Rayon et somme d’une série entière en maths spé (MP) : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Trois rayons obtenus par quotient

Pour chacune des séries ci-dessous, trouver le rayon en étudiant le quotient de deux coefficients consécutifs.

1. D’abord, la série \(\displaystyle\sum_{n\geq 0}\frac{n^3}{7^n}\,x^n\).
2. Ensuite, la série \(\displaystyle\sum_{n\geq 0}\binom{2n}{n}\frac{x^n}{5^n}\).
3. Enfin, la série \(\displaystyle\sum_{n\geq 1}\frac{n!}{n^n}\,x^n\).

Exercice 2 – Rayons par comparaison des coefficients

Obtenir le rayon de \(\sum a_n z^n\) par encadrement ou par équivalent, donc sans calculer de quotient.

1. D’abord, le cas \(a_n=2+\cos n\).
2. Ensuite, le cas \(a_n=\sqrt{n+3}-\sqrt{n}\).
3. Enfin, le cas \(a_n=\ln\left(1+5^{-n}\right)\).

Exercice 3 – Rayons de deux séries lacunaires

Trouver le rayon des deux séries ci-dessous. Ici, un retour aux séries numériques s’impose.

1. D’abord, la série \(\displaystyle\sum_{n\geq 0}\frac{3^n}{n+1}\,z^{2n}\).
2. Ensuite, la série \(\displaystyle\sum_{n\geq 1}\frac{z^{3n}}{n\,27^n}\).

Exercice 4 – Ce que le lemme d’Abel permet d’affirmer

Soit \(\sum a_n z^n\) une série entière de rayon \(R\). On suppose que la série numérique \(\sum a_n 2^n\) converge et que la série \(\sum a_n (-3)^n\) diverge. La figure place les points utiles du plan complexe.

1. D’abord, encadrer \(R\).
2. Ensuite, que peut-on dire de la série en \(z=1+i\) ? Et en \(z=4\) ?
3. Montrer, à l’aide de deux exemples, qu’on ne peut rien affirmer en \(z=-2\).
4. Enfin, la série \(\sum |a_n|\, 2^n\) converge-t-elle forcément ?

Exercice 5 – Somme et produit de deux séries géométriques

On pose \(a_n=2^{-n}\) et \(b_n=3^{-n}\) pour \(n\geq 0\).

1. Donner les rayons de \(\sum a_n x^n\) et de \(\sum b_n x^n\), puis celui de \(\sum (a_n+b_n)x^n\).
2. Ensuite, calculer le coefficient \(c_n\) du produit de Cauchy des deux séries, sous forme simplifiée.
3. Enfin, en déduire le rayon de \(\sum c_n x^n\) et vérifier que sa somme vaut \(\dfrac{1}{(1-x/2)(1-x/3)}\).

Exercice 6 – Sommer en intégrant la série géométrique

On considère \(S(x)=\displaystyle\sum_{n\geq 0}\frac{x^n}{n+2}\).

1. Préciser le rayon de convergence de cette série.
2. Ensuite, exprimer \(S(x)\) à l’aide de fonctions usuelles sur l’intervalle ouvert de convergence, en distinguant \(x=0\).
3. Enfin, en déduire la valeur de \(\displaystyle\sum_{n\geq 0}\frac{1}{2^n(n+2)}\).

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Rayon pour des coefficients mal connus

Trouver le rayon de \(\sum_{n\geq 1} a_n z^n\) dans chacun des cas suivants. Aucune formule explicite n’est disponible, donc seule la comparaison fonctionne.

1. D’abord, \(a_n\) est le nombre de diviseurs positifs de \(n\).
2. Ensuite, \(a_n\) est la \(n\)-ième décimale de \(\sqrt{2}\). On admet que \(\sqrt{2}\) est irrationnel.
3. Enfin, \(a_n=1\) si \(n\) est un carré parfait, et \(a_n=0\) sinon.

Exercice 8 – Coefficients au carré et puissances paires

Soit \(\sum a_n z^n\) une série entière de rayon \(R\in\,]0,+\infty[\).

1. Montrer que la série \(\sum a_n^2 z^n\) a pour rayon \(R^2\).
2. De même, prouver que la série \(\sum a_n z^{2n}\) a pour rayon \(\sqrt{R}\).
3. Application : trouver ainsi le rayon de \(\displaystyle\sum_{n\geq 1}\frac{z^{2n}}{n\,4^n}\) et celui de \(\displaystyle\sum_{n\geq 1}\frac{z^{n}}{n^2\,16^n}\).

