Limites de fonctions et asymptotes : corrigé du contrôle de maths en terminale
Voici le corrigé du contrôle de maths en terminale sur le thème « limites de fonctions et asymptotes », question par question.
Dans cette correction, chaque limite est rédigée comme au bac : on donne d’abord la limite de chaque morceau, puis la règle d’opération ou la transformation qui permet de conclure. Pour les formes indéterminées, la factorisation est écrite en entier, car c’est elle qui rapporte les points de méthode.
De plus, chaque résultat est traduit en asymptote avec son équation. Pour l’exercice 5, la figure complétée montre aussi la solution de l’inéquation. Relis donc tes copies en comparant les étapes, pas seulement les résultats ; ensuite, repère dans le barème les points perdus et note les erreurs fréquentes signalées.
L’énoncé complet se trouve ici : Limites de fonctions et asymptotes : contrôle de maths en terminale.
Barème du contrôle corrigé : limites de fonctions et asymptotes
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Limites par opérations | 3 points |
| 2. Lever une indétermination | 4 points |
| 3. Croissances comparées et composées | 4 points |
| 4. Quatre courbes à identifier | 3 points |
| 5. L’image formée par une loupe | 6 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : limites de fonctions et asymptotes
Exercice 1 – Limites par opérations (3 points)
- \(\lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty\) et \(\lim_{x \to +\infty} \mathrm{e}^x = +\infty\). Par somme, \(\lim_{x \to +\infty} \left(x^2 + \mathrm{e}^x\right) = +\infty\).
- \(\lim_{x \to -\infty} \mathrm{e}^x = 0\) et \(\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0\). Par somme, on obtient donc \(\lim_{x \to -\infty} \left(\mathrm{e}^x – 3 + \frac{1}{x}\right) = -3\).
- Quand \(x\) tend vers 0 avec \(x > 0\), \(\frac{1}{x}\) tend vers \(+\infty\) ; ainsi, \(2 + \frac{1}{x}\) tend vers \(+\infty\).
En revanche, quand \(x\) tend vers 0 avec \(x < 0\), \(\frac{1}{x}\) tend vers \(-\infty\), donc \(2 + \frac{1}{x}\) tend vers \(-\infty\). - \(\lim_{x \to +\infty} (1 – x) = -\infty\) et \(\lim_{x \to +\infty} \left(\mathrm{e}^x + 2\right) = +\infty\). Par produit, \(\lim_{x \to +\infty} (1 – x)\left(\mathrm{e}^x + 2\right) = -\infty\).
Exercice 2 – Lever une indétermination (4 points)
- Le numérateur et le dénominateur tendent vers \(+\infty\) : c’est une forme « infini sur infini ». On factorise donc par \(x^2\) pour \(x \neq 0\) :
\(\frac{2x^2 – 3x + 1}{x^2 + 5} = \frac{x^2\left(2 – \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(1 + \frac{5}{x^2}\right)} = \frac{2 – \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{5}{x^2}}\)
Les termes en \(\frac{1}{x}\) et \(\frac{1}{x^2}\) tendent vers 0, donc la limite vaut \(\frac{2}{1} = 2\). - En \(-\infty\), \(x^3\) tend vers \(-\infty\) alors que \(4x^2\) tend vers \(+\infty\) : c’est une forme « infini moins infini ». On factorise donc par le terme dominant, pour \(x \neq 0\) :
\(x^3 + 4x^2 – 7 = x^3\left(1 + \frac{4}{x} – \frac{7}{x^3}\right)\)
La parenthèse tend vers 1 et \(x^3\) tend vers \(-\infty\). Par produit, \(\lim_{x \to -\infty} \left(x^3 + 4x^2 – 7\right) = -\infty\). - Le numérateur et le dénominateur tendent vers 0 : c’est une forme « zéro sur zéro ». Pour \(x \neq 3\) :
\(\frac{x^2 – 9}{x – 3} = \frac{(x – 3)(x + 3)}{x – 3} = x + 3\)
Ainsi, \(\lim_{x \to 3} \frac{x^2 – 9}{x – 3} = 3 + 3 = 6\). - On obtient d’abord une forme « infini moins infini ». Pour \(x \geq 0\), on multiplie par la quantité conjuguée :
\(\sqrt{x + 4} – \sqrt{x} = \frac{\left(\sqrt{x + 4} – \sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x + 4} + \sqrt{x}\right)}{\sqrt{x + 4} + \sqrt{x}} = \frac{(x + 4) – x}{\sqrt{x + 4} + \sqrt{x}} = \frac{4}{\sqrt{x + 4} + \sqrt{x}}\)
Le dénominateur tend vers \(+\infty\), donc \(\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x + 4} – \sqrt{x}\right) = 0\).
