Suites itératives et point fixe en maths sup (MPSI) : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Intervalle stable d’une homographie

On pose \(f(x) = \dfrac{3x + 2}{x + 2}\) pour \(x > -2\), puis \(u_0 = 0\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\).

1. Étudier les variations de \(f\) sur \([0, +\infty[\) et montrer que \(f([0, +\infty[) \subset [1, 3[\).
2. Ensuite, déterminer les points fixes de \(f\).
3. Montrer que \([0, 2]\) est stable par \(f\). En déduire que \(u_n \in [0, 2]\) pour tout \(n\).
4. Enfin, étudier le signe de \(f(x) – x\) sur \([0, 2]\). En déduire que \((u_n)\) converge et donner sa limite.

Exercice 2 – Suite définie par une racine carrée

On pose \(f(x) = \sqrt{4x + 5}\) pour \(x \geqslant -\dfrac{5}{4}\), et \(u_{n+1} = f(u_n)\).

1. D’abord, déterminer les points fixes de \(f\).
2. On suppose ensuite \(u_0 = 1\). Montrer que \([0, 5]\) est stable, que \((u_n)\) est croissante, puis déterminer sa limite.
3. On suppose enfin \(u_0 = 11\). Montrer que \([5, +\infty[\) est stable, que \((u_n)\) est décroissante, puis déterminer sa limite.

Exercice 3 – Escalier ou escargot sur deux droites

On considère \(f_1(x) = \dfrac{x}{2} + 1\) et \(f_2(x) = 3 – \dfrac{x}{2}\). On définit \(u_0 = v_0 = 0\), \(u_{n+1} = f_1(u_n)\) et \(v_{n+1} = f_2(v_n)\). La figure ci-dessous représente les deux droites et la bissectrice.

1. D’abord, calculer \(u_1, u_2, u_3, u_4\) et \(v_1, v_2, v_3, v_4\).
2. Reproduire la figure et y construire les premiers termes des deux suites. Laquelle donne un escalier, laquelle un escargot ? Justifier ensuite par la monotonie de \(f_1\) et de \(f_2\).
3. Montrer que \(u_n = 2 – 2 \cdot 2^{-n}\) et \(v_n = 2 – 2\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\). Enfin, comparer les deux convergences.

Exercice 4 – Une suite sans point fixe

On pose \(f(x) = x + \mathrm{e}^{-x}\) sur \(\mathbb{R}\), on choisit \(u_0 \in \mathbb{R}\) et on pose \(u_{n+1} = f(u_n)\).

1. D’abord, montrer que \((u_n)\) est strictement croissante.
2. Montrer ensuite que \(f\) n’a aucun point fixe.
3. Par conséquent, déterminer la limite de \((u_n)\).
4. Vérifier que \(f\) n’est pas monotone sur \(\mathbb{R}\). Expliquer cependant pourquoi cela ne gêne pas le raisonnement.

Exercice 5 – Contraction par l’arctangente

On pose \(f(x) = 2 + \dfrac{1}{3}\arctan x\), \(u_0 = 2\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\). On note \(J = \left[2 – \dfrac{\pi}{6}, 2 + \dfrac{\pi}{6}\right]\).

1. Montrer que \(f(\mathbb{R}) \subset J\). En déduire que \(J\) est stable.
2. Montrer de plus que \(f\) est \(\dfrac{1}{3}\)-lipschitzienne sur \(\mathbb{R}\).
3. Ainsi, montrer que \(f\) admet un unique point fixe \(\ell\) et que \(|u_n – \ell| \leqslant \dfrac{\pi}{6} \cdot 3^{-n}\).
4. Enfin, déterminer un rang \(n\) qui garantit \(|u_n – \ell| \leqslant 10^{-4}\).

Pour s’entraîner

Exercice 6 – Fonction décroissante et suites extraites

On pose \(f(x) = \dfrac{6}{1 + x}\) pour \(x \geqslant 0\), \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\).

