] est une hyperbole qui passe par les points (-2, 0.25) et (2, -0.25). Elle est symétrique par rapport à l’origine et décroissante sur les intervalles \[(-\infty, 0)\] et \[(0, +\infty)\].
Exercice 29 : fonction paire et rationnelle
1. Montrer que la fonction \( f \) est paire :
Une fonction \( f \) est paire si et seulement si :
\[ f(-x) = f(x) \]
Pour \( f(x) = \frac{5}{x^2 + 1} \), calculons \( f(-x) \) :
\[ f(-x) = \frac{5}{(-x)^2 + 1} = \frac{5}{x^2 + 1} = f(x) \]
Donc, la fonction \( f \) est paire.
2. Compléter le tableau des valeurs :
Pour \( x = 0 \) :
\[ f(0) = \frac{5}{0^2 + 1} = 5 \]
Pour \( x = 1 \) :
\[ f(1) = \frac{5}{1^2 + 1} = \frac{5}{2} \]
Pour \( x = 2 \) :
\[ f(2) = \frac{5}{2^2 + 1} = \frac{5}{5} = 1 \]
Pour \( x = 3 \) :
\[ f(3) = \frac{5}{3^2 + 1} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \]
Ainsi, le tableau devient :
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
x 0 1 2 3 \\
\hline
f(x) 5 \frac{5}{2} 1 \frac{1}{2} \\
\hline
\end{array}
\]
a. Montrer que pour tout réel \( x \), \( f(x) > 0 \) :
Pour tout \( x \in \mathbb{R} \), \( x^2 \geq\, 0 \) donc \( x^2 + 1 > 0 \).
Puisque le numérateur 5 est positif, \( f(x) = \frac{5}{x^2 + 1} > 0 \).
b. Montrer que pour tout réel \( x \), \( f(x) \leq\, 5 \) :
Pour tout \( x \in \mathbb{R} \), \( x^2 \geq\, 0 \) donc \( x^2 + 1 \geq\, 1 \).
Ainsi, \( \frac{1}{x^2 + 1} \leq\, 1 \) donc \( \frac{5}{x^2 + 1} \leq\, 5 \).
Alors, \( f(x) \leq\, 5 \).
c. En déduire que la courbe \( \mathcal{C} \) est comprise entre la droite \( D \) d’équation \( y = 5 \) et l’axe des abscisses :
Puisque \( 0 < f(x) \leq\, 5 \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \), la courbe \( \mathcal{C} \) est située entre la droite \( y = 5 \) et l’axe des abscisses (où \( y = 0 \)).
3. Soit \( \Delta \) la droite d’équation \( y = \frac{1}{10} \). Déterminer l’ensemble des points de \( \mathcal{C} \) situés en dessous de \( \Delta \) :
Pour que \( f(x) \) soit en dessous de \( \Delta \), il faut :
\[ f(x) \leq\, \frac{1}{10} \]
\[ \frac{5}{x^2 + 1} \leq\, \frac{1}{10} \]
\[ 5 \leq\, \frac{x^2 + 1}{10} \]
\[ 50 \leq\, x^2 + 1 \]
\[ 49 \leq\, x^2 \]
\[ 7 \leq\, |x| \]
\[ x \leq\, -7 \text{ ou } x \geq\, 7 \]
Donc, les points de \( \mathcal{C} \) situés en dessous de \( \Delta \) sont ceux pour lesquels \( x \leq\, -7 \) ou \( x \geq\, 7 \).
4. Représenter dans le repère orthonormé \( (O; \vec{i}, \vec{j}) \) la partie de \( \mathcal{C} \) au-dessus de \( \Delta \) :
Les points de \( \mathcal{C} \) situés au-dessus de \( \Delta \) sont ceux pour lesquels \( -7 < x < 7 \).
Exercice 30 : fonction impaire et rationnelle
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
Soit \( f \) la fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par \( f(x) = \frac{2x}{x^2+1} \).