Exercice 9 – Coefficient polynomial et valeur en un demi

1. Préciser le rayon de \(\sum_{n\geq 0}(n^2+1)x^n\).
2. Ensuite, calculer \(\sum_{n\geq 1}n x^n\) et \(\sum_{n\geq 1}n^2x^n\) sur l’intervalle ouvert de convergence.
3. Montrer alors que \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(n^2+1)x^n=\frac{2x^2-x+1}{(1-x)^3}\).
4. Enfin, en déduire la valeur de \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n^2+1}{2^n}\).

Exercice 10 – Sommer avec une décomposition en éléments simples

On pose \(S(x)=\displaystyle\sum_{n\geq 0}\frac{x^n}{(n+1)(n+2)}\).

1. Déterminer le rayon de la série, puis montrer qu’elle converge normalement sur \([-1,1]\).
2. Ensuite, établir que, pour \(x\in\,]-1,1[\) non nul, \(S(x)=\dfrac{(1-x)\ln(1-x)+x}{x^2}\).
3. En déduire \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{(n+1)(n+2)}\) et \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(n+1)(n+2)}\).

Exercice 11 – Domaines de convergence et comportement au bord

Pour chaque série, donner le rayon puis l’ensemble exact des réels \(x\) où elle converge. En effet, le rayon seul ne règle pas le sort des deux bornes.

1. D’abord, la série \(\displaystyle\sum_{n\geq 1}\frac{x^n}{n^2}\).
2. Ensuite, la série \(\displaystyle\sum_{n\geq 1}\frac{x^n}{\sqrt{n}}\).
3. Puis la série \(\displaystyle\sum_{n\geq 1}n\,x^n\).
4. Enfin, la série \(\displaystyle\sum_{n\geq 2}\frac{(-1)^n x^n}{n\ln n}\).

Exercice 12 – Produit de Cauchy et nombres harmoniques

On note \(H_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\) pour \(n\geq 1\).

1. Déterminer le rayon de \(\sum_{n\geq 1}H_n x^n\).
2. Ensuite, reconnaître cette série comme le produit de Cauchy de deux séries usuelles, puis calculer sa somme.
3. Enfin, en déduire la valeur de \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{H_n}{2^n}\).

Exercice 13 – Série des inverses des factorielles paires

On pose \(f(x)=\displaystyle\sum_{n\geq 0}\frac{x^n}{(2n)!}\).

1. Déterminer le rayon de convergence.
2. Ensuite, exprimer \(f(x)\) à l’aide de fonctions usuelles, en distinguant \(x\geq 0\) et \(x < 0\).
3. Enfin, montrer par un calcul terme à terme que \(4x f^{\prime\prime}(x)+2f^{\prime}(x)-f(x)=0\) pour tout réel \(x\).

Exercice 14 – Somme continue au bord mais de pente infinie

On pose \(f(x)=\displaystyle\sum_{n\geq 0}\frac{x^n}{n^2+1}\). La figure montre l’allure de \(f\) sur \([-1,1]\).

1. Déterminer le rayon, puis montrer que \(f\) est définie et continue sur \([-1,1]\).
2. Ensuite, prouver que \(f^{\prime}(x)\to+\infty\) quand \(x\to 1^-\).
3. Enfin, en déduire que \(f\) n’est pas dérivable à gauche en 1.

Exercice 15 – Une somme alternée calculée par intégration

On pose \(g(x)=\displaystyle\sum_{n\geq 0}(-1)^n\frac{x^{3n+1}}{3n+1}\).

1. Déterminer le rayon de convergence et calculer \(g^{\prime}(x)\) sur l’intervalle ouvert.
2. Ensuite, décomposer \(\dfrac{1}{1+t^3}\) en éléments simples sur \(\mathbb{R}\), puis calculer \(\displaystyle\int_0^1\frac{dt}{1+t^3}\).
3. Par ailleurs, montrer que la série converge uniformément sur \([0,1]\).
4. Enfin, en déduire que \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{3n+1}=\frac{\ln 2}{3}+\frac{\pi}{3\sqrt{3}}\).

Pour approfondir

Exercice 16 – Coefficients récurrents et fraction rationnelle

On définit la suite \((a_n)\) par \(a_0=a_1=1\) et \(a_{n+2}=a_{n+1}+2a_n\) pour tout \(n\geq 0\).

