Développements en série entière en maths spé (MP) : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Fraction rationnelle à deux pôles

On pose \(f(x) = \frac{5}{(2 – x)(3 + x)}\).

1. Décomposer d’abord \(f\) en éléments simples.
2. En déduire alors le développement de \(f\) en série entière, en précisant l’intervalle de validité.
3. Donner ensuite le rayon de la série obtenue, puis la valeur exacte du coefficient de \(x^4\).

Exercice 2 – Dérivées en 0 lues sur les coefficients

On considère la série entière \(\sum_{n \geqslant 0} \frac{n^2 + 1}{4^n}\, x^n\) et l’on note \(f\) sa somme.

1. Déterminer d’abord le rayon \(R\) de cette série.
2. Justifier ensuite que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(]-R, R[\).
3. Calculer ensuite \(f^{\prime\prime\prime}(0)\) et \(f^{(10)}(0)\) sans dériver.

Exercice 3 – Parité et coefficients nuls

On admet que \(b(x) = \frac{x}{\mathrm{e}^x – 1}\), prolongée par \(b(0) = 1\), est développable en série entière sur un intervalle \(]-r, r[\) avec \(r > 0\). On note \(b(x) = \sum_{n \geqslant 0} b_n x^n\).

1. Montrer d’abord que \(x \mapsto b(x) + \frac{x}{2}\) est paire sur \(]-r, r[\).
2. En déduire que \(b_{2p+1} = 0\) pour tout \(p \geqslant 1\), et calculer \(b_1\).
3. À l’aide de l’égalité \(x = (\mathrm{e}^x – 1)\, b(x)\), calculer enfin \(b_2\).

Exercice 4 – Carré du sinus et cube du cosinus hyperbolique

1. Tout d’abord, linéariser \(\sin^2 x\), puis en déduire son développement en série entière sur \(\mathbb{R}\).
2. Exprimer ensuite \(\operatorname{ch}^3 x\) à l’aide de \(\operatorname{ch}(3x)\) et de \(\operatorname{ch} x\).
3. Développer alors \(\operatorname{ch}^3 x\) en série entière et vérifier les deux premiers termes.

Exercice 5 – Logarithme d’un trinôme

On pose \(h(x) = \ln(1 + x + x^2)\) pour \(x\) réel.

1. Vérifier d’abord que \(1 + x + x^2 = \frac{1 – x^3}{1 – x}\) pour \(x \neq 1\).
2. En déduire le développement de \(h\) en série entière sur \(]-1, 1[\).
3. Expliciter le coefficient \(a_n\) selon que \(3\) divise \(n\) ou non. Contrôler enfin \(a_1\), \(a_2\) et \(a_3\) par un développement limité.

Exercice 6 – Primitive de la gaussienne et valeur approchée

On pose \(G(x) = \int_0^x \mathrm{e}^{-t^2}\, \mathrm{d}t\) pour \(x\) réel. La figure compare \(G\) à deux sommes partielles de son développement.

1. Développer d’abord \(G\) en série entière et donner le rayon.
2. Ensuite, pour \(x = \frac{1}{2}\), justifier que la série obtenue relève du critère spécial des séries alternées.
3. En déduire une valeur approchée de \(G\left(\frac{1}{2}\right)\) à \(10^{-4}\) près, en justifiant le nombre de termes retenus.

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Coefficients binomiaux centraux

1. Montrer d’abord que, pour \(|x| < \frac{1}{4}\), on a \(\frac{1}{\sqrt{1 – 4x}} = \sum_{n \geqslant 0} \binom{2n}{n} x^n\).
2. Vérifier ensuite que le rayon de cette série vaut \(\frac{1}{4}\).
3. En élevant au carré, démontrer que \(\sum_{k=0}^{n} \binom{2k}{k} \binom{2n – 2k}{n – k} = 4^n\) pour tout entier \(n\).
4. Vérifier enfin cette identité pour \(n = 2\).

Exercice 8 – Développement de l’arcsinus

1. Tout d’abord, développer \(x \mapsto \frac{1}{\sqrt{1 – x^2}}\) en série entière sur \(]-1, 1[\).
2. En déduire que, pour tout \(x \in ]-1, 1[\), \(\arcsin x = \sum_{n \geqslant 0} \frac{\binom{2n}{n}}{4^n (2n + 1)}\, x^{2n+1}\).
3. Enfin, donner les trois premiers termes non nuls, puis les comparer au développement limité de \(\arcsin\) en \(0\).

Exercice 9 – Exponentielle de l’arctangente

On pose \(f(x) = \mathrm{e}^{\arctan x}\) pour \(x\) réel.

