Tableau de variations et extremums : corrigé du contrôle de maths en seconde
Voici le corrigé du contrôle de maths en seconde sur le thème « tableau de variations et extremums », question par question.
Ce corrigé détaille la rédaction attendue en seconde quand on travaille sur les variations d’une fonction. Chaque tableau est dessiné, afin que tu puisses le comparer au tien, flèche par flèche. Les phrases sur les extremums indiquent à la fois la valeur et l’abscisse où elle est atteinte.
Pour les comparaisons d’images, la correction cite à chaque fois l’intervalle de monotonie utilisé, car c’est lui qui justifie le sens de l’inégalité. Une courbe possible est proposée pour l’exercice 3, mais d’autres tracés sont acceptés. Enfin, le barème de chaque question et les pièges les plus fréquents t’aident à repérer tes points perdus.
L’énoncé complet se trouve ici : Tableau de variations et extremums : contrôle de maths en seconde.
Barème du contrôle corrigé : tableau de variations et extremums
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Lire les variations sur une courbe | 5 points |
| 2. Exploiter un tableau de variations | 5 points |
| 3. Une courbe compatible avec un tableau | 3 points |
| 4. Comparer sans calculer | 3 points |
| 5. La température de la serre | 4 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : tableau de variations et extremums
Exercice 1 – Lire les variations sur une courbe (5 points)
- La courbe commence au point d’abscisse \(-3\) et s’arrête au point d’abscisse \(5\), tous deux pleins. La fonction \(f\) est définie sur \([-3 \,;\, 5]\).
- En parcourant la courbe de gauche à droite, elle monte de \(f(-3) = 1\) jusqu’à \(f(-1) = 4\), puis descend jusqu’à \(f(2) = -2\), et enfin remonte jusqu’à \(f(5) = 3\). On obtient le tableau de variations ci-dessus.
- Le point le plus haut de la courbe a pour ordonnée 4 et le plus bas a pour ordonnée \(-2\). Sur \([-3 \,;\, 5]\), le maximum de \(f\) vaut 4, atteint en \(x = -1\), et son minimum vaut \(-2\), atteint en \(x = 2\).
- Sur \([2 \,;\, 5]\), la fonction \(f\) est croissante, donc sa plus petite valeur est au début et sa plus grande à la fin. Le minimum vaut \(f(2) = -2\) et le maximum vaut \(f(5) = 3\).
- Sur \([-1 \,;\, 1]\), la courbe descend : par exemple, \(f(-1) = 4\) alors que \(f(1) < 0\). C’est donc faux, car \(f\) est décroissante sur \([-1 \,;\, 2]\).
Piège classique : écrire « le maximum est \(-1\) ». En effet, \(-1\) est l’abscisse où il est atteint, alors que le maximum est l’image 4.
Exercice 2 – Exploiter un tableau de variations (5 points)
- D’après le tableau, \(g\) est strictement décroissante sur \([-4 \,;\, -1]\), strictement croissante sur \([-1 \,;\, 3]\), puis strictement décroissante sur \([3 \,;\, 6]\).
- Les valeurs situées en haut du tableau sont 2 et 5, et celles du bas sont \(-3\) et 0. On retient la plus grande et la plus petite. Le maximum de \(g\) vaut 5, atteint en \(x = 3\), et son minimum vaut \(-3\), atteint en \(x = -1\).
- Les nombres \(-3\) et \(-2\) sont dans \([-4 \,;\, -1]\), où \(g\) est strictement décroissante. Comme \(-3 < -2\), l’ordre est inversé : \(g(-3) > g(-2)\). De même, 4 et 5 sont dans \([3 \,;\, 6]\), où \(g\) est strictement décroissante, et \(4 < 5\), donc \(g(4) > g(5)\).
- Le minimum de \(g\) sur \([-4 \,;\, 6]\) est \(-3\) et son maximum est 5. Ainsi, toutes les images sont comprises entre ces deux valeurs. Pour tout \(x\) de \([-4 \,;\, 6]\), on a bien \(-3 \leq g(x) \leq 5\).
- On étudie chaque intervalle. Sur \([-4 \,;\, -1]\), les images vont de 2 à \(-3\), donc 4 n’est pas atteint. Sur \([-1 \,;\, 3]\), \(g\) croît strictement de \(-3\) à 5, et \(4\) est entre ces valeurs : il y a une seule solution. Sur \([3 \,;\, 6]\), \(g\) décroît strictement de 5 à 0 : il y a encore une solution. L’équation \(g(x) = 4\) a exactement deux solutions.
