Primitives et calcul intégral : contrôle de maths en terminale
Voici un contrôle de maths en terminale sur le thème « primitives et calcul intégral », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce devoir bilan réunit deux chapitres de fin d’année : les primitives avec les équations différentielles, puis le calcul intégral. Tu commenceras par des primitives de référence et une première intégrale. Ensuite, tu résoudras une équation du type \(y^{\prime} = ay + b\) avant de pratiquer l’intégration par parties.
Les deux derniers exercices donnent du sens aux intégrales : d’abord l’aire d’un domaine limité par une hyperbole et une droite, puis la distance parcourue par un parachutiste, calculée à partir de sa vitesse. Fais ce contrôle au printemps, en révision de l’épreuve de spécialité, quand ces deux chapitres sont terminés.
Ce qu’évalue le contrôle : primitives et calcul intégral
L’essentiel du sujet
- Niveauterminale
- Durée2 heures
- Calculatriceautorisée
- Barèmesur 20
Chapitres : Primitives et équations différentielles et Calcul intégral (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Déterminer des primitives des fonctions usuelles et des formes \(u’\mathrm{e}^u\), \(\dfrac{u’}{u}\) et \(\dfrac{u’}{u^2}\)
- Résoudre une équation différentielle y’ = ay + b avec une condition initiale et étudier sa solution
- Calculer une intégrale à l’aide d’une primitive ou d’une intégration par parties
- Calculer l’aire d’un domaine compris entre deux courbes et la valeur moyenne d’une fonction
- Interpréter une intégrale de vitesse comme une distance parcourue
Avant de commencer le devoir
Pour chaque primitive, dérive ton résultat au brouillon : c’est la vérification la plus rapide. Dans une intégration par parties, choisis pour \(u\) le facteur qui se simplifie en le dérivant, comme \(x\) ou \(\ln x\). Pour une aire, étudie d’abord la position relative des courbes, car l’intégrale doit porter sur une fonction positive. Enfin, garde les unités du problème jusqu’à la phrase-réponse.
Le sujet du contrôle : primitives et calcul intégral
Exercice 1 – Primitives et première intégrale (3 points)
Dans les questions 1 à 3, détermine une primitive de chaque fonction sur l’intervalle indiqué, puis vérifie-la en la dérivant.
- \(f(x) = 3x^2 – 4x + \dfrac{1}{x}\) sur \(]0\,;+\infty[\).
- \(g(x) = 2x\,\mathrm{e}^{x^2}\) sur \(\mathbb{R}\).
- \(h(x) = \dfrac{6x}{\left(x^2 + 1\right)^2}\) sur \(\mathbb{R}\).
- Calcule ensuite la valeur exacte de \(I = \int_0^1 \left(2x + \mathrm{e}^x\right)\mathrm{d}x\).
Exercice 2 – Une équation différentielle (3 points)
On considère l’équation différentielle \((E) : y^{\prime} = -2y + 6\), où \(y\) est une fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\).
- Détermine d’abord la solution constante de \((E)\).
- Donne alors l’ensemble des solutions de \((E)\).
- Trouve ensuite la solution \(f\) de \((E)\) qui vérifie \(f(0) = 1\).
- Étudie le sens de variation de \(f\) sur \([0\,;+\infty[\), puis sa limite en \(+\infty\).
Exercice 3 – Deux intégrations par parties (4 points)
Précise à chaque fois les fonctions \(u\) et \(v\) choisies, car leur choix fait partie de la réponse.
- Calcule \(J = \int_0^1 x\,\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x\).
- Montre que \(K = \int_1^{\mathrm{e}} \ln x\,\mathrm{d}x = 1\), en écrivant \(\ln x = 1 \times \ln x\).
- Déduis-en la valeur moyenne de la fonction \(\ln\) sur \([1\,;\mathrm{e}]\), exacte puis arrondie au centième.
Exercice 4 – L’aire entre une hyperbole et une droite (4 points)
Dans un repère orthonormé d’unité graphique 2 cm, on a tracé la courbe \(\mathcal{C}_f\) de la fonction \(f(x) = \dfrac{1}{x}\) sur \(]0\,;+\infty[\) et la droite \(\mathcal{D}\) d’équation \(y = \dfrac{5 – x}{4}\). Elles se coupent en \(A\) et \(B\). On cherche l’aire \(\mathcal{A}\) du domaine hachuré.
- Résous l’équation \(\dfrac{1}{x} = \dfrac{5 – x}{4}\) sur \(]0\,;+\infty[\), puis donne les coordonnées de \(A\) et de \(B\).
- Vérifie que, pour \(x > 0\), \(\dfrac{5 – x}{4} – \dfrac{1}{x} = \dfrac{-(x – 1)(x – 4)}{4x}\). Déduis-en la position de \(\mathcal{D}\) par rapport à \(\mathcal{C}_f\) sur \([1\,;4]\).
- Calcule la valeur exacte de \(\mathcal{A}\) en unités d’aire.
- Convertis enfin cette aire en \(\text{cm}^2\), arrondie au centième.
Exercice 5 – La descente d’un parachutiste (6 points)
Une parachutiste ouvre sa voile à l’instant \(t = 0\), alors qu’elle descend à 50 m/s. Ensuite, sa vitesse \(v(t)\), en m/s, vérifie l’équation différentielle \(v^{\prime}(t) = -0{,}5\,v(t) + 5\), où \(t\) est en secondes. On admet que, pour tout \(t \geq 0\) :
\[v(t) = 10 + 40\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}\]
- Vérifie que \(v\) est bien solution de l’équation différentielle et que \(v(0) = 50\).
- Étudie les variations de \(v\) et sa limite en \(+\infty\). Quelle est la vitesse limite de la parachutiste ?
- À partir de quel instant sa vitesse devient-elle inférieure à 12 m/s ? Donne la valeur exacte, puis un arrondi au dixième de seconde.
- La distance parcourue entre les instants 0 et 10 est \(d = \int_0^{10} v(t)\,\mathrm{d}t\). Détermine une primitive de \(v\), puis calcule \(d\) au décimètre près.
- Déduis-en sa vitesse moyenne sur les dix premières secondes, puis compare-la à la moyenne de \(v(0)\) et \(v(10)\).
Réviser primitives et calcul intégral avant le contrôle
Si un exercice t’a bloqué, relis la leçon intégrale ; entraîne-toi sur la fiche les intégrales avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en terminale regroupe les 25 sujets de l’année, et la rubrique contrôles corrigés du CP à la terminale permet de changer de niveau.
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