Variations d’une fonction : cours de maths en 2de à imprimer à télécharger en PDF

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   Les variations d’une fonction ainsi que l’étude et l’exploitation du tableau de variation à travers un cours de maths en 2de. Le comportement d’une fonction définie par sa courbe ainsi que l’étude de la variation des fonctions de référence comme la fonction linéaire, affine, carrée, racine carrée, cube et inverse.

L’élève devra être capable de fournir le domaine de définition puis, étudier ses variation soit par le calcul ou en exploitant sa courbe en seconde.

À retenir : Une fonction est croissante sur un intervalle si, pour \(a < b\) dans cet intervalle, \(f(a) \le f(b)\) ; elle est décroissante si \(f(a) \ge f(b)\). Le tableau de variations résume ces sens avec des flèches. Exemple : la fonction carrée est décroissante sur \(]-\infty ; 0]\) et croissante sur \([0 ; +\infty[\), avec un minimum égal à 0.

I. Rappels et compléments sur les fonctions numériques (variations)

1.Notion de fonction (variations)

Définition :
On définit une fonction sur un ensemble  D\subset \mathbb{R} – variations en associant à chaque réel  x de Dun unique réel noté  f(x).

On note :  f:x\mapsto f(x) – variations

  • x est la variable;
  • f(x) est l’image de x par la fonction f .
  • Si y = f(x), alors x est l’antécédent de y par  f.
  • D est l’ensemble de définition de la fonction, c’est-à-dire l’ensemble des nombres qui ont une image par f.

Exemple :

Fonction définie sur ℝ par son expression littérale :

f(x)=3x^2-4x+6 – variations

Fonction de deux variables :

On appelle  x   et  z la base et la hauteur d’un triangle.

Son aire est donnée par la formule : A(x,z)=\frac{xz}{2} – variations .

Fonction prenant ses valeurs dans ℕ :

On attribue à chaque nombre réel supérieur à 1 le nombre de diviseurs de sa partie entière.

2. Représentation graphique des fonctions

Définition :
La courbe représentative C_f – variations  d’une fonction f (ou représentation graphique) est l’ensemble des points du plan de coordonnées ( x ; y ) tels que :

  • l’abscisse x est une valeur de l’ensemble de définition D;
  • l’ordonnée y est l’image de x par f. On a donc  y = f(x).

Autrement dit  M(x,y)\in\,C_f – variations     si et seulement si x\in\,D – variations  et   y = f(x).

Exemple :

f est la fonction définie sur \mathbb{R} – variations  par f\,(x)=-x^2\,+\,2x – variations .

Tracer sa courbe représentative C_f – variations  après avoir compléter un tableau de valeurs .

Courbe d'une fonction carrée – variations

II. Résolution graphique d’équations :

1. Equation du type  f (x) = k (avec k un nombre réel)

Propriété :
Les solutions de l’équation f(x) = k sont les abscisses des points d’intersection de la courbe C_f – variations et de la droite horizontale d’équation y=k .

Equation du type  f (x) = k – variations

Sur cette courbe représentative de la fonction f,  l’équation  f(x) = k   a pour unique solution le nombre a.

Remarque :

Résoudre l’équation f(x) = g(x), où f et g sont deux fonctions numériques, revient à trouver les coordonnées des points d’intersection de ces deux courbes.

III-Notion de variations sur un intervalle

On considère une fonction f représentée sur l’intervalle [−4 ;6] .

Variations d'une fonction

Définition :
On dit que la fonction est croissante sur un intervalle lorsque les images de deux nombres quelconques de cet intervalle sont toujours dans le même ordre que les nombres de départ. Graphiquement, la courbe « monte ».x\,\leq\,\,y\,\Leftrightarrow\,\,f(x)\,\leq\,\,f(y) – variations

Définition :
On dit que la fonction est décroissante sur un intervalle lorsque les images de deux nombres quelconques de cet intervalle sont toujours dans l’ordre contraire de celui des nombres de départ. Graphiquement, la courbe « descend ».x\,\leq\,\,y\,\Leftrightarrow\,\,f(x)\,\,\geq\,\,f(y) – variations

Tableau de variations :

C’est un tableau où on y résume les variations de la fonction :

Tableau de variation de la fonction f

Vocabulaire :

On appelle « extremum » tout maximum ou minimum de la fonction sur son ensemble de définition.

Exemple :

Tracer une courbe susceptible de représenter la fonction  définie sur [−2 ; 4] telle que :

  • f atteint son maximum sur [−2 ; 4] en 4;
  • Le point (−2 ; 0) est un point de la courbe de f;
  • Un antécédent de 4 est 3 par f;
  • L’image de 1 est −0,5 par f.
  • Le minimum de f sur [−2 ; 4] est −1, atteint en 0;
  • f (4) = 5;
  • f est décroissante sur [−2 ; 0] et croissante sur [3,5 ; 4];
  • 3 a deux antécédents par f qui sont x = 2 et x = 3,5.

