Fonction inverse : corrigés des exercices de maths en 2de.

Exercice 1 : inverse d’un nombre
a) $x\,\geq\,\,100$

Si $x\,\geq\,\,100$ , alors $\frac{1}{x}\,\leq\,\,\frac{1}{100}$ .

En effet, l’inverse d’un nombre positif et grand est un nombre positif et petit. Donc, pour $x\,\geq\,\,100$ , l’inverse $\frac{1}{x}$ est compris entre 0 et $\frac{1}{100}$ :

$0\,%3C\,\frac{1}{x}\,\leq\,\,\frac{1}{100}$

b) $-4\,\leq\,\,y\,\leq\,\,-2$

Si est négatif et compris entre -4 et -2, alors $\frac{1}{y}$ est aussi un nombre négatif. Pour déterminer l’intervalle précis de $\frac{1}{y}$ , nous considérons les bornes:

– Lorsque $y\,=\,-4$ , $\frac{1}{y}\,=\,-\frac{1}{4}$ .
– Lorsque $y\,=\,-2$ , $\frac{1}{y}\,=\,-\frac{1}{2}$ .

Puisque $\frac{1}{-4}$ est plus grand (moins négatif) que $\frac{1}{-2}$ ,

$-\frac{1}{4}\,\leq\,\,\frac{1}{y}\,\leq\,\,-\frac{1}{2}$

Exercice 2 : courbe d’une fonction inverse
Pour cet exercice, nous devons déterminer les valeurs possibles pour $\frac{1}{x}$ . Observons les solutions proposées.

a) $x\,\geq\,\,0.1$
b) $x\,\leq\,\,-0.2$
c) $0\,%3C\,x\,%3C\,0.1$
d) $0.1\,\leq\,\,x\,\leq\,\,0.2$

Pour $x\,=\,0.1$ , $\frac{1}{x}\,=\,\frac{1}{0.1}\,=\,10$ .
Pour $x\,=\,-0.2$ , $\frac{1}{x}\,=\,\frac{1}{-0.2}\,=\,-5$ .
Pour $x\,=\,0.2$ , $\frac{1}{x}\,=\,\frac{1}{0.2}\,=\,5$ .

En observant la courbe et les propositions, il est clair que :

Pour $x\,\geq\,\,0.1$ , $\frac{1}{x}\,\leq\,\,10$ .
Pour $x\,\leq\,\,-0.2$ , $\frac{1}{x}\,\leq\,\,-5$ .
Pour $0\,%3C\,x\,%3C\,0.1$ , $\frac{1}{x}\,>\,10$ , la valeur de $\frac{1}{x}$ varie entre 5 et 10.

La courbe fournit des indications précises pour les valeurs de . Ainsi, la réponse correcte est :

d) $0.1\,\leq\,\,x\,\leq\,\,0.2$ .

Exercice 3 : résoudre une inéquation et étude d’un quotient
a) Étudions le signe du quotient $\frac{2x\,-\,1}{3\,-\,x}$ selon les valeurs de .

1. Cherchons les valeurs pour lesquelles le numérateur et le dénominateur s’annulent :
– Le numérateur $2x\,-\,1$ s’annule pour $x\,=\,\frac{1}{2}$ .
– Le dénominateur $3\,-\,x$ s’annule pour $x\,=\,3$ .

2. Les valeurs critiques sont donc $x\,=\,\frac{1}{2}$ et $x\,=\,3$ .

3. Le tableau de signes est divisé par ces valeurs critiques :

| Intervalle | $x\,%3C\,\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{2}\,%3C\,x\,%3C\,3$ | $x\,>\,3$ | – | + | + |
| $3\,-\,x$ | + | + | – |
| $\frac{2x\,-\,1}{3\,-\,x}$ | – | + | – |

On en déduit le signe du quotient $\frac{2x\,-\,1}{3\,-\,x}$ :

$\frac{2x\,-\,1}{3\,-\,x}$ est négatif pour $x\,%3C\,\frac{1}{2}$ et $x\,>\,3$ est positif pour $\frac{1}{2}\,%3C\,x\,%3C\,3$ .

b) Résolvons l’inéquation $\frac{2x\,-\,1}{3\,-\,x}\,%3C\,0$ .

Nous devons trouver les intervalles où le quotient est négatif :

$\frac{2x\,-\,1}{3\,-\,x}\,%3C\,0$

D’après notre étude de signes, cette inéquation est vérifiée pour :
$x\,%3C\,\frac{1}{2}\,\,ou\,\,x\,>\,3$

c) Avec une calculatrice graphique, vérifiez la réponse en traçant le graphe de la fonction $f(x)\,=\,\frac{2x\,-\,1}{3\,-\,x}$ .

1. Tracez le graphe de $f(x)\,=\,\frac{2x\,-\,1}{3\,-\,x}$ .
2. Vérifiez que le graphe est en dessous de l’axe des abscisses pour $x\,%3C\,\frac{1}{2}$ et $x\,>\,3$ .

Ainsi, la résolution graphique de cette inéquation confirme que la solution est bien :

$x\,\in\,(\,-\infty%2C\,\frac{1}{2}\,)\,\cup\,(\,3%2C\,%2B\infty\,).$

Exercice 4 : calcul formel et fonction inverse
Pour justifier les solutions à l’inéquation $\frac{5x\,%2B\,7}{3x\,-\,4}\,>\,0$

Le numérateur $5x\,%2B\,7\,=\,0$ lorsque $x\,=\,-\frac{7}{5}$ .

Le dénominateur $3x\,-\,4\,=\,0$ lorsque $x\,=\,\frac{4}{3}$ .

2. $Construire\,le\,tableau\,de\,signes\,%3A$

Le tableau de signes est construit en considérant les points critiques et en analysons les signes des expressions dans chaque intervalle :

– Pour $x\,%3C\,-\frac{7}{5}$
– Pour $-\frac{7}{5}\,%3C\,x\,%3C\,\frac{4}{3}$
– Pour $x\,>\,\frac{4}{3}$ , $5x\,%2B\,7\,%3C\,0$ et $3x\,-\,4\,%3C\,0$ , donc la fraction est positive.
– Pour $-\frac{7}{5}\,%3C\,x\,%3C\,\frac{4}{3}$ , $5x\,%2B\,7\,>\,0$ , donc la fraction est négative.
– Pour $x\,>\,\frac{4}{3}$

La fraction $\frac{5x\,%2B\,7}{3x\,-\,4}$ est positive lorsque les signes du numérateur et du dénominateur sont identiques. Donc, nous avons deux cas :

– $x\,\in\,(\,-\infty%2C\,-\frac{7}{5}\,)$
– $x\,\in\,(\,\frac{4}{3}%2C\,%2B\infty\,)$

4. $Conclusion\,%3A$

Les intervalles solutions de l’inéquation $\frac{5x\,%2B\,7}{3x\,-\,4}\,>\,0$ Exercice 5 : triangles et fonction inverse
$AM\,=\,x\,%2B\,2$ cm

$MB\,=\,x$ cm

Puisque $MP\,\parallel\,BC$ , les triangles $\triangle\,AMP$ et $\triangle\,ABC$ sont semblables. On utilise le théorème de Thalès pour obtenir les rapports :

$\frac{MP}{BC}\,=\,\frac{AM}{AB}$

Avec $BC\,=\,8$ cm.

On cherche les valeurs de pour lesquelles $MP\,\geq\,\,6$ cm.

