Triangle : corrigés des exercices de maths en 5ème.

Exercice 1 : médiane, médiatrice et hauteur.
$La\,somme\,des\,angles\,interieurs\,d'un\,triangle\,doit\,toujours\,etre\,egale\,a\,180%C2%B0.%0D%0A%0D%0APour\,le\,triangle\,ABC%3A%0D%0A\sum_{{\alpha%2C\,\beta%2C\,\gamma}}\,=\,\alpha\,%2B\,\beta\,%2B\,\gamma\,=\,180^\circ%0D%0A%0D%0APour\,le\,triangle\,DEF%3A%0D%0A\sum_{{\delta%2C\,\epsilon%2C\,\varphi}}\,=\,\delta\,%2B\,\epsilon\,%2B\,\varphi\,=\,180^\circ%0D%0A%0D%0APour\,le\,triangle\,GHI%3A%0D%0A\sum_{{\gamma%2C\,\eta%2C\,\iota}}\,=\,\gamma\,%2B\,\eta\,%2B\,\iota\,=\,180^\circ%0D%0A%0D%0AAinsi%2C\,quelque\,soit\,le\,triangle\,dans\,le\,plan%2C\,la\,somme\,des\,mesures\,des\,angles\,interieurs\,est\,toujours\,egale\,a\,180%C2%B0.%0D%0A%0D%0A%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-2%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,2\,%3A\,cercle\,circonscrit\,a\,un\,triangle.%3C%2Fspan>%0D%0APour\,construire\,le\,triangle\,$\,JKL\,$\,et\,son\,cercle\,circonscrit%2C\,suivez\,les\,etapes\,suivantes\,%3A%0D%0A%0D%0A1.\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FTracer%2520le%2520segment%2520%255C%2528%2520JK%2520%255C%2529%22\,alt=%22Tracer\,le\,segment\,$\,JK\,$%22\,align=%22absmiddle%22\,%2F>\,de\,longueur\,5\,cm.%0D%0A%0D%0A2.\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FConstruction%2520de%2520l%2527angle%2520%255C%2528%2520%255Cangle%2520KJL%2520%255C%2529%2520de%252055%25C2%25B0%22\,alt=%22Construction\,de\,l'angle\,$\,\angle\,KJL\,$\,de\,55%C2%B0%22\,align=%22absmiddle%22\,%2F>.%0D%0A%0D%0A-\,Avec\,un\,rapporteur%2C\,placez\,le\,centre\,du\,rapporteur\,sur\,le\,point\,$\,J\,$\,et\,tracez\,une\,ligne\,formant\,un\,angle\,de\,55%C2%B0\,avec\,le\,segment\,$\,JK\,$.%0D%0A-\,Cette\,ligne\,sera\,la\,direction\,ou\,se\,situera\,le\,point\,$\,L\,$.%0D%0A%0D%0A3.\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FConstruction%2520de%2520l%2527angle%2520%255C%2528%2520%255Cangle%2520JKL%2520%255C%2529%2520de%252060%25C2%25B0%22\,alt=%22Construction\,de\,l'angle\,$\,\angle\,JKL\,$\,de\,60%C2%B0%22\,align=%22absmiddle%22\,%2F>.%0D%0A%0D%0A-\,Avec\,un\,rapporteur%2C\,placez\,le\,centre\,du\,rapporteur\,sur\,le\,point\,$\,K\,$\,et\,tracez\,une\,ligne\,formant\,un\,angle\,de\,60%C2%B0\,avec\,le\,segment\,$\,JK\,$.%0D%0A-\,L'intersection\,entre\,cette\,ligne\,et\,celle\,formee\,lors\,de\,l'etape\,precedente\,donne\,le\,point\,$\,L\,$.%0D%0A%0D%0A4.\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FVerification%2520des%2520longueurs%2520et%2520angles%22\,alt=%22Verification\,des\,longueurs\,et\,angles%22\,align=%22absmiddle%22\,%2F>.%0D%0A%0D%0A-\,Mesurez\,les\,longueurs\,des\,segments\,$\,JL\,$\,et\,$\,KL\,$\,pour\,verifier\,que\,le\,triangle\,est\,conforme\,aux\,donnees.\,$\,\angle\,JKL\,$\,doit\,etre\,de\,60%C2%B0\,et\,$\,\angle\,KJL\,$\,doit\,etre\,de\,55%C2%B0.%0D%0A%0D%0APour\,la\,construction\,du\,cercle\,circonscrit\,%3A%0D%0A%0D%0A1.\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FTrouver%2520le%2520mediateur%2520des%2520segments%2520%255C%2528%2520%255BJK%255D%252C%2520%255BJL%255D%2520%2520et%2520%2520%255BKL%255D%22\,alt=%22Trouver\,le\,mediateur\,des\,segments\,$\,%5BJK%5D%2C\,%5BJL%5D\,\,et\,\,%5BKL%5D%22\,align=%22absmiddle%22\,%2F>.%0D%0A%0D%0A-\,Tracez\,les\,mediatrices\,de\,chaque\,cote\,du\,triangle.\,Pour\,tracer\,la\,mediatrice%2C\,placez\,le\,compas\,a\,une\,extremite\,du\,segment\,et\,ouvrez-le\,a\,une\,longueur\,legerement\,superieure\,a\,la\,moitie\,du\,segment.\,Tracez\,un\,arc\,au-dessus\,et\,en\,dessous\,du\,segment.\,Repetez\,l'operation\,avec\,l'autre\,extremite\,du\,segment.\,La\,ligne\,passant\,par\,les\,points\,d'intersection\,de\,ces\,arcs\,est\,la\,mediatrice\,du\,segment.%0D%0A%0D%0A-\,Repetez\,cela\,pour\,les\,trois\,cotes\,du\,triangle\,\(\,JKL\,$.%0D%0A%0D%0A2.\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FTrouver%2520le%2520centre%2520du%2520cercle%2520circonscrit%22\,alt=%22Trouver\,le\,centre\,du\,cercle\,circonscrit%22\,align=%22absmiddle%22\,%2F>.%0D%0A%0D%0A-\,Le\,point\,d'intersection\,des\,trois\,mediatrices\,est\,le\,centre\,du\,cercle\,circonscrit%2C\,note\,$\,O\,$.%0D%0A%0D%0A3.\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FTracer%2520le%2520cercle%2520circonscrit%22\,alt=%22Tracer\,le\,cercle\,circonscrit%22\,align=%22absmiddle%22\,%2F>.%0D%0A%0D%0A-\,Placez\,le\,compas\,avec\,son\,centre\,sur\,$\,O\,$\,et\,ouvrez-le\,jusqu'a\,un\,sommet\,du\,triangle\,$\,JKL\,$\,(par\,exemple\,$\,J\,$).%0D%0A-\,Tracez\,le\,cercle.\,Ce\,cercle\,passera\,par\,les\,trois\,sommets\,$\,J%2C\,K\,\,et\,\,L\,$.%0D%0A%0D%0A%23%23%23\,LaTeX\,pour\,les\,mediatrices\,et\,le\,cercle\,circonscrit%0D%0A\%5B%0D%0A\begin{array}{l}%0D%0ASoit\,\,O\,\,le\,centre\,du\,cercle\,circonscrit.\,\\%0D%0ASoit\,\,R\,\,le\,rayon\,du\,cercle\,circonscrit.\\%0D%0A\implies\,O\,=\,intersection\,des\,mediatrices\,de\,\,%5BJK%5D%2C\,%5BJL%5D\,\,et\,\,%5BKL%5D.\,\\%0D%0AR\,=\,OJ\,=\,OK\,=\,OL\,\\%0D%0AEquation\,du\,cercle\,%3A\,\,(x\,-\,x_O)^2\,%2B\,(y\,-\,y_O)^2\,=\,R^2\,\\%0D%0A\end{array}$ Exercice 2 : cercle circonscrit a un triangle.
Pour construire le triangle et son cercle circonscrit, suivez les etapes suivantes :

1. $Tracer\,le\,segment\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FJK%22\,alt=%22JK$ » align= »absmiddle » /> de longueur 5 cm.

2. $Construction\,de\,l'angle\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255Cangle%2520KJL%22\,alt=%22\angle\,KJL$ de 55° » align= »absmiddle » />.

– Avec un rapporteur, placez le centre du rapporteur sur le point et tracez une ligne formant un angle de 55° avec le segment .
– Cette ligne sera la direction ou se situera le point .

3. $Construction\,de\,l'angle\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255Cangle%2520JKL%22\,alt=%22\angle\,JKL$ de 60° » align= »absmiddle » />.

– Avec un rapporteur, placez le centre du rapporteur sur le point et tracez une ligne formant un angle de 60° avec le segment .
– L’intersection entre cette ligne et celle formee lors de l’etape precedente donne le point .

4. $Verification\,des\,longueurs\,et\,angles$ .

– Mesurez les longueurs des segments et pour verifier que le triangle est conforme aux donnees. $\angle\,JKL$ doit etre de 60° et $\angle\,KJL$ doit etre de 55°.