Piège classique : conclure « \(+\infty – \infty = 0\) » à la question d ; la forme est indéterminée, et seule la transformation permet de conclure.
Exercice 3 – Croissances comparées et composées (4 points)
- Par croissances comparées, \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\mathrm{e}^x}{x^3} = +\infty\).
- Par croissances comparées aussi, \(\lim_{x \to -\infty} x^2\,\mathrm{e}^x = 0\).
- C’est une forme « infini moins infini ». Pour tout réel \(x\), \(x – \mathrm{e}^x = \mathrm{e}^x\left(\frac{x}{\mathrm{e}^x} – 1\right)\).
Par croissances comparées, \(\frac{x}{\mathrm{e}^x}\) tend vers 0, donc la parenthèse tend vers \(-1\). Comme \(\mathrm{e}^x\) tend vers \(+\infty\), par produit, \(\lim_{x \to +\infty} \left(x – \mathrm{e}^x\right) = -\infty\). - D’abord, pour \(x > 0\), \(\frac{1 – 2x}{x + 3} = \frac{\frac{1}{x} – 2}{1 + \frac{3}{x}}\), qui tend vers \(-2\).
Ensuite, \(\lim_{X \to -2} \mathrm{e}^X = \mathrm{e}^{-2}\). Par composition, \(\lim_{x \to +\infty} \mathrm{e}^{\frac{1 – 2x}{x + 3}} = \mathrm{e}^{-2} \approx 0{,}135\). - C’est une forme « infini sur infini ». On factorise par \(\mathrm{e}^x\) :
\(\frac{3\mathrm{e}^x + x}{\mathrm{e}^x + 1} = \frac{3 + \frac{x}{\mathrm{e}^x}}{1 + \mathrm{e}^{-x}}\)
Or \(\frac{x}{\mathrm{e}^x}\) tend vers 0 par croissances comparées et \(\mathrm{e}^{-x}\) tend vers 0. Donc la limite vaut \(\frac{3}{1} = 3\).
Exercice 4 – Quatre courbes à identifier (3 points)
- Pour \(f\) : en \(+\infty\), \(\mathrm{e}^{-x}\) tend vers 0, donc \(f\) tend vers 1 ; en \(-\infty\), \(\mathrm{e}^{-x}\) tend vers \(+\infty\), donc \(f\) tend vers \(+\infty\).
Pour \(g\) : en \(+\infty\), par produit, \(g\) tend vers \(+\infty\) ; en \(-\infty\), \(g\) tend vers 0 par croissances comparées.
Pour \(h\) : en \(\pm\infty\), \(\frac{1}{x^2}\) tend vers 0, donc \(h\) tend vers 2. De plus, en 0, \(\frac{1}{x^2}\) tend vers \(+\infty\), donc \(h\) tend vers \(-\infty\).
Pour \(k\) : en \(-\infty\), le numérateur tend vers 0 et le dénominateur vers 1, donc \(k\) tend vers 0. Enfin, en \(+\infty\), on écrit \(k(x) = \frac{3}{1 + \mathrm{e}^{-x}}\), qui tend vers 3.
