Nature d’une série numérique en maths sup (MPSI) : cours et méthodes

Soit \((u_n)_{n\geq 0}\) une suite de nombres réels ou complexes. On appelle série de terme général \(u_n\), notée \(\sum u_n\), la suite \((S_n)\) définie par \(S_n=\sum_{k=0}^{n}u_k\). Le nombre \(S_n\) est la somme partielle d’indice \(n\).

La série converge si \((S_n)\) admet une limite finie \(S\). On note alors \(S=\sum_{k=0}^{+\infty}u_k\), c’est la somme de la série. Sinon, on dit que la série diverge.

Si \(\sum u_n\) converge, le reste d’indice \(n\) est \(R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_k\). Il vérifie \(S=S_n+R_n\) pour tout \(n\), et donc \(R_n\to 0\).

Si \(\sum u_n\) converge, alors \(u_n\to 0\). Par contraposée, si \((u_n)\) ne tend pas vers 0, la série diverge : on dit qu’elle diverge grossièrement.

Étudions \(\sum \left(1-\frac{3}{n}\right)^{n}\) pour \(n\geq 4\). On écrit \(\left(1-\frac{3}{n}\right)^{n}=\exp\left(n\ln\left(1-\frac{3}{n}\right)\right)\). Or \(n\ln(1-3/n)\to -3\), donc le terme général tend vers \(e^{-3}\neq 0\). Ainsi, la série diverge grossièrement.

Les deux affirmations suivantes sont équivalentes : la suite \((a_n)\) a une limite finie ; la série des sauts \(\sum (a_{n+1}-a_n)\) est convergente. Lorsqu’elles sont vraies, \(\sum_{k=0}^{+\infty}(a_{k+1}-a_k)=\lim a_n – a_0\).

La somme partielle d’indice \(n-1\) vaut \(a_n-a_0\) par télescopage. Ainsi, les sommes partielles convergent exactement quand \((a_n)\) converge, et la limite s’en déduit.

1. Décomposer le terme général en éléments simples, ou repérer une différence \(a_{n+1}-a_n\) ou \(a_n-a_{n+p}\).
2. Écrire la somme partielle jusqu’à un indice \(N\) fini, sans jamais séparer deux séries infinies.
3. Simplifier : seuls quelques termes du début et de la fin survivent.
4. Faire tendre \(N\) vers l’infini.

Sommons \(\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n(n+2)}\). On a \(\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)\). Pour \(N\geq 2\), le télescopage à pas deux laisse deux termes au début et deux à la fin :

\[\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{N+1}-\frac{1}{N+2}\right).\]

Par conséquent, la série converge et sa somme vaut \(\frac{3}{4}\).

Soit \(q\in\mathbb{C}\). La série \(\sum q^n\) converge si et seulement si \(|q|<1\). Dans ce cas, \(\sum_{n=0}^{+\infty}q^n=\frac{1}{1-q}\) et le reste vaut \(R_n=\frac{q^{n+1}}{1-q}\).

Pour \(q\neq 1\), on a \(S_n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\). Si \(|q|<1\), alors \(q^{n+1}\to 0\), d’où la limite. Si \(|q|\geq 1\), le terme \(q^n\) a un module au moins égal à 1, donc la série diverge grossièrement.

Pour tout \(z\in\mathbb{C}\), la série \(\sum\frac{z^n}{n!}\) converge et \(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{z^n}{n!}=e^{z}\).

Traitons le cas réel \(z=x\). L’inégalité de Taylor-Lagrange appliquée à l’exponentielle entre 0 et \(x\) donne \(\left|e^{x}-\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}\right|\leq\frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}e^{|x|}\). Or ce majorant tend vers 0, car la factorielle l’emporte sur toute puissance. Le cas complexe se traite de la même façon avec la fonction \(t\mapsto e^{tz}\).

Soit \((u_n)\) et \((v_n)\) deux suites telles que \(0\leq u_n\leq v_n\) à partir d’un certain rang.

• Si \(\sum v_n\) converge, alors \(\sum u_n\) converge.
• Si \(\sum u_n\) diverge, alors \(\sum v_n\) diverge.

Quitte à retirer les premiers termes, ce qui ne change pas la nature, on suppose l’inégalité vraie dès le rang 0. Alors \(\sum_{k=0}^{n}u_k\leq\sum_{k=0}^{n}v_k\leq\sum_{k=0}^{+\infty}v_k\). Ainsi, les sommes partielles de \(\sum u_n\) sont croissantes et majorées, donc convergentes. Le second point est la contraposée du premier.

Soit \((v_n)\) une suite positive.