Donc on a :

$MP\,=\,\frac{AM}{AB}\,\times \,BC$

$AM\,=\,x\,%2B\,2$

$AB\,=\,AM\,%2B\,MB\,=\,(x\,%2B\,2)\,%2B\,x\,=\,2x\,%2B\,2$

$BC\,=\,8$

En utilisant le théorème de Thalès :

$MP\,=\,\frac{AM}{AB}\,\times \,BC\,=\,\frac{(x\,%2B\,2)}{(2x\,%2B\,2)}\,\times \,8$

Pour $MP\,\geq\,\,6$ :

$\frac{(x\,%2B\,2)}{(2x\,%2B\,2)}\,\times \,8\,\geq\,\,6$

On simplifie cette inégalité :

$\frac{(x\,%2B\,2)}{(2x\,%2B\,2)}\,\times \,8\,\geq\,\,6\,\implies\,\frac{(x\,%2B\,2)}{(2(x\,%2B\,1))}\,\times \,8\,\geq\,\,6\,\implies\,\frac{4(x\,%2B\,2)}{(x\,%2B\,1)}\,\geq\,\,6$

$4(x\,%2B\,2)\,\geq\,\,6(x\,%2B\,1)$

$4x\,%2B\,8\,\geq\,\,6x\,%2B\,6$

$8\,-\,6\,\geq\,\,6x\,-\,4x$

$2\,\geq\,\,2x\,\implies\,x\,\leq\,\,1$

La valeur de pour laquelle $MP\,\geq\,\,6$ cm est donc :

$x\,\leq\,\,1\,\,cm$

Exercice 6 : justifier l’étude d’un quotient
Marion affirme : « Le nombre $\frac{x%2B5}{x-1}$ est inférieur à 10 lorsque je donne à des valeurs supérieures à 2 ».

Pour vérifier cela, considérons l’inéquation $\frac{x%2B5}{x-1}\,%3C\,10$ pour $x\,>\,2$

Multiplions les deux membres par (qui est positif pour $x\,>\,1$

Développons et simplifions :

$x%2B5\,%3C\,10x\,-\,10$

$5\,%2B\,10\,%3C\,10x\,-\,x$

$15\,%3C\,9x$

En divisant par 9 :

$\frac{15}{9}\,%3C\,x$

$\frac{5}{3}\,%3C\,x$

Donc, pour que $\frac{x%2B5}{x-1}\,%3C\,10$ , il faut que $x\,>\,\frac{5}{3}$ , donc pour $x\,>\,2$ est bien supérieur à $\frac{5}{3}$ .

Ainsi, l’affirmation de Marion est correcte : lorsque $x\,>\,2$ est bien inférieur à 10.

Exercice 7 : tracer la courbe d’une fonction inverse et inéquations
1. La courbe représentative de la fonction $x\,\mapsto \,\frac{1}{x}$ est une hyperbole dont les segments entre les axes asymptotiques sont situés dans les quadrants I et III du plan cartésien. Voici à quoi ressemble la courbe :

$\begin{array}{c}%0D%0A\begin{tikzpicture}%0D%0A\begin{axis}%5B%0D%0Aaxis\,x\,line=center%2C%0D%0Aaxis\,y\,line=center%2C%0D%0Axlabel={%24x%24}%2C%0D%0Aylabel={%24y%24}%2C%0D%0Aymin=-5%2C\,ymax=5%2C%0D%0Axmin=-5%2C\,xmax=5%2C%0D%0Adomain=-5%3A5%2C%0D%0Asamples=200%2C%0D%0Agrid=major%2C%0D%0A%5D%0D%0A\addplot%5Bmark=none%2C\,color=red%5D\,{1%2Fx}%3B%0D%0A\end{axis}%0D%0A\end{tikzpicture}%0D%0A\end{array}$

2. Utilisons le graphique pour déterminer les nombres réels tels que :

a) $0%2C5\,%3C\,\frac{1}{x}\,%3C\,2$

$0%2C5\,%3C\,\frac{1}{x}\,%3C\,2$

Cette inéquation se traduit par deux inéquations distinctes, que nous résolvons séparément :

$0%2C5\,%3C\,\frac{1}{x}\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,\frac{1}{0%2C5}\,>\,x\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,2\,>\,x\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,x\,%3C\,2$

$\frac{1}{x}\,%3C\,2\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,x\,>\,\frac{1}{2}$

b) $-3\,%3C\,\frac{1}{x}\,\leq\,\,-1$

$-3\,%3C\,\frac{1}{x}\,\leq\,\,-1$

Cette inéquation se traduit par deux inéquations distinctes, que nous résolvons séparément :

$-3\,%3C\,\frac{1}{x}\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,\frac{1}{x}\,>\,-3\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,x\,>\,\frac{1}{-3}\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,x\,>\,-\frac{1}{3}$

En combinant ces inéquations, nous obtenons :

$x\,>\,-\frac{1}{3}\,\quad\,et\,\quad\,x\,\leq\,\,-1$ est plus grand que . Donc, il n’y a pas de solution.

Exercice 8 : fonction inverse et racines carrées
Soit $f(x)\,=\,\frac{1}{x}$ .

a) Pour $x\,=\,\sqrt{2}$ :

$f(\sqrt{2})\,=\,\frac{1}{\sqrt{2}}$

Utilisons la rationalisation du dénominateur :

$\frac{1}{\sqrt{2}}\,=\,\frac{1\,\times \,\sqrt{2}}{\sqrt{2}\,\times \,\sqrt{2}}\,=\,\frac{\sqrt{2}}{2}$

Donc,

$f(\sqrt{2})\,=\,\frac{\sqrt{2}}{2}$

b) Pour $x\,=\,-\sqrt{3}$ :

$f(-\sqrt{3})\,=\,\frac{1}{-\sqrt{3}}\,=\,-\frac{1}{\sqrt{3}}$

Utilisons la rationalisation du dénominateur :

$-\frac{1}{\sqrt{3}}\,=\,-\frac{1\,\times \,\sqrt{3}}{\sqrt{3}\,\times \,\sqrt{3}}\,=\,-\frac{\sqrt{3}}{3}$

Donc,

$f(-\sqrt{3})\,=\,-\frac{\sqrt{3}}{3}$

c) Pour $x\,=\,2\sqrt{5}$ :

$f(2\sqrt{5})\,=\,\frac{1}{2\sqrt{5}}$

Utilisons la rationalisation du dénominateur :

$\frac{1}{2\sqrt{5}}\,=\,\frac{1\,\times \,\sqrt{5}}{2\sqrt{5}\,\times \,\sqrt{5}}\,=\,\frac{\sqrt{5}}{10}$

Donc,

$f(2\sqrt{5})\,=\,\frac{\sqrt{5}}{10}$

Exercice 9 : etude d’un piston et fonction inverse
a) La loi donnée est $P\,\times \,V\,=\,1$ . Pour exprimer en fonction de , on peut réarranger cette équation pour obtenir:
$P\,=\,\frac{1}{V}$
Cette équation montre que la pression est inversement proportionnelle au volume . Lorsque le volume augmente, la pression diminue, et inversement. Cette relation est une caractéristique typique d’une fonction inverse, d’où le terme « fonction inverse ».

b) Si le volume peut varier entre 0,5 et 5 litres, nous devons trouver les valeurs possibles pour la pression . En utilisant la relation $P\,=\,\frac{1}{V}$ , nous calculons les valeurs pour $V\,=\,0{%2C}5$ litres et $V\,=\,5$ litres:
Pour $V\,=\,0{%2C}5$ litres :
$P\,=\,\frac{1}{0{%2C}5}\,=\,2\,\,bars$
Pour $V\,=\,5$ litres :
$P\,=\,\frac{1}{5}\,=\,0{%2C}2\,\,bars$
Ainsi, les valeurs possibles pour la pression sont comprises entre 0{,}2 et 2 bars.

Exercice 10 : exprimer des longueurs et aire d’un triangle
a) Exprimer les longueurs et en fonction de .

La longueur est simplement égale à l’abscisse .

$ON\,=\,x$

La longueur est égale à l’ordonnée du point , qui est donnée par la fonction $f(x)\,=\,\frac{1}{x}$ .

$MN\,=\,f(x)\,=\,\frac{1}{x}$

b) Démontrer que l’aire du triangle est constante.

L’aire du triangle peut être calculée à l’aide de la formule de l’aire d’un triangle rectangle :

$A\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,base\,\times \,hauteur$

Dans le cas du triangle , la base est $ON\,=\,x$ et la hauteur est $MN\,=\,\frac{1}{x}$ .

Donc :

$A\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,x\,\times \,\frac{1}{x}$

Simplifions l’expression :

$A\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,1\,=\,\frac{1}{2}$

Ainsi, l’aire du triangle est constante et vaut $\frac{1}{2}$ .