1. Montrer que la fonction \( f \) est impaire.
\[\] f(-x) = \frac{2(-x)}{(-x)^2+1} = \frac{-2x}{x^2+1} = -f(x) \[\]
Donc, \( f(-x) = -f(x) \), ce qui prouve que \( f \) est impaire.
2. Calculer \( f(0) \) et \( f(1) \).
\[\] f(0) = \frac{2 \cdot 0}{0^2+1} = 0 \[\]
\[\] f(1) = \frac{2 \cdot 1}{1^2+1} = \frac{2}{2} = 1 \[\]
3. Étudier le signe de \( 1 – f(x) \) pour tout réel \( x \).
\[\] 1 – f(x) = 1 – \frac{2x}{x^2+1} = \frac{x^2+1 – 2x}{x^2+1} = \frac{(x-1)^2}{x^2+1} \geq\, 0 \[\]
Donc, \( 1 – f(x) \geq\, 0 \) pour tout \( x \).
4. Étudier le signe de \( 1 + f(x) \) pour tout réel \( x \).
\[\] 1 + f(x) = 1 + \frac{2x}{x^2+1} = \frac{x^2+1 + 2x}{x^2+1} = \frac{(x+1)^2}{x^2+1} \geq\, 0 \[\]
Donc, \( 1 + f(x) \geq\, 0 \) pour tout \( x \).
3. En déduire que la courbe représentative \( \mathcal{C}_f \) de \( f \) dans un repère orthonormé \( (O; \vec{i}, \vec{j}) \) est située entre les deux droites d’équation \( y = 1 \) et \( y = -1 \).
Puisque \( -1 \leq\, f(x) \leq\, 1 \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \), la courbe \( \mathcal{C}_f \) est située entre les deux droites \( y = 1 \) et \( y= -1 \).
4. Dans le repère précédent tracer la portion \( \mathcal{C’} \) de la courbe \( \mathcal{C}_f \) dont les points ont une abscisse comprise entre \(-3 \) et \( 3 \).
(Dessin non réalisable en LaTeX directement ici.)
5. Soit \( D \) la droite d’équation \( y = \frac{1}{2} \).
a. Déterminer graphiquement les coordonnées du point \( A \) d’intersection de \( D \) et de \( \mathcal{C’} \). On pourra s’aider d’une calculatrice.
Graphiquement, on résout \( f(x) = \frac{1}{2} \):
\[\] \frac{2x}{x^2+1} = \frac{1}{2} \[\]
\[\] 4x = x^2 + 1 \[\]
\[\] x^2 – 4x + 1 = 0 \[\]
Résolvant cette équation du second degré, on obtient:
\[\] x = 2 \pm \sqrt{3} \[\]
Ainsi, les coordonnées exactes de \( A \) sont \( (2-\sqrt{3}, \frac{1}{2}) \) et \( (2+\sqrt{3}, \frac{1}{2}) \).
6. a. Résoudre dans [\(- 3, 3\)] l’inéquation \( f(x) \leq\, \frac{1}{2} \).
Pour \( f(x) \leq\, \frac{1}{2} \), résolvons \( x^2 – 4x + 1 \geq\, 0 \):
\[\] (x-2)^2 – 3 \geq\, 0 \[\]
\[\] (x-2)^2 \geq\, 3 \[\]
\[\] x-2 \geq\, \sqrt{3} \text{ ou } x-2 \leq\, -\sqrt{3} \[\]
\[\] x \geq\, 2+\sqrt{3} \text{ ou } x \leq\, 2-\sqrt{3} \[\]
Dans \([-3, 3]\), cela donne \( x \in [-3, 2-\sqrt{3}] \cup [2+\sqrt{3}, 3] \).
b. Sur quel intervalle contenu dans \([-3; 3]\) la courbe \(\mathcal{C’}\) est-elle au-dessous de \( D \)?
De ce qui précède, la courbe \( \mathcal{C’} \) est en-dessous de \( D \) pour \([ – 3, 2 – \sqrt{3}] \cup [2 + \sqrt{3}, 3] \).
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