Calcul de développements limités en maths sup (MPSI) : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Échauffement sur les DL usuels

Donner, en \(0\), les développements limités suivants.

1. D’abord, \(\mathrm{ch}\,x-\cos x\), jusqu’au degré \(5\).
2. Ensuite, \((1+x)^{3/2}\), jusqu’au degré \(3\).
3. Enfin, \(\ln(1-2x)\), également jusqu’au degré \(3\).

Exercice 2 – Développer ailleurs qu’en 0

En posant \(x=a+h\), déterminer :

1. d’abord le \(\mathrm{DL}_3(1)\) de \(\mathrm{e}^x\) ;
2. ensuite le \(\mathrm{DL}_3(2)\) de \(\ln x\) ;
3. enfin le \(\mathrm{DL}_2(4)\) de \(\sqrt{x}\), puis une valeur approchée rationnelle de \(\sqrt{4{,}1}\).

Exercice 3 – Parité et DL de ln(cos x)

1. Justifier que \(f(x)=\ln(\cos x)\) est définie et paire sur \(\left]-\frac\pi2,\frac\pi2\right[\).
2. Déterminer le \(\mathrm{DL}_4(0)\) de \(f\), puis en déduire son \(\mathrm{DL}_5(0)\).
3. Que dit ce DL du graphe de \(f\) près de l’origine ?

Exercice 4 – Un produit à l’ordre 3

Déterminer le \(\mathrm{DL}_3(0)\) de \(f(x)=\mathrm{e}^{-x}\sqrt{1+2x}\). En déduire \(f^{\prime}(0)\) et \(f^{\prime\prime}(0)\), en admettant que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^\infty\) au voisinage de \(0\).

Exercice 5 – Deux formes indéterminées en 0

Calculer les limites suivantes en \(0\).

1. D’abord \(\displaystyle\frac{\mathrm{e}^{2x}-1-2\sin x}{x^2}\).
2. Ensuite \(\displaystyle\frac{\sqrt{1+x}-1-\frac x2}{\ln(1+x)-x}\).

Exercice 6 – Tangente et position pour ln(1 + x + x²)

Soit \(f(x)=\ln(1+x+x^2)\).

1. Déterminer le \(\mathrm{DL}_3(0)\) de \(f\).
2. Écrire la tangente en \(0\), puis dire de quel côté d’elle se trouve le graphe pour \(x\) voisin de \(0\).

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Choisir les ordres dans un produit

1. Déterminer le \(\mathrm{DL}_6(0)\) de \((1-\cos x)\ln(1+x^2)\), en justifiant l’ordre choisi pour chaque facteur.
2. Déterminer le \(\mathrm{DL}_7(0)\) de \(\sin^3x\), en développant \(\sin x\) à l’ordre le plus bas possible.

Exercice 8 – Le quotient x sur sin x

Soit \(f(x)=\frac{x}{\sin x}\) sur \(\left]-\pi,\pi\right[\setminus\{0\}\).

1. Montrer que \(f\) se prolonge par continuité en \(0\).
2. Ensuite, déterminer le \(\mathrm{DL}_4(0)\) de \(f\).
3. Justifier que le prolongement est dérivable en \(0\). Son graphe est-il au-dessus ou au-dessous de la tangente en ce point ?

Exercice 9 – La composée e puissance cosinus

1. Expliquer pourquoi on ne peut pas composer directement le DL de \(\exp\) en \(0\) avec celui de \(\cos\).
2. Par conséquent, comment procéder ? Déterminer le \(\mathrm{DL}_4(0)\) de \(\mathrm{e}^{\cos x}\).
3. En déduire la limite en \(0\) de \(\frac{\mathrm{e}^{\cos x}-\mathrm{e}+\frac{\mathrm{e}}{2}x^2}{x^4}\).

Exercice 10 – Primitiver pour développer

1. Soit \(f(x)=\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\). Calculer \(f^{\prime}(x)\).
2. En déduire le \(\mathrm{DL}_5(0)\) de \(f\).
3. Déterminer de même le \(\mathrm{DL}_5(0)\) de \(\arccos\).

Exercice 11 – Deux asymptotes obliques

Soit \(f(x)=\sqrt{x^2+x+1}\), définie sur \(\mathbb{R}\).

1. Déterminer un développement de \(f(x)\) en \(+\infty\) de la forme \(ax+b+\frac{c}{x}+o\left(\frac1x\right)\).
2. Ensuite, faire de même en \(-\infty\), en prenant garde à \(|x|\).
3. Conclure : équations des deux asymptotes, et côté où se trouve le graphe pour chacune.

La figure ci-dessous montre la courbe et ses deux asymptotes.

Exercice 12 – Extremums de x sin x + cos x

Soit \(f(x)=x\sin x+\cos x\) sur \(\mathbb{R}\).

1. Calculer \(f^{\prime}\) et \(f^{\prime\prime}\). Vérifier que \(0\) et \(\frac\pi2\) sont des points critiques.
2. Déterminer la nature de ces deux points critiques.
3. Soit \(g(x)=\sin x-x+\frac{x^3}6\). Vérifier que \(g^{\prime}(0)=g^{\prime\prime}(0)=0\), puis montrer à l’aide d’un DL que \(g\) n’a pas d’extremum local en \(0\).