Exercice 11 : résoudre des inéquations et intervalles
a) $I\,=\,%5D2\,%3B\,%2B\infty%5B$

$\frac{1}{x\,-\,2}\,>\,1$ . Pour cela, nous déterminons les valeurs pour lesquelles le numérateur et le dénominateur s’annulent:

$3\,-\,x\,=\,0\,\implies\,x\,=\,3$

$x\,-\,2\,=\,0\,\implies\,x\,=\,2$

Nous dressons un tableau de signes:

$\begin{array}{%7Cc%7Ccc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0Ax\,%26\,2\,%26\,3\,%26\,%2B\infty\,\\%0D%0A\hline%0D%0A3\,-\,x\,%26\,%2B\,%26\,0\,%26\,-\,\\%0D%0Ax\,-\,2\,%26\,0\,%26\,%2B\,%26\,%2B\,\\%0D%0A\frac{3\,-\,x}{x\,-\,2}\,%26\,undefined\,%26\,%2B\,%26\,-\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

Pour que $\frac{3\,-\,x}{x\,-\,2}\,>\,0$

b) $I\,=\,%5D-\infty\,%3B\,-3%5B$

$\frac{2}{x\,%2B\,3}\,%3C\,-4$

$\frac{2}{x\,%2B\,3}\,%2B\,4\,%3C\,0$

$\frac{2\,%2B\,4(x\,%2B\,3)}{x\,%2B\,3}\,%3C\,0$

$\frac{2\,%2B\,4x\,%2B\,12}{x\,%2B\,3}\,%3C\,0$

$\frac{4x\,%2B\,14}{x\,%2B\,3}\,%3C\,0$

Nous devons étudier le signe de $\frac{4x\,%2B\,14}{x\,%2B\,3}$ . Pour cela, nous déterminons les valeurs pour lesquelles le numérateur et le dénominateur s’annulent:

$4x\,%2B\,14\,=\,0\,\implies\,x\,=\,-\frac{14}{4}\,=\,-3.5$

$x\,%2B\,3\,=\,0\,\implies\,x\,=\,-3$

Nous dressons un tableau de signes:

$\begin{array}{%7Cc%7Cccc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0Ax\,%26\,-\infty\,%26\,-3.5\,%26\,-3\,%26\,%2B\infty\,\\%0D%0A\hline%0D%0A4x\,%2B\,14\,%26\,-\,%26\,0\,%26\,%2B\,%26\,%2B\,\\%0D%0Ax\,%2B\,3\,%26\,-\,%26\,-\,%26\,0\,%26\,%2B\,\\%0D%0A\frac{4x\,%2B\,14}{x\,%2B\,3}\,%26\,%2B\,%26\,0\,%26\,undefined\,%26\,%2B\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

Pour que $\frac{4x\,%2B\,14}{x\,%2B\,3}\,%3C\,0$ , il faut que le quotient soit négatif.

Donc l’ensemble des solutions est:

$%5D-\infty%2C\,-3%5B\,\cap\,%5D-\infty%2C\,-3.5%5B\,=\,%5D-\infty%2C\,-3.5%5B$

Exercice 12 : tableau et étudier le signe de l’expression
$Correction\,de\,l'exercice%3A$

$On\,se\,propose\,d'etudier\,le\,signe\,de\,l'expression\,\,\frac{x%2B2}{x-3}\,-\,1\,\,selon\,les\,valeurs\,de\,\,x.$

(a) Reproduisons et complétons:

Pour tout $x\,\neq\,3$ ,

$\frac{x%2B2}{x-3}\,-\,1\,=\,\frac{x%2B2\,-\,(x-3)}{x-3}$

$\frac{x%2B2}{x-3}\,-\,1\,=\,\frac{x%2B2\,-\,x\,%2B\,3}{x-3}$

$\frac{x%2B2}{x-3}\,-\,1\,=\,\frac{5}{x-3}$

(b) En déduire le tableau de signes de $\frac{x%2B2}{x-3}\,-\,1$ :

$\frac{x%2B2}{x-3}\,-\,1\,=\,\frac{5}{x-3}$

Le signe de $\frac{5}{x-3}$ dépend de celui de x-3 .

$\begin{array}{%7Cc%7Cccccccc%7C}%0D%0A\hline%0D%0Ax\,%26\,-\infty\,%26\,%26\,3\,%26\,%26\,%2B\infty\,\\%0D%0A\hline%0D%0Ax-3\,%26\,-\,%26\,0\,%26\,%2B\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\frac{5}{x-3}\,%26\,-\,%26\,indefini\,%26\,%2B\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

Pour $x\,%3C\,3$ , $x-3\,%3C\,0$ donc $\frac{5}{x-3}\,%3C\,0$ .

Pour $x\,>\,3$

Exercice 13 : résitance équivalente et fonction inverse
Correction de l’exercice

1.
On note la valeur de la résistance variable.

a) Démonstration de l’expression de R_e :
$\frac{1}{R_e}\,=\,\frac{1}{R_1}\,%2B\,\frac{1}{R_2}$
$\frac{1}{R_e}\,=\,\frac{1}{10}\,%2B\,\frac{1}{x}$
$\frac{1}{R_e}\,=\,\frac{x\,%2B\,10}{10x}$
$R_e\,=\,\frac{10x}{x\,%2B\,10}$

b) Affichage de la courbe représentative de la fonction $x\,\mapsto \,\frac{10x}{x%2B10}$ sur l’intervalle $%5B0\,%3B\,10%5D$ avec une calculatrice ou un logiciel de calcul.

2.
Déterminer les valeurs de pour lesquelles la valeur de la résistance équivalente est supérieure à $4\,\Omega$ :

a) Graphiquement :
On trace la courbe de la fonction $x\,\mapsto \,\frac{10x}{x%2B10}$ sur l’intervalle $%5B0\,%3B\,10%5D$ . On trace également la droite horizontale $y\,=\,4$ . Les valeurs de cherchées sont celles pour lesquelles la courbe de la fonction est au-dessus de la droite horizontale.

b) Algébriquement :
Nous résolvons l’inéquation suivante :
$\frac{10x}{x%2B10}\,>\,4$ (notez que doit être positif et différent de 10 pour éviter de diviser par zéro) :
$10x\,>\,4(x\,%2B\,10)$ pour lesquelles $R_e\,>\,4\,\Omega$

Exercice 14 : calculatrice et étude des courbes avec conjecture
Correction de l’exercice :

Soit et les fonctions définies par :
$f(x)\,=\,\frac{x%2B2}{x-1}\,\quad\,pour\,\%2C\,x\,\neq\,1\,\quad\,et\,\quad\,g(x)\,=\,2x.$

a) Pour afficher à l’écran de la calculatrice les courbes représentatives de et , on entre les fonctions dans la fenêtre de graphe avec les paramètres $-3\,\leq\,\,x\,\leq\,\,6$ (avec un pas de 1 pour ) et $-5\,\leq\,\,y\,\leq\,\,7$ (avec un pas de 1 pour ).

b) Conjecturons l’ensemble des solutions de l’inéquation $f(x)\,\leq\,\,g(x)$ .

Pour trouver les solutions de l’inéquation $f(x)\,\leq\,\,g(x)$ :
$\frac{x%2B2}{x-1}\,\leq\,\,2x.$

c) Démontrons cette conjecture.

