QCM : Polynôme minimal et lemme des noyaux en maths spé (MP)

Réponse D.

Une sous-algèbre doit être un sous-espace vectoriel contenant \(I_2\) et stable par produit. Les triangulaires supérieures vérifient ces trois conditions. En revanche, les matrices de trace nulle ne contiennent pas \(I_2\), et les inversibles ne forment pas un sous-espace, puisque 0 en est absent. Enfin, le produit de deux symétriques n’est pas toujours symétrique.

Réponse B.

Le morphisme \(P\mapsto P(u)\) a pour noyau l’idéal engendré par \(\pi_u\) et pour image \(\mathbb{K}[u]\). Par conséquent, \((\mathrm{Id},u,u^2)\) est une base de \(\mathbb{K}[u]\), qui est de dimension 3. Le piège 25 donne la dimension de \(\mathcal{L}(E)\) tout entier. Le piège 4 compte les coefficients de \(\pi_u\), soit un de trop.

Réponse B.

La seule valeur propre est 2, donc \(\pi_A\) est une puissance de \(X-2\). Or \(A-2I_2\) n’est pas nulle, tandis que son carré l’est. Ainsi \(\pi_A=(X-2)^2\). Le piège \(X-2\) supposerait \(A=2I_2\). Quant à \(X^2-4\), il ferait de \(-2\) une valeur propre, ce qui contredit la diagonale de \(A\).

Réponse C.

Si \(u(x)=\lambda x\) avec \(x\neq 0\), alors \(\lambda^3x=4\lambda x\), donc \(\lambda\) est racine de \(X^3-4X\). Ainsi le spectre est inclus dans \(\{-2,0,2\}\). Cependant il n’y a pas égalité : l’endomorphisme nul vérifie aussi \(u^3=4u\). Le piège \(\{0,4\}\) lit mal le polynôme, et \(\{0,2\}\) oublie la racine négative.

Réponse D.

Le polynôme \(X^3-X=X(X-1)(X+1)\) annule \(u\) et il est scindé à racines simples sur \(\mathbb{R}\). Par conséquent, \(u\) est diagonalisable, avec un spectre inclus dans \(\{-1,0,1\}\). Le piège des trois seuls endomorphismes oublie les mélanges, par exemple une symétrie ou un projecteur. L’inversibilité n’intervient pas : 0 peut être valeur propre.

Réponse D.

En passant au déterminant, \(\det(u)^2=\det(-\mathrm{Id})=(-1)^n\). Or un carré réel est positif, donc \(n\) est pair. De plus, \(X^2+1\) n’a pas de racine réelle, ainsi \(u\) n’a aucune valeur propre réelle et n’est pas diagonalisable sur \(\mathbb{R}\). Le piège \(-1\) confond \(u^2=-\mathrm{Id}\) avec \(u=-\mathrm{Id}\).

Réponse A.

On factorise \(X^3-2X^2+X=X(X-1)^2\), et les facteurs \(X\) et \((X-1)^2\) sont premiers entre eux. Le lemme donne donc une somme directe des deux noyaux, avec l’exposant 2 conservé. Le piège sans carré n’est vrai que si \(u\) est diagonalisable. Celui en \(\ker u^2\) déplace l’exposant sur le mauvais facteur.

Réponse A.

Le polynôme caractéristique est \(X^2-5X+6\), et Cayley-Hamilton donne \(A^2-5A+6I_2=0\). Ainsi \(A(5I_2-A)=6I_2\), d’où l’inverse annoncé. Le piège \(\tfrac16(A-5I_2)\) se trompe de signe en isolant \(6I_2\). La réponse \(\tfrac15(6I_2-A)\) échange les rôles de la trace et du déterminant.

Réponse C.

Par Cayley-Hamilton, \(\pi_u\) divise \(\chi_u\). De plus, toute valeur propre est racine de \(\pi_u\), donc les facteurs \(X-1\) et \(X+2\) apparaissent tous deux. Le piège \((X-1)^3\) oublie la valeur propre \(-2\). Les deux autres ne divisent pas \(\chi_u\), puisque leurs exposants dépassent les multiplicités.

Réponse B.

Le sous-espace caractéristique \(\ker(u-\mathrm{Id})^3\) a pour dimension la multiplicité de 1 dans \(\chi_u\), soit 3. En effet, le lemme des noyaux appliqué à \(\chi_u\) décompose l’espace de dimension 4 en ce sous-espace et en la droite \(\ker(u+2\,\mathrm{Id})\). Le piège « entre 1 et 3 » décrit plutôt le sous-espace propre.

Réponse C.

Le polynôme minimal d’un nilpotent est \(X^p\), où \(p\) est l’indice de nilpotence. Or l’indice est au plus égal à la dimension, ici 3, et \(u^2\neq 0\) impose \(p\geqslant 3\). Donc \(\pi_u=X^3\). Le piège \(X^4\) dépasse le degré du polynôme caractéristique, ce qui contredit Cayley-Hamilton.

Réponse A.

On divise \(X^n\) par \((X-2)(X+1)\) : le reste \(a_nX+b_n\) prend les mêmes valeurs que \(X^n\) en 2 et en \(-1\). Ainsi \(2a_n+b_n=2^n\) et \(-a_n+b_n=(-1)^n\). On contrôle avec \(n=1\), qui donne \(a_1=1\) et \(b_1=0\). Le piège sans division par 3 oublie de résoudre complètement le système.