Le graphe de \(f\) sur \([-\pi,\pi]\) aide à visualiser la réponse.

Exercice 13 – Tangente au graphe de ln(1 + e^x)

Soit \(f(x)=\ln(1+\mathrm{e}^x)\).

1. Montrer que \(f(x)=\ln2+\ln\left(1+\frac{\mathrm{e}^x-1}{2}\right)\).
2. En déduire le \(\mathrm{DL}_4(0)\) de \(f\).
3. Écrire la tangente en \(0\) ; le graphe la traverse-t-il ?
4. Vérifier le résultat en montrant que \(x\mapsto f(x)-\frac x2\) est paire.

Exercice 14 – Formes 1 puissance infini

Déterminer les limites suivantes, en passant par l’exponentielle et le logarithme.

1. D’abord \(\displaystyle\lim_{x\to0}\,(\cos2x)^{1/x^2}\).
2. Ensuite \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}\left(\frac{(1+x)^{1/x}}{\mathrm{e}}\right)^{1/x}\).
3. Enfin \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x+3}{x+1}\right)^{x}\).

Exercice 15 – Dérivées successives en 0 par unicité

Les fonctions suivantes sont de classe \(\mathcal{C}^\infty\) au voisinage de \(0\). Sans dériver, calculer :

1. d’abord \(f^{(5)}(0)\) pour \(f(x)=x^2\ln(1+x)\) ;
2. ensuite \(g^{(6)}(0)\) et \(g^{(7)}(0)\) pour \(g(x)=x\arctan x\) ;
3. enfin \(h^{(4)}(0)\) pour \(h(x)=\mathrm{e}^{x^2}\cos x\).

Exercice 16 – Fraction rationnelle et suite de Fibonacci

Soit \(f(x)=\frac1{1-x-x^2}\), définie au voisinage de \(0\).

1. Déterminer le \(\mathrm{DL}_5(0)\) de \(f\) par la méthode du quotient.
2. On admet que \(f\) admet un \(\mathrm{DL}_n(0)\) pour tout \(n\), noté \(\sum_{k=0}^nc_kx^k+o(x^n)\). En écrivant \((1-x-x^2)f(x)=1\), montrer que \(c_0=c_1=1\) et \(c_k=c_{k-1}+c_{k-2}\) pour \(k\geqslant2\).
3. Enfin, en déduire \(c_{10}\).

Pour approfondir

Exercice 17 – DL d’une bijection réciproque

Soit \(f(x)=x+x^3\) sur \(\mathbb{R}\).

1. Prouver que \(f\) est bijective de \(\mathbb{R}\) dans lui-même. On note \(g\) sa réciproque ; établir que \(g\) est impaire.
2. On admet que \(g\) est de classe \(\mathcal{C}^\infty\). Justifier que \(g\) admet un \(\mathrm{DL}_5(0)\) de la forme \(g(y)=y+ay^3+by^5+o(y^5)\).
3. En écrivant \(f(g(y))=y\), déterminer \(a\) et \(b\).
4. Enfin, retrouver \(a\) à partir de l’égalité \(g^{\prime}(y)=\frac{1}{1+3g(y)^2}\).

Exercice 18 – Une fraction qui imite l’exponentielle

Pour des réels \(\lambda\) et \(\mu\), on pose \(Q(x)=\frac{1+\lambda x}{1+\mu x}\), définie près de \(0\). On veut que \(Q\) approche \(\mathrm{e}^x\) au mieux quand \(x\) est petit.

1. Développer \(Q\) à l’ordre \(3\) en \(0\), en fonction de \(\lambda\) et \(\mu\).
2. Déterminer \(\lambda\) et \(\mu\) pour que \(\mathrm{e}^x-Q(x)=o(x^2)\). Vérifier qu’alors \(Q(-x)=\frac1{Q(x)}\), comme pour l’exponentielle.
3. Pour ces valeurs, donner un équivalent de \(Q(x)-\mathrm{e}^x\) en \(0\). Le comparer à l’erreur commise par le polynôme \(1+x+\frac{x^2}2\), qui utilise lui aussi trois coefficients.
4. Application : en déduire une valeur approchée rationnelle de \(\mathrm{e}^{0{,}1}\), puis estimer l’ordre de grandeur de l’erreur.

Exercice 19 – Problème – Étude locale de x² arctan(1/x)

Soit \(f(x)=x^2\arctan\frac1x\) pour \(x\neq0\). On rappelle que \(\arctan t+\arctan\frac1t=\frac\pi2\) pour \(t>0\).

1. Montrer que \(f\) est impaire et se prolonge par continuité en \(0\) ; on note encore \(f\) le prolongement.
2. Montrer que \(f\) est dérivable en \(0\) et préciser \(f^{\prime}(0)\).
3. Pour \(x>0\), exprimer \(f(x)\) à l’aide de \(\arctan x\), puis déterminer un DL de \(f\) à l’ordre \(5\) à droite de \(0\). Faire de même à gauche.
4. Cependant, montrer que \(f\) n’admet pas de \(\mathrm{DL}_2(0)\).
5. Déterminer un développement de \(f\) en \(+\infty\) de la forme \(ax+b+\frac cx+o\left(\frac1x\right)\). Quelle droite le graphe approche-t-il aux deux bouts, et de quel côté ?

Pour aller plus loin

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