Résolvons l’inéquation par étapes :

1. Écrivons l’inéquation sous une forme commune :
$\frac{x%2B2}{x-1}\,\leq\,\,2x.$

2. Transformons cette inéquation pour avoir un dénominateur commun :
$\frac{x%2B2}{x-1}\,-\,2x\,\leq\,\,0$

3. Simplifions l’expression pour comparer les termes :
$\frac{x%2B2\,-\,2x(x-1)}{x-1}\,=\,\frac{x%2B2\,-\,2x^2\,%2B\,2x}{x-1}$
$=\,\frac{-2x^2\,%2B\,3x\,%2B\,2}{x-1}\,\leq\,\,0.$

4. Résolvons l’inéquation en étudiant le signe de l’expression :
$-2x^2\,%2B\,3x\,%2B\,2\,=\,0$
Cette équation quadratique peut être résolue pour trouver les solutions :
$x\,=\,\frac{-3\,\pm\,\sqrt{(3)^2\,-\,4(-2)(2)}}{2(-2)}\,=\,\frac{-3\,\pm\,\sqrt{9\,%2B\,16}}{-4}$

$x\,=\,\frac{-3\,\pm\,5}{-4}\,=\,\{\,\begin{array}{l}\,\frac{-3\,%2B\,5}{-4}\,=\,-\frac{1}{2}\,\\\,\frac{-3\,-\,5}{-4}\,=\,2\,\end{array}\,.$

Donc, $x\,=\,-\frac{1}{2}\,\%2C\,et\,\%2C\,x\,=\,2$

5. Analysons les intervalles de signes de $\frac{-(2x^2\,-\,3x\,-\,2)}{(x-1)}.$

Pour cette fonction, déterminons les intervalles où la fonction est inférieure ou égale à zéro en respectant les valeurs de qui rendent le dénominateur nul ( $x\,\neq\,1$ ) et en considérant les racines trouvées :
– Pour $x\,%3C\,-\frac{1}{2}$
– Pour $-\frac{1}{2}\,%3C\,x\,%3C\,1$
– Pour $1\,%3C\,x\,%3C\,2$

Ainsi, nous avons les intervalles de solution :
$x\,\in\,\%3B\,%5D-\infty%2C\,-\frac{1}{2}%5D\,\cup\,%5D1%2C\,2%5D.$

L’ensemble des solutions de l’inéquation $f(x)\,\leq\,\,g(x)$ est donc :
$%5D-\infty%2C\,-\frac{1}{2}%5D\,\cup\,%5D1%2C\,2%5D.$

Ceci est conforme à nos conjectures et vérifiable par la représentation graphique des fonctions et .

Exercice 15 : tableau de valeurs et courbe représentative
a. Complétons le tableau de valeurs :

$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0Ax\,%26\,-4\,%26\,-3\,%26\,-2\,%26\,-1\,%26\,-0.5\,%26\,-0.25\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\frac{1}{x}\,%26\,-\frac{1}{4}\,%26\,-\frac{1}{3}\,%26\,-\frac{1}{2}\,%26\,-1\,%26\,-2\,%26\,-4\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0Ax\,%26\,0.25\,%26\,0.5\,%26\,1\,%26\,2\,%26\,3\,%26\,4\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\frac{1}{x}\,%26\,4\,%26\,2\,%26\,1\,%26\,\frac{1}{2}\,%26\,\frac{1}{3}\,%26\,\frac{1}{4}\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

b. Tracer un repère orthogonal $(O%3B\,\vec{i}%2C\,\vec{j})$ tel que :
– 1 cm sur l’axe des abscisses représente 1 unité ;
– 1 cm sur l’axe des ordonnées représente 0.5 unité.

c. Dans ce repère, placer les points de coordonnées $(\,x\,%3B\,\frac{1}{x}\,)$ .

Points à placer :
– Pour $x\,%3C\,0$ : $(-4\,%3B\,-0.25)$ , $(-3\,%3B\,-0.33)$ , $(-2\,%3B\,-0.5)$ , $(-1\,%3B\,-1)$ , $(-0.5\,%3B\,-2)$ , $(-0.25\,%3B\,-4)$ .
– Pour $x\,>\,0$ , $(0.5\,%3B\,2)$ , $(1\,%3B\,1)$ , $(2\,%3B\,0.5)$ , $(3\,%3B\,0.33)$ , $(4\,%3B\,0.25)$ .

Ensuite, tracer la courbe représentative de la fonction inverse sur $%5B-4%2C\,0%5B\,\cup\,%5D0%2C\,4%5D$ .

Exercice 16 : déterminer image et antécédent
$a.\,l'image\,des\,nombres\,\,-4%2C\,-2%2C\,5%2C\,\frac{1}{4}%2C\,\frac{5}{9}%2C\,-\frac{3}{7}%2C\,-\frac{7}{6}\,avec\,la\,fonction\,inverse\,f(x)\,=\,\frac{1}{x}$

$\begin{align%2A}%0D%0Af(-4)\,%26=\,\frac{1}{-4}\,=\,-\frac{1}{4}\,\\%0D%0Af(-2)\,%26=\,\frac{1}{-2}\,=\,-\frac{1}{2}\,\\%0D%0Af(5)\,%26=\,\frac{1}{5}\,\\%0D%0Af(\frac{1}{4})\,%26=\,4\,\\%0D%0Af(\frac{5}{9})\,%26=\,\frac{9}{5}\,\\%0D%0Af(-\frac{3}{7})\,%26=\,-\frac{7}{3}\,\\%0D%0Af(-\frac{7}{6})\,%26=\,-\frac{6}{7}\,\\%0D%0A\end{align%2A}$

$b.\,les\,eventuels\,antecedents\,des\,nombres\,\,9%2C\,2%2C\,-7%2C\,8%2C\,3%2C\,\frac{4}{5}%2C\,-\frac{7}{3}\,\,avec\,la\,fonction\,inverse\,\,f(x)\,=\,\frac{1}{x}$

$\begin{align%2A}%0D%0Af(x)\,=\,9\,%26\implies\,x\,=\,\frac{1}{9}\,\\%0D%0Af(x)\,=\,2\,%26\implies\,x\,=\,\frac{1}{2}\,\\%0D%0Af(x)\,=\,-7\,%26\implies\,x\,=\,-\frac{1}{7}\,\\%0D%0Af(x)\,=\,8\,%26\implies\,x\,=\,\frac{1}{8}\,\\%0D%0Af(x)\,=\,3\,%26\implies\,x\,=\,\frac{1}{3}\,\\%0D%0Af(x)\,=\,\frac{4}{5}\,%26\implies\,x\,=\,\frac{5}{4}\,\\%0D%0Af(x)\,=\,-\frac{7}{3}\,%26\implies\,x\,=\,-\frac{3}{7}\,\\%0D%0A\end{align%2A}$

Exercice 17 : affirmations vraies ou fausses ?
$a.\,\%3B\frac{3}{4}\,>\,\frac{7}{3}$
$\frac{7}{3}\,=\,\frac{7\,\times \,4}{3\,\times \,4}\,=\,\frac{28}{12}$

$\frac{9}{12}\,%3C\,\frac{28}{12}$

L’affirmation est donc fausse :
$\frac{3}{4}\,%3C\,\frac{7}{3}$

$b.\,\%3B\frac{6}{5}\,%3C\,\frac{9}{7}$

Comparons ces fractions en les mettant au même dénominateur :

$\frac{6}{5}\,=\,\frac{6\,\times \,7}{5\,\times \,7}\,=\,\frac{42}{35}$

$\frac{9}{7}\,=\,\frac{9\,\times \,5}{7\,\times \,5}\,=\,\frac{45}{35}$

$\frac{42}{35}\,%3C\,\frac{45}{35}$

L’affirmation est donc vraie :
$\frac{6}{5}\,%3C\,\frac{9}{7}$

$c.\,\%3B\,-\frac{3}{7}\,%3C\,-\frac{2}{9}$

Comparons ces fractions en les mettant au même dénominateur, en posant que les deux fractions sont négatives, la plus grande fraction positive sera la plus petite une fois rendue négative :
$\frac{3}{7}\,=\,\frac{3\,\times \,9}{7\,\times \,9}\,=\,\frac{27}{63}$
$\frac{2}{9}\,=\,\frac{2\,\times \,7}{9\,\times \,7}\,=\,\frac{14}{63}$

$\frac{27}{63}\,>\,\frac{14}{63}$

L’affirmation est donc vraie.

$d.\,L%E2%80%99inverse\,de\,l%E2%80%99inverse\,de\,\frac{3}{5}\,est\,\frac{5}{3}.$

L’inverse de $\frac{3}{5}$ est $\frac{5}{3}$ . Et l’inverse de $\frac{5}{3}$ est $\frac{3}{5}$ .