1. Montrer que \(f\) est décroissante et que \([1, 3]\) est stable par \(f\).
2. Ensuite, calculer \(f \circ f\) et déterminer ses points fixes.
3. Montrer que \((u_{2n})\) est croissante et que \((u_{2n+1})\) est, en revanche, décroissante.
4. Par conséquent, montrer que \((u_n)\) converge et donner sa limite.
5. Montrer que \(f\) n’est pas contractante sur \([1, 3]\), mais qu’elle l’est sur \(\left[\dfrac{3}{2}, 3\right]\). Retrouver ainsi la convergence.

Exercice 7 – Un cycle d’ordre 2

On pose \(f(x) = 1 – x^2\) sur \([0, 1]\), \(u_0 = \dfrac{1}{2}\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\). On note \(\ell = \dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2} \approx 0{,}618\).

1. Montrer que \([0, 1]\) est stable, que \(f\) y est décroissante et que \(\ell\) est son unique point fixe dans \([0, 1]\).
2. Vérifier ensuite que \((f \circ f)(x) – x = -x(x – 1)(x^2 + x – 1)\).
3. Montrer que \([0, \ell]\) est stable par \(f \circ f\), puis que \((u_{2n})\) décroît et tend vers \(0\).
4. En déduire la limite de \((u_{2n+1})\). La suite \((u_n)\) converge-t-elle ?
5. Enfin, calculer \(f^{\prime}(\ell)\) et interpréter le résultat.

Exercice 8 – Point fixe attractif et point fixe répulsif

On pose \(f(x) = \dfrac{x^2 + 8}{6}\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\).

1. Déterminer les points fixes de \(f\) et la valeur de \(f^{\prime}\) en chacun d’eux.
2. On suppose \(u_0 \in [0, 4[\). Montrer que \((u_n)\) converge vers \(2\). On distinguera \(u_0 \leqslant 2\) et \(u_0 > 2\).
3. Étudier les cas \(u_0 = 4\) et \(u_0 > 4\).
4. Que se passe-t-il si \(u_0 < 0\) ?
5. On suppose \(u_0 = 3\). Montrer que \(|u_{n+1} – 2| \leqslant \dfrac{5}{6}\,|u_n – 2|\), puis que \(\dfrac{u_{n+1} – 2}{u_n – 2} \to \dfrac{2}{3}\). Donner un rang à partir duquel \(|u_n – 2| \leqslant 10^{-3}\).

Exercice 9 – Méthode de Newton pour la racine carrée de 11

On applique la méthode de Newton à \(h(x) = x^2 – 11\) en partant de \(x_0 = 4\). On note \(\alpha = \sqrt{11}\).

1. Montrer que \(x_{n+1} = \dfrac{1}{2}\left(x_n + \dfrac{11}{x_n}\right)\).
2. Montrer que \(x_{n+1} – \alpha = \dfrac{(x_n – \alpha)^2}{2x_n}\).
3. En déduire que \(x_n \geqslant \alpha\) pour tout \(n\), que \((x_n)\) décroît et qu’elle converge vers \(\alpha\).
4. Montrer que \(x_{n+1} – \alpha \leqslant \dfrac{(x_n – \alpha)^2}{6}\). En utilisant \(3{,}3 < \alpha\), déterminer un rang qui garantit une erreur inférieure à \(10^{-12}\).

Exercice 10 – Une convergence lente vers 0

On pose \(f(x) = \dfrac{x}{1 + x^2}\), \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\).

1. Établir la positivité stricte de chaque terme. Prouver ensuite que la suite décroît, puis trouver sa limite.
2. Montrer que \(\dfrac{1}{u_{n+1}^2} = \dfrac{1}{u_n^2} + 2 + u_n^2\).
3. En déduire que \(\dfrac{1}{\sqrt{3n + 1}} \leqslant u_n \leqslant \dfrac{1}{\sqrt{2n + 1}}\) pour tout \(n\).
4. Calculer \(f^{\prime}(0)\) et la limite de \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\). Expliquer pourquoi la convergence n’est pas géométrique.