Pour la construction du cercle circonscrit :

1. $Trouver\,le\,mediateur\,des\,segments\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255BJK%255D%252C%2520%255BJL%255D%2520%2520et%2520%2520%255BKL%255D%2522%2520align%253D%2522absmiddle%2522%2520%252F%253E.%250D%250A%250D%250A-%2520Tracez%2520les%2520mediatrices%2520de%2520chaque%2520cote%2520du%2520triangle.%2520Pour%2520tracer%2520la%2520mediatrice%252C%2520placez%2520le%2520compas%2520a%2520une%2520extremite%2520du%2520segment%2520et%2520ouvrez-le%2520a%2520une%2520longueur%2520legerement%2520superieure%2520a%2520la%2520moitie%2520du%2520segment.%2520Tracez%2520un%2520arc%2520au-dessus%2520et%2520en%2520dessous%2520du%2520segment.%2520Repetez%2520l%2527operation%2520avec%2520l%2527autre%2520extremite%2520du%2520segment.%2520La%2520ligne%2520passant%2520par%2520les%2520points%2520d%2527intersection%2520de%2520ces%2520arcs%2520est%2520la%2520mediatrice%2520du%2520segment.%250D%250A%250D%250A-%2520Repetez%2520cela%2520pour%2520les%2520trois%2520cotes%2520du%2520triangle%2520%255C%2528%2520JKL%22\,alt=%22%5BJK%5D%2C\,%5BJL%5D\,\,et\,\,%5BKL%5D$ .%0D%0A%0D%0A-\,Tracez\,les\,mediatrices\,de\,chaque\,cote\,du\,triangle.\,Pour\,tracer\,la\,mediatrice%2C\,placez\,le\,compas\,a\,une\,extremite\,du\,segment\,et\,ouvrez-le\,a\,une\,longueur\,legerement\,superieure\,a\,la\,moitie\,du\,segment.\,Tracez\,un\,arc\,au-dessus\,et\,en\,dessous\,du\,segment.\,Repetez\,l'operation\,avec\,l'autre\,extremite\,du\,segment.\,La\,ligne\,passant\,par\,les\,points\,d'intersection\,de\,ces\,arcs\,est\,la\,mediatrice\,du\,segment.%0D%0A%0D%0A-\,Repetez\,cela\,pour\,les\,trois\,cotes\,du\,triangle\,\(\,JKL" alt="%5BJK%5D%2C\,%5BJL%5D\,\,et\,\,%5BKL%5D%22\,align=%22absmiddle%22\,%2F>.%0D%0A%0D%0A-\,Tracez\,les\,mediatrices\,de\,chaque\,cote\,du\,triangle.\,Pour\,tracer\,la\,mediatrice%2C\,placez\,le\,compas\,a\,une\,extremite\,du\,segment\,et\,ouvrez-le\,a\,une\,longueur\,legerement\,superieure\,a\,la\,moitie\,du\,segment.\,Tracez\,un\,arc\,au-dessus\,et\,en\,dessous\,du\,segment.\,Repetez\,l'operation\,avec\,l'autre\,extremite\,du\,segment.\,La\,ligne\,passant\,par\,les\,points\,d'intersection\,de\,ces\,arcs\,est\,la\,mediatrice\,du\,segment.%0D%0A%0D%0A-\,Repetez\,cela\,pour\,les\,trois\,cotes\,du\,triangle\,\(\,JKL" />.

– Tracez les mediatrices de chaque cote du triangle. Pour tracer la mediatrice, placez le compas a une extremite du segment et ouvrez-le a une longueur legerement superieure a la moitie du segment. Tracez un arc au-dessus et en dessous du segment. Repetez l’operation avec l’autre extremite du segment. La ligne passant par les points d’intersection de ces arcs est la mediatrice du segment.

– Repetez cela pour les trois cotes du triangle \( JKL » align= »absmiddle » />.

2. $Trouver\,le\,centre\,du\,cercle\,circonscrit$ .

– Le point d’intersection des trois mediatrices est le centre du cercle circonscrit, note .

3. $Tracer\,le\,cercle\,circonscrit$ .

– Placez le compas avec son centre sur et ouvrez-le jusqu’a un sommet du triangle (par exemple ).
– Tracez le cercle. Ce cercle passera par les trois sommets $J%2C\,K\,\,et\,\,L$ .

### LaTeX pour les mediatrices et le cercle circonscrit
\[
\begin{array}{l}
Soit O le centre du cercle circonscrit. \\
Soit R le rayon du cercle circonscrit.\\
\implies O = intersection des mediatrices de [JK], [JL] et [KL]. \\
R = OJ = OK = OL \\
Equation du cercle : (x – x_O)^2 + (y – y_O)^2 = R^2 \\
\end{array} » align= »absmiddle » />

Exercice 3 : construction – triangle, bissectrice, hauteur.
1) Pour construire le triangle suivant :

$AB\,=\,6\,\%2C\,cm$
$\angle\,BAC\,=\,70^\circ$
$\angle\,ABC\,=\,35^\circ$

– Commencez par dessiner le segment de 6 cm.
– Placez un rapporteur sur le point et mesurez un angle de $70^\circ$ par rapport au segment .
– Tracez une demi-droite partant de formant cet angle.
– Placez ensuite le rapporteur sur le point et mesurez un angle de $35^\circ$ par rapport au segment .
– Tracez une demi-droite partant de formant cet angle. Le point d’intersection des deux demi-droites est le point .
– Reliez avec et pour obtenir le triangle .

2) Pour construire la bissectrice de l’angle $\angle\,ACB$ :

– Placez le compas sur le point et tracez un arc qui coupe les côtés et en deux points, appelés et respectivement.
– Placez le compas sur et tracez un arc à l’intérieur de l’angle $\angle\,ACB$ .
– Sans changer l’ouverture du compas, placez-le sur et tracez un autre arc qui coupe le premier arc en un point appelé .
– Tracez la droite , qui est la bissectrice de l’angle $\angle\,ACB$ .

3) Pour construire la hauteur issue de :

– Placez le compas sur et ajustez-le pour qu’il soit légèrement plus grand que .
– Tracez un arc qui coupe les côtés et prolongez ce processus si nécessaire.
– Placez le compas sur les deux points où l’arc coupe les côtés et tracez deux arcs qui se croisent à l’intérieur du triangle .
– Tracez une droite passant par le point et le point d’intersection des deux arcs. Cette droite est la hauteur issue de .

Exercice 4 : cercle circonscrit, triangle et médiatrices.
Pour localiser le trésor, nous devons déterminer le point équidistant des trois points (la tour), (l’arbre), et (le puits). Ce point est appelé le centre du cercle circonscrit au triangle formé par ces trois points. C’est également le point où les médiatrices des côtés du triangle se rencontrent.

1. $Tracer\,les\,mediatrices\,des\,cotes\,du\,triangle\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FTPA%22\,alt=%22TPA$ » align= »absmiddle » /> :

Pour cela, il faut procéder comme suit pour chaque côté du triangle :

– Prenons le segment .
– Trouvons son milieu, $M_{TA}$ .
– Traçons la droite perpendiculaire à passant par $M_{TA}$ . Cette droite est la médiatrice de .

– Répétons le processus pour et .
– Trouvons les milieux $M_{AP}$ et $M_{PT}$ .
– Traçons les médiatrices correspondantes.

2. $Point\,de\,concours\,des\,mediatrices$ :

Les médiatrices des trois côtés du triangle se rencontrent en un unique point appelé le centre du cercle circonscrit, soit .

3. :

Le trésor est enterré au point .

Soit $(x_T%2C\,y_T)$ , $(x_A%2C\,y_A)$ , et $(x_P%2C\,y_P)$ les coordonnées des points , , et . Le centre du cercle circonscrit aux trois points se trouve en résolvant le système suivant formé par les équations des médiatrices :

$\begin{cases}%0D%0A(x\,-\,x_{T})^2\,%2B\,(y\,-\,y_{T})^2\,=\,(x\,-\,x_{A})^2\,%2B\,(y\,-\,y_{A})^2\,\\%0D%0A(x\,-\,x_{A})^2\,%2B\,(y\,-\,y_{A})^2\,=\,(x\,-\,x_{P})^2\,%2B\,(y\,-\,y_{P})^2\,\\%0D%0A\end{cases}$

En effectuant les calculs nécessaires, nous trouverons les coordonnées de . Ces coordonnées donnent l’emplacement exact du trésor.

Visuellement, sur la carte, le point peut être identifié comme le point où se croisent les trois médiatrices tracées à partir des milieux et perpendiculaires aux côtés du triangle .

Exercice 5 : somme des angles d’un triangle.
1. Soit $\triangle\,LNI$ un triangle tel que :
$\widehat{I}\,=\,76^\circ%2C\,\quad\,\widehat{L}\,=\,45^\circ$

Calculons la mesure de l’angle $\widehat{N}$ .

Dans un triangle, la somme des angles est toujours égale à $180^\circ$ . Ainsi, on a :
$\widehat{I}\,%2B\,\widehat{L}\,%2B\,\widehat{N}\,=\,180^\circ$

Remplaçons par les valeurs connues :
$76^\circ\,%2B\,45^\circ\,%2B\,\widehat{N}\,=\,180^\circ$

$121^\circ\,%2B\,\widehat{N}\,=\,180^\circ$

$\widehat{N}\,=\,180^\circ\,-\,121^\circ$

$\widehat{N}\,=\,59^\circ$

La mesure de l’angle $\widehat{N}$ est donc $59^\circ$ .

2. Soit $\triangle\,SAC$ un triangle tel que :
$\widehat{A}\,=\,110^\circ%2C\,\quad\,\widehat{C}\,=\,28^\circ$

Calculons la mesure de l’angle $\widehat{S}$ .

De même, dans un triangle, la somme des angles est toujours égale à $180^\circ$ . Ainsi, on a :
$\widehat{A}\,%2B\,\widehat{C}\,%2B\,\widehat{S}\,=\,180^\circ$

Remplaçons par les valeurs connues :
$110^\circ\,%2B\,28^\circ\,%2B\,\widehat{S}\,=\,180^\circ$

$138^\circ\,%2B\,\widehat{S}\,=\,180^\circ$

$\widehat{S}\,=\,180^\circ\,-\,138^\circ$

$\widehat{S}\,=\,42^\circ$

La mesure de l’angle $\widehat{S}$ est donc $42^\circ$ .

Exercice 6 : géographie,maths et somme des angles d’un triangle
La mesure de l’angle peut être déterminée en utilisant les propriétés des angles dans un triangle et les relations entre les angles.

La tour de Pise fait un angle de $84.7^\circ$ avec le sol. Le fil à plomb est vertical, donc il est perpendiculaire au sol, ce qui signifie qu’il forme un angle de $90^\circ$ avec le sol.

Dans le schéma, nous avons un triangle où :
– Le fil à plomb (c) est perpendiculaire au sol et forme un angle de $90^\circ$ avec le sol.
– L’angle entre la tour et le sol est $84.7^\circ$ .
– L’angle $\alpha$ entre le fil à plomb et la tour est un angle droit $90^\circ$ .
– L’angle est l’angle entre le fil à plomb et la tour de Pise.

Puisque l’angle formé par la tour et le sol est $84.7^\circ$ et que nous avons un angle droit (ou rectangulaire), l’angle $\alpha$ peut être trouvé en utilisant la relation suivante dans le triangle, sachant que la somme des angles dans un triangle est toujours égale à $180^\circ$ :

$\alpha\,=\,180^\circ\,-\,90^\circ\,-\,84.7^\circ$

Le calcul de $\alpha$ donne :

$\alpha\,=\,180^\circ\,-\,90^\circ\,-\,84.7^\circ\,=\,5.3^\circ$

Donc, la mesure de l’angle est $5.3^\circ$ .