Limites : \(f\) : \(+\infty\) et 1 ; \(g\) : 0 et \(+\infty\) ; \(h\) : 2, 2 et \(-\infty\) en 0 ; \(k\) : 0 et 3. - Seule \(h\) admet une asymptote verticale (l’axe des ordonnées), avec \(y = 2\) comme asymptote horizontale : c’est \(C_3\).
Seule \(k\) admet deux asymptotes horizontales, \(y = 0\) en \(-\infty\) et \(y = 3\) en \(+\infty\) : c’est \(C_1\).
Ensuite, \(f\) tend vers 1 en \(+\infty\) et « explose » en \(-\infty\) : c’est \(C_2\).
Enfin, \(g\) s’approche de l’axe des abscisses en \(-\infty\) et tend vers \(+\infty\) en \(+\infty\) : c’est \(C_4\).
\(C_1\) représente \(k\), \(C_2\) représente \(f\), \(C_3\) représente \(h\) et \(C_4\) représente \(g\).
Exercice 5 – L’image formée par une loupe (6 points)
- On obtient une forme « infini sur infini ». Pour \(x > 5\), on factorise par \(x\) :
\(d(x) = \frac{5x}{x\left(1 – \frac{5}{x}\right)} = \frac{5}{1 – \frac{5}{x}}\)
Comme \(\frac{5}{x}\) tend vers 0, \(d(x)\) tend vers \(\frac{5}{1} = 5\). La droite d’équation \(y = 5\) est donc asymptote horizontale à la courbe en \(+\infty\).
\(\lim_{x \to +\infty} d(x) = 5\) : pour un objet très éloigné, l’image se forme à environ 5 cm, c’est-à-dire presque au foyer. - Quand \(x\) tend vers 5 avec \(x > 5\), le numérateur \(5x\) tend vers 25. Le dénominateur \(x – 5\) tend vers 0 en restant positif.
Par quotient, \(d(x)\) tend vers \(+\infty\). La droite d’équation \(x = 5\) est donc asymptote verticale à la courbe.
\(\lim_{x \to 5,\, x > 5} d(x) = +\infty\) : quand l’objet s’approche du foyer, l’image s’éloigne indéfiniment. - Pour tout \(x > 5\) :
\(5 + \frac{25}{x – 5} = \frac{5(x – 5) + 25}{x – 5} = \frac{5x – 25 + 25}{x – 5} = \frac{5x}{x – 5} = d(x)\)
Ainsi, \(d(x) – 5 = \frac{25}{x – 5}\). Or \(x – 5 > 0\), donc \(d(x) – 5 > 0\).
La courbe de \(d\) est toujours au-dessus de son asymptote d’équation \(y = 5\). - On cherche les \(x > 5\) tels que \(d(x) \leq 30\) :
\(5 + \frac{25}{x – 5} \leq 30\) équivaut à \(\frac{25}{x – 5} \leq 25\).
Comme \(x – 5 > 0\), on peut multiplier par \(x – 5\) sans changer le sens : \(25 \leq 25(x – 5)\), donc \(x – 5 \geq 1\), soit \(x \geq 6\).
Vérification : \(d(6) = \frac{30}{1} = 30\).
Inès doit placer l’objet à au moins 6 cm de la lentille.
Piège classique : multiplier une inéquation par \(x – 5\) sans vérifier son signe ; ici il est positif, ce qui justifie de garder le sens de l’inégalité.
À retenir de ce contrôle
- Les formes indéterminées sont « infini moins infini », « zéro fois infini », « infini sur infini » et « zéro sur zéro » : il faut alors transformer l’écriture.
- En l’infini, un polynôme ou un quotient de polynômes se comporte comme ses termes de plus haut degré, qu’on met en facteur.
- Par croissances comparées, l’exponentielle l’emporte sur toute puissance de x : e^x / x^n tend vers +∞ et x^n e^x tend vers 0 en −∞.
- Si f tend vers un réel ℓ en l’infini, la droite d’équation y = ℓ est asymptote ; si f tend vers l’infini en a, la droite x = a est asymptote.
- Le signe de f(x) − ℓ donne la position de la courbe par rapport à son asymptote horizontale.
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