1. Montrer d’abord que \(f\) est l’unique solution sur \(\mathbb{R}\) du problème \((1 + x^2) y^{\prime} = y\), \(y(0) = 1\).
2. Ensuite, soit \(\sum a_n x^n\) une série entière de rayon \(R > 0\), de somme \(S\), solution de ce problème. Montrer que \(a_0 = 1\), \(a_1 = 1\) et que, pour \(n \geqslant 1\), on a \((n + 1) a_{n+1} = a_n – (n – 1) a_{n-1}\).
3. Réciproquement, on définit \((a_n)\) par ces relations. Montrer par récurrence que \(|a_n| \leqslant 1\) pour tout \(n\), et en déduire que \(R \geqslant 1\).
4. Conclure enfin que \(f\) est développable sur \(]-1, 1[\), puis calculer \(a_2\), \(a_3\) et \(a_4\).

Exercice 10 – Équation différentielle et sinus hyperbolique

On considère l’équation \((E) : x y^{\prime\prime} + 2 y^{\prime} – x y = 0\).

1. Déterminer d’abord les séries entières de rayon non nul dont la somme est solution de \((E)\). Exprimer leur somme à l’aide de fonctions usuelles.
2. Soit \(y\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^2\) sur \(]0, +\infty[\) et \(z : x \mapsto x\, y(x)\). Établir l’équivalence entre \((E)\) pour \(y\) et l’équation \(z^{\prime\prime} = z\).
3. Donner alors toutes les solutions de \((E)\) sur \(]0, +\infty[\). Lesquelles se prolongent en une fonction développable au voisinage de \(0\) ?

Exercice 11 – Une fonction plate à droite

On pose \(f(x) = \mathrm{e}^{-1/x}\) pour \(x > 0\) et \(f(x) = 0\) pour \(x \leqslant 0\). La figure représente \(f\) sur \([-1, 3]\).

1. Établir par récurrence l’existence de polynômes \(P_n\) vérifiant \(f^{(n)}(x) = P_n\left(\frac{1}{x}\right) \mathrm{e}^{-1/x}\) sur \(]0, +\infty[\).
2. Prouver ensuite que \(f\) est indéfiniment dérivable sur \(\mathbb{R}\), toutes ses dérivées en \(0\) étant nulles.
3. Montrer enfin que \(f\) n’est développable en série entière sur aucun intervalle \(]-r, r[\).

Exercice 12 – Arctangente d’une homographie

On pose \(u(x) = \arctan\left(\frac{1 + x}{1 – x}\right)\) pour \(x \neq 1\).

1. Calculer d’abord \(u^{\prime}(x)\) et montrer que \(u(x) = \frac{\pi}{4} + \arctan x\) pour tout \(x < 1\).
2. En déduire ainsi le développement de \(u\) en série entière sur \(]-1, 1[\).
3. Déterminer ensuite une expression de \(u(x)\) pour \(x > 1\). Expliquer pourquoi la formule de la question 1 cesse d’y être vraie.

Exercice 13 – Deux produits de Cauchy

1. Tout d’abord, développer \(x \mapsto \frac{\mathrm{e}^x}{1 – x}\) en série entière. On notera \(s_n\) le coefficient de \(x^n\).
2. Déterminer ensuite la limite de \((s_n)\), puis le rayon de la série obtenue.
3. Montrer de même que, pour \(|x| < 1\), \(\frac{\ln(1 + x)}{1 + x} = \sum_{n \geqslant 1} (-1)^{n-1} H_n x^n\), où \(H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}\).

Exercice 14 – Le produit du cosinus et du cosinus hyperbolique

1. Vérifier d’abord que \(\operatorname{ch}\left((1 + \mathrm{i})x\right) = \operatorname{ch} x \cos x + \mathrm{i} \operatorname{sh} x \sin x\) pour tout réel \(x\).
2. Calculer ensuite \((1 + \mathrm{i})^2\), puis développer \(\operatorname{ch}\left((1 + \mathrm{i})x\right)\) en série entière.
3. En déduire que \(\operatorname{ch} x \cos x = \sum_{m \geqslant 0} \frac{(-4)^m}{(4m)!}\, x^{4m}\) sur \(\mathbb{R}\), puis développer de même \(\operatorname{sh} x \sin x\).

Exercice 15 – Reste intégral du logarithme

On pose \(f(x) = \ln(1 + x)\) pour \(x > -1\) et l’on note \(R_n(x)\) le reste intégral d’ordre \(n\) de la formule de Taylor en \(0\).

1. Calculer d’abord \(f^{(n+1)}(t)\) et écrire \(R_n(x)\) sous forme d’intégrale.
2. Pour \(x \in [0, 1]\), montrer que \(|R_n(x)| \leqslant \frac{1}{n + 1}\).
3. En déduire ensuite la valeur de \(\sum_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^{n-1}}{n}\).
4. Enfin, pour \(x \in ]-1, 0]\) et \(t \in [x, 0]\), montrer que \(\frac{t – x}{1 + t} \leqslant |x|\). Conclure que \(R_n(x) \to 0\).