• Si \(u_n=O(v_n)\) ou \(u_n=o(v_n)\), et si \(\sum v_n\) converge, alors \(\sum u_n\) converge (absolument).
• Si \(u_n\sim v_n\), alors \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) sont de même nature.

Si \(u_n\sim v_n\), alors \(\frac{1}{2}v_n\leq u_n\leq\frac{3}{2}v_n\) à partir d’un certain rang. En particulier, \(u_n\) est positif à partir de ce rang. On applique alors le théorème de comparaison dans les deux sens. Le cas d’un \(O\) se traite de même avec \(|u_n|\leq M v_n\).

Étudions \(\sum u_n\) avec \(u_n=1-\cos\left(\frac{2}{n}\right)\). D’abord, \(u_n\geq 0\). Ensuite, \(1-\cos x\sim\frac{x^2}{2}\) en 0, donc \(u_n\sim\frac{2}{n^2}\). Comme \(\sum\frac{1}{n^2}\) converge (partie 4), la série \(\sum u_n\) converge.

Soit \(f\) continue, positive et décroissante sur \([1,+\infty[\). Pour tout entier \(k\geq 2\), on a

\[\int_{k-1}^{k}f(x)\,\mathrm{d}x\geq f(k)\geq\int_{k}^{k+1}f(x)\,\mathrm{d}x.\]

En sommant, pour \(n\geq 2\) : \(\int_{1}^{n+1}f\leq\sum_{k=1}^{n}f(k)\leq f(1)+\int_{1}^{n}f\).

Pour \(t\in[k,k+1]\), la décroissance donne \(f(t)\leq f(k)\). On intègre cette inégalité sur un intervalle de longueur 1. De même, pour \(t\in[k-1,k]\), on a \(f(k)\leq f(t)\). Enfin, la relation de Chasles regroupe les intégrales.

1. Vérifier que \(f\) est positive et décroissante, au moins à partir d’un rang.
2. Écrire l’encadrement de \(f(k)\) par deux intégrales sur \([k,k+1]\) et \([k-1,k]\).
3. Sommer en surveillant les bornes : c’est là que se glissent les erreurs.
4. Calculer les intégrales avec une primitive, puis conclure par encadrement ou par équivalent.

Cherchons un équivalent de \(h_n=\sum_{j=1}^{n}j^{-1}\). Avec \(f(t)=1/t\), l’encadrement donne \(\ln(n+1)\) comme minorant et \(\ln n+1\) comme majorant. En divisant par \(\ln n\), les deux bornes tendent vers 1. Par conséquent, \(h_n\) est équivalent à \(\ln n\), et la série harmonique diverge.

Pour tout réel \(\alpha\), la série de Riemann \(\sum_{p\geq 1}p^{-\alpha}\) est convergente lorsque \(\alpha>1\) et divergente lorsque \(\alpha\leq 1\).

Si \(\alpha\leq 0\), le terme ne tend pas vers 0 : divergence grossière. Si \(\alpha>0\), la fonction \(t\mapsto t^{-\alpha}\) est positive et décroissante. Pour \(\alpha\neq 1\), l’encadrement de 4.1 donne

\[\frac{(n+1)^{1-\alpha}-1}{1-\alpha}\leq\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{\alpha}}\leq 1+\frac{n^{1-\alpha}-1}{1-\alpha}.\]

Si \(\alpha>1\), le majorant tend vers \(1+\frac{1}{\alpha-1}\) : les sommes partielles sont majorées, donc la série converge. Si \(0<\alpha<1\), le minorant tend vers \(+\infty\). Enfin, le cas \(\alpha=1\) est celui de la série harmonique.

La série \(\sum u_n\) est absolument convergente si la série positive \(\sum |u_n|\) converge.

Toute série réelle ou complexe absolument convergente est convergente. De plus, sa somme \(S\) vérifie \(|S|\leq\sum_{k=0}^{+\infty}|u_k|\).

Dans le cas réel, on pose \(u_n^{+}=\max(u_n,0)\) et \(u_n^{-}=\max(-u_n,0)\). Ces deux suites sont positives et majorées par \(|u_n|\). Donc \(\sum u_n^{+}\) et \(\sum u_n^{-}\) convergent, et \(u_n=u_n^{+}-u_n^{-}\). Pour un terme complexe, on écrit \(u_n=x_n+iy_n\). Comme \(|x_n|\leq|u_n|\) et \(|y_n|\leq|u_n|\), le cas réel s’applique à chacune des deux suites.

La série \(\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n}}{n}\) converge (voir 5.2), mais \(\sum\frac{1}{n}\) diverge. Une série convergente n’est donc pas toujours absolument convergente : on parle alors de semi-convergence.