1. Montrer que \(0 < a_n\leq 2^n\) pour tout \(n\). En déduire une minoration du rayon \(R\) de \(\sum a_n x^n\).
2. On note \(f\) la somme sur \(]-R,R[\). Ensuite, montrer que \((1-x-2x^2)f(x)=1\).
3. Enfin, décomposer \(f\) en éléments simples, en déduire une expression de \(a_n\) puis la valeur exacte de \(R\).

Exercice 17 – Restes de la série exponentielle

Pour \(n\geq 0\), on pose \(a_n=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\) et \(b_n=e-a_n\).

1. Montrer que \(\sum a_n x^n\) a pour rayon 1 et que sa somme vaut \(\dfrac{e^x}{1-x}\) sur \(]-1,1[\).
2. Ensuite, prouver que \(0 < b_n\leq \dfrac{2}{(n+1)!}\) pour tout \(n\geq 0\). En déduire le rayon de \(\sum b_n x^n\).
3. On note \(g\) la somme de \(\sum b_n x^n\). Calculer alors \(g(x)\) pour \(x\in\,]-1,1[\).
4. Enfin, en déduire que \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}b_n=e\).

Exercice 18 – Même rayon pour la série dérivée

Soit \(\sum a_n z^n\) une série entière de rayon \(R > 0\). Cet exercice redémontre, sans utiliser le cours sur les facteurs \(n^{\alpha}\), les résultats de régularité de la somme.

1. Montrer que le rayon \(R^{\prime}\) de \(\sum n a_n z^n\) vérifie \(R^{\prime}\leq R\).
2. Soit \(z\) tel que \(|z| < R\) et soit \(r\) strictement compris entre \(|z|\) et \(R\). Montrer que \(n|a_n||z|^n\leq M\,n\,(|z|/r)^n\) pour une constante \(M\). En déduire \(R^{\prime}=R\).
3. Soit ensuite \(\rho\in[0,R[\). Montrer que \(\sum a_n z^n\) converge normalement sur le disque fermé \(\overline{D}(0,\rho)\).
4. Enfin, en déduire que la somme \(f\) est continue sur \(D(0,R)\), puis que sa restriction à \(]-R,R[\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) avec \(f^{\prime}(x)=\sum_{n\geq 1}n a_n x^{n-1}\).

Exercice 19 – Problème : série des cosinus et théorème d’Abel radial

On fixe \(\theta\in\,]0,\pi[\) et on pose, pour \(x\) réel, \(f(x)=\displaystyle\sum_{n\geq 1}\frac{\cos(n\theta)}{n}\,x^n\).

Partie A : rayon et somme

1. Montrer que la suite \((\cos(n\theta))\) ne tend pas vers 0. On pourra raisonner par l’absurde avec \(\cos(2n\theta)\).
2. En déduire que le rayon de convergence vaut 1.
3. Ensuite, pour \(x\in\,]-1,1[\), montrer que \(f^{\prime}(x)=\dfrac{\cos\theta-x}{1-2x\cos\theta+x^2}\). On pourra écrire \(\cos(n\theta)\) comme la partie réelle de \(e^{in\theta}\).
4. Enfin, en déduire que \(f(x)=-\frac{1}{2}\ln\left(1-2x\cos\theta+x^2\right)\) sur \(]-1,1[\).

Partie B : convergence au bord

1. On pose \(C_n=\sum_{k=1}^{n}\cos(k\theta)\). Montrer que \(|C_n|\leq\dfrac{1}{\sin(\theta/2)}\) pour tout \(n\geq 1\).
2. Ensuite, établir pour \(n\geq 2\) la transformation d’Abel \[\sum_{k=1}^{n}\frac{\cos(k\theta)}{k}=\frac{C_n}{n}+\sum_{k=1}^{n-1}C_k\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right).\]
3. Enfin, en déduire que la série \(\sum_{n\geq 1}\frac{\cos(n\theta)}{n}\) converge.

Partie C : valeur de la somme

1. Grâce au théorème d’Abel radial, montrer que \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\cos(n\theta)}{n}=-\ln\left(2\sin\frac{\theta}{2}\right)\).
2. Par exemple, calculer \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\cos(n\pi/3)}{n}\) et \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\cos(2n\pi/3)}{n}\).

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