Exercice 16 – Premiers coefficients de la tangente

On admet que \(\tan\) est développable en série entière sur un intervalle \(]-r, r[\) avec \(r > 0\).

1. Justifier d’abord que seuls les coefficients d’indice impair de ce développement peuvent être non nuls.
2. Utiliser ensuite la relation \(\tan^{\prime} = 1 + \tan^2\) pour calculer les coefficients de \(x\), \(x^3\), \(x^5\) et \(x^7\).
3. Contrôler enfin les deux premiers coefficients non nuls à l’aide des développements de \(\sin\) et \(\cos\).

Pour approfondir

Exercice 17 – Nombre de dérangements

Pour \(n \geqslant 1\), on note \(d_n\) le nombre de permutations de \([\![1, n]\!]\) sans point fixe, et l’on pose \(d_0 = 1\).

1. En classant les permutations selon leur nombre de points fixes, justifier que \(n! = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} d_k\).
2. Montrer ensuite que la série \(\sum \frac{d_n}{n!} x^n\) a un rayon au moins égal à \(1\). On note \(D\) sa somme.
3. Établir alors que \(\mathrm{e}^x D(x) = \frac{1}{1 – x}\) pour \(|x| < 1\).
4. En déduire que \(d_n = n! \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!}\), puis calculer \(d_4\) et \(d_5\).
5. Déterminer enfin la limite de \(\frac{d_n}{n!}\) et l’interpréter.

Exercice 18 – Une série de Taylor de rayon nul

On pose \(f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-n} \cos(n^2 x)\) pour \(x\) réel.

1. Montrer d’abord que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(\mathbb{R}\) et exprimer \(f^{(2k)}(0)\) comme somme d’une série.
2. Calculer ensuite \(f^{(2k+1)}(0)\).
3. Montrer alors que \(\frac{|f^{(2k)}(0)|}{(2k)!} \geqslant \left(\frac{2k}{\mathrm{e}}\right)^{2k}\) pour tout \(k \geqslant 1\).
4. En déduire que la série de Taylor de \(f\) en \(0\) a un rayon nul. La fonction \(f\) est-elle développable en série entière ?

Exercice 19 – Problème – Des solutions qui dépassent le rayon

On étudie l’équation \((F) : (1 + x^2) y^{\prime\prime} + 4x y^{\prime} + 2y = 0\) sur \(\mathbb{R}\).

1. Soit d’abord \(y = \sum a_n x^n\) de rayon \(R > 0\). Montrer que \(y\) est solution de \((F)\) sur \(]-R, R[\) si et seulement si \(a_{n+2} = -a_n\) pour tout \(n\).
2. En déduire les solutions développables, leur rayon et l’expression de leur somme.
3. Montrer ensuite que, pour \(y\) de classe \(\mathcal{C}^2\), \(\left((1 + x^2) y\right)^{\prime\prime} = (1 + x^2) y^{\prime\prime} + 4x y^{\prime} + 2y\).
4. En déduire toutes les solutions de \((F)\) sur \(\mathbb{R}\).
5. Enfin, comparer les deux résultats. Commenter le fait que les solutions sont définies sur \(\mathbb{R}\), alors que leurs développements ne valent que sur \(]-1, 1[\).

Exercice 20 – Problème – Une intégrale elliptique

Pour \(x \in ]-1, 1[\), on pose \(K(x) = \int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1 – x \sin^2 t}}\). On note \(c_n = \binom{2n}{n} 4^{-n}\) et \(W_m = \int_0^{\pi/2} \sin^m t\, \mathrm{d}t\).

1. Justifier d’abord que \(K\) est bien définie sur \(]-1, 1[\).
2. Rappeler ensuite le développement de \((1 – u)^{-1/2}\) pour \(|u| < 1\) à l’aide des \(c_n\). Prouver aussi que \(0 < c_n \leqslant 1\).
3. Par une intégration par parties, montrer que \(W_m = \frac{m – 1}{m} W_{m-2}\) pour \(m \geqslant 2\). En déduire que \(W_{2n} = \frac{\pi}{2}\, c_n\).
4. Ainsi, pour \(x\) fixé dans \(]-1, 1[\), justifier l’échange de la somme et de l’intégrale, puis établir que \(K(x) = \frac{\pi}{2} \sum_{n \geqslant 0} c_n^2\, x^n\).
5. Déterminer enfin le rayon de cette série, et donner les trois premiers termes du développement de \(K\).

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