Soit \((a_n)\) une suite positive, décroissante, de limite nulle. Alors la série \(\sum(-1)^{n}a_n\) converge. De plus, le reste \(R_n\) est du signe de \((-1)^{n+1}\) et vérifie \(|R_n|\leq a_{n+1}\).

On a \(S_{2n+2}-S_{2n}=a_{2n+2}-a_{2n+1}\leq 0\) et \(S_{2n+3}-S_{2n+1}=a_{2n+2}-a_{2n+3}\geq 0\). De plus, \(S_{2n+1}-S_{2n}=-a_{2n+1}\to 0\). Les suites \((S_{2n})\) et \((S_{2n+1})\) sont donc adjacentes et ont une limite commune \(S\). Ensuite, \(S\) se trouve entre deux sommes partielles consécutives, ce qui donne \(|S-S_n|\leq|S_{n+1}-S_n|=a_{n+1}\) et le signe du reste.

D’abord, la série \(\sum\frac{(-1)^n}{n^{3/2}}\) converge absolument : l’alternance est donc inutile ici. Prenons plutôt \(\sum\frac{(-1)^n}{\ln(n+1)}\). Ici, \(a_n=\frac{1}{\ln(n+1)}\) est positive, décroissante et tend vers 0, donc la série converge. Pour garantir une erreur inférieure à \(\frac{1}{4}\), il suffit que \(\ln(n+2)\geq 4\), soit \(n\geq 53\).

Soit \(u_n=\ln\left(1+\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\right)\) pour \(n\geq 2\). Le développement \(\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+O(x^3)\) donne

\[u_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}-\frac{1}{2n}+O\left(\frac{1}{n^{3/2}}\right).\]

Le premier terme donne une série convergente par le critère des séries alternées. Le troisième donne une série absolument convergente. En revanche, \(\sum\frac{1}{2n}\) diverge. Par conséquent, \(\sum u_n\) diverge, alors que \(u_n\) est équivalent à \(\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\).

1. Le terme général tend-il vers 0 ? Si non, la série diverge grossièrement : c’est fini.
2. Le terme a-t-il une forme connue (télescopique, géométrique, exponentielle) ? Si oui, on calcule directement les sommes partielles.
3. Le terme est-il de signe constant à partir d’un rang ? Si oui, on cherche un équivalent simple ou une domination par une série de Riemann.
4. Si l’équivalent ne suffit pas et que \(f\) est monotone, on compare à une intégrale.
5. Si le signe varie, on teste d’abord la convergence absolue.
6. Sinon, on vérifie les hypothèses du critère des séries alternées, ou on développe le terme pour séparer une partie alternée et une partie de signe constant.

Les équivalents usuels en 0 sont les outils de base : \(\sin x\sim x\), \(\ln(1+x)\sim x\), \(e^{x}-1\sim x\), \(1-\cos x\sim\frac{x^2}{2}\), \((1+x)^{a}-1\sim ax\). Avec \(x=x_n\to 0\), ils transforment la plupart des termes généraux en puissances de \(n\).

Premier cas. Soit \(u_n=n^{2}\sin\left(\frac{1}{n^{3}}\right)\) pour \(n\geq 1\). Le terme tend vers 0, car il est équivalent à \(\frac{1}{n}\). Aucune forme connue n’apparaît. En revanche, le signe est constant : \(\frac{1}{n^3}\in\,]0,\pi[\), donc le sinus est positif. L’arbre s’arrête à l’étape 3 : la série diverge, comme la série harmonique.

Deuxième cas. Soit \(v_n=\frac{3^n}{n!}\). On reconnaît la série exponentielle en \(z=3\). Le parcours s’arrête donc dès l’étape 2 : la série converge et sa somme vaut \(e^{3}\).

Troisième cas. Soit \(w_n=\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)^{3}\). La quantité conjuguée donne \(w_n=\frac{1}{\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)^{3}}\). Ce terme est positif et équivalent à \(\frac{1}{8n^{3/2}}\). Par conséquent, la série converge, toujours à l’étape 3.

Quatrième cas. Soit \(z_n=(-1)^n\left(e^{1/\sqrt{n}}-1\right)\). Le signe alterne. Le module est équivalent à \(\frac{1}{\sqrt{n}}\), donc la convergence absolue échoue à l’étape 5. Cependant, \(a_n=e^{1/\sqrt{n}}-1\) est positive, décroissante par composition de fonctions monotones, et tend vers 0. Le critère de l’étape 6 conclut : la série converge, sans convergence absolue.

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