Limites de fonctions et asymptotes : contrôle de maths en terminale
Voici un contrôle de maths en terminale sur le thème « limites de fonctions et asymptotes », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce sujet évalue le calcul des limites de fonctions, du plus direct au plus subtil. Tu commenceras par des limites obtenues par simples opérations, puis tu lèveras des formes indéterminées en factorisant ou en multipliant par la quantité conjuguée. Ensuite, tu utiliseras les croissances comparées de l’exponentielle et des puissances.
Enfin, deux exercices font le lien avec le graphique : associer des courbes à des fonctions, puis étudier les asymptotes d’une fonction qui modélise l’image donnée par une loupe. Ce contrôle se place juste après le chapitre sur les limites, avant la continuité et le logarithme.
Ce qu’évalue le contrôle : limites de fonctions et asymptotes
L’essentiel du sujet
- Niveauterminale
- Durée1 heure 30
- Calculatriceautorisée
- Barèmesur 20
Chapitre : Limites de fonctions et continuité (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Calculer des limites de sommes, produits et quotients de fonctions en l’infini et en un réel
- Lever une forme indéterminée par factorisation du terme dominant ou par la quantité conjuguée
- Utiliser les croissances comparées de l’exponentielle et des puissances ainsi que les limites de fonctions composées
- Interpréter une limite finie ou infinie en termes d’asymptote horizontale ou verticale
- Étudier la position d’une courbe par rapport à son asymptote dans un contexte concret
Avant de commencer le devoir
Pour chaque limite, écris d’abord la limite de chaque morceau avant de conclure : tu repères ainsi tout de suite si tu tombes sur une forme indéterminée. Dans ce cas, factorise par le terme dominant, car c’est lui qui impose le comportement. En un réel où le dénominateur s’annule, étudie son signe à gauche et à droite. Enfin, traduis chaque limite en phrase sur l’asymptote, puis vérifie qu’elle est cohérente avec la figure.
Le sujet du contrôle : limites de fonctions et asymptotes
Exercice 1 – Limites par opérations (3 points)
Détermine les limites suivantes en citant, à chaque fois, la limite de chaque morceau de l’expression. Aucune n’est une forme indéterminée.
- \(\lim_{x \to +\infty} \left(x^2 + \mathrm{e}^x\right)\)
- \(\lim_{x \to -\infty} \left(\mathrm{e}^x – 3 + \frac{1}{x}\right)\)
- La limite de \(2 + \frac{1}{x}\) quand \(x\) tend vers 0 par valeurs positives, puis par valeurs négatives.
- \(\lim_{x \to +\infty} (1 – x)\left(\mathrm{e}^x + 2\right)\)
Exercice 2 – Lever une indétermination (4 points)
Chacune des limites suivantes conduit d’abord à une forme indéterminée. Indique laquelle, puis lève-la par une transformation d’écriture.
- \(\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 – 3x + 1}{x^2 + 5}\)
- \(\lim_{x \to -\infty} \left(x^3 + 4x^2 – 7\right)\)
- \(\lim_{x \to 3} \frac{x^2 – 9}{x – 3}\)
- \(\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x + 4} – \sqrt{x}\right)\), en multipliant d’abord par la quantité conjuguée.
Exercice 3 – Croissances comparées et composées (4 points)
Calcule les limites suivantes, puis justifie chaque étape.
- \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\mathrm{e}^x}{x^3}\)
- \(\lim_{x \to -\infty} x^2\,\mathrm{e}^x\)
- \(\lim_{x \to +\infty} \left(x – \mathrm{e}^x\right)\), en factorisant par \(\mathrm{e}^x\).
- \(\lim_{x \to +\infty} \mathrm{e}^{\frac{1 – 2x}{x + 3}}\)
- \(\lim_{x \to +\infty} \frac{3\mathrm{e}^x + x}{\mathrm{e}^x + 1}\)
Exercice 4 – Quatre courbes à identifier (3 points)
On considère les quatre fonctions suivantes :
- \(f(x) = 1 + \mathrm{e}^{-x}\) sur \(\mathbb{R}\) ;
- \(g(x) = x\,\mathrm{e}^x\) sur \(\mathbb{R}\) ;
- \(h(x) = 2 – \frac{1}{x^2}\) sur \(\left]-\infty ; 0\right[ \cup \left]0 ; +\infty\right[\) ;
- \(k(x) = \frac{3\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x + 1}\) sur \(\mathbb{R}\).
Leurs courbes représentatives sont tracées ci-dessous, mais dans le désordre.
- Calcule les limites de \(f\), \(g\) et \(k\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\), ainsi que celles de \(h\) en \(-\infty\), en \(+\infty\) et en 0.
- Associe alors chaque courbe à sa fonction, en justifiant par les asymptotes.
Exercice 5 – L’image formée par une loupe (6 points)
Inès étudie en physique une loupe, c’est-à-dire une lentille convergente de distance focale \(5\text{ cm}\). Quand elle place un objet à une distance \(x\) de la lentille, avec \(x > 5\) (en cm), l’image nette se forme à une distance \(d(x)\) de l’autre côté, donnée par :
\[d(x) = \frac{5x}{x – 5}\]
- Calcule la limite de \(d(x)\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\). Donne ensuite l’équation de l’asymptote correspondante, puis interprète ce résultat pour un objet très éloigné.
- Calcule la limite de \(d(x)\) quand \(x\) tend vers 5 par valeurs supérieures. Quelle asymptote en déduis-tu ? Que devient l’image quand l’objet s’approche du foyer ?
- Montre que, pour tout \(x > 5\), \(d(x) = 5 + \frac{25}{x – 5}\). Déduis-en la position de la courbe par rapport à son asymptote horizontale.
- L’écran d’Inès ne peut pas être placé à plus de \(30\text{ cm}\) de la lentille. À quelle distance minimale doit-elle donc placer l’objet pour obtenir une image nette sur l’écran ?
Réviser limites de fonctions et asymptotes avant le contrôle
Si un exercice t’a bloqué, relis la leçon limites de suites et de fonctions et continuité ; entraîne-toi sur la fiche limites de fonctions et la continuité et fonction exponentielle avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en terminale regroupe les 25 sujets de l’année, et la rubrique contrôles corrigés du CP à la terminale permet de changer de niveau.
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