Exercice 11 – Points fixes non explicites avec l’exponentielle

On pose \(f(x) = \mathrm{e}^x – 2\) sur \(\mathbb{R}\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\).

1. Montrer que \(f\) admet exactement deux points fixes \(a < b\), avec \(a \in \, ]-2, -1[\) et \(b \in \, ]1, 2[\).
2. Étudier la suite selon la position de \(u_0\) : \(u_0 < a\), \(u_0 \in \, ]a, b[\), \(u_0 \in \{a, b\}\) et \(u_0 > b\).
3. Montrer que \([-2, -1]\) est stable et que \(f\) y est \(\mathrm{e}^{-1}\)-contractante. Pour \(u_0 = -1\), en déduire \(|u_n – a| \leqslant \mathrm{e}^{-n}\).
4. Calculer \(f^{\prime}(a)\) et \(f^{\prime}(b)\), puis commenter le résultat de la question 2.

Exercice 12 – Étude selon un paramètre

Soit \(a \geqslant 0\). On pose \(f(x) = \dfrac{x^2 + a}{2}\), \(u_0 = 0\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\).

1. On suppose \(a \in [0, 1]\). Déterminer les points fixes \(\ell \leqslant \ell^{\prime}\) de \(f\).
2. Toujours pour \(a \in [0, 1]\), montrer que \([0, \ell]\) est stable, que \((u_n)\) est croissante, puis qu’elle converge vers \(\ell = 1 – \sqrt{1 – a}\).
3. On suppose \(a > 1\). Montrer que \(u_{n+1} – u_n \geqslant \dfrac{a – 1}{2}\), puis déterminer la limite de \((u_n)\).
4. Pour \(a \in [0, 1[\), calculer \(f^{\prime}(\ell)\). Pour \(a = 1\), montrer que \(\dfrac{1 – u_{n+1}}{1 – u_n} \to 1\). Commenter.

Exercice 13 – Estimation a posteriori de l’erreur

On pose \(f(x) = 1 + \dfrac{1}{2}\ln(1 + x)\), \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\). On note \(J = [1, 3]\).

1. Montrer que \(J\) est stable par \(f\) et que \(f\) est \(\dfrac{1}{4}\)-lipschitzienne sur \(J\).
2. En déduire que \(f\) admet un unique point fixe \(\ell \in J\) et que \((u_n)\) converge vers \(\ell\).
3. Soit \(k \in [0, 1[\) une constante de contraction. Montrer que \(|u_n – \ell| \leqslant \dfrac{|u_{n+1} – u_n|}{1 – k}\), puis que \(|u_n – \ell| \leqslant \dfrac{k^n}{1 – k}\,|u_1 – u_0|\).
4. Déterminer un rang qui garantit \(|u_n – \ell| \leqslant 10^{-6}\). On admet que \(\ln 2 < 0{,}7\).

Pour approfondir

Exercice 14 – Convergence quadratique de Newton

On pose \(h(x) = x^3 + x – 3\) et on applique la méthode de Newton à partir de \(x_0 = 1{,}5\).

1. Montrer que \(h\) admet un unique zéro réel \(\alpha\), et que \(\alpha \in \, ]1{,}2\,;\,1{,}25[\).
2. Montrer que la fonction de Newton est \(N(x) = \dfrac{2x^3 + 3}{3x^2 + 1}\).
3. Soit \(x \in [\alpha\,;\,1{,}5]\). Montrer que \(\alpha \leqslant N(x) \leqslant x\), puis que \(N(x) – \alpha \leqslant 1{,}7\,(x – \alpha)^2\).
4. En déduire que \((x_n)\) décroît et converge vers \(\alpha\).
5. Calculer \(x_1\). Justifier que \(x_4\) est une valeur approchée de \(\alpha\) à \(10^{-8}\) près.