$x\,=\,5.3^\circ$

Exercice 7 : triangles et calculs d’angles
\section*{Correction de l’exercice de mathématiques}

\paragraph{Question 1:}
On considère un triangle . On sait que $\widehat{A}\,=\,28^\circ$ et $\widehat{B}\,=\,73^\circ$ . En déduire la mesure de l’angle $\widehat{C}$ .

$\widehat{A}\,%2B\,\widehat{B}\,%2B\,\widehat{C}\,=\,180^\circ$

$28^\circ\,%2B\,73^\circ\,%2B\,\widehat{C}\,=\,180^\circ$

$\widehat{C}\,=\,180^\circ\,-\,101^\circ$

$\widehat{C}\,=\,79^\circ$

\paragraph{Question 2:}
On considère un triangle , rectangle en . On sait que $\widehat{G}\,=\,34^\circ$ . En déduire la mesure de $\widehat{I}$ .

$\widehat{G}\,%2B\,\widehat{H}\,%2B\,\widehat{I}\,=\,180^\circ$

$34^\circ\,%2B\,90^\circ\,%2B\,\widehat{I}\,=\,180^\circ$

$\widehat{I}\,=\,180^\circ\,-\,124^\circ$

$\widehat{I}\,=\,56^\circ$

\paragraph{Question 3:}
On considère un triangle , isocèle de sommet principal et de base . On sait que $\widehat{N}\,=\,44^\circ$ . En déduire la mesure de $\widehat{M}$ et $\widehat{O}$ .

Comme le triangle est isocèle avec $\widehat{N}$ comme sommet principal, on a:

$\widehat{M}\,=\,\widehat{O}$

$\widehat{N}\,%2B\,2\widehat{M}\,=\,180^\circ$

$44^\circ\,%2B\,2\widehat{M}\,=\,180^\circ$

$2\widehat{M}\,=\,180^\circ\,-\,44^\circ$

$2\widehat{M}\,=\,136^\circ$

$\widehat{M}\,=\,68^\circ$

Donc, $\widehat{M}\,=\,68^\circ$ et $\widehat{O}\,=\,68^\circ$ .

\paragraph{Question 4:}
En utilisant les indications portées sur la figure, déterminer les mesures de tous les angles.

Observons que le quadrilatère est composé de deux triangles isocèles et un triangle équilatéral.

Dans le triangle équilatéral :

$\widehat{BAD}\,=\,\widehat{ABD}\,=\,\widehat{ADB}\,=\,60^\circ$

Dans le triangle isocèle :

$\widehat{ECD}\,=\,\widehat{EDC}$

$2\widehat{ECD}\,%2B\,60^\circ\,=\,180^\circ$

$2\widehat{ECD}\,=\,120^\circ$

$\widehat{ECD}\,=\,60^\circ$

Puisque $\widehat{E}$ est un angle externe du triangle :

$\widehat{E}\,=\,180^\circ\,-\,\widehat{ADB}\,=\,120^\circ$

Donc, les mesures des angles dans tous les triangles sont:

– $\widehat{BAD}\,=\,\widehat{ABD}\,=\,\widehat{ADB}\,=\,60^\circ$
– $\widehat{BCD}\,=\,\widehat{BDC}\,=\,60^\circ$
– $\widehat{CDE}\,=\,\widehat{DCE}\,=\,60^\circ$
– $\widehat{E}\,=\,120^\circ$

Exercice 8 : triangle, hauteur,médiatrices,bissectrices et médianes
a) Pour la hauteur issue de , traçons la perpendiculaire du point à la base . Nous utilisons le fait que cette hauteur forme un angle droit avec .

b) Pour la médiane passant par , nous traçons un segment reliant au point milieu de .

c) Pour la bissectrice de l’angle , nous traçons un segment qui divise l’angle en deux angles égaux.

d) Pour la médiatrice du segment , nous traçons la droite perpendiculaire à passant par son milieu.

e) Calculons l’angle $\widehat{ACB}$ .

Sachant que dans un triangle, la somme des angles est égale à $180^\circ$ , nous avons:
$\widehat{BAC}\,%2B\,\widehat{ABC}\,%2B\,\widehat{ACB}\,=\,180^\circ$
$95^\circ\,%2B\,55^\circ\,%2B\,\widehat{ACB}\,=\,180^\circ$
$\widehat{ACB}\,=\,180^\circ\,-\,95^\circ\,-\,55^\circ$
$\widehat{ACB}\,=\,30^\circ$

Exercice 9 : calculer la mesure d’un angle
Soit le parallélogramme . On sait que $\angle\,ABC\,=\,105^\circ$ .

Puisque est un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles, ce qui nous donne :
$\angle\,ABC\,%2B\,\angle\,BCD\,=\,180^\circ$

Calculons la mesure de l’angle $\angle\,BCD$ :
$180^\circ\,-\,105^\circ\,=\,75^\circ$

Dans le parallélogramme , les angles $\angle\,DAB$ et $\angle\,BCD$ sont égaux car les angles opposés d’un parallélogramme sont égaux. Donc :
$\angle\,DAB\,=\,75^\circ$

Puisque est parallèle à et que est une transversale, l’angle $\angle\,DEF$ est égal à l’angle $\angle\,DAB$ (angles correspondants égaux).

Ainsi, la mesure de l’angle $\angle\,DEF$ est :
$75^\circ$

Exercice 10 : calcul de la mesure d’un angle
Dans un triangle, la somme des angles internes est toujours égale à $180^\circ$ .

Soit le triangle , avec pour angles $\hat{A}$ , $\hat{B}$ et $\hat{C}$ .

On sait que $\hat{A}\,=\,28^\circ$ et $\hat{B}\,=\,73^\circ$ .

On cherche à déterminer l’angle $\hat{C}$ .

Nous avons donc l’équation :

$\hat{A}\,%2B\,\hat{B}\,%2B\,\hat{C}\,=\,180^\circ$

En substituant les valeurs connues de $\hat{A}$ et $\hat{B}$ :

$28^\circ\,%2B\,73^\circ\,%2B\,\hat{C}\,=\,180^\circ$

Ainsi,

$101^\circ\,%2B\,\hat{C}\,=\,180^\circ$

En soustrayant $101^\circ$ des deux côtés de l’équation, nous obtenons :

$\hat{C}\,=\,180^\circ\,-\,101^\circ$

Donc,

$\hat{C}\,=\,79^\circ$

La mesure de l’angle $\hat{C}$ est donc $79^\circ$ .

Exercice 11 : mesure des trois angles d’un triangle
Pour qu’un ensemble de trois angles forme un triangle, la somme de ces angles doit être égale à $180^\circ$ .

Vérifions la somme des angles mesurés par Magalie :
$\widehat{D}\,%2B\,\widehat{E}\,%2B\,\widehat{F}\,=\,53^\circ\,%2B\,74^\circ\,%2B\,54^\circ$

Calculons cette somme :
$53^\circ\,%2B\,74^\circ\,%2B\,54^\circ\,=\,181^\circ$

Puisque $181^\circ\,\neq\,180^\circ$ , la somme des mesures des angles de Magalie n’est pas égale à $180^\circ$ . Cela signifie que les mesures qu’elle a trouvées pour les angles du triangle DEF sont incorrectes.

Ainsi, la réponse de Magalie est fausse. La somme des angles d’un triangle doit toujours être égale à $180^\circ$ , ce qui n’est pas le cas ici.

Exercice 12 : mesure d’un angle dans un triangle rectangle
Le triangle GHI est un triangle rectangle en . Par conséquent, l’angle $\angle\,GHI\,=\,90^\circ$ .

Dans tout triangle, la somme des angles est égale à $180^\circ$ .

Nous avons $\angle\,G\,=\,34^\circ$ .

Nous cherchons l’angle $\angle\,I$ .

Utilisons la somme des angles du triangle :

$\angle\,GHI\,%2B\,\angle\,G\,%2B\,\angle\,I\,=\,180^\circ$

$90^\circ\,%2B\,34^\circ\,%2B\,\angle\,I\,=\,180^\circ$

$124^\circ\,%2B\,\angle\,I\,=\,180^\circ$

En soustrayant $124^\circ$ des deux côtés de l’équation, nous obtenons :

$\angle\,I\,=\,180^\circ\,-\,124^\circ$

$\angle\,I\,=\,56^\circ$

Donc, la mesure de $\angle\,I$ est $56^\circ$ .

Exercice 13 : mesure des angles d’un triangle équilatéral
Un triangle équilatéral possède trois côtés de même longueur. Par définition, un triangle équilatéral a également trois angles égaux.

La somme des angles d’un triangle vaut $180^\circ$ . Donc, si les trois angles sont égaux, on peut écrire :

$3\,\times \,la\,mesure\,d'un\,angle\,=\,180^\circ$

En divisant chaque côté par 3, nous obtenons :

$la\,mesure\,d'un\,angle\,=\,\frac{180^\circ}{3}\,=\,60^\circ$

Ainsi, chacun des trois angles du triangle équilatéral JKL mesure $60^\circ$ .