Piège classique : conclure \(g(-3) < g(-2)\) parce que \(-3 < -2\). Pourtant, sur un intervalle où la fonction décroît, l’ordre des images est inversé.
Exercice 3 – Une courbe compatible avec un tableau (3 points)
- La courbe doit passer par les points \((0 \,;\, -1)\), \((3 \,;\, 4)\), \((6 \,;\, 0)\) et \((8 \,;\, -2)\). Elle monte de 0 à 3, puis descend de 3 à 8. La courbe ci-dessus convient, mais tout tracé qui respecte ces contraintes est accepté.
- Sur \([0 \,;\, 3]\), \(h\) croît strictement de \(-1\) à 4 : elle prend donc la valeur 0 une seule fois. Sur \([3 \,;\, 8]\), \(h\) décroît strictement de 4 à \(-2\) : elle s’annule encore une seule fois, en \(x = 6\). L’équation \(h(x) = 0\) a deux solutions sur \([0 \,;\, 8]\).
- Les nombres 6 et 7 sont dans \([3 \,;\, 8]\), où \(h\) est strictement décroissante. Or \(6 < 7\), donc \(h(7) < h(6) = 0\). Le nombre \(h(7)\) est strictement négatif.
Exercice 4 – Comparer sans calculer (3 points)
- À la calculatrice, \(\sqrt{5} \approx 2{,}236\), donc \(\sqrt{5} < 2{,}3\). Ces deux nombres sont dans \([1 \,;\, 10]\), où \(p\) est strictement croissante, alors l’ordre est conservé. On a \(p(\sqrt{5}) < p(2{,}3)\).
- Si \(1 \leq x < 4\), alors \(p(x) < p(4) = 0\), car \(p\) est strictement croissante. De même, si \(4 < x \leq 10\), alors \(p(x) > 0\). La fonction \(p\) est négative sur \([1 \,;\, 4[\), nulle en 4 et positive sur \(]4 \,;\, 10]\).
- Pour \(1 \leq x \leq 10\), la croissance de \(p\) donne \(p(1) \leq p(x) \leq p(10)\). Donc \(-6 \leq p(x) \leq 12\). Ensuite, pour \(4 \leq x \leq 10\), on obtient \(p(4) \leq p(x) \leq p(10)\). Ainsi, \(0 \leq p(x) \leq 12\).
Exercice 5 – La température de la serre (4 points)
- On place les heures 0, 6, 15 et 24 sur la première ligne, puis les températures correspondantes. La fonction décroît de 0 à 6, croît de 6 à 15, puis décroît de 15 à 24. On obtient le tableau ci-dessus.
- La plus haute valeur du tableau est 29 et la plus basse est 8. La température maximale est 29 °C, atteinte à 15 h, et la minimale est 8 °C, atteinte à 6 h.
- Sur \([0 \,;\, 6]\), la température reste entre 8 et 14 °C, donc elle n’atteint pas 27 °C. Sur \([6 \,;\, 15]\), elle monte strictement de 8 à 29 °C : elle passe une fois par 27 °C. Sur \([15 \,;\, 24]\), elle descend strictement de 29 à 12 °C : elle y repasse une fois. La température vaut 27 °C deux fois, et les plantes ont souffert entre ces deux instants, car le maximum de 29 °C dépasse 27 °C.
- Les heures 20 et 22 sont dans \([15 \,;\, 24]\), où \(T\) est décroissante. Comme \(20 < 22\), on a \(T(20) > T(22)\). Mathis a raison.
Piège classique : oublier les températures des bornes 0 h et 24 h dans le tableau. Or elles sont indispensables, notamment pour chercher le minimum.
À retenir de ce contrôle
- Une fonction est croissante sur un intervalle quand les images sont rangées dans le même ordre que les antécédents.
- Si f est strictement décroissante sur un intervalle, alors deux nombres de cet intervalle ont des images rangées dans l’ordre contraire.
- Le maximum d’une fonction sur un intervalle est une valeur de f(x) : il faut toujours préciser pour quel x il est atteint.
- Pour compter les solutions de f(x) = k, on étudie chaque intervalle du tableau où f est monotone et on regarde si k est atteint.
- On ne peut comparer deux images avec le sens de variation que si les deux nombres sont dans un même intervalle de monotonie.
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Consolider tableau de variations et extremums après ce corrigé
Pour ne plus perdre de points sur ce thème, relis la leçon variations d’une fonction puis fonction linéaire et affine.
D’autres évaluations corrigées t’attendent sur la page contrôles de maths en seconde.
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