$L'affirmation\,est\,donc\,fausse.$

Exercice 18 : comparer des images de la fonction inverse
Correction de l’exercice :

Soit la fonction inverse définie sur $\mathbb{R}^%2A$ , c’est-à-dire $f(x)\,=\,\frac{1}{x}$ .

[a.] Comparons et .
$f(2%2C1)\,=\,\frac{1}{2%2C1}\,\approx\,0%2C476\,\quad\,et\,\quad\,f(3%2C4)\,=\,\frac{1}{3%2C4}\,\approx\,0%2C294$
$f(2%2C1)\,>\,f(3%2C4).$ et .
$f(-4%2C7)\,=\,\frac{1}{-4%2C7}\,\approx\,-0%2C213\,\quad\,et\,\quad\,f(-3%2C2)\,=\,\frac{1}{-3%2C2}\,\approx\,-0%2C313$
$f(-4%2C7)\,>\,f(-3%2C2).$ et $f(\frac{7}{4})$ .
$f(\frac{3}{4})\,=\,\frac{1}{\frac{3}{4}}\,=\,\frac{4}{3}\,\approx\,1%2C333\,\quad\,et\,\quad\,f(\frac{7}{4})\,=\,\frac{1}{\frac{7}{4}}\,=\,\frac{4}{7}\,\approx\,0%2C571$
$f(\frac{3}{4})\,>\,f(\frac{7}{4}).$ et $f(\,-1\,%2B\,\frac{2}{3}\,)$ .
$\frac{1}{4}\,%2B\,\frac{3}{2}\,=\,\frac{1}{4}\,%2B\,\frac{6}{4}\,=\,\frac{7}{4}$
$-1\,%2B\,\frac{2}{3}\,=\,-\frac{3}{3}\,%2B\,\frac{2}{3}\,=\,-\frac{1}{3}$
$f(\,\frac{7}{4}\,)\,=\,\frac{1}{\frac{7}{4}}\,=\,\frac{4}{7}\,\quad\,et\,\quad\,f(\,-\frac{1}{3}\,)\,=\,-3$
$f(\,\frac{7}{4}\,)\,>\,f(\,-\frac{1}{3}\,).$ Exercice 19 : un programme de calcul
$a.\,Executer\,ce\,programme\,avec\,le\,nombre\,3.\,Quel\,resultat\,obtient-on\,%3F$

Pour $x\,=\,3$ :
1. Prendre l’inverse : $\frac{1}{3}$
2. Multiplier le résultat par : $-5\,\times \,\frac{1}{3}\,=\,-\frac{5}{3}$
3. Soustraire 4 au résultat : $-\frac{5}{3}\,-\,4\,=\,-\frac{5}{3}\,-\,\frac{12}{3}\,=\,-\frac{17}{3}$

Le résultat est donc $-\frac{17}{3}$ .

$b.\,Traduire\,ce\,programme\,a\,l%E2%80%99aide\,d%E2%80%99une\,fonction\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Ff%22\,alt=%22f$ ou le nombre de depart est . » align= »absmiddle » />

La fonction peut être définie comme suit :
$f(x)\,=\,-5\,(\,\frac{1}{x}\,)\,-\,4$

$c.\,Rediger\,un\,algorithme\,qui\,permet\,d%E2%80%99afficher\,le\,resultat\,obtenu\,en\,saisissant\,la\,valeur\,de\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fx%22\,alt=%22x$ en entree. » align= »absmiddle » />

« `plaintext
Début
Lire x
y <- 1 / x
y <- y * (-5)
y <- y – 4
Afficher y
Fin
« `

$d.\,Quelle\,ligne\,de\,l%E2%80%99algorithme\,faut-il\,modifier\,si\,l%E2%80%99on\,considere\,la\,fonction\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Ff%22\,alt=%22f$ definie sur $\mathbb{R}^%2A$ par : » align= »absmiddle » />
$f(x)\,=\,-6\,(\,-\frac{8}{x}\,%2B\,23\,)\,%3F$

Il faut modifier la ligne qui calcule l’inverse de , ainsi que celle qui calcule le produit et l’addition.

Voici la nouvelle version de l’algorithme :

« `plaintext
Début
Lire x
y <- -\frac{8}{x} + 23
y <- y * (-6)
Afficher y
Fin
« `

Exercice 20 : résoudre les équations suivantes
$\begin{array}{ll}%0D%0Aa)\,%26\,\frac{1}{x}\,=\,9\,\\%0D%0A%26\,\Rightarrow\,x\,=\,\frac{1}{9}\,\\%5B10pt%5D%0D%0A%0D%0Ab)\,%26\,\frac{1}{x}\,=\,-\frac{1}{4}\,\\%0D%0A%26\,\Rightarrow\,x\,=\,-4\,\\%5B10pt%5D%0D%0A%0D%0Ac)\,%26\,\frac{1}{x}\,=\,\frac{6}{11}\,\\%0D%0A%26\,\Rightarrow\,x\,=\,\frac{11}{6}\,\\%5B10pt%5D%0D%0A%0D%0Ad)\,%26\,\frac{1}{x}\,=\,-5\,\\%0D%0A%26\,\Rightarrow\,x\,=\,-\frac{1}{5}\,\\%5B10pt%5D%0D%0A%0D%0Ae)\,%26\,\frac{1}{x}\,%2B\,\frac{8}{7}\,=\,0\,\\%0D%0A%26\,\Rightarrow\,\frac{1}{x}\,=\,-\frac{8}{7}\,\\%0D%0A%26\,\Rightarrow\,x\,=\,-\frac{7}{8}\,\\%5B10pt%5D%0D%0A%0D%0Af)\,%26\,\frac{1}{x}\,-\,\frac{4}{7}\,=\,0\,\\%0D%0A%26\,\Rightarrow\,\frac{1}{x}\,=\,\frac{4}{7}\,\\%0D%0A%26\,\Rightarrow\,x\,=\,\frac{7}{4}%0D%0A\end{array}$

Voir Corrigés 11 à 20 ...

Exercice 21 : tracer des courbes représentatives
a. Les courbes représentatives des fonctions et sur l’intervalle $%5B-4%3B\,4%5D$ peuvent être tracées à l’aide d’un logiciel de calcul ou d’une calculatrice graphique. La fonction $f(x)\,=\,\frac{1}{x}$ est une hyperbole ayant deux branches, tandis que la fonction $g(x)\,=\,x$ est une droite passant par l’origine. Voici les courbes :

– Pour $f(x)\,=\,\frac{1}{x}$ :

![Graph of $f(x)\,=\,\frac{1}{x}$ on $%5B-4%2C\,4%5D$ ](image_with_hyperbola.png)

– Pour $g(x)\,=\,x$ :

![Graph of $g(x)\,=\,x$ on $%5B-4%2C\,4%5D$ ](image_with_line.png)

« `latex
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
axis lines = center,
xlabel = ,
ylabel = {},
]
\addplot [
domain=-4:4,
samples=100,
color=red,
]
{1/x};
\addlegendentry{ $f(x)\,=\,\frac{1}{x}$ }

\addplot [
domain=-4:4,
samples=100,
color=blue,
]
{x};
\addlegendentry{ $g(x)\,=\,x$ }
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{center}
« `

b. Pour déterminer s’il existe des nombres réels égaux à leur inverse, nous devons chercher les valeurs de telles que $f(x)\,=\,g(x)$ , c’est-à-dire :

$\frac{1}{x}\,=\,x$

Pour résoudre cette équation, multiplions les deux membres par (en supposant $x\,\neq\,0$ ):

$1\,=\,x^2$

En résolvant cette équation, nous obtenons :

$x^2\,=\,1$

Donc,

$x\,=\,\pm\,1$

Ainsi, les nombres réels égaux à leur inverse sont et .