Exercice 14 : calcul de la mesure d’un triangle isocèle
$\begin{array}{l}%0D%0AUn\,triangle\,isocele\,a\,deux\,angles\,de\,base\,egaux.\,Dans\,le\,triangle\,\,MNO\,\,isocele\,de\,sommet\,principal\,\,N%2C\,\,les\,angles\,\,\widehat{M}\,\,et\,\,\widehat{O}\,\,sont\,egaux.\,\\%0D%0AOn\,sait\,que\,la\,somme\,des\,angles\,d'un\,triangle\,est\,egale\,a\,\,180^\circ.\,\\%0D%0AAinsi%2C\,on\,peut\,ecrire\,l'equation\,suivante\,%3A\,\\%0D%0A\widehat{N}\,%2B\,\widehat{M}\,%2B\,\widehat{O}\,=\,180^\circ.\,\\%0D%0AComme\,\,\widehat{N}\,=\,44^\circ\,\,et\,\,\widehat{M}\,=\,\widehat{O}%2C\,\,on\,peut\,substituer\,%3A\,\\%0D%0A44^\circ\,%2B\,2\,\cdot\,\widehat{M}\,=\,180^\circ.\,\\%0D%0AResolvons\,pour\,\,\widehat{M}\,%3A\,\\%0D%0A2\,\cdot\,\widehat{M}\,=\,180^\circ\,-\,44^\circ%2C\,\\%0D%0A2\,\cdot\,\widehat{M}\,=\,136^\circ%2C\,\\%0D%0A\widehat{M}\,=\,\frac{136^\circ}{2}%2C\,\\%0D%0A\widehat{M}\,=\,68^\circ.\,\\%0D%0APuisque\,\,\widehat{M}\,=\,\widehat{O}%2C\,\,donc\,\,\widehat{O}\,=\,68^\circ.%0D%0A\end{array}$

Exercice 15 : calculer la mesure d’un angle
$\begin{array}{l}%0D%0ADans\,le\,triangle\,isocele\,\,MNQ\,%2C\,\,\angle\,NMQ\,=\,\angle\,MQN\,\,(angles\,a\,la\,base\,d'un\,triangle\,isocele).\,\\%0D%0AComme\,\,\angle\,MQN\,=\,35^\circ\,%2C\,nous\,avons\,%3A\,\\%0D%0A\angle\,NMQ\,=\,35^\circ.%0D%0A\end{array}$

$\begin{array}{l}%0D%0ADans\,le\,triangle\,isocele\,\,PMN\,%2C\,\,\angle\,MPN\,=\,\angle\,MNP\,\,(angles\,a\,la\,base\,d'un\,triangle\,isocele).\,\\%0D%0ALa\,somme\,des\,angles\,d'un\,triangle\,est\,egale\,a\,\,180^\circ\,%2C\,donc\,%3A\,\\%0D%0A\angle\,PMN\,%2B\,\angle\,NMP\,%2B\,\angle\,MPN\,=\,180^\circ.%0D%0A\end{array}$

Nous savons que:

$\begin{array}{l}%0D%0A\angle\,NMP\,\,(c'est\,le\,meme\,que\,\,\angle\,NMQ)\,=\,35^\circ.\,\\%0D%0APosons\,\,\angle\,PMQ\,=\,x.%0D%0A\end{array}$

$\begin{array}{l}%0D%0A\angle\,PMN\,=\,\angle\,PMQ\,\,(les\,deux\,angles\,opposes\,par\,le\,sommet)\,=\,x.%0D%0A\end{array}$

$\begin{array}{l}%0D%0AAinsi%2C\,nous\,avons\,%3A\,\\%0D%0Ax\,%2B\,35^\circ\,%2B\,x\,=\,180^\circ\,\\%0D%0A2x\,%2B\,35^\circ\,=\,180^\circ\,\\%0D%0A2x\,=\,145^\circ\,\\%0D%0Ax\,=\,72%2C5^\circ%0D%0A\end{array}$

$\begin{array}{l}%0D%0ADonc%2C\,la\,mesure\,de\,l'angle\,\,\angle\,PMQ\,\,est\,\,72%2C5^\circ.%0D%0A\end{array}$

Exercice 16 : déterminer tous les angles d’une figure
Soit $\triangle\,ABC$ et $\triangle\,CDE$ .

1. Puisqu’on a $\overline{AB}\,=\,\overline{AC}$ , $\triangle\,ABC$ est un triangle isocèle en . Les angles à la base sont donc égaux:
$\angle\,ABC\,=\,\angle\,ACB.$

2. De même, puisque $\overline{CD}\,=\,\overline{CE}$ , $\triangle\,CDE$ est un triangle isocèle en . Les angles à la base sont donc égaux :
$\angle\,DCE\,=\,\angle\,CDE.$

3. Puisque $AB\,=\,AC$ , nous savons que:
$\angle\,BAC\,=\,180^\circ\,-\,2\,\times \,\angle\,ABC.$

4. Nous savons aussi que $\overline{AE}\,=\,\overline{BE}$ et que $\overline{AD}\,=\,\overline{CD}$ . Donc, les triangles $\triangle\,AEC$ et $\triangle\,CED$ sont isocèles respectivement en et en .

5. Par conséquent,
$\angle\,AEC\,=\,\angle\,CAE%2C$
et
$\angle\,CED\,=\,\angle\,EDC.$

6. Additionons maintenant les angles pour chacun des triangles.

Pour $\triangle\,ABC$ , les angles doivent s’ajouter à $180^\circ$ :
$\angle\,BAC\,%2B\,\angle\,ABC\,%2B\,\angle\,ACB\,=\,180^\circ.$

Cependant :
$\angle\,BAC\,=\,180^\circ\,-\,2\,\times \,\angle\,ABC.$

Ainsi :
$(180^\circ\,-\,2\,\times \,\angle\,ABC)\,%2B\,\angle\,ABC\,%2B\,\angle\,ABC\,=\,180^\circ.$
$180^\circ\,-\,2\,\times \,\angle\,ABC\,%2B\,2\,\times \,\angle\,ABC\,=\,180^\circ.$

D’où on en conclut que :
$\angle\,BAC\,=\,180^\circ\,-\,2\,\times \,\angle\,ABC.$

Pour $\triangle\,CDE$ , les angles doivent aussi s’ajouter à $180^\circ$ :
$\angle\,DCE\,%2B\,\angle\,CDE\,%2B\,\angle\,EDC\,=\,180^\circ.$

Puisque $\overline{CD}\,=\,\overline{CE}$ , nous avons :
$\angle\,DCE\,=\,\angle\,CDE$

et donc :
$2\,\times \,\angle\,DCE\,%2B\,\angle\,EDC\,=\,180^\circ.$

D’où on en conclut que :
$\angle\,EDC\,=\,180^\circ\,-\,2\,\times \,\angle\,DCE.$

Exercice 17 : calculer la mesure de l’angle
Pour déterminer la mesure de l’angle $\angle\,NMP$ , nous pouvons utiliser la propriété fondamentale de la somme des angles d’un triangle. La somme des angles internes d’un triangle est toujours égale à $180^\circ$ .

Nous avons les mesures des deux angles suivants :
– $\angle\,MNP\,=\,65^\circ$
– $\angle\,NPM\,=\,42^\circ$

Nous devons donc trouver la mesure de l’angle $\angle\,NMP$ .

En utilisant la propriété de la somme des angles internes d’un triangle, nous avons :
$\angle\,MNP\,%2B\,\angle\,NPM\,%2B\,\angle\,NMP\,=\,180^\circ$

En remplaçant les valeurs des angles $\angle\,MNP$ et $\angle\,NPM$ , nous obtenons :
$65^\circ\,%2B\,42^\circ\,%2B\,\angle\,NMP\,=\,180^\circ$

En simplifiant cette équation, nous trouvons :
$107^\circ\,%2B\,\angle\,NMP\,=\,180^\circ$

Pour isoler $\angle\,NMP$ , nous soustrayons $107^\circ$ des deux côtés de l’équation :
$\angle\,NMP\,=\,180^\circ\,-\,107^\circ$

Ainsi, la mesure de l’angle $\angle\,NMP$ est :
$\angle\,NMP\,=\,73^\circ$

La mesure de l’angle $\angle\,NMP$ est donc $73^\circ$ .

Exercice 18 : mesure d’un angle à calculer
a.

– Calcul de la mesure de l’angle $\widehat{BDC}$ :

Dans le triangle BDC , la somme des angles est égale à $180^\circ$ . Nous avons :
$\widehat{BDC}\,%2B\,48^\circ\,%2B\,102^\circ\,=\,180^\circ$
$\widehat{BDC}\,=\,180^\circ\,-\,48^\circ\,-\,102^\circ$
$\widehat{BDC}\,=\,30^\circ$

– Mesure de l’angle $\widehat{ADB}$ :

Les triangles ABD et BDC sont isocèles en raison des marques de congruence sur les côtés $AD\,\cong\,BD$ et $BD\,\cong\,DC$ . En particulier, dans le triangle ABD , nous avons $\widehat{BAD}\,=\,\widehat{ADB}$ .

Puisque $\widehat{BDC}\,=\,30^\circ$ est commun au triangle ABD et BDC , nous avons deux fois cet angle égaux sous forme d’angle extérieur puisque $\widehat{BDA}$ étant angle extérieur du triangle $\widehat{\,BAC}$ .

$\widehat{ADB}\,=\,\frac{180^\circ\,-\,30^\circ}{2}$
$\widehat{ADB}\,=\,\frac{150^\circ}{2}$
$\widehat{ADB}\,=\,75^\circ$

– Mesure de l’angle $\widehat{ADC}$ :

Pour déterminer la mesure de l’angle $\widehat{ADC}$ , nous utilisons la somme des angles du triangle ADC .

Dans $\triangle\,ADC$ nous avons :
$\widehat{ADC}\,%2B\,\widehat{ACD}\,%2B\,\widehat{DAC}\,=\,180^\circ$

Comme $\widehat{DAC}\,=\,\widehat{BDC}$ , soit $\widehat{DAC}\,=\,30^\circ$ et vu que $\widehat{ACD}\,=\,102^\circ$ ,

Nous pouvons écrire:

$\widehat{ADC}\,=\,180^\circ\,-\,(\widehat{ACD}\,%2B\,\widehat{BDC})$
$\widehat{ADC}\,=\,180^\circ\,-\,(102^\circ\,%2B\,30^\circ)$
$\widehat{ADC}\,=\,180^\circ\,-\,132^\circ$
$\widehat{ADC}\,=\,48^\circ$

Exercice 19 : affirmation vraie ou fausse ?
L’angle $\angle\,LIP$ est marqué comme un angle droit $(90^\circ)$ . On sait également que $%7CLI%7C\,=\,%7CIE%7C$ (triangles isocèles) et que $\angle\,ILP\,=\,50^\circ$ .

Les angles d’un triangle doivent toujours s’additionner pour donner $180^\circ$ . Dans le triangle LIP , nous avons déjà deux angles connus :
$\angle\,ILP\,=\,50^\circ$
$\angle\,LIP\,=\,90^\circ$

Pour trouver le troisième angle $\angle\,IEL$ , nous utilisons la somme des angles dans le triangle LIE :
$\angle\,ILE\,=\,180^\circ\,-\,(\,\angle\,ILP\,%2B\,\angle\,LIP\,)$
$\angle\,ILE\,=\,180^\circ\,-\,(50^\circ\,%2B\,90^\circ)$
$\angle\,ILE\,=\,180^\circ\,-\,140^\circ$
$\angle\,ILE\,=\,40^\circ$

L’angle $\angle\,LIE$ dans le triangle LIE est donc $40^\circ$ . Puisque l’angle au sommet $\angle\,LIE$ n’est pas un angle droit, le triangle LIE n’est pas rectangle en .

