Calcul littéral et équations : corrigé du contrôle de maths en 3ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 3ème sur le thème « calcul littéral et équations », question par question.
Ce corrigé rédige les cinq exercices comme on l’attend sur une copie de brevet. Chaque développement est écrit étape par étape, puis réduit. Pour les factorisations, le facteur commun ou l’identité utilisée est nommé avant le calcul.
Quand une équation apparaît, la correction cite la propriété du produit nul, puis conclut par l’ensemble des solutions. Dans le problème de la plaque, une figure montre aussi la solution trouvée. Compare d’abord tes résultats, ensuite lis le barème pour repérer les points de méthode. Enfin, les encadrés « Piège classique » rappellent les erreurs de signes les plus fréquentes, notamment devant une parenthèse.
L’énoncé complet se trouve ici : Calcul littéral et équations : contrôle de maths en 3ème.
Barème du contrôle corrigé : calcul littéral et équations
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Développer et réduire | 3 points |
| 2. Factoriser trois expressions | 4 points |
| 3. Une factorisation au service d’une équation | 4 points |
| 4. Le programme Scratch d’Ilyes | 4 points |
| 5. La plaque de carton | 5 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : calcul littéral et équations
Exercice 1 – Développer et réduire (3 points)
- On distribue 3, puis −4 :
\(A = 6x – 15 – 4x + 4\)
Donc \(A = 2x – 11\). - On utilise la double distributivité :
\(B = 2x^2 – 3x + 8x – 12\)
Ainsi \(B = 2x^2 + 5x – 12\). - On écrit d’abord \(C = (3x – 2)(3x – 2)\), puis on développe :
\(C = 9x^2 – 6x – 6x + 4\)
Par conséquent, \(C = 9x^2 – 12x + 4\).
Piège classique : écrire \((3x – 2)^2 = 9x^2 + 4\). En effet, on oublie alors les deux produits \(-6x\) : un carré de différence ne se calcule jamais terme à terme.
Exercice 2 – Factoriser trois expressions (4 points)
- Le facteur commun est \(5x\), car \(5x^2 = 5x \times x\) et \(15x = 5x \times 3\). Donc \(D = 5x(x – 3)\).
- Le facteur commun est \((2x + 1)\) :
\(E = (2x + 1)\left[(x – 4) + (3x + 2)\right]\)
\(E = (2x + 1)(x – 4 + 3x + 2)\)
Ainsi \(E = (2x + 1)(4x – 2)\). - Comme \(49 = 7^2\), on reconnaît la forme \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\) avec \(a = x\) et \(b = 7\). Alors \(F = (x – 7)(x + 7)\).
Exercice 3 – Une factorisation au service d’une équation (4 points)
- On développe d’abord le carré :
\((x – 3)^2 = x^2 – 6x + 9\)
Puis \(G = x^2 – 6x + 9 – 16\), donc \(G = x^2 – 6x – 7\). - Comme \(16 = 4^2\), \(G\) s’écrit \(a^2 – b^2\) avec \(a = x – 3\) et \(b = 4\) :
\(G = (x – 3 – 4)(x – 3 + 4)\)
Ainsi \(G = (x – 7)(x + 1)\). - Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul :
\(x – 7 = 0\) ou \(x + 1 = 0\)
\(x = 7\) ou \(x = -1\)
L’équation a deux solutions : 7 et −1. - On part de la forme de départ : \((x – 3)^2 – 16 = 9\), donc \((x – 3)^2 = 25\).
Alors \(x – 3 = 5\) ou \(x – 3 = -5\), c’est-à-dire \(x = 8\) ou \(x = -2\).
On vérifie : \(5^2 – 16 = 9\) et \((-5)^2 – 16 = 9\). Les solutions sont 8 et −2.
Piège classique : dans la question d, n’écrire que \(x – 3 = 5\). Pourtant, un nombre et son opposé ont le même carré : il manque alors la solution −2.
Exercice 4 – Le programme Scratch d’Ilyes (4 points)
- Avec 5 : \(a = 2 \times 5 + 1 = 11\) et \(b = 5 – 3 = 2\), donc le lutin dit \(11 \times 2 = 22\). Avec −2 : \(a = 2 \times (-2) + 1 = -3\) et \(b = -2 – 3 = -5\), donc il dit \((-3) \times (-5) = 15\). Le lutin annonce 22, puis 15.
- Avec \(x\), on obtient \(a = 2x + 1\) et \(b = x – 3\). Le résultat vaut donc :
\((2x + 1)(x – 3) = 2x^2 – 6x + x – 3\)
Le résultat est bien \(2x^2 – 5x – 3\). - On résout \((2x + 1)(x – 3) = 0\). D’après la propriété du produit nul :
\(2x + 1 = 0\) ou \(x – 3 = 0\)
\(x = -0{,}5\) ou \(x = 3\)
Il faut choisir −0,5 ou 3. - On utilise cette fois la forme développée : \(2x^2 – 5x – 3 = -3\), donc \(2x^2 – 5x = 0\).
On factorise : \(x(2x – 5) = 0\), alors \(x = 0\) ou \(2x – 5 = 0\), soit \(x = 2{,}5\).
Vérification : avec 0, \(1 \times (-3) = -3\) ; avec 2,5, \(6 \times (-0{,}5) = -3\). Il faut choisir 0 ou 2,5.
Piège classique : diviser les deux membres de \(2x^2 = 5x\) par \(x\). Cependant, cette division est impossible quand \(x = 0\) : on perd ainsi la solution 0.
Exercice 5 – La plaque de carton (5 points)
- La plaque a une aire de \(12 \times 12 = 144\) cm². La bande mesure 12 cm sur 4 cm, donc son aire vaut \(12 \times 4 = 48\) cm². La partie gardée mesure \(144 – 48 = 96\) cm².
- Le rectangle \(AEFD\) a pour côtés \(AD = x\) et \(AE = AB – EB = x – 4\). Son aire vaut donc \(x(x – 4)\). L’aire gardée est \(x^2 – 4x\) cm².
- On résout \(x^2 – 4x = 4x\), c’est-à-dire \(x^2 – 8x = 0\), puis \(x(x – 8) = 0\).
Ainsi \(x = 0\) ou \(x = 8\). Or \(x > 4\), donc on garde seulement \(x = 8\).
Vérification : \(64 – 32 = 32\) et \(4 \times 8 = 32\). Les deux aires sont égales pour un côté de 8 cm. - On développe : \((x – 10)(x + 6) = x^2 + 6x – 10x – 60 = x^2 – 4x – 60\), l’égalité est donc vraie.
L’aire gardée vaut 60 cm² quand \(x^2 – 4x = 60\), soit \(x^2 – 4x – 60 = 0\), c’est-à-dire \((x – 10)(x + 6) = 0\).
Alors \(x = 10\) ou \(x = -6\). Une longueur est positive, donc \(x = 10\). La plaque doit mesurer 10 cm de côté.
Piège classique : donner −6 comme solution du problème. En effet, cette valeur résout bien l’équation, mais un côté ne peut pas être négatif.
À retenir de ce contrôle
- Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chaque terme de la parenthèse quand on la supprime.
- Pour factoriser, on repère d’abord un facteur commun ; sinon, on cherche une différence de deux carrés de la forme a² − b².
- Un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul : on résout alors deux équations du premier degré.
- Pour résoudre une équation, on choisit la forme de l’expression qui fait apparaître un produit égal à 0.
- Dans un problème de géométrie, on vérifie que chaque solution est une longueur possible avant de conclure.
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