Exercice 22 : hyperbole et points d’intersection
Correction de l’exercice :

1. $Tracer\,l'hyperbole\,%24\,\mathscr{H}\,%24\,d'equation\,%24\,y\,=\,\frac{1}{x}\,%24\,et\,la\,droite\,%24\,\mathscr{D}\,%24\,d'equation\,%24\,y\,=\,4\,%24.$

2. $Determiner\,les\,coordonnees\,des\,points\,d'intersection\,de\,l'hyperbole\,%24\mathscr{H}%24\,et\,de\,la\,droite\,%24y\,=\,4%24.$

Pour trouver les points d’intersection, nous résolvons l’équation suivante :
$\frac{1}{x}\,=\,4$
$x\,=\,\frac{1}{4}$

Les points d’intersection sont donc :
$(\,\frac{1}{4}%2C\,4\,)$

3. $En\,deduire\,les\,solutions\,de\,l'inequation\,%24\,f(x)\,\geq\,\,4\,%24\,en\,expliquant\,votre\,methode.$

L’inéquation $ f(x) \geq\, 4 $ se traduit en :
$\frac{1}{x}\,\geq\,\,4$

Pour résoudre cette inéquation, nous devons examiner les signes. Il s’agit d’une inéquation du type :
$\frac{1}{x}\,-\,4\,\geq\,\,0$
$\frac{1\,-\,4x}{x}\,\geq\,\,0$

L’expression $\frac{1 – 4x}{x}$ est positive pour :
$\begin{cases}%0D%0A1\,-\,4x\,\geq\,\,0\,\\%0D%0Ax\,>\,0%0D%0A\end{cases}$

Les solutions sont donc :
$0\,%3C\,x\,\leq\,\,\frac{1}{4}$

4. $Resoudre\,sur\,l'intervalle\,%24%5B-4%3B\,0%5B\,\cup\,%5D0%3B\,4%5D%24\,les\,inequations\,suivantes\,%3A$

a. $f(x) > -2$
$\frac{1}{x}\,>\,-2$

L’expression est positive :
$-2x\,%3C\,1\,\implies\,x\,>\,-\frac{1}{2}$

b. $f(x) \leq\, 4$
$\frac{1}{x}\,\leq\,\,4$
$x\,>\,\frac{1}{4}\,\quad\,ou\,\quad\,x\,%3C\,0$

La solution sur l’intervalle donné est:
$x\,\in\,%5B-4%3B\,0%5B\,\cup\,%5D\frac{1}{4}%3B\,4%5D$

c. $f(x) \geq\, \frac{1}{6}$
$\frac{1}{x}\,\geq\,\,\frac{1}{6}$
$x\,>\,0\,\quad\,et\,\quad\,x\,\leq\,\,6$

d. $f(x) < 5$
$\frac{1}{x}\,%3C\,5$
$\frac{1}{5}\,%3C\,x\,%3C\,4$

La solution sur l’intervalle donné est:
$x\,\in\,%5B-4%3B\,0%5B\,\cup\,%5D\frac{1}{5}%3B\,4%5D$

Exercice 23 : fonction inverse et inéquations
$\text{a. } f(x) > \frac{1}{3}$

La fonction inverse est $f(x)\,=\,\frac{1}{x}$ .

On résout donc l’inéquation $\frac{1}{x}\,>\,\frac{1}{3}$ , sachant que $x\,\neq\,0$ .

La solution est donc :
$x\,\in\,(\,-\infty%2C\,0\,)\,\cup\,(\,0%2C\,3\,)$

$\text{b. } f(x) \geq\, 0,25$

On résout donc l’inéquation $\frac{1}{x}\,\geq\,\,0%2C25$ .

Cela revient à résoudre $x\,\leq\,\,\frac{1}{0%2C25}\,=\,4$ , sachant que $x\,\neq\,0$ .

La solution est donc :
$x\,\in\,(\,-\infty%2C\,0\,)\,\cup\,(\,4%2C\,%2B\infty\,)$

$\text{c. } f(x) < -4$

On résout donc l’inéquation $\frac{1}{x}\,%3C\,-4$ .

Cela revient à résoudre $x\,>\,\frac{1}{-4}\,=\,-0%2C25$ .

La solution est donc :
$x\,\in\,(\,-0%2C25%2C\,0\,)$

$\text{d. } f(x) > 9$

On résout donc l’inéquation $\frac{1}{x}\,>\,9$ , sachant que $x\,\neq\,0$ .

La solution est donc :
$x\,\in\,(\,-\infty%2C\,0\,)\,\cup\,(\,0%2C\,\frac{1}{9}\,)$

$\text{e. } f(x) \geq\, -1$

On résout donc l’inéquation $\frac{1}{x}\,\geq\,\,-1$ .

Cela revient à résoudre $x\,\leq\,\,\frac{1}{-1}\,=\,-1$ , sachant que $x\,\neq\,0$ .

La solution est donc :
$x\,\in\,(\,-\infty%2C\,-1\,)\,\cup\,(\,0%2C\,%2B\infty\,)$

$\text{f. } f(x) < 2$

On résout donc l’inéquation $\frac{1}{x}\,%3C\,2$ .

Cela revient à résoudre $x\,>\,\frac{1}{2}$ .

La solution est donc :
$x\,\in\,(\,-\infty%2C\,0\,)\,\cup\,(\,\frac{1}{2}%2C\,%2B\infty\,)$

Exercice 24 : fonction associée à un algorithme
1. a.

Pour l’algorithme a, nous avons les étapes suivantes :
– Saisir
– $Y\,arrow\,3\,-\,X$
– $Z\,arrow\,\frac{1}{Y}\,=\,\frac{1}{3\,-\,X}$
– $W\,arrow\,Z\,%2B\,4\,=\,\frac{1}{3\,-\,X}\,%2B\,4$
– Afficher

Donc, la fonction associée à cet algorithme est :
$f(X)\,=\,\frac{1}{3\,-\,X}\,%2B\,4$

1. b.

Pour l’algorithme b, nous avons les étapes suivantes :
– Saisir
– $Y\,arrow\,3\,%2B\,2\,\cdot\,X$
– $Z\,arrow\,\sqrt{Y}\,=\,\sqrt{3\,%2B\,2\,\cdot\,X}$
– $W\,arrow\,Z\,-\,1\,=\,\sqrt{3\,%2B\,2\,\cdot\,X}\,-\,1$
– Afficher

Donc, la fonction associée à cet algorithme est :
$g(X)\,=\,\sqrt{3\,%2B\,2\,\cdot\,X}\,-\,1$

2. Calculer l’image de 5 puis de (-1) pour chacune des fonctions précédentes.

Pour f(X) :
– Pour $X\,=\,5$ :
$f(5)\,=\,\frac{1}{3\,-\,5}\,%2B\,4\,=\,\frac{1}{-2}\,%2B\,4\,=\,-\frac{1}{2}\,%2B\,4\,=\,\frac{7}{2}$

– Pour $X\,=\,-1$ :
$f(-1)\,=\,\frac{1}{3\,-\,(-1)}\,%2B\,4\,=\,\frac{1}{4}\,%2B\,4\,=\,\frac{1}{4}\,%2B\,\frac{16}{4}\,=\,\frac{17}{4}$

Pour g(X) :
– Pour $X\,=\,5$ :
$g(5)\,=\,\sqrt{3\,%2B\,2\,\cdot\,5}\,-\,1\,=\,\sqrt{3\,%2B\,10}\,-\,1\,=\,\sqrt{13}\,-\,1$

– Pour $X\,=\,-1$ :
$g(-1)\,=\,\sqrt{3\,%2B\,2\,\cdot\,(-1)}\,-\,1\,=\,\sqrt{3\,-\,2}\,-\,1\,=\,\sqrt{1}\,-\,1\,=\,1\,-\,1\,=\,0$

Exercice 25 : images d’une fonction inverse
a. La fonction est la fonction inverse, donc $i(x)\,=\,\frac{1}{x}$ .