Ainsi, l’affirmation de Tom est incorrecte. Le triangle LIE n’est pas rectangle en .

Exercice 20 : mesure des angles d’un triangle
Dans le triangle ABC , les points $E%2C\,B%2C\,C$ et sont alignés. Nous considérons les angles extérieurs $\angle\,EBA$ et $\angle\,DCA$ .

Calculons tout d’abord $\angle\,ABC$ et $\angle\,ACB$ :
$\angle\,EBA\,=\,115^\circ\,\Rightarrow\,\angle\,ABC\,=\,180^\circ\,-\,115^\circ\,=\,65^\circ$
$\angle\,DCA\,=\,128^\circ\,\Rightarrow\,\angle\,ACB\,=\,180^\circ\,-\,128^\circ\,=\,52^\circ$

Ensuite, pour déterminer $\angle\,BAC$ , nous utilisons la propriété selon laquelle la somme des angles d’un triangle est de $180^\circ$ :
$\angle\,BAC\,=\,180^\circ\,-\,\angle\,ABC\,-\,\angle\,ACB\,=\,180^\circ\,-\,65^\circ\,-\,52^\circ\,=\,63^\circ$

En conclusion, les mesures des angles du triangle ABC sont :
$\angle\,BAC\,=\,63^\circ%2C\,\quad\,\angle\,ABC\,=\,65^\circ%2C\,\quad\,\angle\,ACB\,=\,52^\circ$

Voir Corrigés 11 à 20 ...

Exercice 21 : informations codées sur une carte
a. Pour calculer la mesure de l’angle $\widehat{BEF}$ :

On remarque que , , , et forment un quadrilatère. Sachant que les angles $\widehat{EBF}$ et $\widehat{BEH}$ sont extérieurs à ce quadrilatère, ils ne sont pas directement utilisés dans le calcul de l’angle $\widehat{BEF}$ . Pour simplifier l’analyse, observons les angles formés par des droites parallèles coupées par une transversale.

Les angles $\widehat{GBH}$ , $\widehat{BEF}$ , $\widehat{FHE}$ , et $\widehat{GBE}$ sont les angles intérieurs d’un quadrilatère et doivent donc satisfaire la relation suivante :
$\widehat{GBH}\,%2B\,\widehat{GBE}\,%2B\,\widehat{BEF}\,%2B\,\widehat{FHE}\,=\,360^\circ$

Cependant, on nous donne que :
$\widehat{GBH}\,=\,50^\circ%2C\,\quad\,\widehat{GBE}\,=\,60^\circ%2C\,\quad\,et\,\quad\,\widehat{FHE}\,=\,70^\circ$

Par conséquent, nous avons :
$50^\circ\,%2B\,60^\circ\,%2B\,\widehat{BEF}\,%2B\,70^\circ\,=\,360^\circ$
$180^\circ\,%2B\,\widehat{BEF}\,=\,360^\circ$
$\widehat{BEF}\,=\,360^\circ\,-\,180^\circ$
$\widehat{BEF}\,=\,180^\circ$

Ainsi, la mesure de l’angle $\widehat{BEF}$ est égale à 180°.

b. Pour déterminer si les routes suivies par la voiture jaune et la voiture rouge sont parallèles :

Les angles alternes-internes égaux formés par une transversale coupant deux droites sont une indication que les droites sont parallèles.

Ici, on constate que les angles $\widehat{EBF}\,=\,70^\circ$ et $\widehat{FHE}$ sont alternes-internes et

$\widehat{GBE}\,=\,\widehat{GBH}\,=\,50^\circ$ sont deux paires d’angles alternes internes égaux.

En conséquence, les droites et suivies par les voitures jaune et rouge sont parallèles.

Ainsi, la voiture jaune et la voiture rouge suivent bien des routes parallèles.

Exercice 22 : calculer la mesure de l’angle
1. Calcul de la mesure des angles :

a. Calcul de $\widehat{UFI}$ :
$\widehat{UFI}\,=\,\widehat{UFN}\,-\,\widehat{UFL}\,=\,60^\circ\,-\,30^\circ\,=\,30^\circ$

$30^\circ$

b. Calcul de $\widehat{OIL}$ :
$\widehat{OIL}\,=\,90^\circ$
La présence du petit carré au point I indique un angle droit (90°).

$90^\circ$

c. Calcul de $\widehat{OLI}$ :
$\widehat{OLI}\,=\,30^\circ$

$30^\circ$

2. Déduction pour les droites (UF) et (OL) :

Les angles $\widehat{UFI}$ et $\widehat{OLI}$ sont égaux, tous deux égalent à $30^\circ$ . Cela implique que les droites (UF) et (OL) sont parallèles, car des angles alternes internes égaux indiquent le parallélisme des droites.

$Les\,droites\,(UF)\,et\,(OL)\,sont\,paralleles.$

Exercice 23 : constructions de triangles
Correction de l’exercice:

Pour le triangle NPR :

1. Tracer un segment de 6,4 cm.
2. Placer un point tel que $NR\,=\,8%2C7$ cm et que l’angle $\angle\,NRP\,=\,35^\circ$ .

Pour cela, nous pouvons utiliser les règles de trigonométrie pour trianguler le point .

### Étape 1 : Calcul de par le théorème du cosinus

$NP^2\,=\,PR^2\,%2B\,NR^2\,-\,2\,\times \,PR\,\times \,NR\,\times \,\cos(\angle\,NRP)$

$NP^2\,=\,6.4^2\,%2B\,8.7^2\,-\,2\,\times \,6.4\,\times \,8.7\,\times \,\cos(35^\circ)$

$NP^2\,=\,40.96\,%2B\,75.69\,-\,2\,\times \,6.4\,\times \,8.7\,\times \,0.8192$

$NP^2\,=\,116.65\,-\,90.86112$

$NP^2\,=\,25.78888$

$NP\,\approx\,\sqrt{25.78888}$

$NP\,\approx\,5.08\,\%2C\,cm$

### Étape 2 : Dessin

1. Tracer le segment $PR\,=\,6.4\%2C\,cm$ .
2. À l’aide d’un rapporteur, tracer l’angle $NRP\,=\,35^\circ$ .
3. Reporter la longueur $NR\,=\,8.7\,\%2C\,cm$ pour placer le point .

Pour le triangle EFG :

1. Tracer un segment de 5,5 cm.
2. Placer un point tel que $FG\,=\,7$ cm et que l’angle $\angle\,EFG\,=\,125^\circ$ .

### Étape 1 : Calcul de par le théorème du cosinus

$EG^2\,=\,EF^2\,%2B\,FG^2\,-\,2\,\times \,EF\,\times \,FG\,\times \,\cos(\angle\,EFG)$

$EG^2\,=\,5.5^2\,%2B\,7^2\,-\,2\,\times \,5.5\,\times \,7\,\times \,\cos(125^\circ)$

$EG^2\,=\,30.25\,%2B\,49\,-\,2\,\times \,5.5\,\times \,7\,\times \,-0.5736$

$EG^2\,=\,79.25\,%2B\,2\,\times \,5.5\,\times \,7\,\times \,0.5736$

$EG^2\,=\,79.25\,%2B\,44.0112$

$EG^2\,=\,123.2612$

$EG\,\approx\,\sqrt{123.2612}$

$EG\,\approx\,11.1\,\%2C\,cm$

### Étape 2 : Dessin

1. Tracer le segment $EF\,=\,5.5\%2C\,cm$ .
2. À l’aide d’un rapporteur, tracer l’angle $EFG\,=\,125^\circ$ .
3. Reporter la longueur $FG\,=\,7\,\%2C\,cm$ pour placer le point .

Le triangle NPR et le triangle EFG sont maintenant entièrement définis. En suivant ces étapes et en utilisant le matériel de géométrie approprié, les triangles peuvent être construits de manière précise.

Exercice 24 : construire des triangles
Pour le triangle ABC :

$Connaissant\,\,\angle\,ABC\,=\,58^\circ\,\,et\,\,\angle\,BAC\,=\,75^\circ%2C\,\,on\,peut\,calculer\,\,\angle\,ACB.$

$\angle\,ACB\,=\,180^\circ\,-\,\angle\,ABC\,-\,\angle\,BAC\,=\,180^\circ\,-\,58^\circ\,-\,75^\circ\,=\,47^\circ.$

$En\,utilisant\,la\,loi\,des\,sinus\,pour\,determiner\,les\,cotes\,restants\,\,AC\,\,et\,\,BC\,%3A$

$\frac{AB}{\sin(\angle\,ACB)}\,=\,\frac{BC}{\sin(\angle\,BAC)}\,=\,\frac{AC}{\sin(\angle\,ABC)}.$

$\frac{6.4}{\sin(47^\circ)}\,=\,\frac{BC}{\sin(75^\circ)}\,=\,\frac{AC}{\sin(58^\circ)}.$

$BC\,=\,\frac{6.4\,\times \,\sin(75^\circ)}{\sin(47^\circ)}\,\approx\,8.4\,\,cm%2C$

$AC\,=\,\frac{6.4\,\times \,\sin(58^\circ)}{\sin(47^\circ)}\,\approx\,7.9\,\,cm.$

Pour le triangle EFG :

$Connaissant\,\,\angle\,EGF\,=\,44^\circ\,\,et\,\,\angle\,EFG\,=\,106^\circ%2C\,\,on\,peut\,calculer\,\,\angle\,FEG.$

$\angle\,FEG\,=\,180^\circ\,-\,\angle\,EGF\,-\,\angle\,EFG\,=\,180^\circ\,-\,44^\circ\,-\,106^\circ\,=\,30^\circ.$

$En\,utilisant\,la\,loi\,des\,sinus\,pour\,determiner\,les\,cotes\,restants\,\,EF\,\,et\,\,EG\,%3A$

$\frac{FG}{\sin(\angle\,FEG)}\,=\,\frac{EF}{\sin(\angle\,EGF)}\,=\,\frac{EG}{\sin(\angle\,EFG)}.$

$\frac{4.5}{\sin(30^\circ)}\,=\,\frac{EF}{\sin(44^\circ)}\,=\,\frac{EG}{\sin(106^\circ)}.$

$EF\,=\,\frac{4.5\,\times \,\sin(44^\circ)}{\sin(30^\circ)}\,\approx\,6.4\,\,cm%2C$

$EG\,=\,\frac{4.5\,\times \,\sin(106^\circ)}{\sin(30^\circ)}\,\approx\,8.5\,\,cm.$

Pour le triangle rectangle KLM :

$LM\,=\,4\,\,cm\,et\,\,\angle\,KML\,=\,50^\circ.$

$On\,sait\,que\,\angle\,KLM\,=\,90^\circ\,\,car\,le\,triangle\,est\,rectangle.\,On\,peut\,trouver\,\,\angle\,KLM.$

$\angle\,LKM\,=\,180^\circ\,-\,\angle\,KML\,-\,\angle\,KLM\,=\,180^\circ\,-\,50^\circ\,-\,90^\circ\,=\,40^\circ.$

$Avec\,la\,trigonometrie%2C\,on\,peut\,determiner\,les\,longueurs\,des\,cotes\,restants\,\,KM\,\,et\,\,KL.$

$Utilisons\,le\,sinus\,%3A$

$\sin(50^\circ)\,=\,\frac{LM}{KM}\,\Rightarrow\,KM\,=\,\frac{LM}{\sin(50^\circ)}\,\approx\,\frac{4}{0.766}\,\approx\,5.2\,\,cm%2C$

$Utilisons\,le\,cosinus\,%3A$

$\cos(50^\circ)\,=\,\frac{KL}{KM}\,\Rightarrow\,KL\,=\,KM\,\times \,\cos(50^\circ)\,\approx\,5.2\,\times \,0.643\,=\,3.3\,\,cm.$

La correction des mesures et des calculs requis pour chacun des triangles est maintenant complète.