Courbe d'une fonction

 

IV. Comportement d’une fonction définie par sa courbe représentative

Dans un plan muni d’un repère orthonormé, on considère une fonction f définie sur l’intervalle [-2;5].

variation courbe fonction

Sur l’intervalle [-2;1], les images sont décroissantes, on dit que la fonction f est décroissante sur [-2;1].

Sur l’intervalle [1;5], les images sont croissantes, on dit que la fonction f est croissante sur [1;5].

Les variations de la fonction f peuvent être synthétisée dans un tableau de variation :

variation courbe fonction

Remarque :

Si une fonction f est constante sur un intervalle [a;b] alors la flèche, dans le tableau de variation, sera horizontale.

V. Tracer la courbe d’une fonction à partir de son tableau de variation

On considère une fonction f définie sur l’intervalle [-4,2] et son tableau de variation ci-dessous :

tableau variation

En exploitant ce tableau de variation, nous pouvons en déduire que :

  • f est décroissante sur l’intervalle [-4;-1];
  • f est croissante sur l’intervalle [-1;0];
  • f est décroissante sur l’intervalle [0;2];

La courbe passe également par les points suivants : A(-4;-1) ; B(-1;-2); C(0;1); D(2;-3).

Cependant, nous disposons pas suffisamment d’informations pour tracer de manière très précise la courbe de cette fonction f mais nous pouvons obtenir un tracé et une allure très proche de la courbe de cette fonction.

Voici deux courbes représentatives possibles pour cette fonction f :

courbe fonction

VI. Exploitation des variations d’une fonction

1.Fonction croissante ou décroissante sur un intervalle

Définition :

Soit f une fonction définie sur un intervalle I. f est strictement croissante sur I équivaut à dire que pour tout a, b de I :

Si a&lt;b     alors f(a)&lt;f(b).

f est strictement décroissante sur I équivaut à dire que pour tout a,b de I :

Si a&lt;b     alors f(a)&gt;f(b)

fonction croissante décroissante

Propriété :

On considère l’intervalle [A;B] avec a et b deux nombres réels tels que a<b.

  • Si f est une fonction croissante sur [a;b] alors pour tout x\in[a;b] ,  f(a)\leq\,f(x)\,\leq\,f(b).
  • Si f est une fonction décroissante sur [a;b] alors pour tout x\in[a;b] ,  f(b)\leq\,f(x)\,\leq\,f(a).

2.Notion d’extremum

Définition :

On considère une fonction f définie sur un intervalle I.

Soient a\in I, b\in I  tels que a<b   et deux points de la courbe tels que  A(a;f(a)) et B(b,f(b)) avec M=f(a) et m=f(b).

  • M est le maximum de la fonction f sur I si et seulement pour tout x\in\,I , f(x)\leq\,M .
  • m est le minimum de la fonction f sur I si et seulement pour tout x\in\,I , f(x)\,\geq\,m .

 

maximum minimum fonction

Exemple :

On considère une fonction f définie sur l’intervalle [-5;3].

tableau variation

En exploitant ce tableau de variation, nous pouvons en déduire que :

  • f est croissante sur l’intervalle [- 5 ; – 2];
  • f est décroissante sur l’intervalle [- 2 ; 0,5];
  • f est croissante sur l’intervalle [0,5 ; 2];
  • f est décroissante sur l’intervalle [2 ; 3];
  • 4 est le maximum de f sur [- 5 ; 3] et il est atteint en x = – 2;
  • – 1 est le minimum de f sur [- 5 ; 3] et il est atteint en x = 0,5;

 

 

Enfin, pour approfondir la notion, tu peux aussi consulter Fonction (mathématiques) (Wikipédia).

Avant de commencer

D’abord, observe bien l’énoncé de chaque exercice avant de te lancer. Puis, rédige ta réponse avec la méthode vue en cours. Ainsi, tu limites les erreurs d’inattention. De plus, pour finir, vérifie ton résultat avec la correction.

Conseils pour progresser

De plus, quelques minutes chaque jour suffisent pour progresser. Par exemple, refais un exercice raté deux ou trois jours plus tard. De même, reformule la règle avec tes propres mots. Enfin, note sur une fiche les pièges que tu rencontres le plus souvent.

Attention à ces erreurs classiques

Souvent, l’erreur vient d’une lecture trop rapide de l’énoncé. Ainsi, une vérification rapide évite bien des erreurs. De plus, un résultat sans unité ou sans phrase de conclusion est souvent pénalisé. Pour finir, la méthode compte autant que le résultat final.

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