Calculons $i(3\,%2B\,4)$ :

$i(3\,%2B\,4)\,=\,i(7)\,=\,\frac{1}{7}$

Ensuite, calculons $i(3)\,%2B\,i(4)$ :

$i(3)\,=\,\frac{1}{3}$
$i(4)\,=\,\frac{1}{4}$

$i(3)\,%2B\,i(4)\,=\,\frac{1}{3}\,%2B\,\frac{1}{4}\,=\,\frac{4}{12}\,%2B\,\frac{3}{12}\,=\,\frac{7}{12}$

b. Alex affirme que pour tous les réels et non nuls :

$\frac{1}{x}\,%2B\,\frac{1}{y}\,=\,\frac{1}{x\,%2B\,y}$

Pour vérifier cette affirmation, simplifions le membre de gauche de l’égalité supposée :

$\frac{1}{x}\,%2B\,\frac{1}{y}\,=\,\frac{y}{xy}\,%2B\,\frac{x}{xy}\,=\,\frac{x\,%2B\,y}{xy}$

Ainsi, nous avons :

$\frac{1}{x}\,%2B\,\frac{1}{y}\,=\,\frac{x\,%2B\,y}{xy}$

Pour que l’égalité d’Alex soit vraie, il faudrait que :

$\frac{x\,%2B\,y}{xy}\,=\,\frac{1}{x\,%2B\,y}$

Ce qui revient à :

$\frac{x\,%2B\,y}{xy}\,=\,\frac{1}{x\,%2B\,y}$

Multipliant les deux côtés par $xy(x\,%2B\,y)$ , nous obtenons :

$(x\,%2B\,y)^2\,=\,xy$

Pour que cette égalité soit vraie, il faudrait que :

$x^2\,%2B\,2xy\,%2B\,y^2\,=\,xy$

Ce qui se simplifie en :

$x^2\,%2B\,y^2\,%2B\,2xy\,=\,xy$

$x^2\,%2B\,y^2\,%2B\,xy\,\neq\,0$

Ainsi, l’affirmation d’Alex est fausse pour la majorité des valeurs non nulles de et .

Exercice 26 : compléter les phrases
a. pour un certain $x\,\in\,%5D0%3B5%5D$ , on a : $f(x)\,\in\,%5B\frac{1}{5}%2C\,%2B\infty%5B$

b. pour un certain $x\,\in\,%5B-3%3B0%5B$ , on a : $f(x)\,=\,-2$

c. quel que soit $x\,\in\,%5D0%3B%2B\infty%5B$ , on a : $f(x)\,>\,0$ , on a : $f(x)\,\leq\,\,\frac{1}{2}$

Exercice 27 : résoudre les équations suivantes

a. $\frac{1}{x}\,%2B\,4\,=\,3$

$\frac{1}{x}\,%2B\,4\,%26=\,3\,\\%0D%0A\frac{1}{x}\,%26=\,3\,-\,4\,\\%0D%0A\frac{1}{x}\,%26=\,-1\,\\%0D%0Ax\,%26=\,-1$

b. $5\,-\,\frac{1}{x}\,=\,9$

$5\,-\,\frac{1}{x}\,%26=\,9\,\\%0D%0A-\frac{1}{x}\,%26=\,9\,-\,5\,\\%0D%0A-\frac{1}{x}\,%26=\,4\,\\%0D%0A\frac{1}{x}\,%26=\,-4\,\\%0D%0Ax\,%26=\,-\frac{1}{4}$

c. $\frac{4}{x}\,=\,1$

$\frac{4}{x}\,%26=\,1\,\\%0D%0A4\,%26=\,x\,\\%0D%0Ax\,%26=\,4$

d. $\frac{1}{x}\,%2B\,\frac{4}{5}\,=\,6$

$\frac{1}{x}\,%2B\,\frac{4}{5}\,%26=\,6\,\\%0D%0A\frac{1}{x}\,%26=\,6\,-\,\frac{4}{5}\,\\%0D%0A\frac{1}{x}\,%26=\,\frac{30}{5}\,-\,\frac{4}{5}\,\\%0D%0A\frac{1}{x}\,%26=\,\frac{26}{5}\,\\%0D%0Ax\,%26=\,\frac{5}{26}$

a. $\frac{3}{x}\,-\,4\,=\,\frac{8}{x}\,%2B\,6$

$\frac{3}{x}\,-\,4\,%26=\,\frac{8}{x}\,%2B\,6\,\\%0D%0A\frac{3}{x}\,-\,\frac{8}{x}\,%26=\,10\,\\%0D%0A-\frac{5}{x}\,%26=\,10\,\\%0D%0A\frac{5}{x}\,%26=\,-10\,\\%0D%0Ax\,%26=\,-\frac{1}{2}$

b. $5\,-\,\frac{9}{x}\,=\,7$

$5\,-\,\frac{9}{x}\,%26=\,7\,\\%0D%0A-\frac{9}{x}\,%26=\,7\,-\,5\,\\%0D%0A-\frac{9}{x}\,%26=\,2\,\\%0D%0A\frac{9}{x}\,%26=\,-2\,\\%0D%0Ax\,%26=\,-\frac{9}{2}$

c. $6x\,%2B\,\frac{3}{x}\,=\,\frac{5}{x}\,%2B\,6x\,-\,4$

$6x\,%2B\,\frac{3}{x}\,%26=\,\frac{5}{x}\,%2B\,6x\,-\,4\,\\%0D%0A\frac{3}{x}\,-\,\frac{5}{x}\,%26=\,-4\,\\%0D%0A-\frac{2}{x}\,%26=\,-4\,\\%0D%0A\frac{2}{x}\,%26=\,4\,\\%0D%0Ax\,%26=\,\frac{2}{4}\,=\,\frac{1}{2}$

d. $\frac{3}{4}\,%2B\,\frac{5}{x}\,=\,\frac{7}{5}\,-\,\frac{3}{x}$

$\frac{3}{4}\,%2B\,\frac{5}{x}\,%26=\,\frac{7}{5}\,-\,\frac{3}{x}\,\\%0D%0A\frac{5}{x}\,%2B\,\frac{3}{x}\,%26=\,\frac{7}{5}\,-\,\frac{3}{4}\,\\%0D%0A\frac{8}{x}\,%26=\,\frac{28\,-\,15}{20}\,\\%0D%0A\frac{8}{x}\,%26=\,\frac{13}{20}\,\\%0D%0A8\,\cdot\,20\,%26=\,13x\,\\%0D%0A160\,%26=\,13x\,\\%0D%0Ax\,%26=\,\frac{160}{13}$

Exercice 28 : fonction impaire et expression de f(x)
Soit $a$ un réel non nul. On pose pour tout réel $x$ non nul $f(x) = \frac{a}{x}$.

a. Montrer que $f$ est une fonction impaire.

Pour montrer que $f$ est une fonction impaire, il faut vérifier que $f(-x) = -f(x)$ pour tout $x$ non nul.

Calculons $f(-x)$ :
$f(-x)\,=\,\frac{a}{-x}\,=\,-\frac{a}{x}\,=\,-f(x)$

Ainsi, nous avons :
$f(-x)\,=\,-f(x)$

Donc, $f$ est une fonction impaire.

b. On suppose que $f(-2) = \frac{1}{4}$. Déterminer l’expression de $f(x)$ pour tout réel $x$ non nul.

Nous avons :
$f(-2)\,=\,\frac{a}{-2}\,=\,\frac{1}{4}$

Ainsi :
$\frac{a}{-2}\,=\,\frac{1}{4}$

D’où :
$a\,=\,-\frac{1}{4}\,\times \,2\,=\,-\frac{1}{2}$

Donc, l’expression de $f(x)$ pour tout $x$ non nul est :
$f(x)\,=\,\frac{a}{x}\,=\,\frac{-\frac{1}{2}}{x}\,=\,-\frac{1}{2x}$

c. Avec l’aide de la calculatrice, représenter la fonction $f$ dans un repère orthogonal du plan.

Pour ceci, il faut tracer la fonction $f(x) = -\frac{1}{2x}$ dans un repère orthogonal. Voici une représentation graphique typique de cette fonction :

$\begin{array}{c}%0D%0A\includegraphics%5Bscale=0.5%5D{FunctionGraph.png}%0D%0A\end{array}$

(Note: L’image de la représentation graphique doit être générée à l’aide d’un outil graphique ou d’un logiciel de calcul.)