Exercice 25 : hauteurs d’un triangle
Les droites (d_1) , (d_2) et (d_3) sont tracées sur la figure du triangle ABC .

Une hauteur dans un triangle est une droite passant par un sommet du triangle et perpendiculaire à la base opposée.

### Analyse des droites tracées :
1. (d_1) : Cette droite est perpendiculaire au côté du triangle et passe par le sommet . Elle est donc une hauteur.
$(d_1)\,\,est\,une\,hauteur\,issue\,de\,\,C.$

2. (d_2) : Cette droite est perpendiculaire au côté du triangle, mais elle passe par un point extérieur au triangle (prolongement du côté au-delà des sommets). Elle n’est donc pas une hauteur.
$(d_2)\,\,n'est\,pas\,une\,hauteur.$

3. (d_3) : Cette droite est perpendiculaire au côté du triangle et passe par le sommet . Elle est donc une hauteur.
$(d_3)\,\,est\,une\,hauteur\,issue\,de\,\,A.$

### Conclusion :
Les hauteurs du triangle ABC parmi les droites tracées sont donc (d_1) et (d_3) .

Exercice 26 : inégalité triangulaire
La possibilité de construire un triangle dépend de l’inégalité triangulaire qui stipule que la somme des longueurs de deux côtés d’un triangle doit toujours être supérieure à la longueur du troisième côté. Cette règle doit être vérifiée pour chaque combinaison de deux côtés et le troisième côté.

$AB\,=\,9\,\%2C\,cm%2C\,BC\,=\,5\,\%2C\,cm%2C\,AC\,=\,1\,\%2C\,cm$ .

Vérifions l’inégalité triangulaire:
– $AB\,%2B\,BC\,=\,9\,%2B\,5\,=\,14$
– $AB\,%2B\,AC\,=\,9\,%2B\,1\,=\,10$
– $BC\,%2B\,AC\,=\,5\,%2B\,1\,=\,6$

Comparons ces résultats au troisième côté:
– $14\,>\,1$ $AB\,=\,6{%2C}5\,\%2C\,cm%2C\,BC\,=\,7\,\%2C\,cm%2C\,AC\,=\,5\,\%2C\,cm$ .

Vérifions l’inégalité triangulaire:
– $AB\,%2B\,BC\,=\,6{%2C}5\,%2B\,7\,=\,13{%2C}5$
– $AB\,%2B\,AC\,=\,6{%2C}5\,%2B\,5\,=\,11{%2C}5$
– $BC\,%2B\,AC\,=\,7\,%2B\,5\,=\,12$

Comparons ces résultats au troisième côté:
– $13{%2C}5\,>\,5$ $AB\,=\,3{%2C}7\,\%2C\,cm%2C\,BC\,=\,2{%2C}3\,\%2C\,cm%2C\,AC\,=\,6\,\%2C\,cm$ .

Vérifions l’inégalité triangulaire:
– $AB\,%2B\,BC\,=\,3{%2C}7\,%2B\,2{%2C}3\,=\,6$
– $AB\,%2B\,AC\,=\,3{%2C}7\,%2B\,6\,=\,9{%2C}7$
– $BC\,%2B\,AC\,=\,2{%2C}3\,%2B\,6\,=\,8{%2C}3$

Comparons ces résultats au troisième côté:
– $6\,=\,6$ , faux. L’inégalité indique que la somme doit être strictement supérieure.
– $9{%2C}7\,>\,2{%2C}3$ , l’inégalité triangulaire est donc violée.

—

Résumé : Seule la configuration permet de construire un triangle.

Exercice 27 : triangles constructibles
Pour déterminer si Lucie peut construire ces triangles, nous devons tenir compte de l’inégalité triangulaire qui stipule que la somme des longueurs de deux côtés d’un triangle doit toujours être supérieure à la longueur du troisième côté.

$a.\,Dire\,si\,elle\,peut\,construire\,ces\,triangles.$

1. Premier triangle:
Les côtés mesurent $54\%2C\,mm$ , $42\%2C\,mm$ et $78\%2C\,mm$ .

$54\,%2B\,42\,%26>\,78\,\quad\,(96\,>\,78\,Vrai)\,\\%0D%0A54\,%2B\,78\,%26>\,42\,\quad\,(132\,>\,42\,Vrai)\,\\%0D%0A42\,%2B\,78\,%26>\,54\,\quad\,(120\,>\,54\,Vrai)$ , $5.5\%2C\,cm$ et $9\%2C\,cm$ .

$2.5\,%2B\,5.5\,%26>\,9\,\quad\,(8\,%3C\,9\,Faux)\,\\%0D%0A2.5\,%2B\,9\,%26>\,5.5\,\quad\,(11.5\,>\,5.5\,Vrai)\,\\%0D%0A5.5\,%2B\,9\,%26>\,2.5\,\quad\,(14.5\,>\,2.5\,Vrai)$ , $3\%2C\,cm$ et $5\%2C\,cm$ .

$7\,%2B\,3\,%26>\,5\,\quad\,(10\,>\,5\,Vrai)\,\\%0D%0A7\,%2B\,5\,%26>\,3\,\quad\,(12\,>\,3\,Vrai)\,\\%0D%0A3\,%2B\,5\,%26>\,7\,\quad\,(8\,>\,7\,Vrai)$

Lucie peut tracer le premier et le troisième triangle selon les mesures données car ils respectent l’inégalité triangulaire.

Exercice 28 : tracer les médiatrices d’un triangle
$a.\,Trace\,des\,mediatrices\,pour\,un\,triangle\,quelconque\,%3A$

Soit le triangle ABC . Nous traçons les médiatrices des côtés , et .

1. Pour tracer la médiatrice de , nous trouvons le milieu de (point ) et traçons la droite perpendiculaire à passant par .
2. Pour tracer la médiatrice de , nous trouvons le milieu de (point ) et traçons la droite perpendiculaire à passant par .
3. Pour tracer la médiatrice de , nous trouvons le milieu de (point ) et traçons la droite perpendiculaire à passant par .

Les trois médiatrices se coupent en un point unique , qui est appelé le centre du cercle circonscrit du triangle ABC .

$b.\,Trace\,des\,mediatrices\,pour\,un\,triangle\,aigu\,%3A$

Soit le triangle aigu DEF .

Comme précédemment, les trois médiatrices se coupent en un point unique , qui est appelé le centre du cercle circonscrit du triangle DEF .

$Conjecture\,%3A$

Dans chaque cas, les trois médiatrices d’un triangle se coupent en un point unique. Ce point est équidistant des sommets du triangle et est le centre du cercle circonscrit au triangle.

Exercice 29 : points alignés
$Correction\,%3A$

1. $AB\,=\,5.9\,\%2C\,cm$ , $BC\,=\,2.5\,\%2C\,cm$ , $AC\,=\,3.4\,\%2C\,cm$

$AB\,=\,5.9\,\%2C\,cm$
$BC\,=\,2.5\,\%2C\,cm$
$AC\,=\,3.4\,\%2C\,cm$

Les points , et sont alignés si $AB\,%2B\,BC\,=\,AC$ ou $AB\,%2B\,AC\,=\,BC$ ou $AC\,%2B\,BC\,=\,AB$ .

– $AB\,%2B\,BC\,=\,5.9\,\%2C\,cm\,%2B\,2.5\,\%2C\,cm\,=\,8.4\,\%2C\,cm\,\neq\,3.4\,\%2C\,cm$
– $AB\,%2B\,AC\,=\,5.9\,\%2C\,cm\,%2B\,3.4\,\%2C\,cm\,=\,9.3\,\%2C\,cm\,\neq\,2.5\,\%2C\,cm$
– $AC\,%2B\,BC\,=\,3.4\,\%2C\,cm\,%2B\,2.5\,\%2C\,cm\,=\,5.9\,\%2C\,cm$

On a $AC\,%2B\,BC\,=\,AB$ .

Les points , , et sont alignés et est le point entre et .

2. $AB\,=\,7.4\,\%2C\,cm$ , $BC\,=\,10\,\%2C\,cm$ , $AC\,=\,3.6\,\%2C\,cm$

$AB\,=\,7.4\,\%2C\,cm$
$BC\,=\,10\,\%2C\,cm$
$AC\,=\,3.6\,\%2C\,cm$

– $AB\,%2B\,BC\,=\,7.4\,\%2C\,cm\,%2B\,10\,\%2C\,cm\,=\,17.4\,\%2C\,cm\,\neq\,3.6\,\%2C\,cm$
– $AB\,%2B\,AC\,=\,7.4\,\%2C\,cm\,%2B\,3.6\,\%2C\,cm\,=\,11\,\%2C\,cm\,\neq\,10\,\%2C\,cm$
– $AC\,%2B\,BC\,=\,3.6\,\%2C\,cm\,%2B\,10\,\%2C\,cm\,=\,13.6\,\%2C\,cm\,\neq\,7.4\,\%2C\,cm$

Les points , et ne sont pas alignés dans ce cas.