Exercice 15 – Un point fixe répulsif n’attire aucune suite

Soit \(f\) de classe \(\mathcal{C}^1\) sur un intervalle \(I\) stable, et \(\ell\) un point fixe de \(f\) intérieur à \(I\), avec \(|f^{\prime}(\ell)| > 1\).

1. Montrer qu’il existe \(\eta > 0\) et \(k > 1\) tels que \(|f(x) – \ell| \geqslant k\,|x – \ell|\) pour tout \(x \in [\ell – \eta, \ell + \eta]\).
2. En déduire que si une suite \(u_{n+1} = f(u_n)\) converge vers \(\ell\), alors elle est stationnaire.
3. Application : \(f(x) = 4x(1 – x)\), de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(I = \mathbb{R}\), qui laisse \([0, 1]\) stable. Vérifier que \(0\) et \(\dfrac{3}{4}\) sont deux points fixes répulsifs. Étudier les suites issues de \(u_0 = \dfrac{1}{4}\) et de \(u_0 = \dfrac{2 – \sqrt{2}}{4}\).
4. On prend \(u_0 = \dfrac{1}{3}\). Montrer que \(u_n = \dfrac{p_n}{3^{2^n}}\) avec \(p_n\) entier non divisible par \(3\). En déduire que \((u_n)\) diverge.

Exercice 16 – Problème – Trois façons de résoudre x + ln x = 2

On note \(h(x) = x + \ln x – 2\) pour \(x > 0\). On donne \(\ln 1{,}4 \approx 0{,}336\), \(\ln 1{,}5 \approx 0{,}405\), \(\ln 1{,}6 \approx 0{,}470\) et \(\ln 1{,}7 \approx 0{,}531\). La figure montre deux réécritures de l’équation sous forme de point fixe.

Partie A : existence de la solution

Montrer que \(h\) s’annule en un unique réel \(\alpha\), et que \(\alpha \in [1{,}5\,;\,1{,}6]\).

Partie B : la suite associée à 2 – ln x

On pose \(f(x) = 2 – \ln x\), \(u_0 = 1{,}5\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\).

1. Montrer que \(\alpha\) est l’unique point fixe de \(f\) et que \(J = [1{,}4\,;\,1{,}7]\) est stable par \(f\).
2. Montrer que \(f\) est \(\dfrac{5}{7}\)-contractante sur \(J\). En déduire que \(|u_n – \alpha| \leqslant 0{,}1 \times \left(\dfrac{5}{7}\right)^n\).
3. Déterminer un rang qui garantit \(|u_n – \alpha| \leqslant 10^{-6}\). On donne \(\ln 10 \approx 2{,}303\) et \(\ln 1{,}4 \approx 0{,}336\).
4. Expliquer pourquoi les termes se placent alternativement de part et d’autre de \(\alpha\).

Partie C : une réécriture qui échoue

On pose \(\varphi(x) = \mathrm{e}^{2 – x}\). Vérifier que \(\alpha\) est un point fixe de \(\varphi\), calculer \(\varphi^{\prime}(\alpha)\) et expliquer pourquoi la suite \(v_{n+1} = \varphi(v_n)\) ne convient pas pour approcher \(\alpha\).

Partie D : la méthode de Newton

On applique la méthode de Newton à \(h\) en partant de \(x_0 = 1\).

1. Montrer que la fonction de Newton est \(N(x) = \dfrac{x(3 – \ln x)}{x + 1}\).
2. Soit \(x \in [1, \alpha]\). Montrer que \(x \leqslant N(x) \leqslant \alpha\) et que \(\alpha – N(x) \leqslant \dfrac{2}{3}(\alpha – x)^2\).
3. En déduire que \((x_n)\) converge vers \(\alpha\) et que \(\alpha – x_n \leqslant \dfrac{3}{2}\,(0{,}4)^{2^n}\).
4. Combien d’itérations garantissent une erreur d’au plus \(10^{-6}\) ? Comparer avec la partie B.

Pour aller plus loin

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