La fonction $f(x) = -\frac{1}{2x}$ est une hyperbole qui passe par les points (-2, 0.25) et (2, -0.25). Elle est symétrique par rapport à l’origine et décroissante sur les intervalles $(-\infty, 0)$ et $(0, +\infty)$.

Exercice 29 : fonction paire et rationnelle
1. Montrer que la fonction est paire :

Une fonction est paire si et seulement si :
$f(-x)\,=\,f(x)$
Pour $f(x)\,=\,\frac{5}{x^2\,%2B\,1}$ , calculons f(-x) :
$f(-x)\,=\,\frac{5}{(-x)^2\,%2B\,1}\,=\,\frac{5}{x^2\,%2B\,1}\,=\,f(x)$
Donc, la fonction est paire.

2. Compléter le tableau des valeurs :

Pour $x\,=\,0$ :
$f(0)\,=\,\frac{5}{0^2\,%2B\,1}\,=\,5$

Pour $x\,=\,1$ :
$f(1)\,=\,\frac{5}{1^2\,%2B\,1}\,=\,\frac{5}{2}$

Pour $x\,=\,2$ :
$f(2)\,=\,\frac{5}{2^2\,%2B\,1}\,=\,\frac{5}{5}\,=\,1$

Pour $x\,=\,3$ :
$f(3)\,=\,\frac{5}{3^2\,%2B\,1}\,=\,\frac{5}{10}\,=\,\frac{1}{2}$

Ainsi, le tableau devient :

$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0Ax\,%26\,0\,%26\,1\,%26\,2\,%26\,3\,\\%0D%0A\hline%0D%0Af(x)\,%26\,5\,%26\,\frac{5}{2}\,%26\,1\,%26\,\frac{1}{2}\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

a. Montrer que pour tout réel , $f(x)\,>\,0$ , $x^2\,\geq\,\,0$ donc $x^2\,%2B\,1\,>\,0$ , $f(x)\,\leq\,\,5$ :

Pour tout $x\,\in\,\mathbb{R}$ , $x^2\,\geq\,\,0$ donc $x^2\,%2B\,1\,\geq\,\,1$ .
Ainsi, $\frac{1}{x^2\,%2B\,1}\,\leq\,\,1$ donc $\frac{5}{x^2\,%2B\,1}\,\leq\,\,5$ .
Alors, $f(x)\,\leq\,\,5$ .

c. En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ est comprise entre la droite d’équation $y\,=\,5$ et l’axe des abscisses :

Puisque $0\,%3C\,f(x)\,\leq\,\,5$ pour tout $x\,\in\,\mathbb{R}$ , la courbe $\mathcal{C}$ est située entre la droite $y\,=\,5$ et l’axe des abscisses (où $y\,=\,0$ ).

3. Soit $\Delta$ la droite d’équation $y\,=\,\frac{1}{10}$ . Déterminer l’ensemble des points de $\mathcal{C}$ situés en dessous de $\Delta$ :

Pour que f(x) soit en dessous de $\Delta$ , il faut :
$f(x)\,\leq\,\,\frac{1}{10}$
$\frac{5}{x^2\,%2B\,1}\,\leq\,\,\frac{1}{10}$
$5\,\leq\,\,\frac{x^2\,%2B\,1}{10}$
$50\,\leq\,\,x^2\,%2B\,1$
$49\,\leq\,\,x^2$
$7\,\leq\,\,%7Cx%7C$
$x\,\leq\,\,-7\,\,ou\,\,x\,\geq\,\,7$
Donc, les points de $\mathcal{C}$ situés en dessous de $\Delta$ sont ceux pour lesquels $x\,\leq\,\,-7$ ou $x\,\geq\,\,7$ .

4. Représenter dans le repère orthonormé $(O%3B\,\vec{i}%2C\,\vec{j})$ la partie de $\mathcal{C}$ au-dessus de $\Delta$ :

Les points de $\mathcal{C}$ situés au-dessus de $\Delta$ sont ceux pour lesquels $-7\,%3C\,x\,%3C\,7$ .

Exercice 30 : fonction impaire et rationnelle
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath}

\begin{document}

Soit la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)\,=\,\frac{2x}{x^2%2B1}$ .

1. Montrer que la fonction est impaire.

$f(-x)\,=\,\frac{2(-x)}{(-x)^2%2B1}\,=\,\frac{-2x}{x^2%2B1}\,=\,-f(x)$
Donc, $f(-x)\,=\,-f(x)$ , ce qui prouve que est impaire.

2. Calculer f(0) et f(1) .

$f(0)\,=\,\frac{2\,\cdot\,0}{0^2%2B1}\,=\,0$
$f(1)\,=\,\frac{2\,\cdot\,1}{1^2%2B1}\,=\,\frac{2}{2}\,=\,1$

3. Étudier le signe de $1\,-\,f(x)$ pour tout réel .

$1\,-\,f(x)\,=\,1\,-\,\frac{2x}{x^2%2B1}\,=\,\frac{x^2%2B1\,-\,2x}{x^2%2B1}\,=\,\frac{(x-1)^2}{x^2%2B1}\,\geq\,\,0$
Donc, $1\,-\,f(x)\,\geq\,\,0$ pour tout .

4. Étudier le signe de $1\,%2B\,f(x)$ pour tout réel .

$1\,%2B\,f(x)\,=\,1\,%2B\,\frac{2x}{x^2%2B1}\,=\,\frac{x^2%2B1\,%2B\,2x}{x^2%2B1}\,=\,\frac{(x%2B1)^2}{x^2%2B1}\,\geq\,\,0$
Donc, $1\,%2B\,f(x)\,\geq\,\,0$ pour tout .

3. En déduire que la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de dans un repère orthonormé $(O%3B\,\vec{i}%2C\,\vec{j})$ est située entre les deux droites d’équation $y\,=\,1$ et $y\,=\,-1$ .

Puisque $-1\,\leq\,\,f(x)\,\leq\,\,1$ pour tout $x\,\in\,\mathbb{R}$ , la courbe $\mathcal{C}_f$ est située entre les deux droites $y\,=\,1$ et $y=\,-1$ .

4. Dans le repère précédent tracer la portion $\mathcal{C'}$ de la courbe $\mathcal{C}_f$ dont les points ont une abscisse comprise entre et .

(Dessin non réalisable en LaTeX directement ici.)

5. Soit la droite d’équation $y\,=\,\frac{1}{2}$ .

a. Déterminer graphiquement les coordonnées du point d’intersection de et de $\mathcal{C'}$ . On pourra s’aider d’une calculatrice.

Graphiquement, on résout $f(x)\,=\,\frac{1}{2}$ :

$\frac{2x}{x^2%2B1}\,=\,\frac{1}{2}$
$4x\,=\,x^2\,%2B\,1$
$x^2\,-\,4x\,%2B\,1\,=\,0$
Résolvant cette équation du second degré, on obtient:
$x\,=\,2\,\pm\,\sqrt{3}$
Ainsi, les coordonnées exactes de sont $(2-\sqrt{3}%2C\,\frac{1}{2})$ et $(2%2B\sqrt{3}%2C\,\frac{1}{2})$ .

6. a. Résoudre dans [ $-\,3%2C\,3$ ] l’inéquation $f(x)\,\leq\,\,\frac{1}{2}$ .

Pour $f(x)\,\leq\,\,\frac{1}{2}$ , résolvons $x^2\,-\,4x\,%2B\,1\,\geq\,\,0$ :
$(x-2)^2\,-\,3\,\geq\,\,0$
$(x-2)^2\,\geq\,\,3$
$x-2\,\geq\,\,\sqrt{3}\,\,ou\,\,x-2\,\leq\,\,-\sqrt{3}$
$x\,\geq\,\,2%2B\sqrt{3}\,\,ou\,\,x\,\leq\,\,2-\sqrt{3}$
Dans $%5B-3%2C\,3%5D$ , cela donne $x\,\in\,%5B-3%2C\,2-\sqrt{3}%5D\,\cup\,%5B2%2B\sqrt{3}%2C\,3%5D$ .