3. $AB\,=\,2.7\,\%2C\,cm$ , $BC\,=\,93\,\%2C\,mm$ , $AC\,=\,0.12\,\%2C\,m$

Convertissons toutes les mesures en centimètres :
$BC\,=\,93\,\%2C\,mm\,=\,9.3\,\%2C\,cm$
$AC\,=\,0.12\,\%2C\,m\,=\,12\,\%2C\,cm$

$AB\,=\,2.7\,\%2C\,cm$
$BC\,=\,9.3\,\%2C\,cm$
$AC\,=\,12\,\%2C\,cm$

– $AB\,%2B\,BC\,=\,2.7\,\%2C\,cm\,%2B\,9.3\,\%2C\,cm\,=\,12\,\%2C\,cm$
– $AB\,%2B\,AC\,=\,2.7\,\%2C\,cm\,%2B\,12\,\%2C\,cm\,=\,14.7\,\%2C\,cm\,\neq\,9.3\,\%2C\,cm$
– $AC\,%2B\,BC\,=\,12\,\%2C\,cm\,%2B\,9.3\,\%2C\,cm\,=\,21.3\,\%2C\,cm\,\neq\,2.7\,\%2C\,cm$

On a $AB\,%2B\,BC\,=\,AC$ .

Les points , , et sont alignés et est le point entre et .

Exercice 30 : problème au bord de la plage
Pour situer la position de Rémi, nous devons déterminer un point qui est à la fois sur la droite (d) et équidistant des points (la tente d’Adrien) et (la tente de Kenza).

La position est donc l’intersection de la droite (d) avec la médiatrice du segment .

### Étapes de la solution :

1. $Tracer\,le\,segment\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255BAK%255D%22\,alt=%22%5BAK%5D$ » align= »absmiddle » /> : Relier les points et .

2. $Trouver\,la\,mediatrice\,du\,segment\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255BAK%255D%22\,alt=%22%5BAK%5D$ » align= »absmiddle » /> :
– La médiatrice d’un segment passe par son milieu et est perpendiculaire à ce segment.
– Soit le milieu du segment .

$M\,=\,(\,\frac{x_A\,%2B\,x_K}{2}%2C\,\frac{y_A\,%2B\,y_K}{2}\,)$

– Une droite perpendiculaire ayant la forme $y\,=\,mx\,%2B\,c$ où est la pente, sera réfléchie par $m_{AK}\,\times \,m_{\perp}\,=\,-1$ . Cela nous aidera à déterminer la pente de la médiatrice :

$m_{AK}\,=\,\frac{y_K\,-\,y_A}{x_K\,-\,x_A}$

$m_{\perp}\,=\,-\frac{1}{m_{AK}}$

3. $Equation\,de\,la\,mediatrice$ :
– En utilisant le milieu et la pente $m_\perp$ , écrire l’équation de la droite perpendiculaire (la médiatrice) :

$y\,-\,y_M\,=\,m_\perp(x\,-\,x_M)$

4. $Intersection\,avec\,la\,droite\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%2528d%2529%22\,alt=%22(d)$ » align= »absmiddle » /> :
– L’intersection de cette médiatrice avec la droite (d) (qui est le bord de la plage) sera le point .

La droite (d) a une équation donnée. Résoudre le système d’équations formé par la droite (d) et la médiatrice pour obtenir les coordonnées de .

### Coordonnées exactes de en utilisant les points et :

Assumons que les coordonnées $A(x_A%2C\,y_A)$ et $K(x_K%2C\,y_K)$ sont respectivement données. Les équations spécifiques en LaTeX seraient (supposons ici que la droite (d) soit horizontale pour simplification) :

« `latex
$M\,=\,(\,\frac{x_A\,%2B\,x_K}{2}%2C\,\frac{y_A\,%2B\,y_K}{2}\,)$

$m_{AK}\,=\,\frac{y_K\,-\,y_A}{x_K\,-\,x_A}$

$m_{\perp}\,=\,-\frac{1}{m_{AK}}$

Médiatrice :

$y\,-\,y_M\,=\,-\frac{1}{m_{AK}}(x\,-\,x_M)$

Intersection avec $(d)%3A\,y\,=\,c$

$c\,=\,-\frac{1}{m_{AK}}(x_R\,-\,x_M)\,%2B\,y_M$

Résoudre pour x_R et y_R pour avoir les coordonnées de .
« `

### Conclusion :
Le point d’intersection entre la médiatrice de et la droite (d) fournira les coordonnées exactes de la position de Rémi.

Voir Corrigés 21 à 30 ...

Exercice 31 : problème de la régate
Soit les points $V_1%2C\,V_2%2C\,V_3$ les positions des voiliers. Comme les trois voiliers se trouvent à la même distance du phare situé sur la côte, doit satisfaire la condition suivante :

$PV_1\,=\,PV_2\,=\,PV_3.$

Cela signifie que est à équidistance des points $V_1%2C\,V_2$ et V_3 . Géométriquement, le point est le centre du cercle circonscrit au triangle .

Pour déterminer la position de :
1. Tracer les médiatrices de deux côtés du triangle . Les médiatrices d’un côté d’un triangle sont les lignes qui passent par le milieu de ce côté et qui sont perpendiculaires à ce côté.
2. L’intersection des médiatrices est le centre du cercle circonscrit au triangle.

Voici les étapes détaillées :

1. Trouver le milieu de chaque côté du triangle formé par $V_1%2C\,V_2$ , et V_3 .
2. Tracer les médiatrices :
– La médiatrice du côté V_1V_2 coupe ce segment en son milieu et est perpendiculaire à V_1V_2 .
– La médiatrice du côté V_1V_3 coupe ce segment en son milieu et est perpendiculaire à V_1V_3 .
3. L’intersection des médiatrices est le centre .

Positionner sur le diagramme :
– Tracez une droite perpendiculaire à V_1V_2 passant par son milieu.
– Tracez une droite perpendiculaire à V_1V_3 passant par son milieu.
– L’intersection de ces deux droites est le point .

Ainsi, le phare est situé au point d’intersection des médiatrices des côtés du triangle formé par les positions actuelles des voiliers $V_1%2C\,V_2$ , et V_3 .

Exercice 32 : problème des boucles d’oreilles
Pour résoudre cet exercice, nous devons déterminer les mesures des angles dans le cas où les triangles isocèles ont deux côtés de longueur 4 cm. Nous nous concentrerons sur les cinq angles notés , , , $\ell$ et dans les schémas fournis.

1. Chaque triangle isocèle a deux angles égaux.

Sachant que les côtés égaux mesurent 4 cm, nous pouvons utiliser la propriété des triangles isocèles pour formuler les équations suivantes :

Soit un triangle isocèle de côtés et angles à la base . La somme des angles d’un triangle est de 180° :

$2c\,%2B\,\theta\,=\,180%C2%B0$
$\theta\,=\,180%C2%B0\,-\,2c$

Étant donné que le triangle est isocèle et a 4 cm pour les deux côtés égaux, ses angles à la base seront egaux. Pour les deux côtés égaux de chaque triangle, les angles sont symétriques.

### Pour les triangles du premier modèle de boucles d’oreilles (à gauche) :
– Le triangle de base formé par les côtés 4 cm :
$c\,=\,60%C2%B0$
$d\,=\,60%C2%B0$

### Pour les triangles du deuxième modèle de boucles d’oreilles (à droite) :
– Le triangle de base formé par les côtés 4 cm :
$c\,=\,60%C2%B0$
$After\,checking\,the\,complementary\,relations\,inside-valent\,angles\,we\,can\,say%2C%3A\,\\%0D%0Ad\,=\,90%C2%B0$
$h\,=\,360%C2%B0%2C\,of\,the\,triangle\,symmetric\,angles\,=\,45%C2%B0$

### Vérification et complétion du tableau

| Angle | c | d | h | \ell | k |
|——-|—-|—|—-|——-|—-|
| Mesure en degrés | 60° | 90° | 45°| | |

Donc, les mesures des angles sont respectivement $c\,=\,60%C2%B0$ , $d\,=\,90%C2%B0$ , $h\,=\,45%C2%B0$ , $\ell$ , $nous\,pouvons\,rearranger\,invariant\,par\,symmetrie$ , et .

Exercice 33 : problème du vainqueur de la régate
\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx}

\begin{document}

\section*{Correction de l’exercice}

La position du voilier le plus proche de la ligne d’arrivée est déterminée en calculant les angles et en utilisant la loi des sinus pour chaque voilier.

Les distances entre les bouées A et D, et A et B, ainsi que les angles correspondants sont données dans le document 3 :

Pour le voilier Écume (E), nous avons $\angle\,ADE\,=\,105^\circ$ et $\angle\,DAE\,=\,50^\circ$ .
Pour le voilier Grain de sel (G), nous avons $\angle\,ADG\,=\,120^\circ$ et $\angle\,DAG\,=\,35^\circ$ .
Pour le voilier Sirius (S), nous avons $\angle\,ADS\,=\,145^\circ$ et $\angle\,DAS\,=\,23^\circ$ .

Pour chaque voilier, nous appliquons la loi des sinus dans le triangle formé par les points A, D, et les voiliers E, G, et S respectivement.

\subsection*{Voilier Écume (E)}
Dans le triangle $\triangle\,ADE$ , utilisant les angles donnés :
$\frac{AD}{\sin(\angle\,ADE)}\,=\,\frac{AE}{\sin(\angle\,DAE)}$
Sachant que $AD\,=\,1M$ mille marin :
$\frac{1}{\sin(105^\circ)}\,=\,\frac{AE}{\sin(50^\circ)}$
d’où
$AE\,=\,\frac{\sin(50^\circ)}{\sin(105^\circ)}\,=\,\frac{0.766}{0.966}\,\approx\,0.793\,M$

\subsection*{Voilier Grain de sel (G)}
Dans le triangle $\triangle\,ADG$ , utilisant les angles donnés :
$\frac{AD}{\sin(\angle\,ADG)}\,=\,\frac{AG}{\sin(\angle\,DAG)}$
Sachant que $AD\,=\,1M$ mille marin :
$\frac{1}{\sin(120^\circ)}\,=\,\frac{AG}{\sin(35^\circ)}$
d’où
$AG\,=\,\frac{\sin(35^\circ)}{\sin(120^\circ)}\,=\,\frac{0.574}{0.866}\,\approx\,0.663\,M$

\subsection*{Voilier Sirius (S)}
Dans le triangle $\triangle\,ADS$ , utilisant les angles donnés :
$\frac{AD}{\sin(\angle\,ADS)}\,=\,\frac{AS}{\sin(\angle\,DAS)}$
Sachant que $AD\,=\,1M$ mille marin :
$\frac{1}{\sin(145^\circ)}\,=\,\frac{AS}{\sin(23^\circ)}$
d’où
$AS\,=\,\frac{\sin(23^\circ)}{\sin(145^\circ)}\,=\,\frac{0.390}{0.574}\,\approx\,0.679\,M$

\subsection*{Conclusion}
Après avoir calculé les distances pour chaque voilier :
$AE\,\approx\,0.793\,M%2C\,\quad\,AG\,\approx\,0.663\,M%2C\,\quad\,AS\,\approx\,0.679\,M$

Le voilier Grain de sel (G) est le plus proche de la ligne d’arrivée avec une distance de $0.663\,M$ milles marins.

\end{document}

Exercice 34 : problème de la trajectoire du cargo
$Correction\,de\,l'exercice\,%3A$

On sait que le cargo navigue à une vitesse constante de 36 km/h. Nous devons représenter la situation à l’échelle 1 cm pour 500 m, ce qui correspond à un ratio de 1:50 000 en termes de distance réelle.

### Étape 1 : Calcul des distances parcourues dans le temps donné

– À 8 h 15, le cargo voit la tour devant l’église (point E).
– À 8 h 05, il voit le phare (point P) devant une tour (point T).

La différence de temps entre 8 h 05 et 8 h 15 est de 10 minutes, soit $\frac{10}{60}$ heures = $\frac{1}{6}$ heures.

### Étape 2 : Calcul de la distance parcourue entre 8 h 05 et 8 h 15

La vitesse est de 36 km/h, donc la distance parcourue en $\frac{1}{6}$ heures est :

$d\,=\,36\,\%2C\,km%2Fh\,\times \,\frac{1}{6}\,\%2C\,h\,=\,6\,\%2C\,km$

### Étape 3 : Tracer la route du cargo

Pour représenter la route du cargo sur la carte à l’échelle, nous suivons les étapes suivantes :

1. $Reperage\,des\,points$ : Sur la carte du document fourni :
– Le phare est situé à 4.4 km de la côte et à 4 km de la base du triangle.
– La tour devant l’église est située à 12 km de .

2. $Echelle\,de\,representation$ : On doit convertir les distances réelles en mesures sur la carte selon l’échelle 1 cm pour 500 m.

$Distance\,de\,\,P\,\,a\,E\,%3A\\,12\,\%2C\,km\,=\,24\,\%2C\,cm$

3. $Trace\,du\,cap\,constant$ :
– À 8 h 05, le cargo est au niveau du phare .
– À 8 h 15, le cargo est arrivé à la tour (point E), ayant parcouru 12 km en 10 minutes.

Traçons une ligne droite entre le point et le point sur la carte en suivant les échelles données. Le cap constant signifie une ligne droite entre les points.

### Résultat final

Sur la carte, nous obtenons :

– Une ligne droite reliant à .
– La position du cargo à 8 h 05 se trouve au point .
– La position du cargo à 8 h 15 se trouve à la tour devant l’église (point ).

Ainsi, la route suivie par le cargo correspond à une ligne droite de à , représentée avec une échelle de 1 cm pour 500 m.

Exercice 35 : problème du tournoi de curling
Pour résoudre cet exercice, nous devons trouver tous les emplacements possibles pour que la pierre de Mona soit le « Shot Rock », c’est-à-dire la pierre la plus proche du bouton.

Les pierres B, E, C, et R sont toutes à égale distance du bouton. Notons cette distance par . Chaque pierre forme donc un cercle de rayon autour du bouton. La pierre de Mona doit être à une distance inférieure à pour être plus proche du bouton. Donc, son emplacement idéal doit être à l’intérieur du cercle de rayon .

Pour déterminer l’intérieur du cercle de rayon , nous devons considérer les distances suivantes:

1. Soit le point correspondant au bouton.
2. $B%2C\,E%2C\,C%2C\,R$ se trouvent sur un cercle de centre et de rayon .

### Visualisation et équation du cercle:
La pierre de Mona, notée , doit donc respecter les contraintes géométriques suivantes:
– La distance doit être strictement inférieure à .

En utilisant la formule de la distance dans le plan cartésien:
Si est à l’origine (0%2C0) , la pierre de Mona doit se trouver à une position $(x%2C\,y)$ telle que:

$\sqrt{x^2\,%2B\,y^2}\,%3C\,d$

### Conclusion:
Tous les points $(x%2C\,y)$ situés à l’intérieur du cercle de rayon autour du bouton représentent des emplacements possibles pour la pierre de Mona. Graphiquement, cela signifie que peut être placé en tout point à l’intérieur du cercle de rayon centré sur le bouton .

### Zones d’interdiction:
En pratique, vu que le curling est un jeu de précision, nous considérons que doit être située à tout point de l’intérieur du cercle sans toucher la frontière du cercle de rayon . Donc, en utilisant la notation classique, le domaine admissible pour est donné par l’inégalité :

$\{\,(x%2C\,y)\,\in\,\mathbb{R}^2\,%7C\,x^2\,%2B\,y^2\,%3C\,d^2\,\}$

Ensuite, pour chaque pierre $B%2C\,E%2C\,C%2C\,R$ disposée sur le cercle de rayon , doit se trouver à une distance inférieure à du bouton pour être considérée comme le « Shot Rock ».

Ainsi, la solution est le cercle de rayon , sans frontières, donc un domaine ouvert à l’intérieur de ce cercle:
$Domaine\,admissible\,de\,Mona\,\,=\,{(x%2C\,y)\,%7C\,x^2\,%2B\,y^2\,%3C\,d^2}$

Nous espérons que cette explication clarifie les solutions possibles pour les emplacements de la pierre de Mona.

Exercice 36 : construction du cercle circonscrit à un triangle
$Correction\,de\,l'exercice\,%3A$

Situation A

1. Tracer un triangle ABC tel que $AB\,=\,6\,\%2C\,cm$ , $AC\,=\,12\,\%2C\,cm$ et $BC\,=\,9\,\%2C\,cm$ .
2. Tracer au compas et à la règle les médiatrices des trois côtés du triangle.

a. Pour la médiatrice de :
– Placer le compas à l’extrémité (ou ) et ouvrir à plus de la moitié de .
– Tracer un arc de cercle.
– Répéter l’opération avec l’autre extrémité, (ou ), sans changer l’ouverture du compas, de sorte que les arcs se croisent.
– Tracer la droite passant par les points d’intersection des arcs : c’est la médiatrice de .

b. Pour la médiatrice de , répéter les étapes précédentes en plaçant le compas aux extrémités et .
c. Et pour la médiatrice de , répéter les étapes avec les extrémités et .

3. Tracer le cercle circonscrit au triangle ABC .
– Le centre de ce cercle est le point d’intersection des trois médiatrices.
– Placer le compas sur ce point d’intersection et ajuster l’ouverture jusqu’à l’une des trois sommets du triangle ABC .
– Tracer le cercle.

Situation B

1. Tracer un triangle LOI tel que $LO\,=\,5\,\%2C\,cm$ , $LI\,=\,7\,\%2C\,cm$ et $\angle\,OLI\,=\,65^\circ$ .
2. Tracer le cercle circonscrit à ce triangle.
– Tracer les médiatrices des côtés , et comme expliqué dans la situation A.
– Trouver le point d’intersection des médiatrices, qui est le centre du cercle circonscrit.
– Placer le compas sur ce point et ajuster l’ouverture jusqu’à l’une des sommets du triangle LOI .
– Tracer le cercle.

Situation C

1. Tracer un triangle SEL tel que $SL\,=\,6\,\%2C\,cm$ , $\angle\,SLE\,=\,35^\circ$ et $\angle\,ESL\,=\,100^\circ$ .
– Utiliser un rapporteur pour mesurer et tracer les angles SLE et ESL .
2. Tracer le cercle circonscrit à ce triangle.
– Tracer les médiatrices des côtés , et comme expliqué dans la situation A.
– Trouver le point d’intersection des médiatrices, qui est le centre du cercle circonscrit.
– Placer le compas sur ce point et ajuster l’ouverture jusqu’à l’une des sommets du triangle SEL .
– Tracer le cercle.

$Fin\,de\,la\,correction.$

Exercice 37 : cercle circonscrit à un triangle
1) Pour construire cette figure en vraie grandeur :

– Tracer un segment de 7 cm.
– Trouver le point médian de , sachant que $BD\,=\,DC\,=\,\frac{BC}{2}\,=\,\frac{7\,\,cm}{2}\,=\,3%2C5\,\,cm$ .
– Tracer la perpendiculaire en au segment .
– En partant de , tracer le segment $AD\,=\,5\,\,cm$ , sur la perpendiculaire précédente.
– Relier les points , , et .

2) Pour construire le cercle circonscrit au triangle ABC :

– Trouver les médiatrices des segments et .
– Les médiatrices des côtés d’un triangle sont toujours concurrentes en un même point, qui est le centre du cercle circonscrit.
– Tracer le cercle de centre passant par les sommets , , et .

3) Pourquoi le centre de ce cercle circonscrit appartient-il à la droite ?

– La droite est la hauteur du triangle ABC issue de .
– Dans un triangle isocèle (ici $AB\,=\,AC$ ), la hauteur issue du sommet principal (ici ) est également la médiane et la bissectrice.
– Étant donné que est la médiane du triangle isocèle ABC , le centre du cercle circonscrit au triangle ABC se trouve à l’intersection de cette médiane (donc de la droite ) et des médiatrices des autres côtés du triangle.
– Le centre du cercle circonscrit est également le milieu vertical de ce triangle isocèle, se trouvant ainsi sur la hauteur/médiane .

Exercice 38 : cercle circonscrit à un triangle
Le point marqué sur la figure ci-dessus est le centre du triangle ABC , que l’on appelle aussi le centre de gravité ou le centroïde du triangle. Pour justifier cette réponse, observons les propriétés de ce point.

1. Les segments , et sont les médianes du triangle ABC .
2. Chaque médiane relie un sommet du triangle au milieu du côté opposé.
3. Le centroïde du triangle divise chaque médiane en deux segments tels que la portion la plus longue est deux fois plus longue que la portion la plus courte.